Урок 36 Получить доступ за 75 баллов Умножение

В этом уроке мы узнаем, как перемножать два числа с разными знаками, а также разберемся, как перемножить два отрицательных числа.

Научимся возводить в квадрат как положительные, так и отрицательные числа, и предугадывать знаки результата умножения.

Также мы узнаем, как связаны между собой отрицательные числа и умножение на -1 и как это можно использовать.

Задача:

Кондитерская фабрика выпускает шоколадки по 3000 штук в день.

Фабрика изменила вес одной шоколадки на -10 грамм.

Вопрос: на сколько изменилось количество выпускаемого в день?

Для ответа на этот вопрос необходимо перемножить то, насколько меньше стал вес одной шоколадки, на общее количество шоколадок.

Так мы пришли к тому, что нам необходимо уметь перемножать числа с разными знаками.

Правило: чтобы перемножить числа с разными знаками, необходимо посчитать произведение модулей этих чисел и к результату приписать “минус”.

Применим это правило к нашей задаче:

1) Считаем модули:

\(\mathbf{\mid3000\mid=3000}\)

\(\mathbf{\mid-10\mid=10}\)

2) Считаем произведение модулей:

\(\mathbf{3000\cdot10=30000}\)

3) Приписываем “минус” и получаем ответ: на -30000 грамм.

Как видите, все достаточно просто, приведем еще примеры:

\(\mathbf{3\cdot(-5)=-15}\)

\(\mathbf{\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1}\)

\(\mathbf{-1\frac{1}{3}\cdot6=-8}\)

\(\mathbf{548\cdot(-0.5)=-274}\)

Заметим, что произведение чисел с разными знаками всегда число отрицательное.

Так происходит потому, что сначала считается произведение модулей, поэтому произведение положительных чисел определенно будет положительным.

Далее мы приписываем к нему минус. А если приписать минус к положительному числу, то получится ни что иное, как число отрицательное.

Теперь посмотрим, что делать, если надо перемножить два отрицательных числа.

Правило: произведение двух отрицательных чисел равняется произведению их модулей.

Пример:

Необходимо перемножить \(\mathbf{-15}\) и \(\mathbf{-3}\)

1) Находим их модули:

\(\mathbf{\mid-15\mid=15}\)

\(\mathbf{\mid-3\mid=3}\)

2) Считаем произведение модулей:

\(\mathbf{15\cdot3=45}\)

Если записать кратко: \(\mathbf{-15\cdot(-3)=45}\)

Это и будет ответом.

Даже проще, чем с произведением отрицательных чисел, - не надо приписывать минус.

Пример:

Перемножим \(\mathbf{-\frac{1}{6}\cdot(-\frac{3}{2})}\)

1) Посчитаем модули:

\(\mathbf{\mid-\frac{1}{6}\mid=\frac{1}{6}}\)

\(\mathbf{\mid-\frac{3}{2}\mid=\frac{3}{2}}\)

2) Считаем их произведение:

\(\mathbf{\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{2}=\frac{1\cdot3}{6\cdot2}=\frac{1}{2\cdot2}=\frac{1}{4}}\)

Ответ: \(\mathbf{\frac{1}{4}}\)

И еще несколько примеров:

\(\mathbf{-54\cdot(-2)=108}\)

\(\mathbf{-\frac{12}{45}\cdot(-\frac{15}{4})=\frac{12\cdot15}{45\cdot4}=\frac{3\cdot15}{45}=\frac{45}{45}=1}\)

\(\mathbf{-0.002\cdot(-0.2)=0.0004}\)

Заметим, что произведение отрицательных чисел всегда получается больше нуля.

Так происходит потому, что, по правилу, это произведение равняется произведению модулей этих чисел.

Сами модули - числа положительные. Значит, и их произведение является числом положительным.

Все наши примеры это только подтверждают, что произведение отрицательных чисел получается положительным.

Определение: квадратом числа а называется число \(\mathbf{a^2}\) такое, что \(\mathbf{a^2=a\cdot a}\)

Возможно, у вас уже возник вопрос, почему “квадрат”? Сразу ответим на него.

Чтобы найти площадь прямоугольника, необходимо перемножить длины двух его не противоположных сторон.

А у квадрата все стороны одинаковы, поэтому площадь равняется произведению стороны на саму себя, иными словами, площадь квадрата равняется квадрату длины его стороны.

Мы уже немного ушли в геометрию, которую вы будете изучать позже, а сейчас посмотрим на примеры нахождения квадратов. 

Пример:

Найдем квадрат числа 3.

Считать будем по определению, перемножим 3 само на себя:

\(\mathbf{3^2=3\cdot3=9}\)

Еще пример на положительное число, найдем квадрат числа 12 :

Точно также нужно перемножить число само на себя:

\(\mathbf{12^2=12\cdot12=144}\)

И с нулем все также максимально просто: любое число при умножении на 0 дает 0, и сам 0 при умножении на 0 даст 0 :

\(\mathbf{0^2=0\cdot0=0}\)

Теперь посмотрим, что будет, если мы будем считать квадрат отрицательного числа:

Посчитаем квадрат \(\mathbf{-4}\):

\(\mathbf{(-4)^2=(-4)\cdot(-4)=16}\)

Заметим, что мы перемножали отрицательные числа - значит, по сути просто взяли квадрат от модуля данного отрицательного числа.

Правило: квадрат отрицательного числа равен квадрату модуля отрицательных чисел.

Также заметим, что квадрат всегда неотрицателен.

