Урок 23 Получить доступ за 75 баллов Упрощение выражений

Нам уже известно, что одну и ту же информацию можно представить в различных формах: в словесной форме и в символьной.

Кроме того, в словесной форме одну и ту же информацию можно произнести или записать по-разному.

Рассмотрим поясняющий пример.

Прочитаем внимательно следующие три предложения:

1. «Лида- сестра Марины».

2. «Марина- сестра Лиды».

3. «Лида с Мариной сестры».

Заметим следующее: сказаны и записаны данные утверждения по-разному, однако имеют один и тот же смысл.

Рассмотрим еще одно утверждение.

«Девочка Наташа и девочка Света учатся в одном классе.»

Попробуем записать данное предложение короче и проще, сохранив при этом его смысл.

Объединим два словосочетания «девочка Наташа» и «девочка Света» в одно.

Запишем «девочки Наташа и Света».

В результате получим такую фразу: «Девочки Наташа и Света учатся в одном классе».

В целом смысл предложения остался прежним, а предложение стало короче.

Наташа и Света- имена женского рода, и так ясно, что Наташа и Света девочки.

Уберем из предложения слово «девочки» и посмотрим, что получится.

«Наташа и Света учатся в одном классе».

Предложение заметно сократилось, а смысл исходного утверждения сохранился.

Фразу «учатся в одном классе» можно заменить одним словом «одноклассницы».

В таком случае получаем следующее предложение: «Наташа и Света- одноклассницы».

С помощью некоторых преобразований у нас получилось сократить и упростить исходное предложение.

Другими словами, нам удалось заменить исходное предложение эквивалентным ему, сохранив при это его смысл.

Аналогичная ситуация складывается с высказываниями, записанными с помощью математического языка.

Математическое утверждение, записанное в символьной форме, с помощью некоторых преобразований, можно из сложного и громоздкого превратить в простое и короткое.

Сегодня на уроке мы выясним, что значит упростить математическое выражение.

Вспомним, что такое числовое и буквенное выражение.

Познакомимся с различными методами преобразования арифметических и алгебраических выражений.

Разберем большое количество примеров, помогающих понять и усвоить материал по данной теме.

Осмысленная комбинация математических символов, букв и знаков, как нам уже известно, называется математическим выражением.

Выражение не может представлять собой случайный набор математических символов и знаков.

Математические выражения делят на числовые и буквенные.

Числовое выражение- это запись, состоящая из чисел, арифметических операций, скобок и иных специальных математических символов.

Числовые выражения еще по-другому называют арифметическими выражениями.

Число, которое получается после выполнения всех арифметических операций, входящих в выражение, называют значением этого числового выражения.

В таком случае, чтобы найти значение числового выражения, необходимо выполнить в определенном порядке все арифметические операции, указанные в выражении.

Числовое выражение всегда имеет одно верное решение.

Решить арифметическое выражение- значит найти его значение, которое превращает это выражение в верное равенство.

В буквенных выражениях, наряду с числами, знаками математических операций и другими специальными математическими символами содержатся еще и буквы- переменные.

Числовое выражение, в котором числа обозначены цифрами и буквами, называют буквенным выражением.

Буквенные выражения часто называют алгебраическими выражениями.

Алгебраические выражения должны быть составлены в соответствии со всеми математическими правилами и по тому же принципу, что и числовые выражения.

Значение выражения с переменными зависит от значения переменных, входящих в него.

Последовательность выполнения арифметических операций в выражениях с переменными такая же, что и для числовых выражений.

Вычисления в алгебраических выражениях выполняют после подстановки вместо букв их численные значения.

Найти значение алгебраического выражения- значит найти значение выражения при заданном значении переменной.

Значение переменной, при котором алгебраическое выражение обращается в верное равенство, называют допустимым значением этой переменной.

Простые арифметические и алгебраические выражения вам уже хорошо знакомы, значения таких выражений находили не раз, выполняя в определенной последовательности математические операции.

Однако, часто можно встретить выражения, которые имеют сложный и громоздкий вид, значение, которых сложно найти, используя только правила выполнения математических операций.

