Урок 16 Получить доступ за 75 баллов Буквенная запись свойств сложения и вычитания натуральных чисел

На предыдущих уроках подробно рассмотрели арифметические операции сложения и вычитания натуральных чисел.

Выяснили, какими свойствами обладают данные математические операции.

На этом занятии познакомимся с буквенной записью свойств сложения и вычитания натуральных чисел.

Определим, каким образом можно упрощать числовые и буквенные выражения, используя свойства сложения и вычитания.

Перевод математической записи из словесной формы в символьную позволяет представить математическое утверждение наглядно, кратко, однозначно.

Так, например, при передаче информации в словесной форме в предложении можно менять слова и предложения в тексте, не нарушая общего смысла, а в записи высказываний на математическом языке чаще всего это недопустимо.

Пример.

«В одной корзине 30 грибов, во второй корзине на 6 грибов больше. Всего в двух корзинах 66 грибов.»

Попробуем сказать данное утверждение по-другому.

«Всего собрали 66 грибов. В одной корзине 30 грибов, в другой на 6 грибов больше»

Математический смысл и численные значения остались прежними.

С помощью чисел и знаков данное текстовое утверждение запишем так:

30 + (30 + 6) = 66.

Осмысленная комбинация математических символов, букв и знаков, как нам уже известно, называется математическим выражением.

Математические выражения делят на числовые и буквенные.

Числовые выражения состоят только из чисел, знаков математических операций и других специальных математических символов.

Буквенные выражения помимо чисел и знаков математических операций и других специальных математических символов содержит еще и буквы.

Буквы, входящие в буквенные выражения, называют переменными.

Слово «переменная» схоже по значению со словами «меняющаяся», «измененная», «непостоянная», что говорит о том, что буква в выражении, которая является переменной, может менять свое значение, т.е. принимать множество допустимых значений.

Переменную обозначают символом (чаще всего латинской буквой), общим для любого ее значения.

Пример.

Дано буквенное выражение а + 2.

а- это переменная.

Присвоим данной переменной значение 10.

Для этого приравняем ее к десяти, т.е. запишем а = 10.

В таком случае значение переменной а можно подставить в выражение а + 2

Получим числовое выражение 10 + 2, которое можно вычислить.

10 + 2 = 12

В буквенных выражениях могут находиться одна, две, три и более переменных.

Переменные, имеющие одно и то же значение, обозначаются одной буквой.

Соответственно, разными буквами обозначают различные по значению переменные.

Значение выражения с переменными зависит от значения переменных, входящих в него.

Последовательность выполнения арифметических операций в выражениях с переменными такая же, что и для числовых выражений.

С помощью выражений с переменными удобно записывать и доказывать различные теоремы, правила, законы и т.д.

В результате получается универсальная символьная запись, которая отвлечена от конкретных количественных значений.

Рассмотрим поясняющий пример.

Тему «Сложение натуральных чисел», мы рассматривали на числовых примерах.

Например, 2 + 3 = 5

Говорили, что

число 2- это первое слагаемое

число 3- это второе слагаемое

число 5- это сумма чисел 2 и 3.

Но в таком случае мы имели конкретный пример и лишь оговаривали, что он справедлив для любых натуральных чисел.

Правило сложения натуральных чисел можно было бы сделать универсальным, заменив числовое выражение на буквенное, обозначив компоненты сложения буквами (переменными).

Например,

первое слагаемое- а

второе слагаемое- b

сумма чисел- c.

Получили бы равенство с тремя переменными a + b = c.

Пользуясь полученным равенством, с легкостью можно определить сумму, подставляя различные значения переменных a и b.

Меняя значения переменных a и b, переменная с будет соответственно меняться тоже.

Допустим дано выражение a + b.

1. Найдем значение выражения a + b, если a = 6, b = 8

Решение:

Сумму натуральных чисел найдем с помощью равенства:

a + b = c

Подставим значения переменных в равенство, получим

6 + 8 = 14.

Ответ: переменная с равна 14 при a = 6, b = 8

2. Найдем значение выражения a + b, если a = 7, b = 5

Решение:

Опять же сумму натуральных чисел найдем с помощью равенства:

a + b = c

Подставим значения переменных в равенство, получим

7 + 5 = 12

Ответ: переменная с равна 12 при a = 7, b = 5.

