Урок 39 Получить доступ за 75 баллов Сравнение, сложение и вычитание смешанных чисел

Смешанные числа так же, как и любые другие числа, можно сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить.

На этом уроке рассмотрим правила сравнения, сложения и вычитания смешанных чисел.

Рассмотрим пример решения текстовой задачи на сложение и вычитание смешанных чисел арифметическим и алгебраическим способом.

Смешанное число- это число, состоящее из целой части (натурального числа) и дробной части (дробного числа).

На предыдущем уроке мы узнали, чем правее располагается число на координатном луче, тем оно больше.

Сравнение смешанных чисел сводится к сравнению их целых частей и дробных частей.

1. Чтобы ответить на вопрос какое смешанное число больше, а какое меньше используют следующее правило:

Большим считается то смешанное число, целая часть которого больше, если же целые части равны, то больше то смешанное число, у которого дробная часть больше.

Соответственно верно и следующее утверждение: смешанные числа считаются равными, если их целая и дробная часть совпадают.

Рассмотрим примеры.

Пример №1.

Сравните два смешанных числа \(\mathbf{22\frac{6}{7}}\) и \(\mathbf{42\frac{5}{7}}\).

Решение:

Целая часть смешанного числа \(\mathbf{22\frac{6}{7}}\) равна 22.

Целая часть смешанного числа \(\mathbf{42\frac{5}{7}}\) равна 42.

Так как 22 < 42, значит и \(\mathbf{\color{orange}{22}\frac{6}{7} < \color{green}{42}\frac{5}{7}}\).

Пример №2.

Сравните два смешанных числа \(\mathbf{26\frac{6}{7}}\) и \(\mathbf{26\frac{5}{7}}\).

Решение:

Целая часть смешанного числа \(\mathbf{26\frac{6}{7}}\) равна 26.

Целая часть смешанного числа \(\mathbf{26\frac{5}{7}}\) равна 26.

Так как целые части смешанных чисел равны: 26 = 26, сравним их дробные части.

Число \(\mathbf{\frac{6}{7}}\)- дробная часть смешанного числа \(\mathbf{26\frac{6}{7}}\).

Число \(\mathbf{\frac{5}{7}}\) дробная часть смешанного числа \(\mathbf{26\frac{5}{7}}\).

Для сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо сравнить их числители в соответствии с правилом: больше та дробь, у которой числитель больше.

Числитель дроби \(\mathbf{\frac{6}{7}}\) больше числителя дроби \(\mathbf{\frac{5}{7}}\), значит \(\mathbf{\color{orange}{\frac{6}{7}} > \color{green}{\frac{5}{7}}}\).

Следовательно \(\mathbf{26\color{orange}{\frac{6}{7}} > 26\color{green}{\frac{5}{7}}}\).

Пример №3.

Сравните два смешанных числа \(\mathbf{175\frac{2}{13}}\) и \(\mathbf{175\frac{2}{13}}\).

Решение:

Так как целая и дробная часть смешанного числа \(\mathbf{175\frac{2}{13}}\) совпадает с целой и дробной частью смешанного числа \(\mathbf{175\frac{2}{13}}\), то эти два числа равны.

\(\mathbf{175\frac{2}{13} = 175\frac{2}{13} }\)

2. Сравнение смешанных чисел с натуральными числами.

Для данного случая действует такое правило:

Если целая часть смешанного числа больше или равна натуральному числу, то смешанное число больше этого натурального числа.

Если целая часть смешанного числа меньше натурального числа, то смешанное число меньше данного натурального числа.

Разберем несколько поясняющих примеров.

Пример №1.

Сравните два числа 85 и \(\mathbf{139\frac{2}{5}}\).

Решение:

Целая часть смешанного числа \(\mathbf{139\frac{2}{5}}\) равна 139.

Число 139 больше 85 (заданного натурального числа), значит смешанное число \(\mathbf{139\frac{2}{5}}\) больше этого натурального числа.

Получаем следующее неравенство:

\(\mathbf{85 < 139\frac{2}{5}}\)

Пример №2.

Сравните два числа 147 и \(\mathbf{147\frac{6}{11}}\).

Решение:

Натуральное число 147 и целая часть смешанного числа \(\mathbf{147\frac{6}{11}}\) равны.

Если целая часть смешанного числа равна натуральному числу, то смешанное число больше этого натурального числа.

Следовательно, смешанное число \(\mathbf{147\frac{6}{11}}\) больше натурального числа 147.

\(\mathbf{147 <147\frac{6}{11}}\)

Пример №3.

Сравните два числа 53 и \(\mathbf{14\frac{6}{18}}\).

Решение:

Целая часть смешанного числа \(\mathbf{14\frac{6}{8}}\), число 14, меньше заданного натурального числа 53, значит, смешанное число \(\mathbf{14\frac{6}{8}}\) меньше натурального числа 53.

\(\mathbf{53 > 14\frac{6}{8}}\)

3. Сравнение смешанных чисел и обыкновенных дробей.