Чтобы привести математическое выражение к виду, удобному для дальнейшего решения, используют различные тождественные преобразования.

Тождественным преобразованием называют замену одного выражения на другое, тождественно равное исходному.

Часто в словосочетании «тождественные преобразования выражения» слово «тождественные» опускают и произносят просто «преобразования выражения».

Упростить выражение- значит найти эквивалентное ему выражение, которое будет короче (содержащее минимум знаков, символов, математических операций) и проще для вычислений и дальнейших преобразований.

После упрощения выражения значение этого выражения остается прежним.

Упрощение выражений выполняется на основе свойств математических операций над числами, не зависимо от того арифметическое это выражение или алгебраическое.

Изученные нами раннее свойства сложения, вычитания, умножения, деления позволяют преобразовывать и упрощать математические выражения.

Рассмотрим основные методы упрощения математических выражений.

1. Метод группировки

Сочетательное и переместительное свойства сложения и умножения часто используют для преобразования выражений.

Удобно использовать переместительное и сочетательное свойства, группируя числа, объединяя их по определенному признаку, чтобы в результате они давали круглые числа или легко считались.

Группировка слагаемых подразумевает объединение в группы нескольких слагаемых.

Группировка множителей- это объединение нескольких множителей в группы.

Упростим числовое выражение 242 + 183 +58 + 17.

Для упрощения данного выражения воспользуемся переместительным и сочетательным свойством сложения.

Сгруппируем числа 242 и 58 и числа 183 и 17.

Упростим числовое выражение 12 ∙ 9 ∙ 5 ∙ 1.

Воспользуемся переместительным свойством умножения.

Сгруппируем числа 12 и 5 и числа 9 и 1.

Рассмотрим пример упрощения буквенного выражения.

Числа, которые имеют одинаковую буквенную часть, можно складывать и вычитать.

Упростим выражение 2а ∙ 4b ∙ 3c.

Сначала выполним перестановку множителей в исходном выражении, объединяя множители в одну группу

Сгруппируем отдельно числовые и буквенные множители.

2а ∙ 4b ∙ 3c = (2 ∙ 4 ∙ 3) ∙ (а ∙ b ∙ c) = 24 ∙ а ∙ b ∙ c

В полученном выражении число 24, стоящее перед буквенной частью a, b, c- это числовой коэффициент выражения.

Часто математические выражения содержат скобки.

Скобки имеют особое значение в выражении, например, указывают очередность арифметических операций.

Порой удобно избавиться от скобок и перейти к тождественно равному выражению без скобок, нежели производить в них вычисления.

2. Упрощение выражений со скобками (раскрытие скобок).

Перейти от выражения со скобками к выражению без скобок- это значит раскрыть (опустить) скобки.

Правило раскрытия скобок основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения и вычитания.

Чтобы умножить сумму нескольких чисел на число, можно каждое слагаемое умножить на это число, а полученные произведения сложить.

(a + b) c = ac + bc

Неважно с какой стороны располагается число с.

Таким образом, умножая число на сумму чисел, необходимо это число умножить на каждое слагаемое, а полученные произведения сложить.

c (a + b) = ac + bc

Распределительное свойство умножения относительно вычитания выполняется аналогичным образом, соблюдая некоторые нюансы.

Чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

(a - b) c = c (a - b) = ac - bc

Рассмотрим поясняющие примеры.

Раскроем скобки в выражении 4 ∙ (2а + 3b).

Умножим каждое слагаемое на число 4.

Число 4- это общий множитель для каждого слагаемого, находящегося в скобке.

В нашем выражении- это общий множитель для слагаемых 2а и 3b.

Обычно, раскрывая скобки, промежуточные вычисления записывают в виде цепочки равенств.

4 ∙ (2а + 3b) = 4 ∙ 2а + 4 ∙ 3b

Умножим первое слагаемое 2а на общий множитель 4, для этого необходимо коэффициент 2 умножить на 4, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 8а.

Таким же образом поступим и со вторым слагаемым 3b, для этого необходимо коэффициент 3 умножить на общий множитель 4, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 12b.

