Урок 41 Получить доступ за 75 баллов Коэффициент

В предыдущих уроках мы уже познакомились со свойствами действий с рациональными числами и раскрытием скобок. В этих темах у нас зачастую фигурируют не числа, а выражения.

В некоторых случаях у выражения можно выделить такое число, которое называют коэффициентом.

О том, что это такое, чему он равен, какой у него может быть знак и где его можно применить, мы узнаем в сегодняшнем уроке.

Мы уже знаем переместительное и сочетательное свойства умножения.

Они позволяют нам упрощать выражения, что делает работу удобнее.

Упростим выражение \(\mathbf{\frac{1}{2}a\cdot(-\frac{2}{3}b)}\), используя эти свойства.

\(\mathbf{\frac{1}{2}a\cdot(-\frac{2}{3}b)=\frac{1}{2}\cdot a\cdot(-\frac{2}{3})\cdot b=\frac{1}{2}\cdot(-\frac{2}{3})\cdot a\cdot b=-\frac{1}{3}\cdot a\cdot b=-\frac{1}{3}ab}\)

Мы представили выражения как произведение четырех множителей, сгруппировали в начало численные множители, а в конец буквенные, далее мы перемножили имеющиеся численные множители так, чтобы получилось одно число.

В данном случае коэффициентом выражения будет являться число \(\mathbf{-\frac{1}{3}}\)

Определение: если выражения является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называется числовым коэффициентом (или сокращенно коэффициентом).

Коэффициент обычно пишут перед буквенными множителями; также после него можно написать знак умножения, но обычно его не пишут, а он просто подразумевается.

Пример:

Каков коэффициент выражения \(\mathbf{0.4a}\)?

Проверяем, подходит ли выражение под определение: да, оно подходит, так как является произведением.

Числовой множитель только один, значит, ничего считать не надо, и мы сразу можем сказать, что коэффициент данного выражения равен \(\mathbf{0.4}\)

Пример:

Каков коэффициент выражения \(\mathbf{3a\cdot 2b \cdot 4\cdot c}\) ?

Опять же, данное выражение является произведением, правда коэффициент пока не ясен, так как числовой множитель не один.

В данном случае, как и в примере из начала урока множители необходимо сгруппировать, в результате получим, что коэффициент равен \(\mathbf{3\cdot 2\cdot 4=24}\)

Что если мы хотим посчитать коэффициент выражения, которое является произведением одних лишь буквенных множителей?

Тут нам поможет следующая логика.

Например, очевидно такое равенство: \(\mathbf{a=1\cdot a}\)

Так мы можем приписать умножение на единицу к любому выражению, при этом значение выражения никак не изменится.

Таким образом мы получим необходимый для определения числовой множитель, он и будет коэффициентом.

Поэтому если мы видим выражения, состоящие из одних лишь буквенных множителей, то мы знаем, что их коэффициент равен единице.

Примеры:

\(\mathbf{ab=1\cdot ab}\) - коэффициент равен единице

\(\mathbf{ab+ab=1\cdot ab+1\cdot ab=ab(1 + 1)=ab\cdot 2=2ab}\) - коэффициент равен 2

Как мы уже определили в прошлой главе, коэффициент будет являться произведением числовых множителей.

Значит, знак коэффициента будет соответствовать знаку этого произведения.

Посмотрим на примерах:

Пример:

Посчитаем коэффициент выражения \(\mathbf{3a\cdot (-3)\cdot b}\):

\(\mathbf{3a\cdot (-3)\cdot b=3\cdot(-3)\cdot ab=-9ab}\)

В данном случае коэффициент получился равным \(\mathbf{-9}\), то есть отрицательным, так как произведение числовых множителей получилось отрицательным.

Пример:

Посчитаем коэффициент выражения \(\mathbf{-\frac{1}{3}a\cdot (-\frac{1}{2})bc}\):

\(\mathbf{-\frac{1}{3}a\cdot (-\frac{1}{2})bc=-\frac{1}{3}\cdot(-\frac{1}{2})abc=\frac{1}{6}abc}\)

В данном случае количество отрицательных множителей четное, поэтому и коэффициент получается меньше нуля.

Если бы отрицательных множителей было число нечетное, то коэффициент получился бы отрицательным.

Правило: если выражение является произведением числовых и буквенных множителей и отрицательных числовых множителей четное количество, а остальные множители больше нуля, то коэффициент будет положительным; если же их нечетное количество, то коэффициент будет отрицательным.

Также мы знаем, что произведение любых чисел и нуля равняется нулю.

То же самое касается и буквенных множителей.

Пример:

\(\mathbf{\frac{1}{2}ab\cdot 0c=0}\)

Поэтому такие выражения, которые являются произведением, а один из их множителей равен нулю, сами равны нулю.

Сразу можно понять, как можно использовать эти знания.

Представим, что у нас есть некоторая сумма. И если для каждого выражения, которое является слагаемым, мы посчитаем коэффициент, то, возможно, некоторые слагаемые уничтожаться, потому что их коэффициент окажется равен нулю.

Пример:

\(\mathbf{2a+9438xy\cdot \frac{1}{36}c\cdot 0z+3b=2a+0+3b=2a+3b}\)

Как видите, нам не пришлось вдаваться в подробности слагаемого, так как один из его числовых множителей равен нулю.

Вы уже знаете с прошлых уроков, что умножение рациональных чисел обладает распределительным свойством относительно сложения.