При изменении значений переменных a и b, менялось значение переменной с.

Чтобы тождественно преобразовать одно выражение в другое, используют различные свойства арифметических операций.

Давайте рассмотрим подробней свойства сложения и вычитания натуральных чисел и запишем их в буквенном виде.

Мы выяснили, что с помощью буквенных выражений (выражений с переменными) можно записывать различные правила, доказательства, законы, и такая запись является наиболее удобной для запоминания и эффективной при вычислениях и преобразованиях.

1. Переместительное свойство сложения натуральных чисел.

Это свойство заключается в том, что результат сложения натуральных чисел не зависит от порядка следования слагаемых.

При перестановке слагаемых сумма не меняется.

Данное свойство в буквенной форме можно записать так:

a + b = b + a

В этом равенстве переменные а и b могут принимать любые натуральные значения или 0.

Рассмотрим примеры, подтверждающий данное свойство.

Пример 1.

Дано равенство с переменными а и b.

a + b = b + a (переместительный закон сложения)

Заменим буквы в данном равенстве их значениями:

a= 16

b= 20

И найдем значение числового равенства.

Решение:

16 + 20 = 20 + 16

В правой части равенства сумма 16 и 20 равна 36

16 + 20 = 36

В левой части равенства сумма 20 и 16 равна 36

20 + 16 = 36

Значение левой и правой часть равенства равны, при перестановке слагаемых местами сумма не изменилась.

Пример 2.

Рассмотрим в качестве примера задачу.

Точка О лежит на отрезке АВ.

Дина отрезка АО равна 15 см, длина отрезка ОВ равна 24 см.

Найдите длину отрезка АВ.

Решение:

Так как точка О принадлежит отрезку АВ, то она делит этот отрезок на две части (на два отрезка АО и ОВ).

Длина отрезка АВ равна сумме длин его частей, т.е. отрезков АО и ОВ.

АВ = АО + ОВ.

Подставим в равенство значения длин отрезков АО и ОВ.

Получим:

15 + 24 = 39 (см) длина отрезка АВ

Ответ: 39 см.

Если мы в равенстве АВ = АО + ОВ поменяем местами слагаемые, то длина отрезка будет равна:

АВ = ОВ + АО

Подставим в равенство значения длин отрезков АО и ОВ.

Получим:

24 + 15 = 39 (см) длина отрезка АВ

Ответ: 39 см.

При перестановке слагаемых местами сумма не изменилась, длина отрезка в первом и во втором случае равна 39 см.

2. Сочетательное свойство сложения натуральных чисел.

Последовательность действий при суммировании чисел не важна.

Сочетательное свойство сложения звучит так:

Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала к нему прибавить первое слагаемое, потом к полученной сумме второе.

Данное свойство с помощью букв записывается таким образом:

a + (b + c) = (a + b) + c

Причем переменные a, b, c- любые натуральные числа или нуль.

Приведем примеры, подтверждающий данное свойство.

Пример 1.

Дано равенство- сочетательный закон сложения

a + (b + c) = (a + b) + c

Подставим вместо букв a, b, c их значения:

a = 32

b = 8

c = 13

И найдем значение числового равенства.

Решение:

32 + (8 + 13) = (32 + 8) + 13

В левой части равенства к числу 32 прибавим сумму чисел 8 и 13, соблюдая порядок выполнения арифметических операций.

Известно, что первым выполняется действие в скобках.

32 + (8 + 13) = 32 + 21 = 53.

В правой части равенства стоит выражение, в котором к сумме чисел 32 и 8 необходимо прибавить число 13.

(32 + 8) + 13 = 40 + 13 = 53.

Выражения левой и правой части равенства имеют одинаковые значения, следовательно, равенство 32 + (8 + 13) = (32 + 8) + 13 верно, а это значит, что результат сложения числа с суммой двух чисел равен результату суммы двух первых чисел с третьим числом.

Отметим тот факт, что значение числового выражения во втором случае найти было легче, так как в сумме 32 и 8 давали круглое число 40.

Как нам известно, выполнять действия с круглыми числами намного проще.