Сложим полученные произведения 8а и 12b.

В результате получаем следующее тождественное преобразование.

4 ∙ (2а + 3b) = 4 ∙ 2а + 4 ∙ 3b = 8а + 12b

Раскроем скобки в выражении 4 ∙ (2а - 3b).

Воспользуемся распределительным свойством умножения относительно вычитания.

Умножим уменьшаемое 2а на общий множитель 4, для этого необходимо коэффициент 2 умножить на 4, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 8а.

Таким же образом поступим и с вычитаемым 3b, для этого необходимо коэффициент 3 умножить на общий множитель 4, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 12b.

Затем из первого полученного произведения вычтем второе.

В результате получим следующее равенство:

4 ∙ (2а - 3b) = 4 ∙ 2а - 4 ∙ 3b = 8а - 12b.

Рассмотрим правила раскрытия скобок при делении.

Распределительное свойство деления справедливо только в том случае, если скобки стоят в делимом

(a + b) ÷ c = a ÷ c + b ÷ c

(a - b) ÷ c = a ÷ c - b ÷ c

Например, раскроем скобки в выражении (20а + 30b) ÷ 5.

Разделим каждое слагаемое на число 5.

(20а + 30b) ÷ 5 = 20а ÷ 5 + 30b ÷ 5

Разделим первое слагаемое 20а на 5, для этого необходимо коэффициент 20 разделить на 5, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 4а.

Таким же образом поступим и со вторым слагаемым 30b, для этого необходимо коэффициент 30 разделить на 5, а полученный результат умножить на буквенную часть, получим 6b.

Сложим полученные частные 4а и 6b.

В результате получаем следующее тождественное преобразование.

(20а + 30b) ÷ 5 = 20а ÷ 5 + 30b ÷ 5 = 4а + 6b

Однако, если скобки расположены в делителе, т.е. число делят на сумму чисел, то необходимо выполнить действия в скобках (если это возможно), и только потом делимое число разделить на результат, полученный в скобках.

3. Вынесение общего множителя за скобки.

Выражения (a + b) c и ac + bc согласно распределительному свойству умножения имеют одно и то же значение, т.е. распределительный закон умножения можно применять в обратную сторону- выносить общий множитель за скобки.

ac + bc = (a + b) c = c (a + b)

Неважно с какой стороны расположен общий множитель.

Необходимо иметь ввиду, что общим множителем может быть не только число, но и буква или несколько букв, а порой, даже целое выражение.

Рассмотрим несколько примеров.

Упростим выражение 7а + 7b.

Произведения 7а и 7b имеют общий множитель число 7.

Вынесем общий множитель за скобки, исходное выражение примет вид 7 (а + b).

Мы по сути получили произведение общего множителя и выражения в скобках, записанного без общего множителя.

Общий вид решения будет выглядеть так:

7а + 7b = 7 (а + b).

Упростим выражение 3х - 2х + 1.

В данном выражении 3х и 2х имеют в своей записи множитель х- это их общий множитель.

Вынесем общий множитель (переменную х) за скобку.

3х - 2х + 1 = х ∙ (3 - 2) + 1

Выражение в скобках можно вычислить (3 - 2 = 1).

Решением в общем виде будет выглядеть так:

3х - 2х + 1 = х ∙ (3 - 2) + 1 = х ∙ 1 + 1 = х + 1.

Упростим выражение 8х + 2у.

Слагаемые 8х и 2у имеют общий множитель 2, так как 8 представляет собой произведение двух чисел 4 ∙ 2, т.е. исходное выражение можно записать следующим образом:

4 ∙ 2 ∙ х + 2у.

Вынесем общий множитель (число 2) за скобку, получим

4 ∙ 2 ∙ х + 2у = 2 (4х + у).

Решение в общем виде будет записываться так:

8х + 2у = 4 ∙ 2 ∙ х + 2у = 2 (4х + у).

За скобки можно выносить даже целое выражение.

Упростим выражение 4аb + 2b.

