Урок 17 Получить доступ за 75 баллов Уравнение

Часто приходится описывать реальную ситуацию, процесс, явление с помощью математического языка.

Математический язык- универсальный язык, с помощью него можно однозначно и кратко описать многие закономерности, процессы, задачи и т.д.

Связать реальную жизнь и математическое описание любой ситуации нам позволяет математическая модель.

Описывая реальность с помощью математического языка, люди создают математические модели, превращающие слова в формулы, неравенства, равенства, уравнения и т.п.

Математическая модель дает возможность решать огромное количество практических (природных, технических, научных, экономических, социальных и других) задач.

Математические модели делят на:

• Словесные.
• Графические (схемы, графики, чертежи, рисунки и т.д.).
• Аналитические (алгебраические: числовые равенства, неравенства, уравнения, формулы и т.д.).

На данном уроке подробно рассмотрим одну из аналитических математических моделей- уравнение.

Выясним, что такое уравнение и что называют корнем уравнения.

Рассмотрим простейшие виды уравнений.

Разберем способы и приемы решения уравнений с одним неизвестным.

Рассмотрим алгоритм и примеры решения задач с помощью уравнений.

Часто при решении задач приходится составлять равенства.

Два выражения (числовые или буквенные), соединенные знаком равно «=», образуют равенство.

В математике различают два вида равенств: тождества и уравнения.

Тождества- это числовые равенства, а также равенства, которые выполняются при всех допустимых значениях переменных, входящих в него.

Уравнение- это равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами, значение которых можно определить.

Неизвестное число, входящее в уравнение, называют неизвестным членом уравнения (или просто «неизвестным»).

Чаще всего в математике неизвестные величины обозначают маленькими буквами латинского алфавита x, y, z.

Пример 1:

4 + х = 18 является уравнением с неизвестной х.

12у - 5 = 19 является уравнением с неизвестной у.

(2 + z) - (3 - 1) = 2 является уравнением с неизвестной z.

Все три записи являются равенствами, в каждом из них есть неизвестное число, обозначенное буквой.

Пример 2:

4х - 18 не является уравнением, так как не является равенством.

24 - 5 = 19 не является уравнением, так как не содержит неизвестную.

у + 2 > 12 не является уравнением, так как не является равенством.

Решить уравнение- это значит найти неизвестное число, при котором из уравнения получается верное равенство.

Уравнение считается решенным, если все его решения найдены или доказано, что уравнение решения не имеет.

Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство, называют корнем уравнения.

Следовательно, если в уравнение вместо неизвестной подставить ее численное значение и получится верное числовое равенство, то это значение неизвестной будет решением этого уравнения.

Рассмотрим пример.

Дано уравнение 12 - х + 3 = 10.

1) Пусть х равно 6, получаем

12 - 6 + 3 = 10

9 ≠ 10 (девять не равно десяти)

При подстановке вместо неизвестного число 6, получаем неверное числовое равенство 9 ≠ 10, т.е. число 6 не является корнем уравнения.

2) Пусть х равно 5, получаем

12 - 5 + 3 = 10

10 = 10

При подстановке вместо неизвестного число 5, получаем верное числовое равенство 10 = 10, т.е. число 5 является корнем уравнения.

Уравнение может иметь разное количество корней: существуют уравнения, имеющие один единственный корень, уравнения, имеющие два, три корня.

Встречаются уравнения, вообще не имеющие верного решения, и даже такие уравнения, решением которых являются бесконечное множество решений.

Пример.

7 - х = 4 уравнение имеет один корень, х = 3, любое другое значение х будет давать неверное равенство.

х = х - 15 уравнение не имеет решения, так как любое значение неизвестного х будет данное равенство обращать в неверное, не существует таких чисел, которые были бы меньше самого себя.

0 ⋅ y = 0 уравнение имеет бесконечное множество верных решений, так как при умножении любого числа на 0, получается 0.

Уравнение, содержащее одну неизвестную, называют уравнением с одной неизвестной.

Уравнения с большим количеством неизвестным называют соответственно уравнением с двумя, тремя и т.д. неизвестными.

Такие уравнения и их решение будете рассматривать в старших классах.

