Урок 37 Получить доступ за 75 баллов Деление

В прошлом уроке мы познакомились с умножением.

Сейчас перейдем к делению, узнаем правила деления для чисел с разными знаками, деления отрицательных чисел, проведем параллели между умножением и делением, а также определим, какой может быть знак результата деления в зависимости от знаков делимого и делителя.

Правило: для того, чтобы разделить одно отрицательное число на другое отрицательное число, необходимо разделить модуль первого числа на модуль второго числа.

Это правило очень похоже на правило для умножения. Откуда такая схожесть мы узнаем чуть позже, а пока посмотрим на примеры.

Пример:

Допустим надо разделить -15 на -5

1) Найдем модули от этих чисел:

\(\mathbf{\mid-15\mid=15}\)

\(\mathbf{\mid-5\mid=5}\)

2) Посчитаем частное этих двух чисел:

\(\mathbf{15:5=3}\)

Это и будет ответ.

Пример:

Разделим -132 на -3

1) Находим модули этих чисел:

\(\mathbf{\mid-132\mid=132}\)

\(\mathbf{\mid-3\mid=3}\)

2) Посчитаем частное модулей:

\(\mathbf{132:3=44}\)

Это правило работает для нецелых чисел:

Разделим \(\mathbf{-\frac{4}{7}}\) на \(\mathbf{-\frac{2}{3}}\)

1) Считаем модули:

\(\mathbf{\mid-\frac{4}{7}\mid=\frac{4}{7}}\)

\(\mathbf{\mid-\frac{2}{3}\mid=\frac{2}{3}}\)

2) Выполняем деление:

\(\mathbf{\frac{4}{7}:\frac{2}{3}=\frac{4\cdot3}{7\cdot2}=\frac{2\cdot3}{7}=\frac{6}{7}}\)

Ответ готов.

И еще несколько примеров уже менее подробно:

\(\mathbf{-140:(-7)=140:7=20}\)

\(\mathbf{-\frac{1}{8}:(-\frac{1}{3})=\frac{1}{8}:\frac{1}{3}=\frac{1\cdot3}{8\cdot1}=\frac{3}{8}}\)

\(\mathbf{-127.5:(-5.1)=127.5:5.1=25}\)

Допустим, мы знаем, что на заводе 250 работников, получающих одинаковую зарплату, также мы знаем, что вся сумма денег на выплату зарплат изменилась на -100000 рублей.

На сколько изменилась зарплата каждого конкретного работника?

Необходимо разделить общее изменение на количество работников. Иными словами, необходимо разделить отрицательное число на положительное.

Правило: чтобы разделить отрицательное число на число положительное, нужно поделить модуль первого числа на модуль второго числа и к результату деления приписать минус.

Воспользуемся им для решения задачи:

1) Берем модули чисел:

\(\mathbf{\mid-100000\mid=100000}\)

\(\mathbf{\mid-250\mid=250}\)

2) Считаем частное:

\(\mathbf{100000:250=400}\)

3) И приписываем к результату минус:

\(\mathbf{-400}\)

Получаем, что зарплата каждого работника изменилась на -400 рублей, иными словами, уменьшилась на 400 рублей.

Теперь посмотрим, как разделить положительное число на отрицательное.

Правило: чтобы разделить положительное число на число отрицательное, нужно поделить модуль первого числа на модуль второго числа и к результату приписать минус.

Допустим, необходимо разделить 161 на -7:

1) Посчитаем модули:

\(\mathbf{\mid161\mid=161}\)

\(\mathbf{\mid-7\mid=7}\)

2) Посчитаем частное:

\(\mathbf{161:7=23}\)

3) И приписываем к нему минус:

\(\mathbf{-23}\)

Это и будет ответом.

Заметим, что оба правила достаточно похожи, поэтому можно их обобщить и запомнить общее правило.

Правило: чтобы посчитать частное чисел с разными знаками, необходимо посчитать частное их модулей и приписать к нему минус.

Вы уже могли заметить, что правила для умножения и деления весьма похожи. Это вполне закономерно.

Как мы уже говорили в уроке про деление дробей, деление можно заменить умножением делимого на число, обратное делителю.

И это верно для отрицательных чисел тоже.

Посмотрим, как это происходит на примерах.

Поделим \(\mathbf{-\frac{3}{8}}\) на \(\mathbf{-\frac{2}{9}}\):

1-й способ: воспользоваться правилом для деления отрицательных чисел:

\(\mathbf{-\frac{3}{8}:(-\frac{2}{9})=\frac{3}{8}:\frac{2}{9}=\frac{3\cdot9}{8\cdot2}=\frac{27}{16}=1\frac{11}{16}}\)

2-й способ: представить деление как умножение на число, обратное делителю, и воспользоваться правилом для умножения отрицательных чисел:

\(\mathbf{-\frac{3}{8}:(-\frac{2}{9})=-\frac{3}{8}\cdot(-\frac{9}{2})=\frac{3}{8}\cdot\frac{9}{2}=\frac{3\cdot9}{8\cdot2}=\frac{27}{16}=1\frac{11}{16}}\)

Как вы можете заметить, результаты вычислений разными подходами совпадают. Более того, совпадают даже последние действия, поэтому можете выбирать любой удобный для вас способ.