• Сравнение смешанных чисел и правильных дробей.

Так как смешанное число всегда больше единицы, а правильная дробь всегда меньше единицы, то справедливо правило:

Любое смешанное число всегда больше правильной дроби.

• Сравнение смешанных чисел и неправильных дробей.

Сравнение смешанного числа и неправильной дроби можно осуществлять двумя способами.

Первый способ: сравнение смешанного числа и неправильной дроби можно свести к сравнению двух неправильных дробей.

Для этого смешанное число необходимо перевести в неправильную дробь.

Рассмотрим пример.

Сравните смешанное число \(\mathbf{12\frac{3}{8}}\) и неправильную дробь \(\mathbf{\frac{105}{8}}\).

Решение:

Переведем смешанное число \(\mathbf{12\frac{3}{8}}\) в неправильную дробь.

Умножим целую часть смешанного числа на знаменатель его дробной части, к полученному произведению прибавим числитель дробной части, запишем полученный результат суммы в числитель новой дроби, а знаменатель оставим без изменений.

\(\mathbf{\color{red}{12}\frac{\color{green}{3}}{\color{blue}{8}} = \frac{\color{red}{12} \cdot \color{blue}{8} + \color{green}{3}}{\color{blue}{8}} = \frac{96 + \color{green}{3}}{\color{blue}{8}} = \frac{99}{\color{blue}{8}}}\)

Вместо \(\mathbf{12\frac{3}{8}}\) подставим соответствующее ему число \(\mathbf{\frac{99}{8}}\).

Сравним неправильные дроби \(\mathbf{\frac{99}{8}}\) и \(\mathbf{\frac{105}{8}}\).

Для сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, необходимо сравнить их числители в соответствии с правилом: больше та дробь, у которой числитель больше.

99- числитель дроби \(\mathbf{\frac{99}{8}}\).

105- числитель дроби \(\mathbf{\frac{105}{8}}\).

Так как 99 < 105, то \(\mathbf{\frac{\color{orange}{99}}{8} < \frac{\color{green}{105}}{8}}\).

Известно, что неправильная дробь \(\mathbf{\frac{99}{8}}\) соответствует смешанному числу \(\mathbf{12\frac{3}{8}}\).

В итоге получается следующий результат: \(\mathbf{12\frac{3}{8} < \frac{105}{8}}\).

Второй способ: сравнение смешанного числа и неправильной дроби можно свести к сравнению двух смешанных чисел.

Для этого неправильную дробь необходимо перевести в смешанное число.

Рассмотрим поясняющий пример.

Сравним смешанное число \(\mathbf{12\frac{3}{8}}\) и неправильную дробь \(\mathbf{\frac{105}{8}}\).

Решение:

Переведем неправильную дробь \(\mathbf{\frac{105}{8}}\) в смешанное число.

Разделим числитель дроби на знаменатель, полученное неполное частное будет представлять собой целую часть смешанного числа, остаток от деления- это числитель дробной части смешанного числа, а делитель- знаменатель.

105 ÷ 8 = 13 (ост. 1)

\(\mathbf{\frac{105}{8} = 13\frac{1}{8}}\)

Сравним два смешанных числа \(\mathbf{12\frac{3}{8}}\) и \(\mathbf{13\frac{1}{8}}\).

Целая часть смешанного числа \(\mathbf{12\frac{3}{8}}\) меньше целой части смешанного числа \(\mathbf{13\frac{1}{8}}\).

Так как 12 < 13, то, \(\mathbf{\color{orange}{12}\frac{3}{8} < \color{green}{13}\frac{1}{8}}\).

Смешанное число \(\mathbf{13\frac{1}{8}}\) соответствует неправильной дроби \(\mathbf{\frac{105}{8}}\).

В итоге получается следующий результат: \(\mathbf{12\frac{3}{8} < \frac{105}{8}}\)

При решении одного и того же задания разными способами, получили одинаковые ответы: сравнивая \(\mathbf{12\frac{3}{8}}\) и \(\mathbf{\frac{105}{8}}\) оказалось, что \(\mathbf{\frac{105}{8}}\) больше \(\mathbf{12\frac{3}{8}}\).

Смешанное число в развернутом виде представляет собой сумму целого и дробного числа.

При сложении смешанных чисел целые части складывают отдельно, дробные- отдельно.

Таким образом получается, что сложение смешанных чисел сводится к уже известным нам правилам сложения натуральных чисел и дробных чисел.

При сложении и вычитании можно использовать свойства, характерные для математических операций сложения и вычитания.

1. Запишем алгоритм сложения смешанных чисел.

• Сложить целые части смешанных чисел.
• Сложить дробные части смешанных чисел.
• Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь, то из нее необходимо выделить целую часть и прибавить ее к уже найденной сумме в п.1.

Соблюдая данную логику, можно складывать любое количество смешанных чисел.

Разберем правило сложения смешанных чисел на примерах.