Например, 26 - 2х = 23 - х- это уравнение с одной неизвестной х.

53 - х = 19у- это уравнение с двумя неизвестными х и у.

Любое уравнение имеет левую и правую часть.

Выражение, стоящее слева от знака равно, называют левой частью уравнения, а выражение, которое стоит справа, правой частью уравнения.

Каждый компонент, из которых состоит уравнение, называют членами этого уравнения.

Обычно все члены уравнения, содержащие неизвестное, следует группировать в левой части уравнения, а известные - в правой.

Чаще всего уравнение записывают в левой части страницы, справа делают письменные вычисления (вычислительные операции).

При решении уравнения каждое новое равенство записывается с новой строки (т.е. решение оформляется в виде столбика равенств).

Таким образом, знак равенства при решении уравнения используют только один раз в каждой строке.

Уравнения позволяют записать информацию в таком виде, в котором с ней можно выполнять математические действия и известные нам преобразования.

Необходимо помнить, что при нахождении корней уравнения с правой и левой частью уравнения можно производить различные действия, однако эти действия не должны нарушать равенство между ними.

Если уравнение составное, содержит несколько арифметических операций, то прежде всего необходимо установить последнее действие и выделить в качестве неизвестного компонента арифметической операции целое выражение, а затем упрощать уравнение.

Рассмотрим некоторые способы решения уравнений.

1. Нахождение неизвестных компонентов арифметических операций.

Чтобы найти корни уравнения, необходимо знать, каким образом связаны между собой компоненты арифметических операций.

Ранее мы подробно рассмотрели такие математические операции, как сложение и вычитание.

Вспомним, как найти каждый из компонентов сложения и вычитания и попробуем разобраться, каким образом данные знания могут быть применены при решении уравнений.

Решение уравнений с неизвестным слагаемым.

В общем виде операция сложения выглядит так:

В данном случае может быть неизвестным первое или второе слагаемое.

Вспомним, как связаны между собой компоненты операции сложения.

Правило: чтобы найти неизвестное слагаемое (первое или второе), необходимо из суммы вычесть известное слагаемое.

Это правило позволит решать уравнения с неизвестным слагаемым.

Рассмотрим на примерах.

Пример 1.

Решим уравнение х + 7 = 12.

Неизвестное обозначено маленькой латинской буквой х.

В данном уравнении неизвестно первое слагаемое.

Применим правило: чтобы найти неизвестное слагаемое (х), необходимо из суммы (равной 12) вычесть известное слагаемое (равное 7).

х = 12 - 7

х = 5.

Выполним проверку найденного корня.

Для этого в исходное уравнение х + 7 = 12 вместо неизвестного (х) нужно подставить найденное значение х = 5.

5 + 7 = 12

Вычислим левую часть равенства.

12 = 12

Получили тождество, следовательно, корень уравнения найден верно.

Запишем ответ.

Ответ: х = 5.

Опуская все наши пояснения и рассуждения, решение уравнения запишем так:

х + 7 = 12

х = 12 - 7

х = 5

Проверка:

5 + 7 = 12

12 = 12

Ответ: х = 5.

Пример 2.

Решим уравнение 16 + х = 24 - 4.

Найдем значение неизвестного х, при котором данное уравнение обратится в верное равенство.

Сумма 16 и неизвестного числа х равна разности 24 и 4.

В этом уравнение значение суммы представлено не просто числом, а числовым выражением 24 - 4.

Упростим выражение, для этого найдем значение разности.

24 - 4 = 20.

Левую часть уравнения перепишем в первоначальном виде 16 + х, а справа запишем полученный результат разности 24 и 4.

16 + х = 20

Получили простое уравнение, в котором неизвестно второе слагаемое.

Нам известно, как связаны между собой компоненты сложения.

Применим правило: чтобы найти неизвестное слагаемое (х), необходимо из суммы равной 20 вычесть известное слагаемое равное 16.

х = 20 - 16

х = 4.

Выполним проверку найденного корня.

В исходное уравнение 16 + х = 24 - 4 вместо неизвестного числа (х) подставим найденный корень х = 4.