Доказательство:

1. Если число в квадрате положительно, то квадрат положительного числа равен произведению положительных чисел и даст результат больший нуля.
2. Если число, от которого берется квадрат, равно нулю, то и квадрат равен нулю, что удовлетворяет определению неотрицательности.
3. Если же число, от которого берется квадрат, отрицательно, квадрат будет являться произведением двух отрицательных чисел, то есть числом положительным.

Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи, и во всех из них квадрат был числом неотрицательным, то есть положительным.

Мы уже знаем, что произведение отрицательного числа на положительное даст нам отрицательное число.

А что, если воспользоваться этим в обратную сторону?

Например, имеется отрицательное число \(\mathbf{-43}\)

Заметим, что оно равно \(\mathbf{-1\cdot43}\)

Также заметим, что квадрат от -1 равен 1.

\(\mathbf{(-1)^2=(-1)\cdot(-1)=-(1\cdot1)1}\)

Используя это в случаях с произведением чисел мы можем ловко менять и переставлять знаки.

Например, было такое произведение:

\(\mathbf{-636\cdot(-452)\cdot21\cdot(-3)}\)

Преобразовав его можно оставить только один “минус”, смотрите:

\(\mathbf{-636\cdot(-452)\cdot21\cdot(-3)=(-1)\cdot636\cdot(-1)\cdot452\cdot21\cdot(-1)\cdot3}\)

Сейчас для больше наглядности мы переставим все -1 в начало, но этого можно и не делать:

\(\mathbf{(-1)\cdot636\cdot(-1)\cdot452\cdot21\cdot(-1)\cdot3=(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot636\cdot452\cdot21\cdot3}\)

Каждая пара минус единиц дает единицу. В данном случае минус единиц три штуки, значит, две из них дадут единицу, а третья останется:

\(\mathbf{(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot636\cdot452\cdot21\cdot3=(-1)\cdot636\cdot452\cdot21\cdot3}\)

Казалось бы, что нам это дало? А дало это нам то, что теперь знак выражения стал более наглядным: мы видим произведение -1 и произведение положительных чисел, являющегося положительным числом.

Вот теперь можно сказать, что ответом будет отрицательное число.

Правило: произведение нескольких чисел является отрицательным, тогда и только тогда, когда из его множителей нечетное количество является отрицательными и ни один множитель не равен нулю.

Оговорка про нуль важна, так как если один из множителей равен нулю, то и все выражение равно нулю, а значит, не является отрицательным.

Иногда -1 уходят полностью. Так происходят в случаях, когда отрицательных множителей четное число.

Пример:

\(\mathbf{-7\cdot2\cdot(-3)\cdot(-4)\cdot(-2)=(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot7\cdot2\cdot3\cdot4\cdot2=7\cdot2\cdot3\cdot4\cdot2}\)

Правило: произведение нескольких чисел является положительным тогда и только тогда, когда из его множителей их четное количество являются отрицательными и ни один множитель не равен нулю.

Отметим еще один момент: -1 можно выносить и заносить в обе стороны.

То есть в данном случае мы можем переписать выражение так:

\(\mathbf{(-1)\cdot636\cdot452\cdot21\cdot3=-(636\cdot452\cdot21\cdot3)}\)

Это же позволит превращать вычитание отрицательного числа в прибавление положительного. В самом деле:

\(\mathbf{a-(-b)=a+(-(-b))=a+(-1\cdot(-b))=a+(-1\cdot(-1)\cdot b)=a+b}\)

Интересно посмотреть,как развивалась математика в Древней Руси.

В XVIII веке с приходом к власти Петра Первого (1672- 1725) в России появилась система образования, которая постепенно интегрировалась с общемировой и дала множество открытий.

Однако до этого момента тоже существовали математические познания, о которых мы сейчас и расскажем.

Как и в остальном мире, необходимость в математике была вызвана экономикой.

Поэтому одними из первых денежных знаков были домашние животные и шкуры.

Так, например, были резаны (куски шкур), куны (от слова “куница”) и ногаты.

Позже расчеты свели к гривнам: одна гривна, равная примерно 50-ти граммам серебра, равнялась 50-ти резанам, 25-ти кунам или 20-ти ногатам.

И уже позже, только к XIV веку, начали переходить к рублю, представлявшему из себя на тот момент круглый кусок серебра массой 205 грамм.

Меры длины во многих системах, в том числе и древнерусской, были связаны с параметрами человеческого тела:

• пядь равнялась расстоянию между концами разведенных большого и указательного пальца
• локоть равнялся расстоянию от кончиков пальца до локтя
• сажень была косой и маховой: маховая между разведенными с сторону руками, косая между ногой и отведенной вверх рукой

Первый свод математических правил встречается в сборнике “Русская правда” (XI век), там опять же говорилось про экономику: штрафы, долги проценты, что лишний раз показывает, что люди уже умели оперировать целыми и дробными числами.

Далее выходили и другие труды, связанные с математикой, которые постепенно входили и в массы.

Книга “Считание удобное, которым всякий человек купующий или продающий, зело удобно изыскати может, число всякие вещи”, которая вышла в 1682 году, своим названием уже намекает на то, что предназначена была не только для ученых или любителей, но и для купечества.

Ну а дальше при Петре I появлялись школы, приглашались зарубежные специалисты, и наука шагнула далеко вперед.

По сей день российские ученые и студенты-математики выигрывают международные конкурсы и награды, решая нерешенные до этого задачи.