Пример №1.

Сложите два смешанных числа \(\mathbf{10\frac{2}{5}}\) и \(\mathbf{14\frac{1}{5}}\).

Решение:

Запишем первое и второе смешанное число в виде суммы целой и дробной части и сложим их, получим выражение вида: \(\mathbf{10 + \frac{2}{5} + 14 + \frac{1}{5}}\).

Используя переместительное и сочетательное свойство сложения, сгруппируем отдельно целые части смешанных чисел, отдельно дробные части: \(\mathbf{(10 + 14) + (\frac{2}{5} + \frac{1}{5})}\).

Выполним сложение двух натуральных чисел и сложение двух обыкновенных дробей с одинаковым знаменателем.

\(\mathbf{(10 + 14) + (\frac{2}{5} + \frac{1}{5}) = 24 + \frac{2 + 1}{5} = 24 + \frac{3}{5}}\)

Представим сумму \(\mathbf{24 + \frac{3}{5}}\) в виде смешанного числа:

\(\mathbf{24 + \frac{3}{5} = 24\frac{3}{5}}\)

В таком случае сумма двух смешанных чисел равна:

\(\mathbf{10\frac{2}{5} + 14\frac{1}{5} = 24\frac{3}{5}}\)

Обычно все комментарии и рассуждения выполняются устно, а сложение и вычитание смешанных чисел оформляется в виде непрерывной цепочки действий:

\(\mathbf{10\frac{2}{5} + 14\frac{1}{5} = \color{orange}{10} + \color{green}{\frac{2}{5}} + \color{orange}{14} + \color{green}{\frac{1}{5}} = (\color{orange}{10} + \color{orange}{14}) + (\color{green}{\frac{2}{5}} + \color{green}{\frac{1}{5}}) = 24 + \frac{2 + 1}{5} = 24 + \frac{3}{5} = 24\frac{3}{5}}\)

Пример №2.

Сложите два смешанных числа \(\mathbf{20\frac{3}{5}}\) и \(\mathbf{35\frac{3}{5}}\).

Решение:

Запишем первое и второе смешанное число в виде суммы целой и дробной части и сложим их, получим выражение вида: \(\mathbf{20 + \frac{3}{5} + 35 + \frac{3}{5}}\).

Выполним сложение двух натуральных чисел и сложение двух обыкновенных дробей с одинаковым знаменателем: \(\mathbf{(20 + 35) + (\frac{3}{5} + \frac{3}{5}) = 55 + \frac{6}{5}}\).

При сложении дробных частей получаем неправильную дробь \(\mathbf{\frac{6}{5}}\).

Выделим из нее целую часть.

\(\mathbf{\frac{6}{5} = 6 \div 5 = 1\frac{1}{5}}\)

Заменим неправильную дробь \(\mathbf{\frac{6}{5}}\) на соответствующее ей смешанное число \(\mathbf{1\frac{1}{5}}\).

Сложим целую часть полученного смешанного числа с уже имеющейся.

\(\mathbf{55 + \color{blue}{\frac{6}{5}} = 55 + \color{blue}{1\frac{1}{5}} = 55 + 1 + \frac{1}{5} = (55 + 1) + \frac{1}{5} = 56 + \frac{1}{5} = 56\frac{1}{5}}\)

Запишем решение в общем виде, опуская все комментарии и рассуждения:

\(\mathbf{20\frac{3}{5} + 35\frac{3}{5} = 20 + \frac{3}{5} + 35 + \frac{3}{5} = 55 + \frac{6}{5} = 55 + 1\frac{1}{5} = (55 + 1) + \frac{1}{5} = 56 + \frac{1}{5} = 56\frac{1}{5}}\)

Пример №3.

Сложите два смешанных числа \(\mathbf{15\frac{5}{7}}\) и \(\mathbf{3\frac{2}{7}}\).

Решение:

\(\mathbf{15\frac{5}{7} + 3\frac{2}{7} = \color{orange}{15} + \color{green}{\frac{5}{7}} + \color{orange}{3} + \color{green}{\frac{2}{7}} = (\color{orange}{15} + \color{orange}{3}) + (\color{green}{\frac{5}{7}} + \color{green}{\frac{2}{7}}) = 18 + \frac{7}{7} = 18 + 1 = 19}\)

При сложении двух смешанных чисел получили натуральное число.

2. Сложение смешанного числа и натурального числа.

Натуральное число можно представить в виде смешанного числа, дробная часть которого равна нулю.

В таком случае сумму смешанного числа и натурального числа находят как сумму двух смешанных чисел.

Так как дробная часть натурального числа равна нулю, то при сложении натурального и смешанного числа необходимо найти сумму только их целых частей, дробную же часть смешанного числа нужно оставить без изменений.

Пример.

Сложите два числа \(\mathbf{18\frac{1}{3}}\) и 4.

