Урок 12 Получить доступ за 75 баллов Вычитание натуральных чисел. Свойства вычитания натуральных чисел

На прошлых занятиях мы подробно рассмотрели арифметическую операцию сложения натуральных чисел, свойства и способы сложения натуральных чисел.

Сегодня на уроке мы рассмотрим еще одну математическую операцию, которая называется вычитанием.

Выясним, как с помощью координатной прямой можно найти разность натуральных чисел.

Определим, как взаимосвязаны между собой арифметические операции сложения и вычитания.

Подробно на примерах разберем основные свойства вычитания натуральных чисел.

Продемонстрируем свойства вычитания с помощью координатного луча.

Арифметические операции сложения и вычитания неразрывно связаны между собой.

Сложение по своей сути представляет собой увеличение, добавление чего-либо, объединение в единое целое.

Вычитание подразумевает уменьшение, убавление.

Таким образом, вычитание есть действие, обратное сложению.

Рассмотрим данное утверждение на примерах.

1. Сложение

В пенале лежали 5 цветных карандашей, к ним добавили еще 3 карандаша.

Общее количество карандашей в пенале стало равным 8 шт.

2. Вычитание

В пенале лежало 8 цветных карандашей, взяли 3 карандаша.

В пенале осталось 5 карандашей.

Мы можем заметить, что в первом примере в пенал добавили карандаши, а во втором примере из пенала взяли (отняли) часть карандашей.

Действия "отнять" и "добавить" - противоположные действия.

Сложением называют арифметическую операцию, в результате которой происходит объединение исчисляемых объектов в единое целое.

Вычитанием называют арифметическую операцию, в результате которой происходит уменьшение общего количества исчисляемых объектов.

Таким образом, сложение и вычитание по своему действию противоположные, обратные.

Результат вычитания называется разностью (остаток при вычитании).

В общем виде операция вычитания выглядит так:

Уменьшаемое - это число, из которого вычитают (т.е. это число, которое уменьшают).

Вычитаемое - это число, которое вычитают из уменьшаемого.

Для записи вычитания используют математический знак минус «-», он располагается между уменьшаемым и вычитаемым.

Уменьшаемое располагается всегда слева от знака минус, а вычитаемое справа.

Данная запись читается так: «Три минус два равно один» или «Разность трех и двух равняется одному».

Вычитание - это арифметическая операция, с помощью которой по сумме и известному слагаемому находят неизвестное слагаемое.

Рассмотрим пример №1.

В данном примере нам известно первое слагаемое (2 ягоды малины) и известна сумма (общее количество ягод, равное 5).

Чтобы найти второе слагаемое, необходимо от суммы (от числа 5) отнять известное слагаемое (число 2).

Получаем: 5 - 2 = 3

Рассмотрим пример №2.

Пусть нам известно второе слагаемое (3 ягоды ежевики) и известна сумма (общее количество ягод, равное 5).

Чтобы найти первое слагаемое, необходимо от суммы (от числа 5) отнять известное слагаемое (число 3).

Получаем: 5 - 3 = 2

Слово «разность» близко по значению со словами «различие, разница».

Действительно, разность показывает количественное различие между двумя значениями.

Разность двух чисел показывает, насколько уменьшаемое больше вычитаемого или насколько вычитаемое меньше уменьшаемого.

Для того чтобы при вычитании получилось натуральное число или нуль, уменьшаемое должно быть больше вычитаемого или равным ему.

Например, в коробке лежат 9 шоколадных конфет; съесть получится или все 9 конфет, или меньше 9.

Съесть больше конфет, чем было первоначально в коробке просто невозможно.

Вычитание небольших натуральных чисел легко представить на координатном луче.

Например, найдем разность чисел 6 и 3.

Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).

Известно, что любому числу координатного луча соответствует одна единственная точка.

Отметим точку А(6) на координатном луче, отложив 6 единичных отрезков вправо от точки О(0).

Найдем разность чисел 6 и 3, т.е. переместим точку А( 6) на 3 единичных отрезка влево (против направления координатного луча), получим точку В (3), следовательно,

6 - 3 = 3.

