Урок 39 Получить доступ за 75 баллов Свойства действий с рациональными числами

Вам уже хорошо известны натуральные и целые числа.

Известно так же то, что с этими числами можно производить различные действия (сложение, вычитание, умножение и деление), а эти действия обладают некоторыми математическими свойствами, такими как переместительное свойство сложения и умножения, сочетательное свойство сложения и умножения, распределительное свойство.

Уроком ранее вы познакомились со множеством рациональных чисел, разобрались, что из себя они представляют.

Продолжая знакомство со множеством рациональных чисел, попробуем разобраться, справедливы ли все математические свойства сложения и умножения для данных чисел.

Натуральные числа являются подмножеством целых чисел, а целые числа, в свою очередь, подмножеством рациональных чисел.

Таким образом, можно утверждать, что основные действия и свойства с целыми числами имеют те же действия и свойства, которые характерны для натуральных чисел.

А это значит, что для рациональных чисел должны выполнятся все основные действия и свойства, что и для натуральных и целых чисел.

В таком случае рациональные числа можно сравнивать, складывать, вычитать, умножать и делить.

Сравнение рациональных чисел

Наглядно сравнить между собой числа, в том числе и рациональные, можно с помощью координатной прямой.

Если координатная прямая направлена вправо, точка О (0) является точкой начала отсчета, то, как уже известно, в этом случае положительные значения изображаются правее точки начала отсчета, а отрицательные левее точки начала отсчета.

Чем правее расположено на такой координатной прямой число, тем оно больше, чем левее расположено число, тем оно меньше.

Это значит для сравнения рациональных чисел справедливо следующее:

1. Любое положительное рациональное число больше нуля и больше любого отрицательного рационального числа
2. Любое отрицательное рациональное число меньше нуля и меньше любого положительного рационального числа

Пример:

Сравните два рациональных числа -0,5 и 0

Решение:

Изобразим координатную прямую направленную вправо, точка О (0) - точка начала отсчета, единичный отрезок равен 4 деления = 1 единица.

На координатной прямой число 0 расположено правее числа -0,5, следовательно,

-0,5 < 0

Ответ: -0,5 < 0

Так как рациональные числа часто представлены в дробном виде, то для сравнения таких чисел удобно пользоваться понятием модуль числа.

При сравнении двух положительных рациональных чисел большим является то число, чей модуль больше.

Пример:

Сравните два рациональных числа 7,5 и 14 ½

Решение:

|7,5| < |14 ½|

7,5 < 14 ½

Ответ: 7,5 < 14 ½

При сравнении двух отрицательных рациональных чисел большим является то число, чей модуль меньше.

Пример:

Сравните два рациональных числа\(\mathbf{-\frac{2}{5}\ и\   -\frac{3}{5}}\).

Решение:

\(\mathbf{|-\frac{2}{5}| < |-\frac{3}{5}|}\)

\(\mathbf{-\frac{2}{5} > -\frac{3}{5}}\)

Ответ: \(\mathbf{-\frac{2}{5} > -\frac{3}{5}}\)

Рассмотрим подробней арифметическое действие сложения, которое справедливо для любых рациональных чисел.

Сложение положительных рациональных чисел

Любое положительное рациональное число можно представить в виде рациональной дроби, поэтому для определения суммы положительных рациональных чисел нужно использовать правила сложения обыкновенных дробей.

Складываемые рациональные числа могут быть записаны в виде конечных десятичных дробей или в виде смешанных чисел.

Чтобы осуществлять сложение таких чисел, необходимо использовать правила сложения десятичных дробей и сложения смешанных чисел соответственно.

Сложение отрицательных рациональных чисел

Чтобы выполнить сложение отрицательных рациональных чисел, необходимо воспользоваться правилом сложения отрицательных чисел: сложить модули отрицательных чисел и поставить перед полученным числом знак минус «-».

Пример:

-3,1 + (-5,4) = -( |-3,1| + |-5,4| ) = -8,5

Ответ: -8,5

Сложение рациональных чисел с разными знаками

Для того, чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, необходимо действовать согласно правилу сложения чисел с разными знаками: из большего по модулю слагаемого вычесть меньшее, и перед полученным числом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше.

Пример:

3,1 + (-5,4) = -(5,4 - 3,1) = -2,3

Ответ: -2,3

Сложение нуля с другим рациональным числом

Существует нейтральный элемент по сложению - это ноль.

Прибавление нуля к любому рациональному числу не изменяет это число.

Пусть а - любое рациональное число, тогда

а + 0 = а

Сложение противоположных рациональных чисел

Сумма противоположных рациональных чисел равна нулю.

Для любого рационального числа а справедливо:

Для каждого числа а существует противоположное ему число -а, их сумма равна нулю.

а + (-а) = 0

Рассмотрим подробней арифметическое действие умножения, которое справедливо для любых рациональных чисел.

Умножение рациональных чисел с одинаковыми знаками.

Умножение рациональных чисел с одинаковыми знаками сводится к умножению модулей этих чисел.