То есть для любых рациональных чисел a, b и c будет верно равенство:

\(\mathbf{(a + b) \cdot c = ac + bc}\)

Мы знаем, что выражение, состоящее из рациональных чисел и включающее в себя операции сложения, вычитания, умножения и деления, также будет равняться рациональному числу.

А значит, вместо а, b и c могли стоять не просто рациональные числа, но и целые выражения - главное, чтобы одной букве соответствовало одно и только одно выражение.

Также известно, что отношение равенства симметрично, то есть из того, что (\(\mathbf{a=b}\)) следует, что (\(\mathbf{b=a}\))

Значит, мы можем использоваться распределительное свойство и так:

\(\mathbf{ab+bc=(a+b)\cdot c}\)

Часто мы будем называть такой переход вынесением общего множителя (общим является множитель с).

Теперь применим все эти факты на практике.

Пример:

Упростим выражение \(\mathbf{345ab+345bc+345cd}\) :

\(\mathbf{345ab+345bc+345cd=(345ab+345bc) + 345cd=345\cdot(ab+bc)+345cd=}\)

\(\mathbf{=345\cdot((ab+bc)+cd)=345\cdot(ab+bc+cd)}\)

Первым делом мы добавили скобки для наглядности, чтобы показать, что дальше мы будет упрощать сумму первых двух слагаемых.

К ним мы применили распределительной свойство и вынесли общий множитель 345.

Заметим, что теперь выражение представляет из себя два слагаемых, и у них у обоих есть общий множитель 345.

Поэтому в следующем действие мы снова выносим общий множитель.

Теперь остается убрать ненужные скобки, и мы получаем упрощенное выражение.

Кстати, на этом примере становится понятно, что распределительно свойство работает на любом количестве слагаемых:

\(\mathbf{(a+b+c)d=ad+bd+cd}\)

\(\mathbf{(a+b+с+...+z)t=at+bt+ct+...+zt}\)

Под троеточием в данном случае подразумевается сколько угодно много слагаемых, главное, что они такого же вида, как первые и последние.

То есть первое троеточие обозначает слагаемые, состоящие из одного числа (буквы), второе же троеточие обозначает слагаемые вида «слагаемое из левой части выражения домноженное на t».

Как же в данном случае нам может помочь коэффициент?

В нашем примере мы выносили общий множитель. Им как раз и является коэффициент таких выражений, как ab, bc и cd.

В примере он уже был везде посчитан и нам ничего не приходилось умножать.

Пример:

Упростим выражение \(\mathbf{30a+15b\cdot2c+10d\cdot3e}\) :

\(\mathbf{30a+15b\cdot 2c+10d\cdot 3e=30a+30bc+30de=30(a+bc+de)}\)

В данном случае мы сначала посчитали в каждом слагаемом коэффициент (слагаемые в данном случае являются не просто числами, а выражениями).

А далее мы поняли, что этот коэффициент является общим множителем и мы его выносим, пользуясь распределительным свойством.

Пример:

Упростим выражение \(\mathbf{3a\cdot b \cdot 3c +3\cdot a \cdot 3c}\) :

\(\mathbf{3a\cdot b \cdot 3c +3\cdot a \cdot 3c=9abc+9ac=9\cdot(abc+ac)}\)

Это выражение можно упростить еще сильнее, вынося общий буквенный множитель. В данном случае в скобках у слагаемых общий множитель a и с, их и вынесем:

\(\mathbf{9\cdot(abc+ac)=9\cdot(a(bc+c))=9\cdot(a(bc+1c))=9\cdot(a(c(b+1)))=9ac(b+1)}\)

Здесь мы применили тот факт, что если у выражения не стоит коэффициент, то мы считаем, что его коэффициент равен единице.

Ранее мы уже рассматривали одну ошибку в литературном произведении Джека Лондона.

Сегодня мы посмотрим не на ошибки, а на задачки в литературе.

Один из героев Жюля Верна пытался подсчитать, насколько его голова прошла более длинный путь за время одного кругосветного путешествия, чем его ступни.

На первый взгляд задача выглядит довольно непонятной.

Но если сделать ряд допущений, как это часто делают при решении задач реального мира, то наша задача становится вполне решаемой.

Во-первых, известно, что Земля имеет не совсем форму шара, но мы предположим, что траектория героя представляла из себя именно окружность с фиксированным радиусом - радиусом Земли (обозначим буквой R).

Во-вторых, предположим, что двигался он всегда в стоячем положении, а когда он спал, то не двигался.

Это нам нужно для того, чтобы предположить, что голова всегда была на определенном расстоянии от земли.

Тогда мы можем нарисовать следующий рисунок:

Выразим путь, который прошли ступни героя. Этот путь будет равняться длине окружности с радиусом R, то есть \(\mathbf{2\pi R}\)

Пунктиром обозначен путь головы героя, он равняется длине окружности с радиусом (R+h), то есть \(\mathbf{2\pi (R+h)}\)

Выразим разность второй и первой величины и получим результат:

\(\mathbf{2\pi (R+h)-2\pi R=2\pi(R+h-R)=2\pi h}\)

Видно, что результат не зависит от радиуса Земли, но зато зависит от высоты героя. Предположим, что его рост средний и равен 1.75 м.

Тогда \(\mathbf{2\pi h = 2\cdot 3.14\cdot1.75=10.99}\) м.

Ответ: на 10.99 м. голова героя прошла более длинный путь за время одного кругосветного путешествия, чем его ступни.

Как мы видим, для решения такой, на первый взгляд странной задачи, хватает весьма простой математики.