Ответ: 3

Вычитание обладает рядом свойств, рассмотрим их.

1. Если из числа вычесть это же самое число, то в результате получится нуль.

Рассмотрим данное свойство на примере.

В корзине лежало 10 яблок, все 10 яблок съели.

В корзине не осталось ни одного яблока.

Иными словами, в корзине осталось 0 яблок.

10 - 10 = 0

Продемонстрируем рассмотренный пример на координатном луче.

Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).

Отметим точку А (10) на координатном луче (количество яблок в корзине).

Из 10 вычесть 10, значит, точку А (10) надо переместить на координатном луче влево на 10 единичных отрезков - окажемся в точке О(0).

Полученная точка О (0) является разностью чисел 10 и 10.

2. Свойство вычитания нуля из натурального числа.

Если из числа вычесть нуль, то число не изменится.

Приведем пример поясняющий данное утверждение.

Представим, что в копилке лежит 6 монет.

Из копилки не взяли ни одной монеты.

В результате в копилке осталось прежнее количество монет, равное 6.

Продемонстрируем рассмотренный пример на координатном луче.

Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).

Из 6 вычесть 0, значит, точку с координатой 6 переместить на 0 единичных отрезков, т.е. оставить точку на том же месте.

6 - 0 = 6

3. Свойство вычитания суммы из натурального числа.

Чтобы лучше понять свойство вычитания суммы из числа, рассмотрим пример.

Пример.

Испекли пирожки с капустой и мясом - всего 7 пирожков. Из них съели 3 пирожка.

Найти количество несъеденных пирожков.

Рассмотрим два варианта решения данной задачи.

Решение №1.

Из семи пирожков взяли 2 пирожка с капустой и 1 пирожок с мясом, затем пирожки эти съели.

Общее количество съеденных пирожков определяется суммой 2 + 1.

При этом оставшиеся пирожки будут определяться как разность: 7 - (2 + 1) = 7 - 3 = 4.

Решение №2

Из семи пирожков сначала съели 2 пирожка с капустой, спустя некоторое время съели 1 пирожок с мясом.

Математически данные действия описываются следующим числовым выражением: (7 - 2) - 1 = 5 - 1 = 4.

В первом и во втором решении мы имеем 4 несъеденных пирожка.

Следовательно, оба способа решении задачи равносильны, т.е. 7 - (2 + 1) = (7 - 2) - 1.

Сформулируем свойство вычитания суммы натуральных чисел из натурального числа.

Чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала выполнить сложение, а затем вычесть полученную сумму из уменьшаемого числа.

Справедливо также следующее правило:

Чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала из уменьшаемого вычесть одно из слагаемых, а затем из полученной разности вычесть другое слагаемое.

Проиллюстрируем полученные решения задачи на координатном луче.

Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).

Первый вариант решения задачи: 7 - (2 + 1) = 7 - 3 = 4. (из числа 7 вычли сумму двух чисел 2 и 1).

Второй вариант решения задачи: (7 - 2) - 1 = 5 - 1 = 4 (из числа 7 сначала вычли число 2, затем из полученной разности (7 - 2) вычли второе число равное 1).

Отметим точку А(7) на координатном луче (общее количество испеченных пирожков).

Первый вариант решения задачи: из семи вычесть сумму 2 + 1 = 3 (общее количество съеденных пирожков), т.е. отложить на координатном луче 3 единичных отрезка влево от точки А(7).

Остановимся в точке В(4). Полученная точка показывает количество несъеденных пирожков.

Второй вариант решения задачи: из семи вычесть число 2 (количество съеденных пирожков с капустой), т.е. на координатном луче влево от точки А(7) отложить 2 единичных отрезка.

Получим точку С с координатой 5.

Затем из полученного результата 7 - 2 = 5 необходимо отнять 1 (количество съеденных пирожков с мясом), т.е. на координатном луче влево от точки С(5) отступить 1 единичный отрезок.

Остановимся в точке В(4), полученная точка показывает количество несъеденных пирожков.