Решение:

\(\mathbf{18\frac{1}{3} + 4 = \color{orange}{18} + \frac{1}{3} + \color{orange}{4} = (\color{orange}{18} + \color{orange}{4}) + \frac{1}{3} = 22 + \frac{1}{3} = 22\frac{1}{3}}\)

3. Сложение смешанного числа и обыкновенной дроби.

• Сложение смешанного числа и правильной дроби.

Правильную дробь можно представить в виде смешанного числа, целая часть которого равна нулю.

Если целая часть правильной дроби равна нулю, то складывая смешанное число и правильную дробь, находят только сумму дробной части смешанного числа и этой дроби, целую же часть смешанного числа при этом оставляют без изменений.

Пример.

Сложите два числа \(\mathbf{71\frac{3}{10}}\) и \(\mathbf{\frac{1}{10}}\).

Решение:

\(\mathbf{71\frac{3}{10} + \frac{1}{10} = 71 + \color{green}{\frac{3}{10}} + \color{green}{\frac{1}{10}} = 71 + (\color{green}{\frac{3}{10}} + \color{green}{\frac{1}{10}}) = 71 + \frac{4}{10} = 71\frac{4}{10}}\)

• Сложение смешанного числа и неправильной дроби

Возможны два способа сложение смешанного числа с неправильной дробью.

Первый способ: сложение смешанного числа и неправильной дроби можно свести к сумме двух неправильных дробей.

Для этого смешанное число можно представить в виде неправильной дроби и выполнить сложение неправильных дробей.

Второй способ: сложение смешанного числа и неправильной дроби можно свести к сумме двух смешанных чисел.

Для этого из неправильной дроби необходимо выделить целую часть и выполнить сложение двух смешанных чисел.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №1.

Сложите два числа \(\mathbf{3\frac{1}{4}}\) и \(\mathbf{\frac{6}{4}}\).

Решение:

Переведем неправильную дробь \(\mathbf{\frac{6}{4}}\) в смешанное число, разделив с остатком числитель на знаменатель дроби: 6 ÷ 4 = 1 (ост. 2), отсюда \(\mathbf{\frac{6}{4} = 1\frac{2}{4}}\).

Подставим вместо \(\mathbf{\frac{6}{4}}\) соответствующее этой дроби смешанное число \(\mathbf{1\frac{2}{4}}\).

\(\mathbf{3\frac{1}{4} + \color{blue}{\frac{6}{4}} = 3\frac{1}{4} + \color{blue}{1\frac{2}{4}} = 3 + \frac{1}{4} + 1 + \frac{2}{4} = (3 + 1) + (\frac{1}{4}  +\frac{2}{4}) = 4 + \frac{3}{4} = 4\frac{3}{4}}\)

Пример №2.

Сложите два числа \(\mathbf{3\frac{1}{4}}\) и \(\mathbf{\frac{6}{4}}\).

Решение:

Переведем смешанное число \(\mathbf{3\frac{1}{4}}\) в неправильную дробь.

Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, необходимо умножить целую часть смешанного числа на знаменатель его дробной части, к полученному произведению прибавить числитель дробной части, затем записать полученный результат суммы в числитель новой дроби, а знаменатель оставить без изменений.

\(\mathbf{3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}}\)

Подставим вместо смешанного числа \(\mathbf{3\frac{1}{4}}\) соответствующую ему неправильную дробь \(\mathbf{\frac{13}{4}}\).

\(\mathbf{\color{blue}{3\frac{1}{4}} + \frac{6}{4} = \color{blue}{\frac{13}{4}} + \frac{6}{4} = \frac{13 + 6}{4} = \frac{19}{4}}\)

Ответ запишем в виде смешанного числа, для этого из полученной неправильной дроби \(\mathbf{\frac{19}{4}}\) выделим целую часть: 19 ÷ 4 = 4 (ост. 3), следовательно, \(\mathbf{\frac{19}{4} = 4\frac{3}{4}}\)

Рассмотрим правила вычитания смешанных чисел.

В зависимости от того, какие значения принимают дробные части смешанных чисел, существуют различные варианты вычисления разности.

1. При вычитании смешанных чисел целые части вычитают отдельно, дробные- отдельно.

Вычитание одного смешанного числа из другого сводится к уже известным нам правилам вычитания натуральных чисел и вычитания дробных чисел.

Чтобы найти разность чисел, необходимо из уменьшаемого вычесть вычитаемое.

Запишем алгоритм вычитания смешанных чисел.

• Выполнить вычитание целых частей смешанных чисел.
• Выполнить вычитание дробных частей смешанных чисел.
• Сложить полученные результаты.

Сложнее ситуация будет складываться, если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого.

В таком случае необходимо:

• Занять одну единицу от целой части уменьшаемого.
• Представить ее в виде дроби, в которой числитель равен знаменателю.
• Прибавить эту дробь к дробной части уменьшаемого.
• Выполнить вычитание целых частей смешанных чисел.
• Выполнить вычитание дробных частей смешанных чисел.
• Сложить полученные результаты.

