Урок 41 Получить доступ за 75 баллов Сравнение десятичных дробей

Сравнение чисел- это математическая операция, с помощью которой можно установить равенство или неравенство чисел, если числа не равны, то с помощью данной операции можно выяснить какое число больше, а какое меньше.

Сравнивать можно любые числа в том числе и десятичные дроби.

Десятичные дроби будем сравнивать с помощью их десятичной записи.

Сегодня на уроке научимся определять разрядность десятичной дроби, разберем правила сравнения десятичных дробей.

Определим, где на координатном луче расположена десятичная дробь.

В десятичных дробях, так же, как и в натуральных числах, значение каждой цифры зависит от ее места (позиции) в числе.

Каждый знак в записи десятичной дроби означает сколько единиц соответствующего разряда содержится в ней, а единица каждого разряда содержит 10 единиц предыдущего разряда.

В десятичной дроби до запятой (в целой части десятичной дроби) название разрядов точно такое же, как в натуральных числах: единицы, десятки, сотни, тысячи и т.д.

Каждая цифра десятичной дроби, стоящая после десятичной запятой (в дробной части) тоже имеют свое название и значение.

Номер разряда в целой части отсчитывается влево от запятой, а в дробной части- вправо от запятой.

Разряды в десятичных дробях отличаются по старшинству: старшинство убывает слева на право.

Самым старшим (высшим) разрядом считается самая левая цифра в числе, самым младшим разрядом (низшим) разрядом является самая правая цифра в числе.

Цифры, стоящие после десятичной запятой, называют десятичными знаками.

Итак, если после десятичной запятой стоит один знак- это десятые, если после запятой два знака- это сотые, если три десятичных знака- это тысячные и т.д.

Таким образом, первая цифра после запятой обозначает разряд десятых (\(\mathbf{\frac{1}{10} = 0,1}\)), далее идет разряд сотых (\(\mathbf{\frac{1}{100} = 0,01}\)), затем разряд тысячных (\(\mathbf{\frac{1}{1000} = 0,001}\)) и т.д.

Давайте составим таблицу разрядов десятичных дробей.

На основе вышеизложенной информации рассмотрим поясняющий пример.

Составим таблицу разрядов для числа 175,248.

Из таблицы видно, что заданное число 175,248 содержит 1 сотню, 7 десятков, 5 единиц, 2 десятых, 4 сотых, 8 тысячных.

Данная десятичная дробь читается так: «сто семьдесят пять целых двести сорок восемь тысячных».

Наверное, вы заметили, что в нашем примере, в таблице, в разряде десятитысячных мы поставили нуль, и в наших действиях нет никакой ошибки.

Справа от запятой после самой последней цифры, неравной нулю, можно приписывать сколько угодно нулей, от этого значение десятичной дроби не изменится.

Пример.

75,248 = 75,2480 = 75,24800 = …

Верно и обратное действие: если в конце десятичной дроби, после самой правой ненулевой цифры стоят только нули, то эти нули можно отбросить, в результате получится по значению та же самая дробь.

Пример.

75,24800 = 75,2480 = 75,248

Нули, стоящие в целой части десятичной дроби, перед самой левой ненулевой цифрой, эту десятичную дробь не изменяют.

Пример.

75,248 = 075,248 = 0075,248 = 00075,248 = …

Любую десятичную дробь можно представить в виде суммы, т.е. разложить по разрядам.

Сумма разрядных слагаемых- это запись числа в виде суммы его разрядных единиц.

Делается это так же просто, как и для натуральных чисел.

Попробуем разложить десятичную дробь по разрядам на примере.

Пример.

Разложите десятичную дробь 43,2086.

Число 43,2086 содержит следующие разряды:

Число содержит 4 десятка, 3 единицы, 2 десятых, 0 сотых, 8 тысячных, 6 десятитысячных.

В результате получаем:

43,2086 = 40 + 3 + 0,2 + 0,00 + 0,008 + 0,0006

Десятичную дробь, как и любое другое число, можно отметить на координатном луче.

Десятичные дроби на координатном луче изображают так же, как обыкновенные дроби (смешанные числа), поскольку десятичная дробь и соответствующая ей обыкновенная дробь- это одно и тоже число.

Для того чтобы отметить на координатном луче точку, которая будет соответствовать заданной десятичной дроби, нужно перевести эту десятичную дробь в обыкновенную дробь (смешанное число).

Рассмотрим пример.

Отметим на координатном луче точку А(0,5) и точку В(1,3).

Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком ОЕ, равным 1 единице.

По условию нам даны десятичные дроби с одним десятичным разрядом, следовательно, соответствующие им обыкновенные дроби, содержат в знаменателе число 10.

Десятичной дроби 0,5 соответствует обыкновенная правильная дробь \(\mathbf{\frac{5}{10}}\).

