Урок 25 Бесплатно Степень числа. Квадрат и куб числа
На данном уроке мы познакомимся с понятием степени числа.
Выясним, что называют «показателем степени» и «основанием степени».
Научимся вычислять квадрат и куб числа.
Составим таблицу степеней первых десяти натуральных чисел и рассмотрим ряд задач с использованием таких таблиц.
Определим, в каком порядке выполняют действия в выражениях, содержащих степень.
Степень числа
Известно, что сумму равных слагаемых можно заменить произведением.
Например, сумму пяти слагаемых, каждое из которых равняется четырем, можно записать короче:
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 ∙ 4
В произведении число 5 указывает на количество одинаковых слагаемых.
В свою очередь произведение одинаковых множителей тоже можно записать компактнее.
Произведение n одинаковых множителей можно представить в виде степени.
В буквенном виде произведение равных множителей можно представить следующим образом:
аn- это произведение числа а на само себя n раз.
а- любое натуральное число.
Читают «а в n-ной степени» или «а в степени n».
Число а называют основанием (число, возводимое в степень).
n- это показатель степени (число, которое указывает сколько раз повторяется основание степени).
Степень числа представляют всегда так: записывают основание степени, а показатель ее записывают меньше размером в верхнем правом углу основания степени.
Операция умножения одинаковых множителей называется возведением в степень.
Например, произведение пяти множителей, каждое из которых равняется четырем, можно записать так:
4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 45
Читают данную запись следующим образом:
45- четыре в пятой степени.
Пример:
1)Вычислим значение степени 23, т.е. возведем число два в третью степень.
Данная степень равна произведению трех двоек.
2- основание степени.
3- показатель степени.
2) Вычислим значение степени 54, т.е. возведем число пять в четвертую степень.
Данная степень равна произведению четырех пятерок.
5- основание степени.
4- показатель степени.
Квадрат и куб числа
Вторую степень числа называют квадратом числа.
Так, квадрат любого натурального числа а будет представлять собой произведение двух одинаковых множителей: а ∙ а = а2 (говорят и читают «а в квадрате»).
Например,
22 (два во второй степени) иначе говорят и читают «два в квадрате».
102 (десять во второй степени) иначе говорят и читают «десять в квадрате».
272 (двадцать семь во второй степени) иначе говорят и читают «двадцать семь в квадрате».
Давайте сосчитаем квадраты первого десятка натуральных чисел (возведем во вторую степень первые десять натуральных чисел), используя таблицу умножения.
Один в квадрате равняется одному: 12 = 1 ∙ 1 = 1.
Два в квадрате равняется четырем: 22 = 2 ∙ 2 = 4.
Три в квадрате равняется девяти: 32 = 3 ∙ 3 = 9.
Четыре в квадрате равняется шестнадцати: 42 = 4 ∙ 4 = 16.
Пять в квадрате равняется двадцати пяти: 52 = 5 ∙ 5 = 25.
Шесть в квадрате равняется тридцати шести: 62 = 6 ∙ 6 = 36.
Семь в квадрате равняется сорока девяти: 72 = 7 ∙ 7 = 49.
Восемь в квадрате равняется шестидесяти четырем: 82 = 8 ∙ 8 = 64.
Девять в квадрате равняется восьмидесяти одному: 92 = 9 ∙ 9 = 81.
Десять в квадрате равняется сотне: 102 = 10 ∙ 10 = 100.
Оформим полученные данные квадратов натуральных чисел от 1 до 10 в виде таблицы.
|
Таблица квадратов первых десяти натуральных чисел |
||||||||||
|
а |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
а2 |
1 |
4 |
9 |
16 |
25 |
36 |
49 |
64 |
81 |
100 |
Пример.
Учитывая данные таблицы квадратов, решим уравнение.
Решим уравнение х2 = 49.
Решить уравнение- это значит найти корень уравнения (в нашем случае установить значение х).
По таблице квадратов видно, что 49 = 72.
Следовательно, корень уравнения (х) равен семи.
х2 = 49
х = 7
Проверка: подставим найденное значение неизвестной (х = 7) в исходное уравнение х2 = 49, получим:
72 = 49
7 ∙ 7 = 49
49 = 49
Ответ: х = 7.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Чтобы возвести в любую степень число 10, необходимо дописать после единицы нули, количество которых показывает показатель степени.
Разберем пример первый.
Найдите четвертую степень десяти (десять в четвертой степени 104).
10- это основание.
4- это показатель степени.
Так как по вышеизложенному правилу количество нулей после единицы должно быть равно показателю степени, то результат запишем следующим образом:
104 = 10000
На самом деле, если перемножить (по определению степени) четыре десятки, то получим:
104 = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 10000
Пример второй: найдите третью степень десяти (десять в третьей степени 103).
10- это основание.
