Урок 25 Получить доступ за 75 баллов Степень числа. Квадрат и куб числа

На данном уроке мы познакомимся с понятием степени числа.

Выясним, что называют «показателем степени» и «основанием степени».

Научимся вычислять квадрат и куб числа.

Составим таблицу степеней первых десяти натуральных чисел и рассмотрим ряд задач с использованием таких таблиц.

Определим, в каком порядке выполняют действия в выражениях, содержащих степень.

Известно, что сумму равных слагаемых можно заменить произведением.

Например, сумму пяти слагаемых, каждое из которых равняется четырем, можно записать короче:

4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 5 ∙ 4

В произведении число 5 указывает на количество одинаковых слагаемых.

В свою очередь произведение одинаковых множителей тоже можно записать компактнее.

Произведение n одинаковых множителей можно представить в виде степени.

В буквенном виде произведение равных множителей можно представить следующим образом:

аⁿ- это произведение числа а на само себя n раз.

а- любое натуральное число.

Читают «а в n-ной степени» или «а в степени n».

Число а называют основанием (число, возводимое в степень).

n- это показатель степени (число, которое указывает сколько раз повторяется основание степени).

Степень числа представляют всегда так: записывают основание степени, а показатель ее записывают меньше размером в верхнем правом углу основания степени.

Операция умножения одинаковых множителей называется возведением в степень.

Например, произведение пяти множителей, каждое из которых равняется четырем, можно записать так:

4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 = 4⁵

Читают данную запись следующим образом:

4⁵- четыре в пятой степени.

Пример:

1)Вычислим значение степени 2³, т.е. возведем число два в третью степень.

Данная степень равна произведению трех двоек.

2- основание степени.

3- показатель степени.

2) Вычислим значение степени 5⁴, т.е. возведем число пять в четвертую степень.

Данная степень равна произведению четырех пятерок.

5- основание степени.

4- показатель степени.

Вторую степень числа называют квадратом числа.

Так, квадрат любого натурального числа а будет представлять собой произведение двух одинаковых множителей: а ∙ а = а² (говорят и читают «а в квадрате»).

Например,

2² (два во второй степени) иначе говорят и читают «два в квадрате».

10² (десять во второй степени) иначе говорят и читают «десять в квадрате».

27² (двадцать семь во второй степени) иначе говорят и читают «двадцать семь в квадрате».

Давайте сосчитаем квадраты первого десятка натуральных чисел (возведем во вторую степень первые десять натуральных чисел), используя таблицу умножения.

Один в квадрате равняется одному: 1² = 1 ∙ 1 = 1.

Два в квадрате равняется четырем: 2² = 2 ∙ 2 = 4.

Три в квадрате равняется девяти: 3² = 3 ∙ 3 = 9.

Четыре в квадрате равняется шестнадцати: 4² = 4 ∙ 4 = 16.

Пять в квадрате равняется двадцати пяти: 5² = 5 ∙ 5 = 25.

Шесть в квадрате равняется тридцати шести: 6² = 6 ∙ 6 = 36.

Семь в квадрате равняется сорока девяти: 7² = 7 ∙ 7 = 49.

Восемь в квадрате равняется шестидесяти четырем: 8² = 8 ∙ 8 = 64.

Девять в квадрате равняется восьмидесяти одному: 9² = 9 ∙ 9 = 81.

Десять в квадрате равняется сотне: 10² = 10 ∙ 10 = 100.

Оформим полученные данные квадратов натуральных чисел от 1 до 10 в виде таблицы.

 Пример.

Учитывая данные таблицы квадратов, решим уравнение.

Решим уравнение х² = 49.

Решить уравнение- это значит найти корень уравнения (в нашем случае установить значение х).

По таблице квадратов видно, что 49 = 7².

Следовательно, корень уравнения (х) равен семи.

х² = 49

х = 7

Проверка: подставим найденное значение неизвестной (х = 7) в исходное уравнение х² = 49, получим:

7² = 49

7 ∙ 7 = 49

49 = 49

Ответ: х = 7.

Третья степень числа тоже имеет свое название.

Число в третьей степени называют кубом числа.

Так, куб любого натурального числа а будет представлять собой произведение трех одинаковых множителей: а ∙ а ∙ а = а³ (говорят и читают «а в кубе»).

Например,

2³ (два в третьей степени) иначе говорят и читают «два в кубе».

10³ (десять в третьей степени) иначе говорят и читают «десять в кубе».