Знак полученного произведения в любом случае будет «+»:

1. Произведение положительных рациональных чисел будет положительным числом.

Пример:

Вычислите произведение положительных рациональных чисел 2,3 и 10,1

Решение:

Так как оба числа представлены в виде конечных десятичных дробей, то будем сразу вычислять их произведение.

\(\mathbf{2,3 \cdot 10,1 = 23,23}\)

Ответ: получили положительное рациональное число 23,23

2. Произведение отрицательных рациональных чисел будет так же положительным числом.

Пример:

Вычислите произведение отрицательных рациональных чисел\(\mathbf{-\frac{3}{5}\ и\ (-0,1)}\).

Решение:

Представим десятичную дробь 0,1 в виде обыкновенной дроби

\(\mathbf{0,1 = \frac{1}{10}}\)

Выполним умножение обыкновенных дробей

Перемножим модули чисел, используя правило умножения отрицательных чисел.

\(\mathbf{-\frac{3}{5} \cdot -\frac{1}{10} = |-\frac{3}{5}| \cdot |-\frac{1}{10}| = \frac{3}{50}}\)

Ответ: получили положительное рациональное число \(\mathbf{\frac{3}{50}}\)

Умножение рациональных чисел с разными знаками

Чтобы найти произведение рациональных чисел с разными знаками, нужно перемножить модули множителей и полученному результату присвоить знак минус «-».

Пример:

Найдите произведение чисел -0,5 и ½

Решение:

Приведем дроби к общему виду, представим десятичную дробь в виде обыкновенной дроби:

\(\mathbf{0,5 = \frac{1}{2}}\)

Выполним умножение обыкновенных дробей.

Произведение двух чисел с разными знаками найдем, используя правило умножения чисел с разными знаками, и получим:

\(\mathbf{-0,5 \cdot \frac{1}{2} = (|-\frac{1}{2}| \cdot |\frac{1}{2}|) = -(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}}\)

 Ответ: \(\mathbf{-\frac{1}{4}}\)

Умножение на нуль

Произведение любого рационального числа на нуль есть нуль.

Для любого рационального числа а и b справедливо:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

\(\mathbf{a \cdot 0 = 0\ или\ 0 \cdot b = 0}\)

Возможен случай, что все множители равны нулю

а = 0 и b = 0, в результате произведение также равно нулю.

\(\mathbf{a \cdot b = 0 \cdot 0 = 0}\)

Умножение рационального числа на единицу

Существует нейтральный элемент по умножению - это единица.

Умножение любого рационального числа на 1 не изменяет это число.

Для любого рационального числа а справедливо:

\(\mathbf{a \cdot 1 = a}\)

Если умножить любое рациональное число на -1, то получится противоположное ему число.

Для любого положительного рационального числа а справедливо:

\(\mathbf{a \cdot (-1) = -a}\)

Умножение взаимно обратных чисел

Для действия умножения рациональных чисел характерно свойство умножения обратных чисел.

Вспомним, что два числа называют взаимно обратными, если их произведение равно 1.

А если два множителя - взаимно обратные числа, то их произведение равно единице.

Для любого рационального числа а, отличного от нуля ( а ≠ 0), существует обратное число\(\mathbf{\frac{1}{a}}\) такое, что \(\mathbf{a \cdot (\frac{1}{a}) = 1}\)

Пример:

Найдите произведение \(\mathbf{\frac{3}{5}\ и\ \frac{5}{3}}\)

\(\mathbf{\frac{3}{5}\cdot \frac{5}{3} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 3} = \frac{15}{15} = 1}\)

Ответ: 1

Всякое число, кроме нуля, имеет обратное.

Числа 1 и -1 - обратны сами себе.

Взаимно обратные числа не могут быть разных знаков, так как произведение чисел с разными знаками будет числом отрицательным, а значит, не равным единице.

Свойства арифметических действий с рациональными числами - это правила, по которым можно обращаться с рациональными числами.

Часто для упрощения математических задач применяют основные свойства арифметических действий.

Все свойства действий с рациональными числами основываются на свойствах действий с целыми числами.

Мы выяснили, что рациональные числа можно складывать, вычитать, умножать и делить.

Но также нам известно, что на множестве рациональных чисел действие вычитание задается как обратное сложению, а действие деления как обратное умножению.

Таким образом, для рациональных чисел остается два основных арифметических действия: сложение и умножение. Свойства, касающиеся вычитания и деления легко выводятся по аналогичным принципам из свойств сложения и умножения, их мы сейчас рассмотрим.

Пусть числа a, b, c, d - некоторые рациональные числа.

Рассмотрим основные свойства действий с этими числами.

Свойства сложения рациональных чисел:

1. Переместительное свойство

При сложении рациональных чисел неважно в каком порядке идут слагаемые.

От перестановки слагаемых местами сумма не меняется.

Пример:

Определим значение выражения а + b, если а = 0,5, b = 2,15

Подставим числовые значения а и b в заданное выражение, получим

а + b = 0,5 + 2,15 = 2,65

В заданном выражении а + b поменяем местами слагаемые, в результате

b+ a = 2,15 + 0,5 = 2,65.