В первом и во втором варианте в результате всех производимых действий останавливались в точке В(4), т.е. при решении задачи первым и вторым способом ответ получился одинаковый.

Следовательно, вычесть сумму из числа- это все равно что вычесть из числа каждое слагаемое этой суммы по отдельности.

4. Свойство вычитания натурального числа из суммы натуральных чисел.

Рассмотрим пример демонстрирующий данное свойство вычитания.

В магазине было 4 ящика с яблоками.

Привезли еще 2 ящика.

Три ящика с яблоками продали.

Определим оставшееся количество ящиков с яблоками.

Продать три ящика с яблоками можно разными способами, рассмотрим два решения данной задачи:

Решение №1.

Так как в магазине было 4 ящика с яблоками, привезли еще 2 ящика, то общее количество ящиков с яблоками будет определятся суммой 4 + 2.

Из них продали 3 ящика с яблоками.

Оставшееся количество ящиков будет определятся следующей разностью: (4 + 2) - 3.

(4 + 2) - 3 = 6 - 3 = 3 (ящика)

Ответ: 3 ящика.

Решение №2.

В магазине было 4 ящика с яблоками, привезли еще 2 ящика.

Из тех четырех ящиков с яблоками, которые уже были в магазине, продали 3 ящика с яблоками.

В этом случае разность 4 - 3 определяет остаток от продажи яблок.

Общее количество ящиков с яблоками, оставшееся в магазине, будет определятся суммой:

(4 - 3) + 2.

(4 - 3) + 2 = 1 + 2 = 3 (ящика)

Ответ: 3 ящика.

Можно заметить, что в первом и во втором случае получили одинаковое количество ящиков с яблоками, которые остались в магазине после продажи трех ящиков.

Сформулируем свойство вычитания натурального числа из суммы натуральных чисел.

Чтобы вычесть число из суммы, можно сначала определить сумму чисел, а из полученного результата вычесть число.

Если хотя бы одно из слагаемых больше числа, вычитаемого из суммы, то возможен другой способ вычитания.

Чтобы из суммы вычесть число, можно его вычесть из первого (второго) слагаемого, затем к полученной разности прибавить второе (первое) слагаемое.

Проиллюстрируем полученные решения задачи на координатном луче.

Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком (1 деление = 1 единица).

Отметим на координатном луче точку А(4)- количество ящиков с яблоками, которые были в магазине.

Первый вариант решения задачи: (4 + 2) - 3 = 6 - 3 = 3 (из суммы чисел 4 и 2 вычесть число 3).

Найдем сумму чисел 4 и 2. Для этого необходимо отложить на координатном луче от точки А(4) вправо 2 единичных отрезка, получим точку С(6).

Из 6 вычесть 3, значит от точки С(6) влево отложить 3 единичных отрезка, в результате окажемся в точке В(3).

Полученная точка В(3) показывает количество непроданных ящиков с яблоками.

Второй вариант решения задачи: (4 - 3) + 2 = 1 + 2 = 3 (к разности чисел 4 и 3 прибавили число 2).

Найдем разность 4 и 3.

Для этого необходимо от точки А(4) на координатном луче влево отступить 3 единичных отрезка.

Получим точку Е(1).

Чтобы найти сумму чисел 1 и 2, нужно на координатном луче вправо от точки Е(1) отступить 2 единичных отрезка, в результате окажемся в точке В(3).

Полученная точка В(3) показывает количество непроданных ящиков с яблоками.

В первом и во втором варианте решения задачи в результате всех производимых действий оказались в точке с координатой 3, т.е. при решении задачи первым и вторым способом ответ получился одинаковый.

Следовательно, оба способа решения равносильны:

(4 + 2) - 3 = (4 - 3) + 2

Вычитание используют для сравнения двух чисел.

Разность показывает на сколько одно число больше другого, т.е. показывает разницу между двумя числами.

Чтобы узнать разницу двух натуральных чисел, надо из большего числа вычесть меньшее.

Пример.

Маша прочитала 4 сказки, а Саша 5 сказок.