27³ (двадцать семь в третьей степени) иначе говорят и читают «двадцать семь в кубе».

Давайте определим кубы первого десятка натуральных чисел (возведем в третью степень первые десять натуральных чисел), используя таблицу умножения.

Один в кубе: 1³ = 1 ∙ 1 ∙ 1 = 1.

Два в кубе: 2³ = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8.

Три в кубе: 3³ = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 27.

Четыре в кубе: 4³ = 4 ∙ 4 ∙ 4  = 64.

Пять в кубе: 5³ = 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125.

Шесть в кубе: 6³ = 6 ∙ 6 ∙ 6 = 216.

Семь в кубе: 7³ = 7 ∙ 7 ∙ 7 = 343.

Восемь в кубе: 8³ = 8 ∙ 8 ∙ 8 = 512.

Девять в кубе: 9³ = 9 ∙ 9 ∙ 9 = 729.

Десять в кубе: 10³ = 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1000.

Оформим полученные данные кубов натуральных чисел от 1 до 10 в виде таблицы.

 С помощью таблицы кубов можно легко и просто решать примеры и задачи, в которых необходимо высчитывать третью степень числа.

Пример.

Представим в виде куба число 343.

По таблице кубов видим, что 343 = 7³

Проверим: найдем произведение трех семерок:

7³ = 7 ∙ 7 ∙ 7 = 49 ∙ 7 = 343

Ответ: 343 = 7³.

На прошлом уроке мы подробно разобрали порядок выполнения арифметических действий в выражениях.

Выяснили, что в первую очередь выполняются арифметические действия в скобках, затем-действия второй ступени (умножение и деление) по порядку их следования слева направо, и только потом выполняются действия первой ступени (сложение и вычитание) по порядку слева направо.

Однако, в математических выражениях, в которых отсутствуют скобки, но есть действия первой, второй ступени и степень, возведение в степень выполняется раньше других действий, только потом умножают, делят, складывают и вычитают в установленном правилами порядке.

Если в скобках содержится степенное выражение, то действия в скобках выполняются по порядку слева направо, начиная с действий высшей ступени- возведение в степень, и далее по известным нам правилам.

За скобками действия выполняют, соблюдая порядок выполнения действий без скобок, рассмотренный выше.

Рассмотрим поясняющие примеры.

При решении различных задач и примеров будем пользоваться составленными таблицами степеней.

Пример 1.

Найдите значение выражения 8² ÷ 4 - 10.

Определим порядок действий в выражении и найдем его значение.

Так как исходное выражение не содержит скобки, а возведение в степень- это действие более высокой ступени, чем умножение, деление, сложение и вычитание, следовательно, в первую очередь необходимо выполнить вычисление степени, затем слева направо в порядке следования сначала действия второй ступени (деление), затем- действия первой ступени (вычитание).

8² ÷ 4 - 10 = 6

1) 8² = 8 ∙ 8 = 64 (по определению степени или по таблице квадратов).

2) 64 ÷ 4 = 16

3) 16 - 10 = 6

Пример 2.

Найдите значение выражения (21 - 11)² ∙ 2³.

Найдем значение данного выражения, определив порядок действий в нем.

(21 - 11)² ∙ 2³ = 800

Согласно порядка выполнения действий сначала выполняются действия в скобках.

Найдем разность 21 и 11.

1) 21 - 11 = 10

Далее выполняется действие высшей ступени (возведение в степень), т.е. разность, полученную в скобках, возведем в квадрат.

Найдем, чему равно 10² по определению степени или по таблице квадратов.

2) 10² = 10 ∙ 10 = 100

Затем выполним действия, которые находятся в исходном выражении за скобками.

Определим третью степень двойки по таблице кубов или по определению степеней.

3) 2³ = 2 ∙ 2 ∙ 2 = 8

Далее перемножим результаты, полученные в во втором и в третьем действии соответственно, т.е. найдем произведение 100 и 8.

4) 100 ∙ 8 = 800

Степень обладает рядом свойств, которые подробно вы будете рассматривать и доказывать в старших классах.

Сейчас мы познакомимся с некоторыми особенными свойствами степеней.

1. Любое число в первой степени равно этому же числу.

Первая степень числа а равна числу а.

В буквенном виде данное свойство запишем так:

а¹ = а

Данная запись означает, что основание степени необходимо взять в качестве множителя один раз.

Например,

5¹ = 5, 127¹ = 127, 1004¹ = 1004, 123456¹ = 123456 и т.д.