Ответ: при перестановке слагаемых сумма выражения осталась прежней, равной 2,65.

2. Сочетательное свойство

Если выражение содержит только действия сложения чисел, то выполнять сложения этих чисел можно в любом порядке.

Таким образом, чтобы к сумме двух слагаемых прибавить третье число, можно к первому слагаемому прибавить сумму второго и третьего слагаемого.

Эти правила позволяют упрощать вычисления.

Если соединить переместительное и сочетательное свойства сложения, то складывать числа и их группировать можно в любом порядке.

Пример:

Найдите значения выражения а + (b + с), если

а = 7,5

b = 1,2

с = 3,3

Подставим числовые значения а, b и с в заданное выражение, получим

а + (b+ с) = 7,5 + (1,2 + 3,3) = 7,5 + 4,5 = 12

В заданном выражении а + (b+ с) поменяем порядок действий, заключив в скобки первое и второе слагаемые, в результате получим

(а + b) + с = (7,5 + 1,2) + 3,3 = 8,7 + 3,3 = 12

Ответ: при изменении порядка действий в выражении значение суммы осталось прежнее - равное 12.

Свойства умножения рациональных чисел:

Умножение, как и сложение, обладает переместительным и сочетательным свойством

1. Переместительное свойство

При умножении рациональных чисел неважно в каком порядке идут множители.

От перестановки множителей местами произведение не изменяется.

Пример:

Определим значение выражения \(\mathbf{a \cdot b}\), если а = 0,5, b = 2,1

Подставим числовые значения а и b в заданное выражение, получим

\(\mathbf{a \cdot b = 0,5 \cdot 2,1 = 1,05}\)

В заданном выражении \(\mathbf{a \cdot b }\) поменяем местами множители, в результате

\(\mathbf{b \cdot a = 2,1 \cdot 0,5 = 1,05}\)

Ответ: при перестановке множителей местами произведение осталось прежним, равным 1,05

2. Сочетательное свойство

Если выражение содержит только действия умножения чисел, то выполнять умножение этих чисел можно в любом порядке.

Таким образом, чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего множителя.

Переместительное и сочетательное свойство умножения позволяют в произведении переставлять и группировать множители в любом порядке, тем самым упрощая математическое выражение.

Пример:

Найдите значения выражения \(\mathbf{a \cdot (b \cdot c)}\), если

\(\mathbf{a = \frac{1}{2}}\)

\(\mathbf{b = \frac{3}{4}}\)

\(\mathbf{c = -\frac{1}{2}}\)

Подставим числовые значения а, b и с в заданное выражение, получим

\(\mathbf{a \cdot (b \cdot c) = \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{4} \cdot (-\frac{1}{2})) = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{3}{8}) = -\frac{3}{16}}\)

В заданном выражении \(\mathbf{a \cdot (b \cdot c)}\) поменяем порядок действий, заключив в скобки первый и второй множитель, в результате

\(\mathbf{(a \cdot b) \cdot c = (\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{8} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{3}{16}}\)

Ответ: при изменении порядка действий в выражении значение произведения осталось прежним, равным \(\mathbf{-\frac{3}{16}}\)

Распределительное свойство относительно сложения

Рассмотрим свойство, объединяющее сложение и умножение рациональных чисел.

Для того, чтобы умножить сумму на число, можно сначала умножить первое слагаемое на это число, потом второе слагаемое на это число, а затем полученные результаты сложить.

В буквенном выражении это правило выглядит так:

Правую часть равенства называют правилом раскрытия скобок.

Левую часть данного равенства называют правилом вынесения общего множителя за скобки.

Пример:

Найдите значение выражения \(\mathbf{(a + b) \cdot c}\), если

\(\mathbf{a = \frac{1}{2}}\)

\(\mathbf{b = \frac{3}{4}}\)

\(\mathbf{c = -\frac{1}{2}}\)

Подставим числовые значения а, b и с в заданное выражение, получим

\(\mathbf{(a + b) \cdot c = (\frac{1}{2} + \frac{3}{4}) \cdot (-\frac{1}{2}) = (\frac{2}{4} + \frac{3}{4}) \cdot (-\frac{1}{2}) = \frac{5}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{5}{8}}\)

Раскроем скобки в выражении \(\mathbf{(a + b) \cdot c}\), умножив первое и второе слагаемое на число с, затем, сложив полученные результаты, получаем выражение вида:

\(\mathbf{a \cdot c + b \cdot c = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) + \frac{3}{4} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4} + (-\frac{3}{8}) = -\frac{2}{8} + (-\frac{3}{8}) = -\frac{5}{8}}\)

В нашем примере значение выражения \(\mathbf{(a + b) \cdot c}\) и значение выражения \(\mathbf{a \cdot c + b \cdot c}\) равны \(\mathbf{-\frac{5}{8}}\), т.е. справедливо равенство  \(\mathbf{(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c = -\frac{5}{8}}\)