Урок 25 Получить доступ за 50 баллов Степень числа. Квадрат и куб числа

На данном уроке мы познакомимся с понятием степени числа.

Выясним, что называют «показателем степени» и «основанием степени».

Научимся вычислять квадрат и куб числа.

Составим таблицу степеней первых десяти натуральных чисел и рассмотрим ряд задач с использованием таких таблиц.

Определим, в каком порядке выполняют действия в выражениях, содержащих степень.

Степень числа

Известно, что сумму равных слагаемых можно заменить произведением.

Например, сумму пяти слагаемых, каждое из которых равняется четырем, можно записать короче:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 ∙ 4

В произведении число 5 указывает на количество одинаковых слагаемых.

В свою очередь произведение одинаковых множителей тоже можно записать компактнее.

Произведение n одинаковых множителей можно представить в виде степени.

В буквенном виде произведение равных множителей можно представить следующим образом:

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

аn- это произведение числа а на само себя n раз.

а- любое натуральное число.

Читают «а в n-ной степени» или «а в степени n».

Число а называют основанием (число, возводимое в степень).

n- это показатель степени (число, которое указывает сколько раз повторяется основание степени).

Степень числа представляют всегда так: записывают основание степени, а показатель ее записывают меньше размером в верхнем правом углу основания степени.

Операция умножения одинаковых множителей называется возведением в степень.

Например, произведение пяти множителей, каждое из которых равняется четырем, можно записать так:

4 ∙ 4444 = 45

Читают данную запись следующим образом:

45- четыре в пятой степени.

Пример:

1)Вычислим значение степени 23, т.е. возведем число два в третью степень.

Данная степень равна произведению трех двоек.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

2- основание степени.

3- показатель степени.

2) Вычислим значение степени 54, т.е. возведем число пять в четвертую степень.

Данная степень равна произведению четырех пятерок.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

5- основание степени.

4- показатель степени.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Квадрат и куб числа

Вторую степень числа называют квадратом числа.

Так, квадрат любого натурального числа а будет представлять собой произведение двух одинаковых множителей: аа = а2 (говорят и читают «а в квадрате»).

Например,

22 (два во второй степени) иначе говорят и читают «два в квадрате».

102 (десять во второй степени) иначе говорят и читают «десять в квадрате».

272 (двадцать семь во второй степени) иначе говорят и читают «двадцать семь в квадрате».

Давайте сосчитаем квадраты первого десятка натуральных чисел (возведем во вторую степень первые десять натуральных чисел), используя таблицу умножения.

Один в квадрате равняется одному: 12 = 1 ∙ 1 = 1.

Два в квадрате равняется четырем: 22 = 2 ∙ 2 = 4.

Три в квадрате равняется девяти: 32 = 3 ∙ 3 = 9.

Четыре в квадрате равняется шестнадцати: 42 = 4 ∙ 4 = 16.

Пять в квадрате равняется двадцати пяти: 52 = 5 ∙ 5 = 25.

Шесть в квадрате равняется тридцати шести: 62 = 6 ∙ 6 = 36.

Семь в квадрате равняется сорока девяти: 72 = 7 ∙ 7 = 49.

Восемь в квадрате равняется шестидесяти четырем: 82 = 8 ∙ 8 = 64.

Девять в квадрате равняется восьмидесяти одному: 92 = 9 ∙ 9 = 81.

Десять в квадрате равняется сотне: 102 = 10 ∙ 10 = 100.

Оформим полученные данные квадратов натуральных чисел от 1 до 10 в виде таблицы.

Таблица квадратов первых десяти натуральных чисел

а

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

а2

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

 Пример.

Учитывая данные таблицы квадратов, решим уравнение.

Решим уравнение х2 = 49.

Решить уравнение- это значит найти корень уравнения (в нашем случае установить значение х).

По таблице квадратов видно, что 49 = 72.

Следовательно, корень уравнения (х) равен семи.

х2 = 49

х = 7

Проверка: подставим найденное значение неизвестной (х = 7) в исходное уравнение х2 = 49, получим:

72 = 49

7 ∙ 7 = 49

49 = 49

Ответ: х = 7.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Третья степень числа тоже имеет свое название.

Число в третьей степени называют кубом числа.

Так, куб любого натурального числа а будет представлять собой произведение трех одинаковых множителей: ааа = а3 (говорят и читают «а в кубе»).

Например,

23 (два в третьей степени) иначе говорят и читают «два в кубе».