Соответственно и единица в первой степени всегда равна единице: 1¹ = 1.

2. Любое натуральное число в нулевой степени равно единице.

а⁰ = 1

Например,

5⁰ = 1, 127⁰ = 1, 10⁰ = 1, 123456⁰ = 1 и т.д.

3. Ноль в любой степени равен нулю: 0ⁿ = 0.

На самом деле, по известному нам определению степени, 0 является основанием, n- показатель степени, указывающий сколько раз повторяется основание степени.

Таким образом получаем следующее равенство:

Например,

0¹²⁸ = 0

0¹⁵⁰⁰⁰ = 0

Слово «степень», порой, встречается в вашей повседневной жизни.

Степенные выражения используют в различных областях знаний, в науке и технике.

Часто приходится при расчетах и измерении встречаться с очень большими и очень маленькими числами.

С такими числами неудобно работать: выполнять различные действия и вычисления.

Иногда числа удобно представить в виде степени, записывая их, например, в стандартном виде.

Стандартный вид числа обобщенно можно записать так:

а ∙ 10ⁿ

В данной записи число (а), которое умножается на 10 в какой-либо степени, должно быть больше единицы или равно ей и быть меньше десяти.

Пример.

200000 = 2 ∙ 10⁵

8000000000000 = 8 ∙ 10¹²

500 = 5 ∙ 10²

Однозначное число, записанное в стандартном виде, будет равно самому себе, умноженному на десять в нулевой степени.

а = а ∙ 10⁰ = а ∙ 1 = а

Пример.

2 = 2 ∙ 10⁰ = 2 ∙ 1 = 2

5 = 5 ∙ 10⁰ = 5 ∙ 1 = 5

8 = 8 ∙ 10⁰ = 8 ∙ 1 = 8

Число десять представляют в стандартном виде, как произведение единицы и 10 в первой степени.

10 = 1 ∙ 10¹ = 1 ∙ 10 = 10

Изучая разряды и классы чисел, мы только лишь упоминали о больших и гигантских числах.

Известно, например, что один миллион записывается как единица и шесть нулей после нее.

В стандартном виде миллион запишем так:

1000000 = 1 ∙ 10⁶.

Миллиард записывается следующим образом: единица и девять нулей после нее.

В стандартном виде миллиард запишем так:

1000000000 = 1 ∙ 10⁹

Триллион представляет собой единицу и двенадцать нулей после нее.

В стандартном виде триллион запишем так:

1000000000000 = 1 ∙ 10¹².

Самое большое число, которое называется «гугол», в десятичной системе исчисления изображается в виде единицы со ста нулями, записывают 10¹⁰⁰ (десять в степени сто).

Часто при решение различных задач удобно записывать числа сокращенно, с помощью степеней.

Пример.

24000 = 24 ∙ 10³

350000 = 35 ∙ 10⁴

24500000 = 245 ∙ 10⁵

Однако, при этом эти числа не будут относится к числам, записанным в стандартном виде, так как 24 > 10, 35 > 10, 245 > 10.

Данные числа всего лишь имеют компактный вид, удобный при вычислениях.

Квадратом числа называют произведение двух одинаковых множителей.

Мы уже пробовали находить квадраты первого десятка натуральных чисел.

Возводить двузначные числа, трехзначные и т.д. числа немного сложнее, главное хорошо знать и помнить таблицу умножения чисел.

Существует способ быстрого возведения в квадрат двухзначных чисел, которые оканчиваются на цифру 5.

1) Первую цифру числа, возводимого в квадрат, необходимо умножить на сумму этого числа и единицы.

2) Записать полученное число- это будут первые цифры ответа (с этих цифр начинается ответ).

3) Ответ всегда будет заканчиваться на 25 (т.е. в конце ответа всегда будет стоять число 25).

4) Приписываем к числу, полученному в п 2, число 25, получаем ответ.

Рассмотрим поясняющий пример.

Найдем квадрат 65.

65² = 65 ∙ 65

Первая цифра в числе 65- это цифра 6, следовательно, нам необходимо найти произведение 6 и суммы 6 + 1.

6 ∙ (6 + 1) = 6 ∙ 7 = 42

Запишем число 42 и припишем к нему число 25.

65² = 4225

Проверим: Так как квадрат числа- это произведение двух одинаковых множителей 65² = 65 ∙ 65, то

65² = 65 ∙ 65 = 4225

Получили все тот же ответ: 65² = 4225