3- это показатель степени.
Так как по правилу количество нулей после единицы должно быть равно показателю степени, то результат запишем следующим образом:
103 = 1000
Соответственно, если перемножить (по определению степени) три десятки, то получим:
103 = 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1000
Рассмотрим обратную ситуацию:
Представим число 100 в виде степени с основанием 10.
Запишем основание 10, а показателем будет число, равное количеству нулей исходного числа (100).
Число 100 содержит два нуля, следовательно, это число в виде степени с основанием 10 представим следующим образом:
100 = 102
10- это основание.
2- это показатель степени.
Рассмотрим еще один подобный пример.
Представим число 10000 в виде степени с основанием 10.
Запишем основание 10, а показателем будет число, равное количеству нулей исходного числа (10000).
Данное число содержит четыре нуля, следовательно, 10000 в виде степени с основанием 10 представим следующим образом:
10000 = 104
10- это основание.
4- это показатель степени
Третья степень числа тоже имеет свое название.
Число в третьей степени называют кубом числа.
Так, куб любого натурального числа а будет представлять собой произведение трех одинаковых множителей: а ∙ а ∙ а = а3 (говорят и читают «а в кубе»).
Например,
23 (два в третьей степени) иначе говорят и читают «два в кубе».
103 (десять в третьей степени) иначе говорят и читают «десять в кубе».
273 (двадцать семь в третьей степени) иначе говорят и читают «двадцать семь в кубе».
Давайте определим кубы первого десятка натуральных чисел (возведем в третью степень первые десять натуральных чисел), используя таблицу умножения.
Один в кубе: 13 = 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1.
Два в кубе: 23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8.
Три в кубе: 33 = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27.
Четыре в кубе: 43 = 4 ∙ 4 ∙ 4 = 64.
Пять в кубе: 53 = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125.
Шесть в кубе: 63 = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216.
Семь в кубе: 73 = 7 ∙ 7 ∙ 7 = 343.
Восемь в кубе: 83 = 8 ∙ 8 ∙ 8 = 512.
Девять в кубе: 93 = 9 ∙ 9 ∙ 9 = 729.
Десять в кубе: 103 = 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1000.
Оформим полученные данные кубов натуральных чисел от 1 до 10 в виде таблицы.
|
Таблица кубов первых десяти натуральных чисел |
||||||||||
|
а |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
а3 |
1 |
8 |
27 |
64 |
125 |
216 |
343 |
512 |
729 |
1000 |
С помощью таблицы кубов можно легко и просто решать примеры и задачи, в которых необходимо высчитывать третью степень числа.
Пример.
Представим в виде куба число 343.
По таблице кубов видим, что 343 = 73
Проверим: найдем произведение трех семерок:
73 = 7 ∙ 7 ∙ 7 = 49 ∙ 7 = 343
Ответ: 343 = 73.
На прошлом уроке мы подробно разобрали порядок выполнения арифметических действий в выражениях.
Выяснили, что в первую очередь выполняются арифметические действия в скобках, затем-действия второй ступени (умножение и деление) по порядку их следования слева направо, и только потом выполняются действия первой ступени (сложение и вычитание) по порядку слева направо.
Однако, в математических выражениях, в которых отсутствуют скобки, но есть действия первой, второй ступени и степень, возведение в степень выполняется раньше других действий, только потом умножают, делят, складывают и вычитают в установленном правилами порядке.
Если в скобках содержится степенное выражение, то действия в скобках выполняются по порядку слева направо, начиная с действий высшей ступени- возведение в степень, и далее по известным нам правилам.
За скобками действия выполняют, соблюдая порядок выполнения действий без скобок, рассмотренный выше.
Рассмотрим поясняющие примеры.
При решении различных задач и примеров будем пользоваться составленными таблицами степеней.
Пример 1.
Найдите значение выражения 82 ÷ 4 - 10.
Определим порядок действий в выражении и найдем его значение.
Так как исходное выражение не содержит скобки, а возведение в степень- это действие более высокой ступени, чем умножение, деление, сложение и вычитание, следовательно, в первую очередь необходимо выполнить вычисление степени, затем слева направо в порядке следования сначала действия второй ступени (деление), затем- действия первой ступени (вычитание).
82 ÷ 4 - 10 = 6
1) 82 = 8 ∙ 8 = 64 (по определению степени или по таблице квадратов).
2) 64 ÷ 4 = 16
3) 16 - 10 = 6
Пример 2.
Найдите значение выражения (21 - 11)2 ∙ 23.
Найдем значение данного выражения, определив порядок действий в нем.
(21 - 11)2 ∙ 23 = 800
Согласно порядка выполнения действий сначала выполняются действия в скобках.
Найдем разность 21 и 11.
