Урок 15 Получить доступ за 75 баллов Числовые и буквенные выражения

Любые математические задачи и примеры записываются с помощью математического языка.

Математический язык- это язык, не требующий перевода, универсальный и понятный всем, имеющий четкую структуру и грамматику.

Верная математическая запись всегда точна, логична, компактна, удобна для понимания, однозначно отражает действие, операцию, понятие.

Определенная осмысленная последовательность знаков (чисел, букв), связанных между собой знаками арифметических операций, называют математическим выражением.

Математические выражения делят на числовые и буквенные.

На этом уроке вы познакомитесь с числовыми и буквенными выражениями.

Узнаете, какое выражение называют числовым, а какое буквенным.

Научитесь составлять числовые и буквенные выражения к задачам.

Выясните, как правильно записывать, читать и находить значение математических выражений.

Числовые выражения вам уже хорошо знакомы.

В начальных классах на уроках математики, решая задачи и примеры, вы составляли и записывали числовые выражения и находили значения этих выражений.

Числовое выражение- это запись, состоящая из чисел, арифметических операций, скобок и иных специальных математических символов.

Числовым выражением можно назвать только такую запись, которая является осмысленной и составлена согласно математическим правилам.

Рассмотрим примеры числовых выражений.

4 - является числовым выражением.

2 + 17 - является числовым выражением.

247 + 13 - 3 - является числовым выражением.

84 + (273 - 16) - является числовым выражением.

Не каждую математическую запись из символов и знаков можно считать числовым выражением.

Числовое выражение всегда ориентировано на то, чтобы операции, входящие в него, могли быть выполнены.

Если числовое выражение невозможно вычислить, то оно не имеет смысла.

Пример.

45 + ( - + 1 - не является числовым выражением, данная запись представляет собой бессмысленный набор символов и знаков.

Существуют такие математические записи, которые на первый взгляд можно принять за числовые выражения, но вычислить их невозможно.

Пример.

15 : (37 - 22 - 15)

Число 15 необходимо разделить на результат операции в скобках, а он равен нулю.

Так как деление на нуль в математике запрещено, данную математическую операцию совершить невозможно, следовательно, запись 15 : (37 - 22 - 15) не вычислить, она не является числовым выражением.

Математические равенства и неравенства выражениями не являются, но равенства и неравенства состоят из математических выражений.

Два числовых выражения, соединенные знаком равно «=», называют числовым равенством.

Два числовых выражения, соединенные знаками больше «>» или меньше «<», называют неравенством.

Несмотря на то, что в записи равенств и неравенств присутствуют математически верно построенные комбинации из чисел и арифметических операций, они не являются математическими выражениями.

Например,

Запись вида 26 - 5 > 4 не является числовым выражением, это неравенство.

Запись вида 24 - 6 = 18 также не является числовым выражением, данная запись является равенством.

Смысл решения любой задачи, любого примера заключается в том, чтобы найти значение выражения, которое превращает его в верное равенство.

Число, которое получается после выполнения всех арифметических операций, называют значением числового выражения.

Следовательно, чтобы найти значение числового выражения, необходимо выполнить в определенном порядке все арифметические операции, указанные в выражении.

У числового выражения значение только одно.

Например, значение числового выражения (45 - 3) + (12 + 2) всегда равно 56, и только это значение является единственно верным.

Важно уметь не только верно записывать числовые выражения, но и уметь их правильно читать.

Чтобы прочитать числовое выражение нужно определить, какая арифметическая операция является последней при вычислении значения этого выражения.

Так, например, если последнее по порядку действие было сложение, то выражение называют «суммой».

Если последним действием является вычитание, то выражение называют «разностью».

Следовательно, если последним действием является умножение, то выражение называют «произведением», если деление- «частным».

Например, выражение (10 - 3) + (6 - 4) читается так: «Сумма разности чисел 10 и 3 и разности чисел 6 и 4».

Выражение (10 - 3)∙(6 - 4) читается так: «Произведение разности чисел 10 и 3 и разности чисел 6 и 4».

Умение составлять математические выражения и находить их значение используют при решении как простых, так и составных задач.

Рассмотрим пример решения составной задачи и выясним особенности процесса составления числовых выражений.

Известно, что любая составная задача содержит несколько простых.

Существуют различные способы оформления решения текстовых задач.

Чаще всего используют такие формы записи решения задач:

1. По действиям с пояснениями.

2. Выражением.

При решении составных задач важно выделить главное, сделать краткую запись, разделить задачу на простые, составить план решения.

Задача 1.

В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на 2 кг больше.

Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?

Решение:

Запишем кратко условие задачи:

В I день - 12 кг клубники.

Во II день - на 2 кг больше, чем в I день.

Общее количество клубники в I и во II день- ?

Изобразим к задаче рисунок в виде схемы.

Чтобы определить, сколько собрали клубники за два дня, необходимо знать, какое количество клубники было собрано в первый и во второй день.

Из условия задачи известно количество клубники, собранной в первый день.

Неизвестно количество клубники, собранной во второй день.

Когда будет известно сколько собрали клубники во второй день, можно узнать какое количество ягод собрали за два дня.

Задачу решаем в два действия (каждое действие поясним).

1. Выясним сколько килограммов ягод собрали во второй день.

Известно, что в первый день собрали 12 кг клубники. Так как во второй день собрали на 2 кг больше, то во второй день собрали столько же, как в первый, и еще 2 кг.

Выполним сложение чисел 12 и 2, получим выражение 12 + 2.

Найдем значение данного числового выражения:

12 + 2 = 14 (кг) клубники собрали во второй день.

2. Вторым действием определим общее количество ягод, собранных за два дня.