Рассмотрим на примерах данные правила вычитания смешанных чисел.

Пример №1.

Вычислите разность двух смешанных чисел \(\mathbf{14\frac{2}{5}}\) и \(\mathbf{10\frac{1}{5}}\).

Решение:

Сравним дробные части смешанных чисел.

Для этого необходимо сравнить их числители в соответствии с правилом: больше та дробь, у которой числитель больше.

2- числитель дробной части уменьшаемого смешанного числа \(\mathbf{14\frac{2}{5}}\).

1- числитель дробной части вычитаемого смешанного числа \(\mathbf{10\frac{1}{5}}\).

Так как 2 > 1, значит \(\mathbf{\frac{\color{orange}{2}}{5} > \frac{\color{green}{1}}{5}}\)

Поскольку дробная часть уменьшаемого  больше дробной части вычитаемого , выполним вычитание целых частей смешанных чисел, выполним вычитание дробных частей смешанных чисел, полученные результаты сложим.

\(\mathbf{14\frac{2}{5} - 10\frac{1}{5} = (\color{orange}{14} + \color{green}{\frac{2}{5}}) - (\color{orange}{10} + \color{green}{\frac{1}{5}}) = (\color{orange}{14} - \color{orange}{10}) + (\color{green}{\frac{2}{5}} - \color{green}{\frac{1}{5}}) = 4 + \frac{2 - 1}{5} = 4 + \frac{1}{5} = 4\frac{1}{5}}\)

Пример №2.

Вычислите разность двух смешанных чисел \(\mathbf{31\frac{2}{7}}\) и \(\mathbf{1\frac{4}{7}}\).

Решение:

Сравним дробные части смешанных чисел.

Для этого необходимо сравнить их числители в соответствии с правилом: больше та дробь, у которой числитель больше.

2- числитель дробной части уменьшаемого смешанного числа \(\mathbf{31\frac{2}{7}}\).

4- числитель дробной части вычитаемого смешанного числа \(\mathbf{1\frac{4}{7}}\).

2 < 4, следовательно, \(\mathbf{\frac{\color{orange}{2}}{7} < \frac{\color{green}{4}}{7}}\)

Так как дробная часть уменьшаемого \(\mathbf{\frac{2}{7}}\) меньше дробной части вычитаемого \(\mathbf{\frac{4}{7}}\), займем единицу от целой части уменьшаемого и представим ее в виде дроби со знаменателем 7 (так как знаменатель всех имеющихся дробей в данном примере равен 7), уменьшив при этом целую часть уменьшаемого числа на единицу.

\(\mathbf{31\frac{2}{7} - 1\frac{4}{7} = (31 + \frac{2}{7}) - (1 + \frac{4}{7}) = (\color{red}{31 - 1} + \color{green}{1} + \frac{2}{7}) - (1 + \frac{4}{7}) =}\)

\(\mathbf{= (\color{red}{30} + \color{green}{\frac{7}{7}} + \frac{2}{7}) - (1 + \frac{4}{7}) = (\color{purple}{30} + \color{blue}{\frac{9}{7}}) - (\color{purple}{1} + \color{blue}{\frac{4}{7}}) = (\color{purple}{30} - \color{purple}{1}) + (\color{blue}{\frac{9}{7}} - \color{blue}{\frac{4}{7}}) = 29 + \frac{5}{7} = 29\frac{5}{7}}\)

2. Вычитание смешанного числа из натурального числа.

При вычитании смешанного числа из натурального числа так же приходится занимать единицу от уменьшаемого натурального числа и представлять ее в виде дроби, в которой числитель равен знаменателю.

Рассмотрим поясняющий пример.

Вычислите разность чисел 20 и \(\mathbf{3\frac{4}{5}}\).

Решение:

Уменьшаемое число 20 не содержит дробную часть, займем у него единицу и представим ее в виде дроби со знаменателем 5 (так как знаменатель всех имеющихся дробей в данном примере равен 5), уменьшив при этом уменьшаемое натуральное число на единицу.

\(\mathbf{20 - 3\frac{4}{5} = 20 - (3 + \frac{4}{5}) = (\color{red}{20 - 1} + \color{green}{1}) - (3 + \frac{4}{5}) = (\color{red}{19} + \color{green}{\frac{5}{5}}) - (3 + \frac{4}{5}) =}\)

\(\mathbf{= (19 - 3) + (\frac{5}{5} - \frac{4}{5}) = 16 + \frac{1}{5} = 16\frac{1}{5}}\)

3. Вычитание натурального числа из смешанного числа.

При вычитании из смешанного числа натурального числа необходимо вычесть из целой части смешанного числа натуральное число, оставив при этом дробную часть без изменений.

Пример.

Вычтем из смешанного числа \(\mathbf{15\frac{1}{5}}\) натуральное число 12.