16 + 4 = 24 - 4

20 = 20

Сумма чисел 16 и 4 равна 20, разность 24 и 4 равна 20, следовательно, значение левой и правой части равенства одинаково.

Значит корень уравнения найден верно.

Запишем ответ.

Ответ: х = 4.

Опуская все наши пояснения и рассуждения, решение уравнения запишем так:

16 + х = 24 - 4

16 + х = 20

х = 20 - 16

х = 4

Проверка:

16 + 4 = 24 - 4

20 = 20

Ответ: х = 4.

Решение уравнения с неизвестным уменьшаемым или вычитаемым.

В общем виде операция вычитания выглядит так:

В таком случае неизвестным компонентом может быть уменьшаемое и вычитаемое.

Вспомним, как связаны компоненты арифметической операции вычитания.

Если неизвестно уменьшаемое число, необходимо сложить два известных компонента вычитания.

Правило: чтобы найти уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.

Если из исходного уменьшаемого числа вычесть один из компонентов, то в итоге получается второй компонент.

Правило: чтобы найти вычитаемое, нужно от уменьшаемого отнять разность.

Эти правила позволят решать уравнения, в которых неизвестны уменьшаемое или вычитаемое.

Рассмотрим примеры.

Пример 1.

Решим уравнение х - 28 = 34.

Найдем значение неизвестного х, при котором данное уравнение обратится в верное равенство.

В данном уравнении неизвестно уменьшаемое.

Применим правило: чтобы найти уменьшаемое (х), необходимо к разности (равной 34) прибавить вычитаемое (равное 28).

х = 34 + 28

х = 62.

Выполним проверку.

Подставим в исходное уравнение х - 28 = 34 вместо неизвестного (х) найденный корень х = 62.

62 - 28 = 34

Вычислим левую часть равенства.

34 = 34

Получили верное равенство, следовательно, корень уравнения найден верно.

Запишем ответ.

Ответ: х = 62.

Опустим все наши пояснения и рассуждения; решение уравнения будет выглядеть так:

х - 28 = 34

х = 34 + 28

х = 62

Проверка:

62 - 28 = 34

34 = 34

Ответ: х = 62.

Пример 2.

Решим уравнение 48 - х = 17 + 20.

Найдем значение неизвестного х, при котором данное уравнение обратится в верное равенство.

Разность 48 и х равна сумме чисел 17 и 20.

Упростим уравнение, для этого в правой части равенства найдем сумму 17 и 20.

17 + 20 = 37

Левую часть равенства перепишем, сохраняя исходный вид, а справа запишем полученный результат суммы чисел 17 и 20.

48 - х = 37

Получили простое уравнение, в котором неизвестно вычитаемое.

Нам известно, как связаны между собой компоненты вычитания.

Применим правило: если из уменьшаемого (равного 48) вычесть разность (равную 37), то получится вычитаемое (х).

х = 48 - 37

х = 11

Выполним проверку.

В исходное уравнение 48 - х = 17 + 20 вместо неизвестного числа (х) подставим найденный корень х = 11.

48 - 11 = 17 + 20

Разность чисел 48 и 11 равна 37, сумма чисел 17 и 20 равна 37.

37 = 37

Получили верное равенство, следовательно, корень уравнения найден верно.

Запишем ответ.

Ответ: х = 11.

Опустим все наши пояснения и рассуждения, решение уравнения будет выглядеть так:

48 - х = 17 + 20

48 - х = 37

х = 48 - 37

х = 11

Проверка:

48 - 11 = 17 + 20

37 = 37

Ответ: х = 11.

Пример 3.

Попробуем решить более сложное уравнение.

(4 + х) - 5 = 19

Сразу решить такое уравнение невозможно.

Первым делом нужно определить арифметическую операцию, которая будет выполняться в последнюю очередь.

В данном равенстве это разность суммы (4 + х) и 5.

За неизвестное принимаем целое выражение, содержащее букву (4 + х), в уравнении оно является уменьшаемым.

Нам известно, чтобы найти уменьшаемое, необходимо к разности прибавить вычитаемое.

4 + х = 19 +5

Упростим данное равенство, вычислим правую часть уравнения, найдем сумму 19 и 5.

