Урок 25 Бесплатно Степень числа. Квадрат и куб числа

На данном уроке мы познакомимся с понятием степени числа.

Выясним, что называют «показателем степени» и «основанием степени».

Научимся вычислять квадрат и куб числа.

Составим таблицу степеней первых десяти натуральных чисел и рассмотрим ряд задач с использованием таких таблиц.

Определим, в каком порядке выполняют действия в выражениях, содержащих степень.

Степень числа

Известно, что сумму равных слагаемых можно заменить произведением.

Например, сумму пяти слагаемых, каждое из которых равняется четырем, можно записать короче:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 ∙ 4

В произведении число 5 указывает на количество одинаковых слагаемых.

В свою очередь произведение одинаковых множителей тоже можно записать компактнее.

Произведение n одинаковых множителей можно представить в виде степени.

В буквенном виде произведение равных множителей можно представить следующим образом:

аn- это произведение числа а на само себя n раз.

а- любое натуральное число.

Читают «а в n-ной степени» или «а в степени n».

Число а называют основанием (число, возводимое в степень).

n- это показатель степени (число, которое указывает сколько раз повторяется основание степени).

Степень числа представляют всегда так: записывают основание степени, а показатель ее записывают меньше размером в верхнем правом углу основания степени.

Операция умножения одинаковых множителей называется возведением в степень.

Например, произведение пяти множителей, каждое из которых равняется четырем, можно записать так:

4 ∙ 4444 = 45

Читают данную запись следующим образом:

45- четыре в пятой степени.

Пример:

1)Вычислим значение степени 23, т.е. возведем число два в третью степень.

Данная степень равна произведению трех двоек.

2- основание степени.

3- показатель степени.

2) Вычислим значение степени 54, т.е. возведем число пять в четвертую степень.

Данная степень равна произведению четырех пятерок.

5- основание степени.

4- показатель степени.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Квадрат и куб числа

Вторую степень числа называют квадратом числа.

Так, квадрат любого натурального числа а будет представлять собой произведение двух одинаковых множителей: аа = а2 (говорят и читают «а в квадрате»).

Например,

22 (два во второй степени) иначе говорят и читают «два в квадрате».

102 (десять во второй степени) иначе говорят и читают «десять в квадрате».

272 (двадцать семь во второй степени) иначе говорят и читают «двадцать семь в квадрате».

Давайте сосчитаем квадраты первого десятка натуральных чисел (возведем во вторую степень первые десять натуральных чисел), используя таблицу умножения.

Один в квадрате равняется одному: 12 = 1 ∙ 1 = 1.

Два в квадрате равняется четырем: 22 = 2 ∙ 2 = 4.

Три в квадрате равняется девяти: 32 = 3 ∙ 3 = 9.

Четыре в квадрате равняется шестнадцати: 42 = 4 ∙ 4 = 16.

Пять в квадрате равняется двадцати пяти: 52 = 5 ∙ 5 = 25.

Шесть в квадрате равняется тридцати шести: 62 = 6 ∙ 6 = 36.

Семь в квадрате равняется сорока девяти: 72 = 7 ∙ 7 = 49.

Восемь в квадрате равняется шестидесяти четырем: 82 = 8 ∙ 8 = 64.

Девять в квадрате равняется восьмидесяти одному: 92 = 9 ∙ 9 = 81.

Десять в квадрате равняется сотне: 102 = 10 ∙ 10 = 100.

Оформим полученные данные квадратов натуральных чисел от 1 до 10 в виде таблицы.

Таблица квадратов первых десяти натуральных чисел

а

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

а2

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

 Пример.

Учитывая данные таблицы квадратов, решим уравнение.

Решим уравнение х2 = 49.

Решить уравнение- это значит найти корень уравнения (в нашем случае установить значение х).

По таблице квадратов видно, что 49 = 72.

Следовательно, корень уравнения (х) равен семи.

х2 = 49

х = 7

Проверка: подставим найденное значение неизвестной (х = 7) в исходное уравнение х2 = 49, получим:

72 = 49

7 ∙ 7 = 49

49 = 49

Ответ: х = 7.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Чтобы возвести в любую степень число 10, необходимо дописать после единицы нули, количество которых показывает показатель степени.

Разберем пример первый.

Найдите четвертую степень десяти (десять в четвертой степени 104).

10- это основание.

4- это показатель степени.

Так как по вышеизложенному правилу количество нулей после единицы должно быть равно показателю степени, то результат запишем следующим образом:

104 = 10000

На самом деле, если перемножить (по определению степени) четыре десятки, то получим:

104 = 1010 ∙ 1010 = 10000

Пример второй: найдите третью степень десяти (десять в третьей степени 103).

10- это основание.

3- это показатель степени.