Такого рода упрощения математических выражений используют при решении задач.

Пример 2.

Решим в качестве примера задачу.

Дан треугольник АВС.

Сторона а = 4 см, сторона b = 6 см, сторона с = 9 см.

Найдите периметр треугольника АВС.

Решение:

Периметр треугольника равен сумме длин трех его сторон.

Найдем периметр треугольника по формуле:

Р_АВС = a + b + c

Сложить длины сторон треугольника можно двумя способами.

1) Сначала найти сумму длин сторон a и b, а затем прибавить длину стороны с.

Р_АВС = (a + b) + c

Заменим буквы их значениями, получим равенство:

Р_АВС = (4 + 6) + 9 = 10 + 9 = 19 (см) периметр треугольника АВС

Ответ: 19 см.

2) Можно сначала найти сумму длин сторон b и c, а затем прибавить длину стороны а.

Р_АВС = a + (b + c)

Заменим буквы их значениями, получим равенство:

Р_АВС = 4 + (6 + 9) = 4 + 15 = 19 (см) периметр треугольника АВС

Ответ: 19 см.

В первом и во втором варианте решения задачи получили периметр треугольника АВС равный 19 см, что доказывает равносильность первого и второго равенства.

Однако в первом случае найти значение выражения было проще, так как при сложении 4 и 6 получили круглое число 10.

3. Свойство сложения натурального числа с нулем.

Данное свойство говорит о том, что прибавление к любому числу нуля не изменяет это число.

Свойство сложения натурального числа с нулем звучит так:

Сумма двух слагаемых, если одно из слагаемых равно нулю, будет всегда равна ненулевому слагаемому.

Обратите внимание, как выглядит данное свойство в буквенном виде:

а = а + 0

а = 0 + а

а- любое натуральное число.

Часто говорят, что нуль- это нейтральный элемент по сложению.

Приведем примеры, подтверждающий данное свойство.

Пример 1.

Пусть даны два равенства

а + 0 = а

0 + а = а

Подставим в первое и во второе равенство вместо букв a, ее значение.

a = 48

Решение:

48 + 0 = 48

0 + 48 = 48

Прибавляя число к нулю или нуль к числу, получается в ответе само это число.

Пример 2.

Рассмотрим в качестве примера две небольшие задачи.

1. У кормушки сидели 5 птиц, к ним прилетели еще 0 птиц.

Сколько птиц всего стало у кормушки?

К 5 птицам прилетело ноль птиц,;это значит, что не прилетело ни одной, следовательно, у кормушки осталось по-прежнему 5 птиц.

5 + 0 = 5 (птиц) стало у кормушки.

Ответ: 5 птиц.

Обратная ситуация будет складываться во второй задаче.

2. У кормушки не сидело ни одной птицы, прилетели к кормушке 5 птиц.

Сколько птиц всего стало у кормушки?

Не было у кормушки ни одной птицы, значит, сидело ноль птиц, когда прилетели 5 птиц, то только эти 5 птиц и стали сидеть у кормушки.

0 + 5 = 5 (птиц) стало у кормушки.

Ответ: 5 птиц.

Прибавляя число к нулю или нуль к числу, получили в результате само это число.

Выясним, как записать свойства вычитания с помощью буквенных выражений.

1. Свойство вычитания суммы двух чисел из натурального числа.

Вспомним формулировку свойства вычитания суммы двух чисел из натурального числа.

Чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала выполнить сложение, а затем вычесть полученную сумму из уменьшаемого числа.

Справедливо также следующее правило:

Чтобы вычесть сумму из числа, можно сначала из уменьшаемого вычесть одно из слагаемых, а затем из полученной разности вычесть другое слагаемое.

Данное свойство запишем с помощью букв.

a- (b + c) = (a- b) - c = (a- с) - b

a, b, c- натуральные числа.

Обязательно должно выполняться условие: сумма чисел, которую вычитают из числа, должна быть больше или равна вычитаемому, т.е. b + c < a или b + c = а

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Запишем свойства вычитания суммы двух чисел из натурального числа с помощью букв.

a- (b + c) = (a- b) - c = (a- c) - b

Подставим вместо букв a, b, c их значения:

a = 17

b = 3

c = 1

Решение:

17 - (3 + 1) = (17 - 3) - 1 = (17 -1) - 3

1) В первом выражении из числа 17 нужно вычесть сумму чисел 3 и 1.