4 + х = 24

Получили простое уравнение, в котором неизвестно второе слагаемое.

Из суммы (равной 24) вычтем известное слагаемое (равное 4).

 х = 24 - 4

х = 20

Проверка:

(4 + 20) - 5 = 19

24 - 5 = 19

19 = 19

После подстановки х =20 получили верное равенство, следовательно, уравнение решено верно.

Ответ: х = 20.

2. Метод весов.

При решении уравнения с левой и правой частью уравнения приходится совершать различные преобразования, которые не должны нарушать равенство между ними.

Правило весов заключается в следующем: обе части уравнения можно поменять местами или уменьшить (увеличить) на одно и то же число, или разделить (умножить) на одно и то же число.

Данное правило позволяет упростить уравнение или избавиться от ненужных членов в уравнении, не влияя на тождественность.

Равносильные преобразования не меняют корни уравнения.

Представим уравнение в виде весов, чаши которых находятся в равновесии.

В нашей аналогии левая и правая чаши весов- это левая и правая части уравнения соответственно.

В таком случае:

• Если поменять местами грузы, т.е. переложить груз с левой чаши на правую, а с правой на левую, то равенство весов не нарушится.

Так и в уравнении, если переставить левую и правую части уравнения, равенство между ними сохранится.

• Какой массы груз положим на одну чашу весов, такой же массы груз необходимо положить на вторую чашу, чтобы равновесие весов не нарушилось.

Так и в уравнении, если обе части уравнения уменьшить или увеличить на одно и то же число, то на равенство левой и правой части уравнения это не повлияет.

В качестве примера рассмотрим уравнение уже решенное выше:

16 + х = 24 - 4.

Чтобы получить равенство, в котором в левой части будет находиться неизвестная величина, а в правой число, можно из левой и правой части уравнения вычесть число 16.

Получим равенство:

16 + х - 16 = 24 - 4 - 16

х = 20 - 16

х = 4

Уменьшая левую и правую часть равенства, мы получили уравнение, которое уже решали ранее (находили неизвестный компонент суммы).

Проверка данного корня показала, что корень уравнения х = 4 найден верно.

Ответ: х = 4.

У нас получилось верно решить одно и то же уравнение разными способами.

Часто решение практических задач сводится к составлению и решению уравнений или системы уравнений.

Уравнение зачастую упрощают процесс решения задач.

Математическая модель в виде уравнения позволяет установить связь между всеми данными задачи, выразить неизвестную величину через известные.

Различного рода задачи могут решаться с помощью похожих уравнений.

Таким образом, большое количество задач сводится к решению определенного типа уравнений.

После того как уравнения составлены, определить алгоритм и способ решения несложно.

Рассмотрим общий алгоритм решения задач с помощью уравнений.

1) Внимательно прочитать задачу

2) Проанализировать задач

• • выделить исходные данные
  • выделить искомые величины
  • определить взаимосвязь между величинами

3) Составить план решения (краткую запись, рисунок-схему)

4) Ввести переменные (буквами обозначить неизвестные величины, которые требуется найти по условию задачи)

5) Составить математическую модель задачи- уравнение

6) Решить уравнение (найти корни уравнения)

7) Найти ответ на вопрос задачи (выбрать те решения, которые соответствуют условию задачи)

8) Выполнить проверку найденных корней уравнения

9) Записать ответ

Разберем несколько задач, которые можно решить с помощью уравнения.

Задача № 1.

Маша загадала число.

Если это число уменьшить на 16, то получится 7.

Какое число загадала Маша?

Решение:

Пусть Маша задумала число х.

Уменьшив это число на 16, получится разность х - 16.

Полученная разность будет равняться (по условию задачи) семи.

Составим уравнение.

х - 16 = 7

Получим простое уравнение, в котором неизвестно уменьшаемое.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, необходимо вычитаемое и разность сложить, получим равенство

х = 16 + 7

х = 23- задуманное число.

Проверим результат.

В исходное уравнение х - 16 = 7 подставим найденное значение х = 23.

23 - 16 = 7

7 = 7

Получили верное равенство, значит корень найден верно.

Ответ: х = 23.

Задача № 2.