Так как по правилу количество нулей после единицы должно быть равно показателю степени, то результат запишем следующим образом:

103 = 1000

Соответственно, если перемножить (по определению степени) три десятки, то получим:

103 = 1010 ∙ 10 = 1000

Рассмотрим обратную ситуацию:

Представим число 100 в виде степени с основанием 10.

Запишем основание 10, а показателем будет число, равное количеству нулей исходного числа (100).

Число 100 содержит два нуля, следовательно, это число в виде степени с основанием 10 представим следующим образом:

100 = 102

10- это основание.

2- это показатель степени.

Рассмотрим еще один подобный пример.

Представим число 10000 в виде степени с основанием 10.

Запишем основание 10, а показателем будет число, равное количеству нулей исходного числа (10000).

Данное число содержит четыре нуля, следовательно, 10000 в виде степени с основанием 10 представим следующим образом:

10000 = 104

10- это основание.

4- это показатель степени

Третья степень числа тоже имеет свое название.

Число в третьей степени называют кубом числа.

Так, куб любого натурального числа а будет представлять собой произведение трех одинаковых множителей: ааа = а3 (говорят и читают «а в кубе»).

Например,

23 (два в третьей степени) иначе говорят и читают «два в кубе».

103 (десять в третьей степени) иначе говорят и читают «десять в кубе».

273 (двадцать семь в третьей степени) иначе говорят и читают «двадцать семь в кубе».

Давайте определим кубы первого десятка натуральных чисел (возведем в третью степень первые десять натуральных чисел), используя таблицу умножения.

Один в кубе: 13 = 111 = 1.

Два в кубе: 23 = 222 = 8.

Три в кубе: 33 = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27.

Четыре в кубе: 43 = 4 ∙ 44  = 64.

Пять в кубе: 53 = 5 ∙ 55 = 125.

Шесть в кубе: 63 = 6 ∙ 66 = 216.

Семь в кубе: 73 = 7 ∙ 77 = 343.

Восемь в кубе: 83 = 8 ∙ 88 = 512.

Девять в кубе: 93 = 9 ∙ 99 = 729.

Десять в кубе: 103 = 10 ∙ 1010 = 1000.

Оформим полученные данные кубов натуральных чисел от 1 до 10 в виде таблицы.

Таблица кубов первых десяти натуральных чисел

а

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

а3

1

8

27

64

125

216

343

512

729

1000

 С помощью таблицы кубов можно легко и просто решать примеры и задачи, в которых необходимо высчитывать третью степень числа.

Пример.

Представим в виде куба число 343.

По таблице кубов видим, что 343 = 73

Проверим: найдем произведение трех семерок:

73 = 7 ∙ 77 = 49 ∙ 7 = 343

Ответ: 343 = 73.

На прошлом уроке мы подробно разобрали порядок выполнения арифметических действий в выражениях.

Выяснили, что в первую очередь выполняются арифметические действия в скобках, затем-действия второй ступени (умножение и деление) по порядку их следования слева направо, и только потом выполняются действия первой ступени (сложение и вычитание) по порядку слева направо.

Однако, в математических выражениях, в которых отсутствуют скобки, но есть действия первой, второй ступени и степень, возведение в степень выполняется раньше других действий, только потом умножают, делят, складывают и вычитают в установленном правилами порядке.

Если в скобках содержится степенное выражение, то действия в скобках выполняются по порядку слева направо, начиная с действий высшей ступени- возведение в степень, и далее по известным нам правилам.

За скобками действия выполняют, соблюдая порядок выполнения действий без скобок, рассмотренный выше.

Рассмотрим поясняющие примеры.

При решении различных задач и примеров будем пользоваться составленными таблицами степеней.

Пример 1.

Найдите значение выражения 82 ÷ 4 - 10.

Определим порядок действий в выражении и найдем его значение.

Так как исходное выражение не содержит скобки, а возведение в степень- это действие более высокой ступени, чем умножение, деление, сложение и вычитание, следовательно, в первую очередь необходимо выполнить вычисление степени, затем слева направо в порядке следования сначала действия второй ступени (деление), затем- действия первой ступени (вычитание).

82 ÷ 4 - 10 = 6

1) 82 = 8 ∙ 8 = 64 (по определению степени или по таблице квадратов).

2) 64 ÷ 4 = 16

3) 16 - 10 = 6

Пример 2.

Найдите значение выражения (21 - 11)223.

Найдем значение данного выражения, определив порядок действий в нем.

(21 - 11)223 = 800

Согласно порядка выполнения действий сначала выполняются действия в скобках.

Найдем разность 21 и 11.

1) 21 - 11 = 10

Далее выполняется действие высшей ступени (возведение в степень), т.е. разность, полученную в скобках, возведем в квадрат.