17 - (3 + 1) = 17 - 4 = 13

2) Во втором выражении из числа 17 нужно вычесть первое слагаемое 3, затем из полученной разности вычесть число 1.

(17 - 3) - 1 = 14 - 1 = 13

3) В третьем выражении из числа 17 нужно вычесть второе слагаемое 1, затем из полученной разности вычесть число 3.

(17 - 1) - 3 = 16 - 3 = 13

Заметим, что все три выражения имеют равные значения.

Вывод: вычесть сумму из числа- это тоже самое, что вычесть из числа по отдельности каждое слагаемое этой суммы.

Пример 2.

Разберем второй пример, подтверждающий данное утверждение.

Решим задачу.

На стоянке было 9 автомобилей.

Со стоянки выехало 3 зеленых, затем 2 красных автомобиля.

Сколько автомобилей осталось на стоянке?

Решить данную задачу можно двумя способами.

1) Решение задачи первым способом:

Составим краткую запись задачи.

Было на стоянке- 9 (авт.)

Выехали:

Сколько осталось?

Разберем план решения:

Чтобы узнать сколько автомобилей осталось на стоянке, необходимо выяснить сколько всего автомобилей выехало с нее.

Затем из общего числа автомобилей вычесть общее количество уехавших.

Если зеленых выехало 3 авт., а красных 2 авт., то число всех, покинувших стоянку автомобилей, найдем суммой 3 и 2.

Получаем: 3 + 2 (авт.)- уехали со стоянки.

Из 9 вычтем сумму 3 + 2, узнаем сколько автомобилей осталось.

Составим выражение 9 - (3 + 2).

Найдем значение данного выражения.

9 - (3 + 2) = 9 - 5 = 4 (авт.) осталось на стоянке.

Ответ: 4 автомобиля.

1) Решение задачи вторым способом:

Первым делом определим сколько осталось автомобилей, когда уехали со стоянки 3 зеленых.

Для этого из общего количества, находящихся на стоянке автомобилей (9 авт.), вычтем 3 зеленых.

Получаем выражение 9 - 3.

Затем из оставшихся автомобилей необходимо отнять количество автомобилей красного цвета, покинувших автостоянку.

Таким образом, определим сколько автомобилей осталось после того, как уехали со стоянки 3 зеленых и 2 красных.

Из разности 9 - 3 вычтем число 2.

Составим числовое выражение и найдем его значение.

(9 - 3) - 2 = 6 - 2 = 4 (авт.) осталось на стоянке

Ответ: 4 автомобиля.

В первом и во втором варианте решения задачи получили ответ одинаковый- 4 автомобиля, следовательно, выражения, составленные для первой и второй задачи тождественно равны.

9 - (3 + 2) = (9 - 3) - 2.

2. Свойство вычитания натурального числа из суммы натуральных чисел.

Вспомним формулировку свойства вычитания натурального числа из суммы натуральных чисел.

Чтобы вычесть число из суммы, можно сначала определить сумму, а затем из полученного результата вычесть число.

При условии, что одно из слагаемых равно или больше числа, вычитаемого из этой суммы, возможна еще одна формулировка свойства вычитания натурального числа из суммы натуральных чисел.

Чтобы вычесть число из суммы, можно его вычесть из одного из слагаемых, затем к полученной разности прибавить второе слагаемое.

Буквенная запись данного свойства выглядит так:

(a + b) - c = (a- c) + b, где а > с или а = c

(a + b) - c = a + (b- c), где b > с или b = c

a, b, c- натуральные числа

а + b > c

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Запишем свойства вычитания суммы двух чисел из натурального числа с помощью букв.

(a + b) - c = (a - c) + b = a + (b - c)

Пусть a = 23, b = 12, c = 3.

Подставим вместо букв a, b, c их значения:

Решение:

(23 + 12) - 3 = (23 - 3) + 12 = (12 -3) + 23

1) В первом выражении из суммы чисел 23 и 12 вычтем число 3.

