Урок 9 Получить доступ за 75 баллов Меньше или больше

Вы уже знаете, что такое натуральное число и как оно записывается.

Также Вам известно, что такое координатный луч.

Сегодня мы применим эти знания, чтобы сформулировать понятия “больше” и “меньше” для натуральных чисел, научимся отвечать на вопрос, как соотносятся два натуральных числа.

Узнаем, как сравнивать числа с помощью координатного луча, как сравнивать натуральные числа с одинаковым и разным количеством знаков, разберем понятие “сортировка” для чисел.

Вспомним, как выглядит натуральный ряд:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 …

Определения:

Из двух натуральных чисел больше то, которое при счете называют позже.

Из двух натуральных чисел меньше то, которое при счете называют раньше.

Данное определение достаточно просто и понятно, посмотрим на примерах.

Например, как соотносятся 3 и 5?

Если мы посмотрим на натуральный ряд, то увидим, что 3 названо раньше, чем 5, следовательно, 3 меньше 5-ти.

Другой пример, как соотносятся числа 9 и 6?

Опять же, надо посмотреть на натуральный ряд, тогда можно увидеть, что 9 названо позже, чем 6, значит, 9 больше 6-ти.

Каждый раз писать словами “больше” или “меньше” может быть неудобно, поэтому удобно использовать знаки.

Знак “<” читается как “меньше”.

Знак “>” читается как “больше”.

Таким образом, чтобы кратко записать, что 3 меньше 5-ти, достаточно написать “\(\mathbf{3<5}\)”.

А чтобы записать, что 9 больше 6-ти, надо сделать такую запись: “\(\mathbf{9>6}\)”.

Запись с использование знаком “больше” или “меньше” называют неравенством.

Довольно часто вопрос про соотношение двух чисел может ставится так: “какой знак должен стоять в неравенстве на месте пропуска”, а дальше идет неравенство с пропущенным знаком, например, такое: “4 _ 6”.

В данном случае надо ответить на вопрос, больше ли 4 6-ти или меньше, и поставить соответствующий знак.

Здесь первое число меньше второго и нужно поставить знак “<”: “4 < 6”.

Также помимо неравенств бывают и равенства.

Их суть в том, что выражение справа от знака “=” равно выражению слева от этого знака.

Правило: одинаковые натуральные числа равны.

Для каждого натурального числа можно записать равенство его же самому себе, например, такое: “6 = 6”, или такое: “1 = 1”.

Кстати, единицу очень удобно сравнивать с другими натуральными числами, ведь единица- наименьшее натуральное число, то есть она меньше всех остальных натуральных чисел.

А вот наибольшее натуральное число выделить нельзя, так как натуральный ряд бесконечен, и какое бы мы число не взяли, всегда найдется следующее за ним, большее его.

Достаточно часто в математике встречается нуль. Возникает вопрос, как сравнивать нуль с натуральными числами, ведь мы пока определили операции “больше” и “меньше” только для натуральных чисел.

Правило: нуль меньше любого натурального числа.

Поэтому имеют место такие неравенства:

“0 < 1”, “0 < 2”, “0 < 3” и так далее для каждого натурального числа.

А также такие:

“1 > 0”, “2 > 0”, “3 > 0” и так далее для каждого натурального числа.

Мы уже поговорили про обычные неравенства, а сейчас познакомимся с двойными.

Двойное неравенства включает в себя два одинаковых знака неравенства. Оно используется, чтобы описать отношение “больше-меньше” между тремя числами.

Например, необходимо записать тот факт, что число 5 больше 3-х, но меньше 10-ти.

Запишем это в виде двойного неравенства:

3 < 5 < 10

В данном двойном неравенстве два одинаковых знака “меньше”.

Первый говорит о том, что 3 меньше 5-ти.

Второй указывает на то, что 5 меньше 10-ти.

Можно записать двойное неравенство с тем же смыслом, но используя знаки “больше”. Оно будет выглядеть так:

10 > 5 > 3

Первый знак покажет, что 10 больше 5-ти, второй же покажет, что 5 больше 3-х.

Потренируемся еще в записи двойных неравенств.

Если прошлое неравенство диктовалось начиная с центрального элемента- с 5-ти, то сейчас мы попробуем начать с краю.

Число 18 больше, чем 13, а 13 больше, чем 12.