\(\mathbf{15\frac{1}{5} - 12 = (15 + \frac{1}{5}) - 12 = (\color{orange}{15} + \frac{1}{5}) - \color{orange}{12} = (\color{orange}{15} - \color{orange}{12}) + \frac{1}{5} = 3\frac{1}{5}}\)

4. Вычитание из смешанного числа обыкновенной дроби.

• Вычитание из смешанного числа правильной дроби.

При вычитании правильной дроби из смешанного числа необходимо вычесть дробь из дробной части этого смешанного числа, а целую часть его оставить неизменной.

Однако, если вычитаемая дробь больше чем дробная часть смешанного числа, то из его целой части придется занять единицу, представив ее в виде дроби, знаменатель которой равен числителю, целую часть смешанного числа при этом необходимо уменьшить на единицу.

Пример№ 1.

Найдите разность чисел \(\mathbf{19\frac{7}{12}}\) и \(\mathbf{\frac{4}{12}}\).

Решение:

Сравним числитель дробной части смешанного числа и вычитаемой дроби.

Числитель дроби \(\mathbf{\frac{7}{12}}\) равен 7.

Числитель дроби \(\mathbf{\frac{4}{12}}\) равен 4.

7 > 4, следовательно, \(\mathbf{\frac{\color{orange}{7}}{12} > \frac{\color{green}{4}}{12}}\).

В таком случае действия просты, необходимо вычесть дробь из дробной части смешанного числа, а целую часть его оставить неизменной.

\(\mathbf{19\frac{7}{12} - \frac{4}{12} = (19 + \color{green}{\frac{7}{12}}) - \color{green}{\frac{4}{12}} = 19 + (\color{green}{\frac{7}{12}} - \color{green}{\frac{4}{12}}) = 19 + \frac{3}{12} = 19\frac{3}{12}}\)

Пример №2.

Найдите значение выражения \(\mathbf{8\frac{7}{11} - \frac{8}{11}}\).

Решение:

Вычтем из смешанного числа \(\mathbf{8\frac{7}{11}}\) обыкновенную дробь \(\mathbf{\frac{8}{11}}\).

Сравним числители дробной части смешанного числа и вычитаемой дроби.

Числитель дроби \(\mathbf{\frac{7}{11}}\) равен 7.

Числитель дроби \(\mathbf{\frac{8}{11}}\) равен 8.

7 < 8, значит \(\mathbf{\frac{\color{orange}{7}}{11} < \frac{\color{green}{8}}{11}}\).

Так как дробная часть уменьшаемого смешанного числа меньше вычитаемой дроби, займем единицу из целой части смешанного числа и представим ее в виде дроби со знаменателем 11 (так как знаменатель всех имеющихся дробей в данном примере равен 11), уменьшив при этом целую часть смешанного числа на единицу.

\(\mathbf{8\frac{7}{11} - \frac{8}{11} = (8 + \frac{7}{11}) - \frac{8}{11} = (\color{red}{8 - 1} + \color{green}{1} + \frac{7}{11}) - \frac{8}{11} = (\color{red}{7} + \color{green}{\frac{11}{11}} + \frac{7}{11}) - \frac{8}{11} = }\)

\(\mathbf{= (7 + \frac{18}{11}) - \frac{8}{11} = 7 + (\frac{18}{11} - \frac{8}{11}) = 7 + \frac{10}{11} = 7\frac{10}{11}}\)

5. Вычитание из неправильной дроби смешанного числа.

Первый способ: вычитание смешанного числа из неправильной дроби и неправильной дроби из смешанного числа можно свести к разности двух неправильных дробей.

Для этого смешанное число можно представить в виде неправильной дроби и выполнить вычитание неправильных дробей.

Второй способ: вычитание смешанного числа из неправильной дроби и неправильной дроби из смешанного числа можно свести к разности двух смешанных чисел.

Для этого из неправильной дроби необходимо выделить целую часть и выполнить вычитание двух смешанных чисел.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример №1.

Найдите значение выражения \(\mathbf{\frac{122}{3} - 4\frac{2}{3}}\).

Решение:

Переведем неправильную дробь \(\mathbf{\frac{122}{3}}\) в смешанное число, разделив с остатком числитель на знаменатель дроби: 122 ÷ 3 = 40 (ост. 2), значит \(\mathbf{\frac{122}{3} = 40\frac{2}{3}}\).

Подставим в исходное выражение вместо неправильной дроби \(\mathbf{\frac{122}{3}}\) соответствующее ему смешанное число \(\mathbf{40\frac{2}{3}}\).

Найдем разность двух смешанных чисел.

\(\mathbf{\color{blue}{\frac{122}{3}} - 4\frac{2}{3} = \color{blue}{40\frac{2}{3}} - 4\frac{2}{3} = (40 - 4) + (\frac{2}{3} - \frac{2}{3}) = 36 + 0 = 36}\)

Дробные части уменьшаемого и вычитаемого оказались равными, в итоге дробная часть оказалась равна нулю.

Пример №2.

Найдите значение выражения \(\mathbf{\frac{21}{3} - 6\frac{2}{3}}\).