Десятичной дроби 1,3 соответствует смешанное число \(\mathbf{1\frac{3}{10}}\).

Так как знаменатель полученных нами обыкновенных дробей равен десяти, разобьем единичный отрезок на десять равных частей (долей), каждая такая часть будет равна \(\mathbf{\frac{1}{10}}\) (одной десятой) единичного отрезка ОЕ.

1. Правильная дробь \(\mathbf{\frac{5}{10}}\)- это часть единичного отрезка, представляет собой 5 частей из десяти.

Отметим точку А(\(\mathbf{\frac{5}{10}}\)) на координатном луче, для этого отсчитаем от начала координат пять частей (долей) единичного отрезка.

Так как \(\mathbf{\frac{5}{10}}\) и 0,5- это одно и тоже число, следовательно, А(\(\mathbf{\frac{5}{10}}\)) и А(0,5)- это одна и та же точка на координатном луче.

Обозначим на координатном луче точку В с координатой \(\mathbf{1\frac{3}{10}}\).

Чтобы изобразить смешанное число \(\mathbf{1\frac{3}{10}}\) отсчитаем от начала координат один целый единичный отрезок, а от второго единичного отрезка возьмем только три доли из десяти.

Отметим точку В(\(\mathbf{1\frac{3}{10}}\)) на координатном луче.

Смешанное число и соответствующая ему неправильная дробь принадлежат одной точке координатного луча.

Переведем смешанное число \(\mathbf{1\frac{3}{10}}\) в неправильную дробь, получим:

\(\mathbf{1\frac{3}{10} = \frac{1 \cdot 10 + 3}{10} = \frac{13}{10}}\)

Так, если отсчитать от начала координат 13 частей единичного отрезка, каждый из которых равен \(\mathbf{\frac{1}{10}}\) отрезка ОЕ, то в результате окажемся в точке с координатой \(\mathbf{\frac{13}{10}}\).

В этой же точке мы ранее отметили точку В(\(\mathbf{1\frac{3}{10}}\)).

\(\mathbf{1,3 = 1\frac{3}{10} = \frac{13}{10}}\)

Следовательно, точка с координатой 1,3, точка с координатой \(\mathbf{1\frac{3}{10}}\) и точка с координатой \(\mathbf{\frac{13}{10}}\)- это одна и та же точка на координатном луче.

В десятичной дроби справа от запятой после самой последней цифры, неравной нулю, можно приписывать сколько угодно нулей, в результате чего значение десятичной дроби не изменяется.

Например, 0,2 = 0,20

Равные десятичные дроби на координатном луче изображаются одной и той же точкой.

Точка с координатой 0,2 и точка с координатой 0,20- это одна и та же точка на координатном луче.

Меньшая десятичная дробь на координатном луче располагается левее, большая- правее.

Рассмотрим, как относительно друг друга на координатном луче расположены точки С(0,2), D(0,5), K(0,7).

Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком ОЕ, равным 1 единице.

По условию нам даны десятичные дроби с одним десятичным разрядом, следовательно, соответствующие им обыкновенные дроби, содержат в знаменателе число 10.

Так как знаменатель полученных нами обыкновенных дробей равен десяти, разобьем единичный отрезок на десять равных частей (долей), каждая такая часть будет равна \(\mathbf{\frac{1}{10}}\) (одной десятой) единичного отрезка ОЕ.

Десятичной дроби 0,2 соответствует обыкновенная правильная дробь \(\mathbf{\frac{2}{10}}\).

Дробь \(\mathbf{\frac{2}{10}}\)- это часть единичного отрезка, представляет собой 2 части из десяти (две доли единичного отрезка ОЕ).

Десятичной дроби 0,5 соответствует обыкновенная правильная дробь \(\mathbf{\frac{5}{10}}\).

Дробь \(\mathbf{\frac{5}{10}}\) представляет собой 5 частей из десяти (пять долей единичного отрезка ОЕ).

Десятичной дроби 0,7 соответствует обыкновенная правильная дробь \(\mathbf{\frac{7}{10}}\).

Дробь \(\mathbf{\frac{7}{10}}\)- это часть единичного отрезка, представляет собой 7 частей из десяти (семь долей единичного отрезка ОЕ).

Точка С с координатой 0,2 лежит левее точки D(0,5) и точки K(0,7), следовательно, десятичная дробь 0,2 меньше десятичных дробей 0,5 и 0,7.

Точка D с координатой 0,5 лежит правее точки С(0,2) и левее точки K(0,7), следовательно, десятичная дробь 0,5 больше 0,2 и меньше 0,7.

Таким образом, получаем следующее двойное неравенство: 0,2 < 0,5 < 0,7.

Десятичная дробь, как и любые другие числа, можно сравнивать.

Рассмотрим правила сравнения десятичных дробей.

Как и смешанное число десятичная дробь состоит из целой и дробной части.