Необходимо сложить все ягоды, который собрали в первый и во второй день, получим следующее выражение: 12 + 14.

Найдем значение данного числового выражения:

12 + 14 = 26 (кг) клубники собрали за два дня.

Ответ: 26 кг.

Как нам уже известно, решение задачи можно записать не только по действиям, но и в форме выражения.

Запись решения составной задачи с помощью составления по ней итогового числового выражения позволяет увидеть ход решения в целом, и такая запись сокращает время оформления задачи.

Составим числовое выражение для решения нашей задачи.

Согласно рассуждениям, изложенным выше, имеем следующие данные:

12 кг - клубники собрали в первый день.

12 + 2 кг - клубники собрали во второй день.

Определим общее количество ягод, собранных за два дня.

Сложив все ягоды, собранные в первый и во второй день, получим следующее числовое выражение:

12 + (12 + 2).

Вычислим значение данного выражения, выполнив последовательно все действия в нем.

Тогда запись решения задачи будет выглядеть так:

12 + (12 + 2) = 12 + 14 = 26 (кг) клубники собрали за два дня.

Ответ: 26 кг.

Попробуем решить вторую задачу.

Задача 2.

В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на 5 кг больше.

Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?

Скорее всего вы заметили, что первая и вторая задачи отличаются только одним числом, а именно число 2 заменено на число 5.

Остальные условия задачи остались прежние.

Все логические рассуждения во второй задаче аналогичны рассуждениям первой.

Таким образом, имеем следующие данные:

12 кг - клубники собрали в первый день.

12 + 5 кг - клубники собрали во второй день.

Определим общее количество ягод, собранных за два дня.

Сложив все ягоды, собранные в первый и во второй день, получим следующее выражение:

12 + (12 + 5).

Вычислим значение данного выражения, выполнив последовательно все действия в нем.

Тогда запись решения задачи будет выглядеть так:

12 + (12 + 5) = 12 + 17 = 29 (кг) клубники собрали за два дня.

Ответ: 29 кг.

Рассмотрим еще одну такую же задачу, как первая и вторая, рассмотренные выше, но число, которое менялось в первой и во второй задаче заменим на ☐ пустое окошко, в которое можно вписать любое значение.

Тогда получим следующую задачу:

В первый день собрали 12 кг клубники, а во второй день на ☐ кг больше.

Сколько килограммов клубники собрали за эти два дня?

В математике принято обозначать переменное число не пустым окошком, а буквой.

Для нашей задачи вместо пустого окошка поставим латинскую букву «а».

По аналогии с уже решенными задачами математическое выражение для данной задачи будет следующее: 12 + (12 + а).

Если вместо буквы а подставлять различные числа, то каждый раз будем получать различные числовые выражения и, как следствие, различные значения.

Числовое выражение, в котором числа обозначены цифрами и буквами, называют буквенным выражением.

Соответственно, буквенное выражение отличается от числового тем, что содержит букву.

Буквы, которые содержатся в буквенных выражениях, называются переменными.

Для обозначения чисел буквами используют строчные буквы латинского алфавита.

Например, в выражении а + 3 - b буквы а и b являются переменными.

Буквенные выражения должны быть составлены согласно математическим правилам и по такому же принципу, как числовые выражения.

Буквенные выражения является таковым, если в их записи отсутствуют знаки больше «>», меньше «<», равно «=».

Приведем примеры нескольких буквенных выражений:

а + b + с - является буквенным выражением.

4а - 5а - является буквенным выражением.

(15 - а) + 26 - является буквенным выражением.

12 + (3 - 1) - не является буквенным выражением, это числовое выражение (в составе выражения нет букв).

3 + d = 19 - не является буквенным выражением, это равенство (равенство, в записи которого есть буква, называется уравнением).

Буквенное выражение должно содержать хотя бы одну букву.

Из приведенных выше примеров можно заметить, что буквенное выражение может содержать несколько одинаковых и (или) разных букв, может состоять только из одних букв.

Разные числа в выражении обозначаются разными буквами.

Если в выражении упоминается одна и та же буква несколько раз, то во всех случаях она имеет одно и то же значение.

Числа, которые заменяют буквы в буквенном выражении, называют значением этих букв.

Вычисления в буквенных выражениях выполняют после подстановки вместо букв их численных значений.

Для буквенного выражения характерно не просто значение выражения, а значение выражения при заданном значении переменной.

Рассмотрим алгоритм решения буквенного выражения.

Пример.

1. Пусть число а = 5, число b = 6.

Найдем значение буквенного выражения а + b.

Решение:

Подставим вместо а и b соответствующие им числовые значения.

Получим числовое выражение 5 + 6.

Найдем значение числового выражения: 5 + 6 = 11.

Ответ: 11.

2. Пусть число а = 5, число d = 10.

Найдем значение буквенного выражения (а + а) - (d - а).

Подставим вместо а и d соответствующие им числовые значения.

Получим числовое выражение (5 + 5) - (10 - 5).

Найдем значение числового выражения: (5 + 5) - (10 - 5) = 10 - 7 = 3.

Ответ: 3.

Буквенное выражение, в отличие от числового, может иметь много значений, так как вместо буквы можно подставить любое число.

Пример.

Определите значение выражение 218 - b, если b = 28, b = 13, b = 5.

1. Подставим вместо b число 28.

Получим числовое выражение 218 - 28.

Найдем значение полученного числового выражения: 218 - 28 = 190.

2. Подставим вместо b число 13.

Получим числовое выражение 218 - 13.

Найдем значение полученного числового выражения: 218 - 13 = 205.

3. Подставим вместо b число 5.

Получим числовое выражение 218 - 5.

Найдем значение полученного числового выражения: 218 - 5 = 213.

Ответ: 190, 205, 213.