Найдем, чему равно 102 по определению степени или по таблице квадратов.

2) 102 = 10 ∙ 10 = 100

Затем выполним действия, которые находятся в исходном выражении за скобками.

Определим третью степень двойки по таблице кубов или по определению степеней.

3) 23 = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8

Далее перемножим результаты, полученные в во втором и в третьем действии соответственно, т.е. найдем произведение 100 и 8.

4) 1008 = 800

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

С давних пор основными арифметическими операциями являются операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Представление о степени, как об отдельной операции возникло не сразу.

Однако степени применялись при вычислении площадей и объемов уже у древних народов: степень числа высчитывали при решении различных задач в Древнем Египте, Древней Греции, в Вавилоне.

Диофант Александрийский древнегреческий математик, философ (III век н.э.) в своем знаменитом труде «Арифметика» описал первые натуральные степени чисел.

Диофант первым из античных ученых предложил специальные обозначения для шести степеней неизвестного (квадрат, куб, квадрато-квадраты, квадрато-кубы и т.д.)

Древнегреческий ученый Пифагор и его последователи (пифагорейцы) проявляли большой интерес к числам, искали в них скрытый смысл, закономерности и приписывали им различные свойства.

Пифагорейцы предполагали, что каждое число можно представить в виде фигуры.

Так, например, числа 4, 9, 16, 25 они представляли в виде квадратов.

В Древнем Вавилоне для вычисления и расчетов был создан целый ряд вычислительных таблиц: таблицы умножения, таблицы квадратов и кубов и многие другие.

В Древней Индии успешно развивалась наука.

Высоких результатов индийцы добились в астрономии, медицине, математике.

Индийские ученые часто оперировали большими числами.

В Древней Индии существовало понятие степени числа, математики того времени умели вычислять площади и объемы фигур, разработали алгоритмы вычисления всех арифметических операций, в том числе определение степени числа.

Важнейшим открытием индийских ученых в математике стало изобретение позиционной системы счисления, а также запись (чтение) чисел, для каждой цифры был придуман свой знак.

Математические труды их были изложены в основном в словесной форме на древнеиндийском языке в священных писаниях, книгах, сказаниях.

Потребность в решении более сложных математических задач со степенями заставляла ученых разных стран расширять понятие о степени, систематизировать и обобщать известные уже данные о ней.

В начале XV века самаркандский математик Гияс ад-Дин Джемшид Аль-Каши рассматривал нулевой показатель степени, в это же время французский ученый Никола Шюке применял в своих трудах нулевой и отрицательный показатель степени.

В 1544 г. немецкий математик Михаэль Штифель в своей книге «Полная арифметика» впервые ввел понятие «Показатель степени».

Постепенно понятие степени становится все шире, оно применяется не только к числу, но и к переменной.

Математики средневековья пытались установить единое обозначение степени и сделать ее компактней.

Французский ученый математик Франсуа Виет ввел буквенное обозначение (N, Q, C) для первой, второй и третьей степени.

Нидерландский математик Симон Стевин предложил называть степень по их показателям, отвергая тем самым словесные обозначения степеней, составленные Диофантом.

Современное обозначение степеней (аn), где а-основание степени, n-показатель степени, ввел французский математик Рене Декарт.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Степень числа и ее особенные свойства

Степень обладает рядом свойств, которые подробно вы будете рассматривать и доказывать в старших классах.

Сейчас мы познакомимся с некоторыми особенными свойствами степеней.

1. Любое число в первой степени равно этому же числу.

Первая степень числа а равна числу а.

В буквенном виде данное свойство запишем так:

а1 = а

Данная запись означает, что основание степени необходимо взять в качестве множителя один раз.

Например,

51 = 5, 1271 = 127, 10041 = 1004, 1234561 = 123456 и т.д.

Соответственно и единица в первой степени всегда равна единице: 11 = 1.

2. Любое натуральное число в нулевой степени равно единице.

а0 = 1

Например,

50 = 1, 1270 = 1, 100 = 1, 1234560 = 1 и т.д.

3. Ноль в любой степени равен нулю: 0n = 0.

На самом деле, по известному нам определению степени, 0 является основанием, n- показатель степени, указывающий сколько раз повторяется основание степени.

Таким образом получаем следующее равенство:

Например,

0128 = 0

015000 = 0

Слово «степень», порой, встречается в вашей повседневной жизни.

Степенные выражения используют в различных областях знаний, в науке и технике.

Часто приходится при расчетах и измерении встречаться с очень большими и очень маленькими числами.

С такими числами неудобно работать: выполнять различные действия и вычисления.

Иногда числа удобно представить в виде степени, записывая их, например, в стандартном виде.