103 (десять в третьей степени) иначе говорят и читают «десять в кубе».

273 (двадцать семь в третьей степени) иначе говорят и читают «двадцать семь в кубе».

Давайте определим кубы первого десятка натуральных чисел (возведем в третью степень первые десять натуральных чисел), используя таблицу умножения.

Один в кубе: 13 = 111 = 1.

Два в кубе: 23 = 222 = 8.

Три в кубе: 33 = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27.

Четыре в кубе: 43 = 4 ∙ 44  = 64.

Пять в кубе: 53 = 5 ∙ 55 = 125.

Шесть в кубе: 63 = 6 ∙ 66 = 216.

Семь в кубе: 73 = 7 ∙ 77 = 343.

Восемь в кубе: 83 = 8 ∙ 88 = 512.

Девять в кубе: 93 = 9 ∙ 99 = 729.

Десять в кубе: 103 = 10 ∙ 1010 = 1000.

Оформим полученные данные кубов натуральных чисел от 1 до 10 в виде таблицы.

Таблица кубов первых десяти натуральных чисел

а

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

а3

1

8

27

64

125

216

343

512

729

1000

 С помощью таблицы кубов можно легко и просто решать примеры и задачи, в которых необходимо высчитывать третью степень числа.

Пример.

Представим в виде куба число 343.

По таблице кубов видим, что 343 = 73

Проверим: найдем произведение трех семерок:

73 = 7 ∙ 77 = 49 ∙ 7 = 343

Ответ: 343 = 73.

На прошлом уроке мы подробно разобрали порядок выполнения арифметических действий в выражениях.

Выяснили, что в первую очередь выполняются арифметические действия в скобках, затем-действия второй ступени (умножение и деление) по порядку их следования слева направо, и только потом выполняются действия первой ступени (сложение и вычитание) по порядку слева направо.

Однако, в математических выражениях, в которых отсутствуют скобки, но есть действия первой, второй ступени и степень, возведение в степень выполняется раньше других действий, только потом умножают, делят, складывают и вычитают в установленном правилами порядке.

Если в скобках содержится степенное выражение, то действия в скобках выполняются по порядку слева направо, начиная с действий высшей ступени- возведение в степень, и далее по известным нам правилам.

За скобками действия выполняют, соблюдая порядок выполнения действий без скобок, рассмотренный выше.

Рассмотрим поясняющие примеры.

При решении различных задач и примеров будем пользоваться составленными таблицами степеней.

Пример 1.

Найдите значение выражения 82 ÷ 4 - 10.

Определим порядок действий в выражении и найдем его значение.

Так как исходное выражение не содержит скобки, а возведение в степень- это действие более высокой ступени, чем умножение, деление, сложение и вычитание, следовательно, в первую очередь необходимо выполнить вычисление степени, затем слева направо в порядке следования сначала действия второй ступени (деление), затем- действия первой ступени (вычитание).

82 ÷ 4 - 10 = 6

1) 82 = 8 ∙ 8 = 64 (по определению степени или по таблице квадратов).

2) 64 ÷ 4 = 16

3) 16 - 10 = 6

Пример 2.

Найдите значение выражения (21 - 11)223.

Найдем значение данного выражения, определив порядок действий в нем.

(21 - 11)223 = 800

Согласно порядка выполнения действий сначала выполняются действия в скобках.

Найдем разность 21 и 11.

1) 21 - 11 = 10

Далее выполняется действие высшей ступени (возведение в степень), т.е. разность, полученную в скобках, возведем в квадрат.

Найдем, чему равно 102 по определению степени или по таблице квадратов.

2) 102 = 10 ∙ 10 = 100

Затем выполним действия, которые находятся в исходном выражении за скобками.

Определим третью степень двойки по таблице кубов или по определению степеней.

3) 23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8

Далее перемножим результаты, полученные в во втором и в третьем действии соответственно, т.е. найдем произведение 100 и 8.

4) 1008 = 800

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Степень числа и ее особенные свойства

Степень обладает рядом свойств, которые подробно вы будете рассматривать и доказывать в старших классах.

Сейчас мы познакомимся с некоторыми особенными свойствами степеней.

1. Любое число в первой степени равно этому же числу.

Первая степень числа а равна числу а.

В буквенном виде данное свойство запишем так:

а1 = а

Данная запись означает, что основание степени необходимо взять в качестве множителя один раз.

Например,

51 = 5, 1271 = 127, 10041 = 1004, 1234561 = 123456 и т.д.