(23 + 12) - 3 = 35 - 3 = 32

2) Во втором выражении от первого слагаемого равного 23, можно отнять вычитаемое число 3 (так как 23 больше вычитаемого числа), а затем к полученной разности прибавить второе слагаемое 12.

(23 - 3) + 12 = 20 + 12 = 32

3) В третьем выражении из второго слагаемого равного 12, можно вычесть вычитаемое число 3 (так как 12 больше вычитаемого числа), а затем к полученной разности прибавить первое слагаемое 23.

(12 - 3) + 23 = 9 - 23 = 32

Во всех трех случаях получили одно и тоже значение 32, следовательно, все три числовые выражения тождественно равны.

Пример 2.

Рассмотрим задачу на вычитание числа из суммы.

С одной ветки сорвали 18 слив, а со второй- 10.

Съели 12 слив. Сколько слив осталось?

Составим краткую запись задачи.

Сорвали:

Съели- 12 слив.

Осталось- ?

Данную задачу попробуем решить разными способами.

1) Решение задачи первым способом:

Выясним план решения.

Чтобы узнать сколько осталось слив, нужно сначала определить общее количество слив, сорванных с двух веток.

Получим выражение 18 + 10.

Далее из полученной суммы необходимо вычесть сливы, которые съели, т.е. от суммы 18 + 10 нужно отнять 12.

Составим выражение и найдем его значение:

(18 + 10) - 12 = 28 - 12 = 16 (слив) осталось.

Ответ: 16 слив.

2) Решение задачи вторым способом:

Представим, что все 12 слив были съедены из числа слив, собранных с первой ветки, а затем сорвали 10 слив со второй ветки.

Тогда первым делом из 18 вычтем число 12, выясним сколько осталось слив, собранных с первого куста, получим разность 18 - 12.

К полученной разности прибавим 10 (сливы, собранные со второго куста).

Составим выражение и найдем его значение:

(18 - 12) + 10 = 6 + 10 = 16 (слив) осталось.

Ответ: 16 слив.

При решении задачи первым и вторым способом получили ответ одинаковый- 16 слив, следовательно, выражения, составленные для первой и во второй задачи тождественно равны.

(18 + 10) - 12 = (18 - 12) + 10

3. Вычитание нуля из натурального числа.

Свойства нуля при вычитании: если из числа вычесть нуль, то число не изменится.

Запишем данное свойство в буквенной форме.

а - 0 = а

Пример 1.

Пусть а = 73.

В выражение а - 0 = а вместо переменной а подставим заданное числовое значение этой переменной.

73 - 0 = 73.

Вычитая нуль из числа, получили само это число.

Рассмотрим в качестве примера такую задачу.

На клумбе расцвели 5 тюльпанов.

Ни одного тюльпана не сорвали.

Сколько тюльпанов осталось на клумбе?

Решение:

Ни одного тюльпана не сорвали, это значит, что было сорвано 0 тюльпанов.

Запишем кратко условия задачи.

Было- 5 тюльпанов.

Сорвали- 0 тюльпанов.

Осталось- ?

Составим числовое выражение и найдем его значение.

5 - 0 = 5 (тюльпанов) осталось на клумбе.

Ответ: 5 тюльпанов.

4. Вычитание из натурального числа само это число.

Данное свойство звучит так:

Разность двух одинаковых натуральных чисел равна нулю.

Можно сказать и по-другому:

Если из числа вычесть тоже самое число, то в результате получится нуль.

Буквенное представление данного свойства выглядит так:

а - а = 0

а- любое натуральное число.

Пример 1.

Допустим а = 26, то получим числовое равенство

26 - 26 = 0

Пример 2.

Данное свойство можно представить с помощью такой задачи.

В кошельке было 210 рублей.

За покупку в магазине отдали 210 рублей.

Сколько денег осталось в кошельке?

Решение:

Запишем кратко условия задачи.

Было (уменьшаемое)- 210 руб.

Отдали (вычитаемое)- 210 руб.

Осталось- ?

Чтобы найти остаток (разность), нужно из уменьшаемого вычесть вычитаемое.

Составим числовое выражение и найдем его значение.

210 - 210 = 0 (руб.) осталось в кошельке.

Ответ: 0 руб.