1) 21 - 11 = 10
Далее выполняется действие высшей ступени (возведение в степень), т.е. разность, полученную в скобках, возведем в квадрат.
Найдем, чему равно 102 по определению степени или по таблице квадратов.
2) 102 = 10 ∙ 10 = 100
Затем выполним действия, которые находятся в исходном выражении за скобками.
Определим третью степень двойки по таблице кубов или по определению степеней.
3) 23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8
Далее перемножим результаты, полученные в во втором и в третьем действии соответственно, т.е. найдем произведение 100 и 8.
4) 100 ∙ 8 = 800
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
С давних пор основными арифметическими операциями являются операции сложения, вычитания, умножения и деления.
Представление о степени, как об отдельной операции возникло не сразу.
Однако степени применялись при вычислении площадей и объемов уже у древних народов: степень числа высчитывали при решении различных задач в Древнем Египте, Древней Греции, в Вавилоне.
Диофант Александрийский древнегреческий математик, философ (III век н.э.) в своем знаменитом труде «Арифметика» описал первые натуральные степени чисел.
Диофант первым из античных ученых предложил специальные обозначения для шести степеней неизвестного (квадрат, куб, квадрато-квадраты, квадрато-кубы и т.д.)
Древнегреческий ученый Пифагор и его последователи (пифагорейцы) проявляли большой интерес к числам, искали в них скрытый смысл, закономерности и приписывали им различные свойства.
Пифагорейцы предполагали, что каждое число можно представить в виде фигуры.
Так, например, числа 4, 9, 16, 25 они представляли в виде квадратов.
В Древнем Вавилоне для вычисления и расчетов был создан целый ряд вычислительных таблиц: таблицы умножения, таблицы квадратов и кубов и многие другие.
В Древней Индии успешно развивалась наука.
Высоких результатов индийцы добились в астрономии, медицине, математике.
Индийские ученые часто оперировали большими числами.
В Древней Индии существовало понятие степени числа, математики того времени умели вычислять площади и объемы фигур, разработали алгоритмы вычисления всех арифметических операций, в том числе определение степени числа.
Важнейшим открытием индийских ученых в математике стало изобретение позиционной системы счисления, а также запись (чтение) чисел, для каждой цифры был придуман свой знак.
Математические труды их были изложены в основном в словесной форме на древнеиндийском языке в священных писаниях, книгах, сказаниях.
Потребность в решении более сложных математических задач со степенями заставляла ученых разных стран расширять понятие о степени, систематизировать и обобщать известные уже данные о ней.
В начале XV века самаркандский математик Гияс ад-Дин Джемшид Аль-Каши рассматривал нулевой показатель степени, в это же время французский ученый Никола Шюке применял в своих трудах нулевой и отрицательный показатель степени.
В 1544 г. немецкий математик Михаэль Штифель в своей книге «Полная арифметика» впервые ввел понятие «Показатель степени».
Постепенно понятие степени становится все шире, оно применяется не только к числу, но и к переменной.
Математики средневековья пытались установить единое обозначение степени и сделать ее компактней.
Французский ученый математик Франсуа Виет ввел буквенное обозначение (N, Q, C) для первой, второй и третьей степени.
Нидерландский математик Симон Стевин предложил называть степень по их показателям, отвергая тем самым словесные обозначения степеней, составленные Диофантом.
Современное обозначение степеней (аn), где а-основание степени, n-показатель степени, ввел французский математик Рене Декарт.
Степень числа и ее особенные свойства
Степень обладает рядом свойств, которые подробно вы будете рассматривать и доказывать в старших классах.
Сейчас мы познакомимся с некоторыми особенными свойствами степеней.
1. Любое число в первой степени равно этому же числу.
Первая степень числа а равна числу а.
В буквенном виде данное свойство запишем так:
а1 = а
Данная запись означает, что основание степени необходимо взять в качестве множителя один раз.
Например,
51 = 5, 1271 = 127, 10041 = 1004, 1234561 = 123456 и т.д.
Соответственно и единица в первой степени всегда равна единице: 11 = 1.
2. Любое натуральное число в нулевой степени равно единице.
а0 = 1
Например,
50 = 1, 1270 = 1, 100 = 1, 1234560 = 1 и т.д.
3. Ноль в любой степени равен нулю: 0n = 0.
На самом деле, по известному нам определению степени, 0 является основанием, n- показатель степени, указывающий сколько раз повторяется основание степени.
Таким образом получаем следующее равенство:
Например,
0128 = 0
015000 = 0
Слово «степень», порой, встречается в вашей повседневной жизни.
Степенные выражения используют в различных областях знаний, в науке и технике.
Часто приходится при расчетах и измерении встречаться с очень большими и очень маленькими числами.
С такими числами неудобно работать: выполнять различные действия и вычисления.
Иногда числа удобно представить в виде степени, записывая их, например, в стандартном виде.