Если тяжело сразу связать два соотношения в двойное неравенство, можно сначала записать два обычных:

18 > 13

13 > 12

Становится видно, что 13 повторяется, значит, ее удобно поставить в центр двойного неравенства. Знаки в таком случае получатся одинаковыми и неравенство будет корректно:

18 > 13 > 12

Для двойных неравенств верно, что если убрать число посередине и один из знаков, то останется верное неравенство. Например, в данном случае уберем 13 и один знак “больше”, получим “18 > 12”, легко убедиться, что это верное неравенство.

Отметим некоторые свойства неравенств.

Любое натуральное число меньше следующего за ним натурального числа.

Запишем это свойство разными способами:

a < a + 1

a + 1 > a

a > a – 1

a – 1 < a

Cумму двух чисел можно представить как прибавление к первому числу единиц.

А значит, можно сформулировать и такие правила, верные для любых натуральных чисел а и b:

a < a + b

a + b > a

a – b < a

a > a – b

Рассмотрим следующую ситуацию.

Дано три числа а, b и с.

Известно, что a < b.

Также, пользуясь вторым правилом можно записать такое неравенство:

b < b + c

Совместим эти два неравенства в одно двойное:

a < b < b + c

Остается убрать средний элемент и получим следующее правило.

Если для двух натуральных чисел верно

a < b

То для любого натурального с верно:

a < b + c

И еще аналогичные правила уже без вывода:

В прошлых уроках поднимался вопрос о том, насколько похожи между собой натуральный ряд и координатный луч.

Посмотрим, как это проявляется в случае со сравнением.

Правило: точка с меньшей координатой лежит ближе к началу отсчета, чем точка с большей координатой.

Аналогично точка с большей координатой лежит дальше от точки начала отсчета, чем точка с меньшей координатой.

Посмотрим на примерах.

Если необходимо сравнить координаты точек A и B, то следует посмотреть на то, как расположены эти точки.

Можно увидеть, что точка B лежит дальше точки А от точки начала отсчета.

Следовательно, координата точки B больше координаты точки А.

Ранее уже было обозначено, что нуль меньше любого натурального числа.

Аналогично на координатном луче наименьшая координата у точки начала отсчета, то есть точки с координатой, равной нулю.

Координатный луч удобен не только для того, чтобы сравнивать координаты точек, но и чтобы сравнивать отрезки.

Под сравнением отрезков подразумевается сравнение длин отрезков.

Запись “AB > CD” говорит, что отрезок AB длиннее отрезка CD.

Начнем с отрезков, один из концов которых совпадает с точкой начала отсчета.

В данном случае очевидно, что длина отрезка равняется координате точки, дальней от точки начала отсчета.

Это логично, ведь координата точки обозначает количество единичных отрезков между точкой начала отсчета и конкретной точкой.

В данном же случае координата покажет еще и сколько единичных отрезков между концами отрезка.

Если два отрезка лежат одним концом в точке начала отсчета, то больше тот отрезок, чей дальний от точки начала отсчета конец дальше.

То есть, чтобы сравнить отрезки ОА и ОС, достаточно посмотреть на то, какая из точек А и С дальше, и мы увидим, что дальше С, значит, отрезок ОС больше.

Этому случаю можно привести в аналогию книжную полку.

Все книги на одной полке выровнены по нижнему краю, соответственно, длиннее та книга, у которой верхний край выше.

Конечно же, отрезки далеко не всегда лежат так удобно для сравнения.

Посмотрим на такую картинку.

Сравним отрезки AB и CD.

В прошлой главе обозначено такое свойство сравнения:

Оно же применимо к длинам отрезков.

Для начала сравним отрезки AD и CD.

У них общий конец- точка D, значит, больше будет тот отрезок, у которого второй конец дальше от этой точки.

В данном случае это отрезок AD.

Теперь обозначим длину отрезка CD как a.

Длину отрезка AD обозначим за b.

Длину отрезка DB обозначим за c.

Уже установлено, что a < b, а с- натуральное, тогда применим правило.

Получим: a < b + c

Подставим сюда обозначения отрезков: CD < AD + DB.

Заметим, что отрезок AB состоит из двух: AD и DB.

Подставим это в неравенство: CD < AB.

Собственно, так мы установили, что AB больше CD.

Как можно заметить, в выводе используется только то, что один отрезок лежит внутри другого, значит можно сформулировать общее правило.

Правило: если для двух отрезков AB и CD верно, что отрезок AB лежит внутри другого отрезка CD, то AB меньше CD.

