Урок 24 Получить доступ за 75 баллов Порядок выполнения действий
Изучая числовые и буквенные выражения, способы упрощения выражений, свойства арифметических операций, мы рассматривали в основном простые выражения, значение которых найти было несложно.
Сегодня на уроке мы будем рассматривать выражения, в которых содержатся сразу несколько арифметических операций и несколько пар скобок.
Выясним, в какой последовательности необходимо выполнять математические операции при нахождении значения выражения.
Узнаем, какие действия называют действиями первой и второй ступени, зачем нужны скобки.
Разберем множество различных примеров, которые позволят нам лучше усвоить данную тему.
Порядок выполнения действий
Любой человек каждый день решает множество различных задач: простых и сложных.
Многие из них решаются по определенным правилам- алгоритмам.
С алгоритмами мы уже не раз встречались на наших уроках, решая задачи и уравнения, рассматривая различные правила и свойства, совершая вычисления в столбик и др.
Выясним зависит ли значение выражения от порядка выполнения арифметических операций, обязательно ли выполнять действия в определенном порядке.
Рассмотрим следующий пример:
Катя и Федя решали пример, в котором необходимо было найти сумму числа 24 и произведения чисел 8 и 2.
Катя записала пример: 24 + 8 ∙ 2 и принялась выполнять арифметические действия по порядку.
Первым делом она нашла сумму чисел 24 и 8.
Сложив 24 и 8, у нее получилось число 32.
24 + 8 = 32.
Затем полученный результат (число 32) она умножила на 2.
В итоге у нее получилось:
32 ∙ 2 = 64.
Ответ: 64.
Федя записал пример: 24 + 8 ∙ 2 и стал решать его иным способом.
Сначала он нашел произведение чисел 8 и 2.
Умножив 8 на 2, у него получилось число 16.
8 ∙ 2 = 16.
Затем к 24 прибавил полученное произведение.
В итоге получил следующее равенство:
16 + 24 = 40.
Ответ: 40.
Исходные выражения, которые записали Катя и Федя, были одинаковые (содержали определенную последовательность чисел и знаков).
Дети меняли только порядок следования математических операций.
В итоге получили различные значения одного и того же выражения.
Получается, что порядок выполнения арифметических действий влияет на результат вычислений.
Чуть позже мы выясним, кто же решил пример правильно: Катя или Федя.
Порядок выполнения действий в выражениях без скобок
Очень часто в математических выражения присутствует сразу несколько арифметических операций, таких как сложение, вычитание, умножение и деление.
Чтобы найти значение такого выражения, необходимо соблюдать порядок действий, который регламентируется определенными правилами.
Рассмотрим правила выполнения арифметических действий в выражениях без скобок.
1. Математическое выражение вычисляется по частям, математические операции выполняются по порядку слева направо (от начала к концу выражения).
2. Арифметические действия делят на действия первой ступени и действия второй ступени.
Сложение и вычитание- это действия первой ступени.
Умножение и деление- это действия второй ступени.
3. Если в выражении без скобок присутствуют действия только первой ступени (сложение и вычитание), то действия выполняются в порядке их следования (слева направо).
4. Если в выражении без скобок присутствуют только действия второй ступени (умножение и деление), то данные действия выполняются в порядке их следования (слева направо).
Пример.
Дано выражение 15 ∙ 6 ÷ 3 ∙ 10.
Определим порядок действий в выражении и найдем его значение.
Данное выражение не содержит скобки, и в нем присутствуют только действия второй ступени (умножение и деление), следовательно, действия выполнять необходимо слева направо по порядку их следования.
5. Если в выражении отсутствуют скобки, и оно содержит действия первой и второй ступени, то сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление) в порядке их следования слева направо, затем выполняются действия первой ступени (сложения и вычитания) так же в порядке их следования слева направо.
Пример.
Определите порядок действий в выражении 137 - 17 ∙ 2 + 81 ÷ 3 и найдите его значение.
Данное выражение не содержит скобки, в нем присутствуют действия первой и второй ступени.
Следовательно, действия будем выполнять по порядку слева направо: сначала умножение и деление, а затем вычитание и сложение.
Вспомним пример, рассмотренный нами в начале урока, где Катя и Федя решали пример.
Решим этот пример сами, соблюдая порядок следования арифметических операций, и выясним, кто из ребят нашел правильный ответ.
Было дано выражение 24 + 8 ∙ 2.
В данном выражении присутствуют действия первой и второй ступени, соответственно, сначала мы должны выполнить умножение, затем полученный результат стожить.
Обозначим порядок действий в выражении и найдем его значение.
Порядок выполнения действий в выражениях со скобками
В математике есть специальный символ, который указывает нужный порядок действий в выражении, этот символ называется скобки.
1. Запомните правило!
Действия, записанные в скобках, выполняются в первую очередь.
На примере рассмотрим использование скобок для указания порядка действий или изменении этого порядка.
Пример.