На полке было 12 книг.

Когда Дима взял с полки несколько книг, там осталось 9 книг.

Сколько книг Дима взял с полки?

Решение:

Пусть х книг Дима взял с полки.

На полке было 12 (книг).

Осталось 9 (книг).

Изобразим схематичный рисунок к задаче.

Если от общего количества книг, которые стояли на полке, отнять (вычесть) некоторое количество книг, которые взял Дима, то получим разность (остаток), а выражение 12 - х будет описывать эту разность.

По условию задачи данная разность равна 9.

Составим уравнение.

12 - х = 9

Получим простое уравнение, в котором неизвестно вычитаемое.

Найдем вычитаемое, из уменьшаемого вычтем разность.

12 - х = 9

х = 12 - 9

х = 3 (книги) Дима взял с полки.

Проверим полученный результат, подставим найденное значение х = 3 в исходное уравнение 12 - х = 9.

12 - 3 = 9

9 = 9

Получили верное равенство, значит, корень найден верно.

Ответ: х = 3

Задача № 3

После того как Миша взял из пенала несколько карандашей, в нем осталось 8 карандашей.

Сколько карандашей взял Миша, если в пенале было 12 карандашей?

Решение:

Пусть х карандашей Миша взял из пенала

Было- 12 (карандашей).

Осталось- 8 (карандашей).

Изобразим схематичный рисунок к задаче.

Карандаши, которые взял Миша, и карандаши, которые остались в пенале, определим суммой х + 8.

Данная сумма описывает общее количество карандашей, которые изначально лежали в пенале, а по условию эта сумма равна 12.

Составим уравнение.

х + 8 = 12

Получили простое уравнение, в котором неизвестно слагаемое.

Найдем неизвестное слагаемое, из суммы вычтем известное слагаемое.

х = 12 - 8

х = 4 (карандаша) Миша взял из пенала.

Проверим полученный корень уравнения, подставим найденное значение х = 4 в исходное уравнение х + 8 = 12.

4 + 8 = 12

12 = 12

Получили верное равенство, значит, корень найден верно.

Ответ: х = 4.

Задача № 4.

Попробуем решить составную задачу с помощью уравнения.

На остановке из автобуса вышли 11 пассажиров, а вошли 8, после чего в автобусе стало 32 пассажира.

Сколько пассажиров было в автобусе до остановки?

Решение:

Запишем кратко условие задачи.

Пусть х пассажиров были в автобусе до остановки.

Вышли- 11 (пассажиров).

Зашли- 8 (пассажиров).

Стало в автобусе 32 (пассажира).

Из общего количества пассажиров, которые были в автобусе вычтем пассажиров, которые вышли.

Получим выражение (х - 11)- пассажиры которые остались после того, как вышли 11 человек.

Затем 8 человек зашли, следовательно, прибавим к оставшимся (х - 11) пассажирам 8 человек.

Получим выражение (х - 11) + 8 - столько стало после того, как на остановке люди вышли и зашли.

А по условию в автобусе после остановки стало 32 пассажира, приравняем выражение (х - 11) + 8 к 32.

Составим уравнение.

(х - 11) + 8 = 32

Определим арифметическую операцию, которая будет выполнятся в последнюю очередь.

В нашем случае это сумма (х - 11) и 8.

На начальном этапе решения неизвестным в уравнении является слагаемое, целое выражение (х - 11).

Найдем слагаемое (х - 11), из суммы (равной 32) вычтем известное слагаемое (равное 8).

х - 11 = 32 - 8.

Упростим равенство, вычислим его правую часть, найдем разность 32 - 8.

х - 11 = 24

Получили уравнение, в котором неизвестным является уменьшаемое.

Подобные уравнения мы уже умеем решать.

Найдем уменьшаемое (х), сложив разность и вычитаемое.

х = 24 + 11

х = 35 (пассажиров) были в автобусе до остановки.

Проверим полученный корень уравнения, подставим найденное значение х = 35 в исходное уравнение (х - 11) + 8 = 32.

(35 - 11) + 8 = 32

24 + 8 = 32

32 = 32

Получили верное равенство, значит, корень найден верно.

Ответ: х = 35.