Решение:

Переведем \(\mathbf{6\frac{2}{3}}\) в неправильную дробь: \(\mathbf{6\frac{2}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{20}{3}}\).

Подставим в исходное выражение вместо смешанного числа \(\mathbf{6\frac{2}{3}}\) соответствующую ему неправильную дробь \(\mathbf{\frac{20}{3}}\).

Найдем разность двух неправильных дробей.

\(\mathbf{\frac{21}{3} - \color{blue}{6\frac{2}{3}} = \frac{21}{3} - \color{blue}{\frac{20}{3}} = \frac{21 - 20}{3} = \frac{1}{3}}\)

Арифметические операции сложения и вычитания часто используют при решении различных задач.

При решении задач арифметическим или алгебраическим способом используют основные свойства математических операций, применяют известные правила упрощения и преобразования выражений.

Часто одну и ту же текстовую задачу можно решить разными способами, отличающимися друг от друга логикой рассуждения.

Попробуем решить составную текстовую задачу на сложение и вычитание смешанных чисел.

Задача.

За три дня собрали \(\mathbf{17\frac{2}{3}}\) кг ягод.

В первый день собрали \(\mathbf{5\frac{1}{3}}\).

Во второй день собрали на \(\mathbf{\frac{8}{3}}\) кг больше, чем в первый день.

Сколько килограммов ягод собрали в третий день?

1. Решим данную задачу арифметическим способом (составлением выражения).

Запишем кратко условие задачи.

Собрали в первый день: \(\mathbf{5\frac{1}{3}}\) кг.

Собрали во второй день: \(\mathbf{5\frac{1}{3} + \frac{8}{3}}\) кг.

Всего ягод собрали за три дня: \(\mathbf{17\frac{2}{3}}\) кг.

Собрали ягод на третий день- неизвестно.

Чтобы найти сколько ягод собрали на третий день необходимо из общего количества ягод, собранных за три дня, вычесть ягоды, собранные в первый и во второй день.

Составим выражение.

\(\mathbf{17\frac{2}{3} - 5\frac{1}{3} - (5\frac{1}{3} + \frac{8}{3})}\)

Найдем значение полученного выражения.

Данное выражение содержатся сразу несколько арифметических операций и скобки.

Определим порядок действий в данном выражении, используя правила, которые определяют порядок выполнения действий в математических выражениях.

1) Это выражение содержит скобки, поэтому выполним сначала действия в них.

Для этого найдем сумму смешанного числа и неправильной дроби.

Сложение смешанного числа и неправильной дроби можно свести к сумме двух смешанных чисел (из неправильной дроби необходимо выделить целую часть и выполнить сложение двух смешанных чисел).

Переведем неправильную дробь \(\mathbf{\frac{8}{3}}\) в смешанное число, разделив с остатком числитель на знаменатель дроби: 8 ÷ 3 = 2 (ост. 2), получаем \(\mathbf{\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}}\).

\(\mathbf{5\frac{1}{3} + \color{blue}{\frac{8}{3}} = 5\frac{1}{3} + \color{blue}{2\frac{2}{3}} = \color{purple}{5} + \color{blue}{\frac{1}{3}} + \color{purple}{2} + \color{blue}{\frac{2}{3}} = (5 + 2) + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = 7 + \frac{3}{3} = 7 + 1 = 8}\)

Так как оставшиеся за скобками действия- это действия первой ступени, то они выполняются по порядку слева направо.

2) Найдем разность смешанных чисел \(\mathbf{17\frac{2}{3} - 5\frac{1}{3}}\).

Чтобы найти разность двух смешанных чисел, необходимо выполнить вычитание целых частей смешанных чисел, затем выполнить вычитание дробных частей этих чисел и сложить полученные результаты.

\(\mathbf{17\frac{2}{3} - 5\frac{1}{3} = (\color{orange}{17} + \color{green}{\frac{2}{3}}) - (\color{orange}{5} + \color{green}{\frac{1}{3}}) = (\color{orange}{17} - \color{orange}{5}) + (\color{green}{\frac{2}{3}} - \color{green}{\frac{1}{3}}) = 12 + \frac{1}{3} = 12\frac{1}{3}}\)

3) Найдем разность значений, полученных во втором и первом действии, т.е. из смешанного числа \(\mathbf{12\frac{1}{3}}\) вычтем натуральное число 8.

Чтобы вычесть из смешанного числа натуральное число, необходимо вычесть из целой части смешанного числа натуральное число, оставив при этом дробную часть без изменений.

\(\mathbf{12\frac{1}{3} - 8 = \color{orange}{12} + \frac{1}{3} - \color{orange}{8} = (\color{orange}{12} - \color{orange}{8}) + \frac{1}{3} = 4 + \frac{1}{3} = 4\frac{1}{3}}\) (кг) ягод собрали на третий день.

Ответ: \(\mathbf{4\frac{1}{3}}\) (кг).

Эту же задачу можно решить арифметическим способом, но по действиям.