Так как 4 = 2 ∙ 2, то 4аb и 2b имеют общий множитель 2.

Кроме того, данные слагаемые имеют одинаковую букву- это буква b, следовательно, 4аb и 2b имеют общий множитель в виде произведения 2b.

Исходное выражение запишем так:

2 ∙ 2аb + 2b

Вынесем общий множитель 2b за скобку.

4аb + 2b = 2 ∙ 2аb + 2b = 2b (2а + 1).

Проверим верно ли мы упростили выражение.

Выполним обратное действие, раскроем скобки.

Известно, при умножении любого числа на единицу (или единицы на число) получится само это число.

В результате получится равенство

2b ∙ (2а + 1) = 2b ∙ 2а + 2b ∙ 1 = 2 ∙ 2 ∙ a ∙ b + 2b = 4аb + 2b.

В итоге получили выражение 4аb + 2b, которое требовалось упростить.

Упрощение математических выражений часто используют при решении уравнений и текстовых задач, решаемых с помощью уравнений.

Решим уравнение 12у + 3у - 2 = 28.

Найдем значение у, при котором данное уравнение превратится в верное равенство.

Первым делом упростим левую часть равенства.

12у и 3у имеют одинаковую буквенную часть, их можно сложить (сложим коэффициенты 12 и 3 и результат умножим на их буквенную часть).

12у + 3у = 15у

Исходное равенство тогда примет следующий вид:

15у - 2 = 28

В этом уравнении уменьшаемое представлено не просто числом, а буквенным выражением 15у.

Нам известно, как связаны между собой компоненты вычитания.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое (15у), необходимо к разности (28) прибавить вычитаемое (2).

15у = 28 + 2

15у = 30

Неизвестное у в данном уравнении является множителем.

Чтобы найти неизвестный множитель (у), нужно произведение (30) разделить на известный множитель (15).

у = 30 ÷ 15

у = 2

Выполним проверку найденного корня.

В исходное уравнение 12у + 3у - 2 = 28 вместо неизвестного числа (у) подставим найденный корень у = 2.

12 ∙ 2 + 3 ∙ 2 - 2 = 28

24 + 6 - 2 = 28

28 = 28

Значение левой и правой части равенства одинаково, значит корень уравнения найден верно.

Запишем ответ.

Ответ: у = 2.

Опуская все наши пояснения и рассуждения, решение уравнения запишем так:

12у + 3у - 2 = 28

15у - 2 = 28

15у = 28 + 2

15у = 30

у = 30 ÷ 15

у = 2

Проверка:

12 ∙ 2 + 3 ∙ 2 - 2 = 28

24 + 6 - 2 = 28

28 = 28

Значит корень уравнения найден верно.

Ответ: у = 2.

Рассмотрим пример текстовой задач, которую можно решить с помощью уравнения.

В двух корзинах было 9 килограммов ягод.

В первой корзине в 2 раза больше ягод, чем во второй.

Сколько килограммов ягод было в каждой корзине?

Пусть х (кг) ягод было в первой корзине.

По условию во второй корзине было ягод в 2 раза больше, тогда

2х (кг) ягод было во второй корзине.

Зная, что в двух корзинах было 9 (кг) ягод, составим уравнение.

х + 2х = 9

Упростим левую часть равенства.

х и 2х имеют одинаковую буквенную часть, их можно сложить (сложим коэффициенты 1 и 2 и результат умножим на их буквенную часть.)

1х + 2х = 3х

Исходное равенство тогда примет следующий вид:

3х = 9

Получили простое уравнение, в котором неизвестен множитель (х).

Чтобы найти неизвестный множитель (х), нужно произведение (9) разделить на известный множитель (3).

х = 9 ÷ 3

х = 3 (кг) ягод было в первой корзинке.

2х = 2 ∙ 3 = 6 (кг) ягод во второй корзинке.

Проверим найденные значения.

Сложим полученное количество ягод в первой и во второй корзинке.

3 кг + 6 кг = 9 (кг) было в двух корзинах.

Решение задачи найдено верно.

Ответ: 3 (кг), 6 (кг).