На сколько сказок больше прочитал Саша, чем Маша?

На сколько меньше Маша прочитала сказок, чем Саша?

Решение:

5 - 4 = 1 (сказка)

Ответ: Саша прочитал больше Маши на одну сказку, следовательно, Маша прочитала меньше на одну сказку, чем Саша.

Ретро-калькулятор

Совсем еще недавно самые простейшие калькуляторы и вычислительные машины были предметом роскоши, и были они далеко не у каждого.

Продавцы, кассиры, почтовые работники, бухгалтеры, работники банка и все, кто имел дело с финансами, использовали простое механическое устройство - счеты.

С помощью данного устройства можно было легко выполнить простые арифметические операции, в частности, сложение и вычитание.

Этот счетный инструмент широко применяли во многих странах всего мира.

Первое название деревянного вычислительного устройства было «абак», в переводе с латинского означает «счетная доска».

Абак представлял собой доску с полосами-углублениями и счетными метками (косточки, камешки), которые передвигали по этим углублениям.

Позже стали использовать прямоугольную рамку, вместо углублений натягивали проволочки или веревочки, на которые нанизывали камешки или костяшки-косточки.

Действительно, на веревочки первое время нанизывали косточки из ягод вишни или сливы.

У разных народов абак изготавливался из различных материалов, но имел схожую форму.

Китайские счеты суаньпань представляют собой прямоугольную рамку, в которой расположены горизонтальные палочки.

На палочки нанизано по 7 бусин, разделенных перегородкой: 5 бусин с одной стороны от перегородки и 2 бусины с другой.

Японские счеты- соробан- представляют собой рамку, разделенную перекладиной.

В верхней части расположена одна линия косточек, каждая косточка в ней означает «пять».

Внизу расположены ряды косточек, в каждом по 4 косточки, каждая из них обозначает «один».

Японский соробан используют активно и по сей день, методы и приемы счета на соробане применяют в школьной программе для обучения детей.

Счет на соробане популярен как вид развлечения или вид спорта (подобно шахматам).

Десятичный абак (русские счеты) представляют собой деревянную рамку, с горизонтально закрепленными металлическими спицами, на каждую из них нанизаны деревянные или пластмассовые костяшки по 10 штук, только на одной из спиц находится 4 штуки.

Каждый ряд костяшек представляет собой числовой разряд.

Вверх от спицы с четырьмя костяшками возрастают ряды от единиц до сотен тысяч.

Число формируется передвижением костяшек из правого края в левый, соответственно разрядной единице числа.

При наборе слева десяти костяшек, они обнуляются (убираются в исходное состояние), а в следующем разряде в левое положение переводится одна костяшка.

Принцип пользования счетами прост.

Располагают счеты так, чтобы ряд с четырьмя костяшками был внизу.

Сложение с помощью счет осуществляется так:

Набирается первое слагаемое, потом к нему добавляются костяшки, обозначающие второе слагаемое и т.д.

Важно помнить, что при нехватке костяшек для отсчета числа (передвижения костяшек влево), ряд данного разряда обнуляют (весь передвигают вправо) для дальнейшего донабора суммы, а одну костяшку на спице выше передвигают влево (таким образом добавляют единицу высшего разряда).

Так одна костяшка верхнего ряда заменяет 10 костяшек нижнего.

Складывают только равные разряды в числах (единицы с единицами, десятки с десятками и т.д.).

Окончательный результат читается сложением всех значений, начиная с верхнего заполненного разряда.

Вычитание с помощью счет осуществляется так:

Вычитание проводится сверху вниз (от более высоких разрядов к низшим).

Процесс происходит подобно сложению, но в обратном порядке: справа налево.

На соответствующей спице отсчитывается вправо необходимое количество костяшек.

Если их не хватает, то одна костяшка переносится вправо в старшем разряде (т.е. на спице выше), а на данной проволочке все обнуляется (переносится влево) и из них уже набирается вправо необходимое оставшееся количество костяшек.

Занятия на счетах увлекательны, занимательны и очень полезны: тренируют память и внимательность, развивают логическое мышление