В остальных случаях, если отрезки не расположены как-то удобно, то имеет смысл найти их длины, а дальше уже сравнивать длины как натуральные числа.

Сравним отрезки AD и CB.

Найдем их длины, получим:

AD = 3

CB = 4

Сравнивая числа имеем: CB > AD

Теперь, когда Вам известно, как сравнивать отрезки на координатном луче, можно решить небольшой тест.

В первой главе мы обсудили, как сравнивать натуральные числа через их положение в натуральном ряде.

Очевидно, такой способ не годиться для многозначных чисел. Он не перестает быть верным, просто становиться слишком долгим.

Тогда нам помогут два правила.

Правило: при сравнении двух натуральных чисел с разным количеством знаком больше то, у которого больше знаков.

Покажем на примере и объясним, почему так происходит.

Сравним числа 1000 и 999, то есть самое маленькое четырехзначное число и самое больше трехзначное число.

По правилу 1000 > 999 так как в числе 1000 4 знака, а в числе 999- только 3.

И это сходится со способом по определению, так как 1000 идет в натуральном ряду после числа 999.

Так происходит потому что единица в каждом следующем разряде дает числу больше, чем даже все 9 во всех предыдущих разрядах.

Таким образом: 10 > 9, 100 > 99, 1000 > 999 и так далее.

Ну и еще примеры на это правило:

178 > 86

328 > 97

1 234 765 > 985 012

Перейдем к правилу сравнения натуральных чисел с одинаковым количеством знаков.

Правило: из двух натуральных чисел с одинаковым количеством разрядов больше то, у которого больше первый левый различных разряд.

Иными словами, надо, начиная слева, сравнивать разряды чисел. Как только видим, что они различны, смотрим, кому он принадлежит- то число и больше.

Сравним числа 857 и 654.

Начинаем слева.

Видим в первом слева разряде числа 8 и 6.

Они различаются, следовательно, смотрим, кому принадлежит большее.

Большее число стоит в числе 857, значит 857 > 654.

Еще пример, сравним 983 458 и 985 125.

Начинаем слева, первый слева разряд одинаков у чисел, второй слева разряд также одинаков, а третий уже различается.

Больший разряд принадлежит второму числу, значит, оно и больше:

983 458 < 985 125

Теперь время проверить полученные знания в тесте.

Остается одно понятие, неразрывно связанное с понятием сравнения, речь идет о сортировке.

Ряд различных чисел будем называть отсортированным по возрастанию, если каждое следующее число в нем больше предыдущего.

Пример ряда, отсортированного по возрастанию:

1, 4, 6, 32, 99, 100, 127

Посмотрим на другой ряд:

1, 6, 2, 9, 12

Его уже нельзя назвать отсортированным по возрастанию, так как третий элемент меньше второго.

Но если мы поменяем их местами, то ряд

1, 2, 6, 9, 12

уже отсортирован по возрастанию.

Также сортировка может быть по убыванию.

Ряд различных чисел будем называть отсортированным по убыванию, если каждое следующее число в нем меньше предыдущего.

Например, такой ряд можно назвать отсортированным по убыванию:

436, 387, 124, 76, 9, 2

А вот про такой ряд этого уже нельзя будет сказать:

363, 236, 481, 13, 5

Данный ряд не является отсортированным по убыванию, так как третий элемент больше второго.

Сортировка - довольно распространенное понятие.

В практически любом интернет-магазине можно увидеть выбор сортировки. Если речь идет про цену, то это как раз будет сортировка по убыванию или по возрастанию.

В информатике и компьютерных науках алгоритмы сортировки являются базовыми, о них вы узнаете позже в соответствующих курсах.

Пока важно запомнить сами определению.

Поговорим еще про одно свойство сравнения.

Отношения “больше” и “меньше” обладают свойством транзитивности.

Слово страшное, понятие на самом деле простое.

Разберем на примере отношения “больше”.

Допустим, имеем три числа, обозначим их буквами а, b и c.

И для них известно, что а больше b, а также, что b больше с, тогда верно, что а больше с.

Приведем пример.

Рассмотрим числа 13, 11 и 9.

13 больше 11-ти, мы можем это обосновать так, как делали это в первой главе.

Аналогично обосновываем, что 11 больше 9-ти.

Тогда, так как отношение “больше” обладает свойством транзитивности, 13 больше 9-ти.

В самом деле это так, так как 13 идет после 9-ти в натуральном ряде.