Стандартный вид числа обобщенно можно записать так:
а ∙ 10n
В данной записи число (а), которое умножается на 10 в какой-либо степени, должно быть больше единицы или равно ей и быть меньше десяти.
Пример.
200000 = 2 ∙ 105
8000000000000 = 8 ∙ 1012
500 = 5 ∙ 102
Однозначное число, записанное в стандартном виде, будет равно самому себе, умноженному на десять в нулевой степени.
а = а ∙ 100 = а ∙ 1 = а
Пример.
2 = 2 ∙ 100 = 2 ∙ 1 = 2
5 = 5 ∙ 100 = 5 ∙ 1 = 5
8 = 8 ∙ 100 = 8 ∙ 1 = 8
Число десять представляют в стандартном виде, как произведение единицы и 10 в первой степени.
10 = 1 ∙ 101 = 1 ∙ 10 = 10
Изучая разряды и классы чисел, мы только лишь упоминали о больших и гигантских числах.
Известно, например, что один миллион записывается как единица и шесть нулей после нее.
В стандартном виде миллион запишем так:
1000000 = 1 ∙ 106.
Миллиард записывается следующим образом: единица и девять нулей после нее.
В стандартном виде миллиард запишем так:
1000000000 = 1 ∙ 109
Триллион представляет собой единицу и двенадцать нулей после нее.
В стандартном виде триллион запишем так:
1000000000000 = 1 ∙ 1012.
Самое большое число, которое называется «гугол», в десятичной системе исчисления изображается в виде единицы со ста нулями, записывают 10100 (десять в степени сто).
Часто при решение различных задач удобно записывать числа сокращенно, с помощью степеней.
Пример.
24000 = 24 ∙ 103
350000 = 35 ∙ 104
24500000 = 245 ∙ 105
Однако, при этом эти числа не будут относится к числам, записанным в стандартном виде, так как 24 > 10, 35 > 10, 245 > 10.
Данные числа всего лишь имеют компактный вид, удобный при вычислениях.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Многозначные числа, представленные в виде степени используют, например, в физике и астрономии, географии и биологии, информатике, медицине, экономике и т.д.
Приведем несколько занимательных примеров из разных областей знаний.
Расстояние от планета Земля до Солнца примерно 1495 ∙ 105 км.
Расстояние от Луны до Земли 384 ∙ 103 км.
Площадь Мирового океана примерно равна 36126 ∙ 104 км2
Общая площадь всех материков и островов на Земном шаре примерна равна 149 ∙ 106 км2
Общая длина всех кровеносных сосудов в организме взрослого человека примерна равна 1 ∙ 105 км.
Общее число волос на теле человека , не считая головы, насчитывается около 2 ∙ 104.
Тело взрослого человека за день перекачивает около 104 литров крови.
Скорее всего вам знакомы такие слова: гигабайт, мегабайт, байт, бит.
Это все единицы измерения количества информации.
На битах строится вся работа компьютера, электронной и цифровой техники.
Бит сама по себе маленькая величина, поэтому существуют кратные ей единицы.
23 бит = 8 бит = 1 байт.
Один килобайт (1Кб) = 210 байт = 1024 байт
Один мегабайт (1Мб) = 210 Кб = 1024 Кб
Один гигабайт (1Гб) = 210 Мб = 1024 Мб
Один терабайт (1Тб) = 210 Гб = 1024 Гб
Дополнительная информация
Квадратом числа называют произведение двух одинаковых множителей.
Мы уже пробовали находить квадраты первого десятка натуральных чисел.
Возводить двузначные числа, трехзначные и т.д. числа немного сложнее, главное хорошо знать и помнить таблицу умножения чисел.
Существует способ быстрого возведения в квадрат двухзначных чисел, которые оканчиваются на цифру 5.
1) Первую цифру числа, возводимого в квадрат, необходимо умножить на сумму этого числа и единицы.
2) Записать полученное число- это будут первые цифры ответа (с этих цифр начинается ответ).
3) Ответ всегда будет заканчиваться на 25 (т.е. в конце ответа всегда будет стоять число 25).
4) Приписываем к числу, полученному в п 2, число 25, получаем ответ.
Рассмотрим поясняющий пример.
Найдем квадрат 65.
652 = 65 ∙ 65
Первая цифра в числе 65- это цифра 6, следовательно, нам необходимо найти произведение 6 и суммы 6 + 1.
6 ∙ (6 + 1) = 6 ∙ 7 = 42
Запишем число 42 и припишем к нему число 25.
652 = 4225
Проверим: Так как квадрат числа- это произведение двух одинаковых множителей 652 = 65 ∙ 65, то
652 = 65 ∙ 65 = 4225
Получили все тот же ответ: 652 = 4225
Заключительный тест