Такой же подход работает и для деления чисел с разными знаками.

Пример:

Разделим \(\mathbf{-\frac{4}{11}}\) на \(\mathbf{\frac{5}{6}}\)

1-й способ: воспользуемся правилом для деления чисел с разными знаками:

\(\mathbf{-\frac{4}{11}:\frac{5}{6}=-(\frac{4}{11}:\frac{5}{6})=-\frac{4\cdot6}{11\cdot5}=-\frac{24}{55}}\)

2-й способ: заменим деление на умножение и воспользуемся правилом для умножения чисел с разными знаками:

\(\mathbf{-\frac{4}{11}:\frac{5}{6}=-\frac{4}{11}\cdot\frac{6}{5}=-(\frac{4}{11}\cdot\frac{6}{5})=-\frac{4\cdot6}{11\cdot5}=-\frac{24}{55}}\)

Можно заметить, что результаты совпадают.

Так что можно выбирать любой способ для выполнения деления чисел с разными знаками.

Если мы хотим определить, какой знак будет у частного, не считая его, тогда нам помогут следующие правила:

Правило: частное двух отрицательных чисел всегда число положительное

Пример:

Частное \(\mathbf{-32}\) и \(\mathbf{-4}\) будет больше нуля.

Проверяем: \(\mathbf{-32:(-4)=32:4=8>0}\)

Правило: частное положительного числа и отрицательного меньше нуля

Пример 1:

Частное 45 и \(\mathbf{-5}\) будет меньше нуля.

Проверяем: \(\mathbf{45:(-5)=-(45:5)=-9<0}\)

Пример 2: 

Частное \(\mathbf{-36}\) и 3-х будет меньше нуля.

Проверяем: \(\mathbf{-36:3=-(36:3)=-12<0}\)

Также вне зависимости от знаков делить на 0 нельзя ни положительное, ни отрицательное число.

И если делимое равно нулю, то и частное будет равняться нулю (если такое деление вообще возможно, то есть если делитель не равен нулю).

Правило: если делимое равно нулю, а делитель - нет, то частное также равняется нулю.

Разберемся с этими правилами по порядку.

Итак, частное двух отрицательных чисел будет положительно, исходя из того правила, по которому мы его считаем.

Ведь частное двух положительных чисел, очевидно, будет положительным.

А по правилу, частное двух отрицательных чисел равно частному модулей этих чисел, то есть частному положительных чисел.

Также мы помним, что произведение двух отрицательных чисел является положительным числом.

Мы умеем представлять деление как умножение.

Значит, и по такой логике, частное двух отрицательных чисел больше нуля.

Как видите, есть разные способы это доказать.

Исходя из правила деления чисел с разными знаками, а именно исходя из того, что мы приписываем минус к частному модулей, можно сделать вывод, что частное двух чисел с разными знаками будет числом отрицательным.

Или же можно снова пойти по аналогии с умножением.

И так как произведение двух чисел с разными знаками будет числом отрицательным, то и частное будет меньше нуля.

С нулем также можно прибегнуть к аналогии с умножением.

И аналогично тому, как умножение нуля на отрицательное число даст 0, то и деление 0 на отрицательное число, будет нулем.

Мы уже говорили о площади круга и площади квадрата.

Эти знания нам сейчас пригодятся, потому что так мы можем найти математическую ошибку в одном литературном произведении, а именно, в романе Джека Лондона «Маленькая хозяйка большого дома».

«Посреди поля возвышался стальной шест, врытый глубоко в землю. С верхушки шеста к краю поля тянулся трос, прикреплённый к трактору. Механики нажали рычаг, и мотор заработал.

Машина сама двинулась вперёд, описывая окружность вокруг шеста, служившего его центром.

– Чтобы окончательно усовершенствовать машину, Грэхем, вам остаётся превратить окружность, которую она описывает, в квадрат.

– Да, на квадратном поле пропадает при такой системе очень много земли.

Грэхем произвёл некоторые вычисления, затем заметил:

– Теряем примерно три акра из каждых десяти.

– Не меньше».

И сейчас мы проверим, прав ли был Грэхем.

Посчитаем площадь квадрата: возводим длину сторон х в квадрат.

Так что площадь квадрата- \(\mathbf{x^2}\)

Теперь посчитаем площадь круга: \(\mathbf{\pi(\frac{x}{2})^2}\)

Теперь мы можем вычесть из площади квадрата площадь круга и понять, какая часть площади не используется.

\(\mathbf{x^2-\frac{\pi x^2}{4}=x^2(1-\frac{\pi}{4})=0.22x^2}\)

Как мы видим, не используется 0.22 земли, что явно меньше 0.3, о которых говорится в тексте.

Возможно, так автор хотел изобразить математическое невежество героев, или же он просто не уделил внимание таким подробностям.