Стандартный вид числа обобщенно можно записать так:

а ∙ 10n

В данной записи число (а), которое умножается на 10 в какой-либо степени, должно быть больше единицы или равно ей и быть меньше десяти.

Пример.

200000 = 2 ∙ 105

8000000000000 = 8 ∙ 1012

500 = 5 ∙ 102

Однозначное число, записанное в стандартном виде, будет равно самому себе, умноженному на десять в нулевой степени.

а = а ∙ 100 = а ∙ 1 = а

Пример.

2 = 2 ∙ 100 = 2 ∙ 1 = 2

5 = 5 ∙ 100 = 5 ∙ 1 = 5

8 = 8 ∙ 100 = 8 ∙ 1 = 8

Число десять представляют в стандартном виде, как произведение единицы и 10 в первой степени.

10 = 1 ∙ 101 = 1 ∙ 10 = 10

Изучая разряды и классы чисел, мы только лишь упоминали о больших и гигантских числах.

Известно, например, что один миллион записывается как единица и шесть нулей после нее.

В стандартном виде миллион запишем так:

1000000 = 1 ∙ 106.

Миллиард записывается следующим образом: единица и девять нулей после нее.

В стандартном виде миллиард запишем так:

1000000000 = 1 ∙ 109

Триллион представляет собой единицу и двенадцать нулей после нее.

В стандартном виде триллион запишем так:

1000000000000 = 1 ∙ 1012.

Самое большое число, которое называется «гугол», в десятичной системе исчисления изображается в виде единицы со ста нулями, записывают 10100 (десять в степени сто).

Часто при решение различных задач удобно записывать числа сокращенно, с помощью степеней.

Пример.

24000 = 24 ∙ 103

350000 = 35 ∙ 104

24500000 = 245 ∙ 105

Однако, при этом эти числа не будут относится к числам, записанным в стандартном виде, так как 24 > 10, 35 > 10, 245 > 10.

Данные числа всего лишь имеют компактный вид, удобный при вычислениях.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Многозначные числа, представленные в виде степени используют, например, в физике и астрономии, географии и биологии, информатике, медицине, экономике и т.д.

Приведем несколько занимательных примеров из разных областей знаний.

Расстояние от планета Земля до Солнца примерно 1495 ∙ 105 км.

Расстояние от Луны до Земли 384 ∙ 103 км.

Площадь Мирового океана примерно равна 36126 ∙ 104 км2

Общая площадь всех материков и островов на Земном шаре примерна равна 149 ∙ 106 км2

Общая длина всех кровеносных сосудов в организме взрослого человека примерна равна 1 ∙ 105 км.

Общее число волос на теле человека , не считая головы, насчитывается около 2 ∙ 104.

Тело взрослого человека за день перекачивает около 104 литров крови.

Скорее всего вам знакомы такие слова: гигабайт, мегабайт, байт, бит.

Это все единицы измерения количества информации.

На битах строится вся работа компьютера, электронной и цифровой техники.

Бит сама по себе маленькая величина, поэтому существуют кратные ей единицы.

23 бит = 8 бит = 1 байт.

Один килобайт (1Кб) = 210 байт = 1024 байт

Один мегабайт (1Мб) = 210 Кб = 1024 Кб

Один гигабайт (1Гб) = 210 Мб = 1024 Мб

Один терабайт (1Тб) = 210 Гб = 1024 Гб

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Дополнительная информация

Квадратом числа называют произведение двух одинаковых множителей.

Мы уже пробовали находить квадраты первого десятка натуральных чисел.

Возводить двузначные числа, трехзначные и т.д. числа немного сложнее, главное хорошо знать и помнить таблицу умножения чисел.

Существует способ быстрого возведения в квадрат двухзначных чисел, которые оканчиваются на цифру 5.

1) Первую цифру числа, возводимого в квадрат, необходимо умножить на сумму этого числа и единицы.

2) Записать полученное число- это будут первые цифры ответа (с этих цифр начинается ответ).

3) Ответ всегда будет заканчиваться на 25 (т.е. в конце ответа всегда будет стоять число 25).

4) Приписываем к числу, полученному в п 2, число 25, получаем ответ.

Рассмотрим поясняющий пример.

Найдем квадрат 65.

652 = 65 ∙ 65

Первая цифра в числе 65- это цифра 6, следовательно, нам необходимо найти произведение 6 и суммы 6 + 1.

6(6 + 1) = 6 ∙ 7 = 42

Запишем число 42 и припишем к нему число 25.

652 = 4225

Проверим: Так как квадрат числа- это произведение двух одинаковых множителей 652 = 65 ∙ 65, то

652 = 65 ∙ 65 = 4225

Получили все тот же ответ: 652 = 4225

Заключительный тест

Пройти тест