Дано выражение 48 ÷ 8 - 4.
Найдем значение этого выражения, используя правило, которое определяет порядок выполнения действий в математических выражениях.
Так как скобок в данном примере нет, то первым действием выполняется деление, затем- вычитание.
В результате получим следующее равенство:
Ответ: 4.
Если выражение будет содержать все те же числа и математические операции, но будет записано в виде: 48 ÷(8 - 4), то в первую очередь выполняется действие в скобках, а затем- деление.
В итоге получим следующий результат:
Ответ: 12.
Мы можем заметить, что, изменив порядок действий с помощью скобок, изменилось значение выражения.
2. Если в скобках присутствуют действия первой и второй ступени, то в скобках сохраняется известный нам порядок действий: слева направо выполняются сначала действия деления и вычитания, затем по порядку слева направо сложение и вычитание.
Рассмотрим пример.
Определим порядок действий в выражении 100 - (26 ÷ 2 + 27) + 52 и найдем его значение.
Это выражение содержит скобки, поэтому выполним сначала действия в них.
Внутри скобок присутствуют действия первой и второй ступени.
Следовательно, выполним деление, затем сложение, находящееся в скобках.
Так как оставшиеся за скобками действия- это действия первой ступени, то они выполняются по порядку слева направо.
3. Существуют выражения, которые содержат несколько пар скобок, указывающих порядок выполнения действий.
В таком случае выполняются действия последовательно по порядку слева направо: сначала в первой паре скобок, затем во второй паре, далее в третьей и т.д. (пока есть скобки), и только потом выполняются все остальные действия, которые находятся за скобками, согласно правилам, определяющим порядок выполнения математических действий в выражениях.
Рассмотрим данное правило на примере.
Определим порядок действий в выражении (8 + 14 ∙ 3) - 2 ∙ (4 - 1) и найдем его значение.
Это выражение содержит скобки, поэтому выполним сначала действия в них.
Первым делом выполним все действия в первой скобке, причем сначала найдем произведение чисел, а затем сложение.
После этого выполняется действие во второй скобке.
Далее все остальные действия по уже известным нам правилам.
4. Иногда возникает ситуация, когда в выражении встречаются сложное сочетание скобок- вложенные скобки (будто скобки с выражениями вложены друг в друга).
Последовательность действий для такого выражения определяется следующим правилом:
Если скобки содержат внутренние скобки, то сначала выполняются действия в них, затем математические операции проводят, продвигаясь последовательно ко внешним скобкам.
В качестве примера определим порядок действий в выражении
1) Первым делом выполним действие, которое находится в круглых скобках.
200 + 100 = 300
В исходное выражение вместо выражения, стоящего в круглых скобках, запишем найденное его значение.
{[300 ∙ 5 - 300] - 10 ∙ 20} ÷ 20 - 10
Далее выполняем действия, находящиеся в квадратных скобках, соблюдая очередность действий первой и второй ступеней.
2) Найдем произведение 300 и 5.
300 ∙ 5 = 1500
3) Из полученного произведения вычтем 300.
1500 - 300 = 1200
Вместо выражения, которое находилось в квадратных скобках, запишем его значение.
{1200 - 10 ∙ 20} ÷ 20 - 10
Далее выполняем действия, находящиеся в фигурных скобках, соблюдая очередность действий первой и второй ступеней.
4) Найдем произведение 10 и 20.
10 ∙ 20 = 200
5) Полученный результат вычтем из 1200.
1200 - 200 = 1000
Подставим вместо выражения, стоящего в фигурных скобках, его значение.
1000 ÷ 20 - 10
В оставшейся части исходного выражения больше скобок нет, в нем присутствуют действия первой и второй ступени.
Следовательно, действия будем выполнять по порядку слева направо.
6) Сначала выполним деление:
1000 ÷ 20 = 50
7) Затем из полученного частного вычтем 10.
50 - 10 = 40
В результате получили ответ: число 40.
Порядок действий в выражениях можно изменять с помощью основных свойств сложения, вычитания, умножения и деления.
Например, дано выражение 7 ∙ 2 ∙ 55.
В данном выражении удобнее использовать сочетательное свойство умножения, а не выполнять действия по порядку.
Сначала найдем произведение 2 и 55, и только потом полученное произведение умножим на 7.
7 ∙ 2 ∙ 55 = 2 ∙ 55 ∙ 7 = 110 ∙ 7 = 770.
Свойства арифметических операций часто используют для упрощения выражений.
Важно отметить, что установленный порядок действий в выражениях без скобок и со скобками справедлив как для числовых выражений, так и для буквенных.
Представим в общем виде порядок выполнения арифметических действий в виде схемы.
Эту же программу вычислений можно представить в виде схемы, выполняя действия в определенном порядке, заполняя при этом последовательно пустые ячейки.
В нижней ячейке записывается ответ.
В бесплатной версии урока недоступны:
- Видео
- Изображения
- Дополнительная информация
- Таблицы
- Тесты