Соответственно и единица в первой степени всегда равна единице: 11 = 1.

2. Любое натуральное число в нулевой степени равно единице.

а0 = 1

Например,

50 = 1, 1270 = 1, 100 = 1, 1234560 = 1 и т.д.

3. Ноль в любой степени равен нулю: 0n = 0.

На самом деле, по известному нам определению степени, 0 является основанием, n- показатель степени, указывающий сколько раз повторяется основание степени.

Таким образом получаем следующее равенство:

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Например,

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

0128 = 0

015000 = 0

Слово «степень», порой, встречается в вашей повседневной жизни.

Степенные выражения используют в различных областях знаний, в науке и технике.

Часто приходится при расчетах и измерении встречаться с очень большими и очень маленькими числами.

С такими числами неудобно работать: выполнять различные действия и вычисления.

Иногда числа удобно представить в виде степени, записывая их, например, в стандартном виде.

Стандартный вид числа обобщенно можно записать так:

а ∙ 10n

В данной записи число (а), которое умножается на 10 в какой-либо степени, должно быть больше единицы или равно ей и быть меньше десяти.

Пример.

200000 = 2 ∙ 105

8000000000000 = 8 ∙ 1012

500 = 5 ∙ 102

Однозначное число, записанное в стандартном виде, будет равно самому себе, умноженному на десять в нулевой степени.

а = а ∙ 100 = а ∙ 1 = а

Пример.

2 = 2 ∙ 100 = 2 ∙ 1 = 2

5 = 5 ∙ 100 = 5 ∙ 1 = 5

8 = 8 ∙ 100 = 8 ∙ 1 = 8

Число десять представляют в стандартном виде, как произведение единицы и 10 в первой степени.

10 = 1 ∙ 101 = 1 ∙ 10 = 10

Изучая разряды и классы чисел, мы только лишь упоминали о больших и гигантских числах.

Известно, например, что один миллион записывается как единица и шесть нулей после нее.

В стандартном виде миллион запишем так:

1000000 = 1 ∙ 106.

Миллиард записывается следующим образом: единица и девять нулей после нее.

В стандартном виде миллиард запишем так:

1000000000 = 1 ∙ 109

Триллион представляет собой единицу и двенадцать нулей после нее.

В стандартном виде триллион запишем так:

1000000000000 = 1 ∙ 1012.

Самое большое число, которое называется «гугол», в десятичной системе исчисления изображается в виде единицы со ста нулями, записывают 10100 (десять в степени сто).

Часто при решение различных задач удобно записывать числа сокращенно, с помощью степеней.

Пример.

24000 = 24 ∙ 103

350000 = 35 ∙ 104

24500000 = 245 ∙ 105

Однако, при этом эти числа не будут относится к числам, записанным в стандартном виде, так как 24 > 10, 35 > 10, 245 > 10.

Данные числа всего лишь имеют компактный вид, удобный при вычислениях.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Дополнительная информация

Квадратом числа называют произведение двух одинаковых множителей.

Мы уже пробовали находить квадраты первого десятка натуральных чисел.

Возводить двузначные числа, трехзначные и т.д. числа немного сложнее, главное хорошо знать и помнить таблицу умножения чисел.

Существует способ быстрого возведения в квадрат двухзначных чисел, которые оканчиваются на цифру 5.

1) Первую цифру числа, возводимого в квадрат, необходимо умножить на сумму этого числа и единицы.

2) Записать полученное число- это будут первые цифры ответа (с этих цифр начинается ответ).

3) Ответ всегда будет заканчиваться на 25 (т.е. в конце ответа всегда будет стоять число 25).

4) Приписываем к числу, полученному в п 2, число 25, получаем ответ.

Рассмотрим поясняющий пример.

Найдем квадрат 65.

652 = 65 ∙ 65

Первая цифра в числе 65- это цифра 6, следовательно, нам необходимо найти произведение 6 и суммы 6 + 1.

6(6 + 1) = 6 ∙ 7 = 42

Запишем число 42 и припишем к нему число 25.

652 = 4225

Проверим: Так как квадрат числа- это произведение двух одинаковых множителей 652 = 65 ∙ 65, то

652 = 65 ∙ 65 = 4225

Получили все тот же ответ: 652 = 4225

В бесплатной версии урока недоступны:

  • Видео
  • Изображения
  • Дополнительная информация
  • Таблицы
  • Тесты
Получить доступ