Сравнение десятичных дробей сводится к сравнению их целых и дробных частей.

Проводится сравнение десятичных дробей поразрядно слева направо.

Сравнение заканчивается после того, как только значение соответствующих разрядов будет отличаться.

Большим (меньшим) считаться то число, у которого значение соответствующего разряда больше (меньше).

Чтобы сравнить две десятичные дроби, необходимо, во-первых, сравнить поразрядно их целую часть.

Большей считается та десятичная дробь, у которой целая часть больше.

Справедливо и обратное утверждение.

Меньшей считается та десятичная дробь, у которой целая часть меньше.

Важно помнить, что число 0 (нуль) меньше любого натурального числа.

Нуль всегда равен нулю.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №1.

Сравним два отрезка.

Длина первого отрезка 6,5 см, длина второго- 3,5 см.

Сравним целые части данных десятичных дробей.

Целая часть десятичной дроби 6,5 равна 6.

Целая часть десятичной дроби 3,5 равна 3.

Так как 6 > 3, следовательно 6,5 > 3,5.

Соответственно отрезок, длина которой 6,5 см больше по размеру, чем отрезок, длиной 3,5 см.

Пример №1.

Сравним две десятичные дроби 30,2 и 35,7.

Целая часть десятичной дроби 30,2 равна 30.

Целая часть десятичной дроби 35,7 равна 35.

Сравним поразрядно целые части десятичных дробей.

Целые части данных дробей состоит из двух разрядов

Сравним сначала значение разряда десятков.

Первое и второе число содержит по три десятка, поэтому переходим к сравнению разряда единиц.

Получаем неравенство: 0 < 5.

В результате можно сделать вывод: 30,5 < 35,7.

Если целые части десятичных дробей состоят из разного количества знаков, то большей будет та целая часть, запись которой состоит из большего количества знаков.

Для примера сравним две десятичные дроби 645,124 и 64,124.

Целая часть десятичной дроби 645,124 равна 645.

Целая часть десятичной дроби 64,124 равна 64.

Запись числа 645 состоит из трех знаков, число содержит разряд сотен, десятков, единиц.

Число 64 состоит только из двух знаков.

Разряд сотен в числе 64 отсутствует, число содержит только разряд десятков и единиц, следовательно, 645 > 64, значит десятичная дробь 645,124 больше десятичной 64,124 дроби.

645,124 > 64,124.

Если целые части сравниваемых десятичных дробей совпадают, то необходимо переходить к поразрядному сравнению дробных частей этих десятичных дробей.

Сравнение дробных частей необходимо начинать с разряда десятых, продвигаясь к более младшему разряду.

Выполним сравнение двух десятичных дробей 31,46 и 31,45.

Целые части десятичных дробей 31,46 и 31,45 равны: 31 = 31.

Поэтому приступим к сравнению дробных частей десятичных дробей.

Дробные части данных десятичных дробей содержат по два разряда (разряд десятых и разряд сотых).

Разряд десятых, заданных дробей 31,46 и 31,45, содержит одинаковое количество разрядных единиц: 4 = 4.

Значение разряда сотых десятичной дроби 31,46 больше, чем значение соответствующего разряда дроби 31,45: 6 > 5.

В итоге получаем неравенство: 31,46 > 31,45.

Иногда приходится сравнивать десятичные дроби, дробные части которых не совпадают по количеству знаков.

Если у сравниваемых дробей число знаков после запятой не совпадает, то к дроби с меньшим количеством десятичных знаков следует дописать нули, тем самым уровнять разрядность чисел.

Дописанные нули не изменят значение дроби, а позволят легко сравнивать соответствующие разряды дробных частей десятичных дробей.

Рассмотрим на примере сравнение десятичных дробей, у которых дробные части не совпадают по количеству знаков.

Сравним две десятичные дроби 12,7 и 12,701.

Дробные части заданных десятичных дробей содержат разное количество разрядов.

Десятичная дробь 12,7 содержит меньше разрядов в дробной части (отсутствуют разряд сотых и тысячных), допишем два нуля в конце числа после разряда десятых, при этом получим дробь 12,700.

12,7 = 12,700.

Теперь можно приступить к сравнению дробей:

Начнем сравнение с целой части десятичных дробей.

Целые части десятичных дробей 12,700 и 12,701 равны: 12 = 12.

Переходим к сравнению их дробных частей.

Значение разряда десятых заданных дробей 12,700 и 12,701 равны: 7 = 7.

Значение сотых разрядов дробей 12,700 и 12,701 совпадают: в первой и во второй дроби в разряде сотых отсутствуют разрядные единицы (0 = 0).

Значение разряда тысячных дроби 12,700 меньше соответствующего разряда дроби 12,701: 0 < 1.

Следовательно, дробь 12,701 больше дроби 12,700.

Получаем следующее неравенство 12,700 < 12,701, значит 12,7 < 12,701.