Запишем кратко условие задачи.

Собрали в первый день: \(\mathbf{5\frac{1}{3}}\) кг.

Собрали во второй день: \(\mathbf{5\frac{1}{3} + \frac{8}{3}}\) кг.

Всего ягод собрали за три дня: \(\mathbf{17\frac{2}{3}}\) кг.

Собрали ягод в третий день- неизвестно.

В таком случае решение данной задачи будет состоять из следующих этапов:

• первым делом найдем сколько ягод, собрали во второй день.
• далее, сложив полученный результат с ягодами, которые были собраны в первый день, найдем какое количество ягод собрали за первый и второй день.
• затем полученную сумму вычтем из общего количества ягод, собранных за три дня, в итоге получим сколько килограммов ягод, собрали за третий день.

1) \(\mathbf{5\frac{1}{3} + \color{blue}{\frac{8}{3}} = 5\frac{1}{3} + \color{blue}{2\frac{2}{3}} = \color{purple}{5} + \color{blue}{\frac{1}{3}} + \color{purple}{2} + \color{blue}{\frac{2}{3}} = (5 + 2) + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = 7 + \frac{3}{3} = 7 + 1 = 8}\) (кг) ягод собрали во второй день.

2) \(\mathbf{5\frac{1}{3} + 8 = 5 + \frac{1}{3} + 8 = (\color{blue}{5} + \color{blue}{8}) + \frac{1}{3} = 13 + \frac{1}{3} = 13\frac{1}{3}}\) (кг) ягод собрали за первый и второй день.

3) \(\mathbf{17\frac{2}{3} - 13\frac{1}{3} = (\color{orange}{17} + \color{green}{\frac{2}{3}}) - (\color{orange}{13} + \color{green}{\frac{1}{3}}) = (\color{orange}{17} - \color{orange}{13}) + (\color{green}{\frac{2}{3}} - \color{green}{\frac{1}{3}}) = 4\frac{1}{3}}\) (кг) ягод собрали на третий день.

Ответ: \(\mathbf{4\frac{1}{3}}\) (кг).

2. Решим задачу алгебраическим способом.

Кратко запишем условие задачи.

Собрали в первый день: \(\mathbf{5\frac{1}{3}}\) кг ягод.

Собрали во второй день: \(\mathbf{5\frac{1}{3} + \frac{8}{3}}\) кг ягод.

Пусть х (кг) ягод собрали на третий день.

Зная, что всего собрали за три дня \(\mathbf{17\frac{2}{3}}\) кг ягод.

Составим уравнение.

\(\mathbf{5\frac{1}{3} + (5\frac{1}{3} + \frac{8}{3}) + x = 17\frac{2}{3}}\)

Упростим данное уравнение.

Выполним действие в скобках, т.е. найдем сумму смешанного числа \(\mathbf{5\frac{1}{3}}\) и неправильной дроби \(\mathbf{\frac{8}{3}}\), полученный результат сложим с первым слагаемым \(\mathbf{5\frac{1}{3}}\) (эти действия мы уже выполняли, решая задачу арифметическим способом).

\(\mathbf{5\frac{1}{3} + \frac{8}{3} = 5\frac{1}{3} + 2\frac{2}{3} = (5 + 2) + (\frac{1}{3} + \frac{2}{3}) = 7 + \frac{3}{3} = 7 + 1 = 8}\)

\(\mathbf{5\frac{1}{3} + 8 = 5 + \frac{1}{3} + 8 = (5 + 8) + \frac{1}{3} = 13 + \frac{1}{3} = 13\frac{1}{3}}\)

Получается, что выражение \(\mathbf{5\frac{1}{3} + (5\frac{1}{3} + \frac{8}{3})}\) тождественноравно выражению \(\mathbf{13\frac{1}{3}}\).

Подставим в исходное уравнение вместо суммы \(\mathbf{5\frac{1}{3} + (5\frac{1}{3} + \frac{8}{3})}\) смешанное число \(\mathbf{13\frac{1}{3}}\).

Получим простое уравнение с неизвестным слагаемым:

\(\mathbf{13\frac{1}{3} + x = 17\frac{2}{3}}\)

Чтобы найти неизвестное слагаемое, необходимо вычесть из суммы известное слагаемое.

\(\mathbf{13\frac{1}{3} + x = 17\frac{2}{3}}\)

\(\mathbf{x = 17\frac{2}{3} - 13\frac{1}{3}}\)

\(\mathbf{x = (17 + \frac{2}{3}) - (13 + \frac{1}{3})}\)

\(\mathbf{x = (17 - 13) + (\frac{2}{3} - \frac{1}{3})}\)

\(\mathbf{x = 4 + \frac{1}{3}}\)

\(\mathbf{x = 4\frac{1}{3}}\) (кг) ягод собрали на третий день.

Ответ: \(\mathbf{4\frac{1}{3}}\) (кг).

Все три варианта решения задачи равноправны, дают одинаковый результат.