Урок 18 Получить доступ за 75 баллов Умножение натуральных чисел и его свойства

В прошлых уроках мы уже разобрали операции сложения и вычитания натуральных чисел.

Но довольно часто приходится складывать одинаковые слагаемые. Упростить этот процесс помогает умножение, о нем и пойдет речь в этом уроке.

Также будет рассказано, какие у умножения есть свойства, как они называются и применяются.

В завершение вы узнаете, как пользоваться буквенной записью умножения.

Начнем с определения операции умножения.

Определение: умножение двух чисел - повторение первого данного числа в качестве слагаемого столько раз, сколько единиц находится в другом данном числе.

Для обозначения умножения натуральных используется символ “\(\mathbf{\cdot}\)”.

Посмотрим, чему равно по определению умножение 2-х на 3.

\(\mathbf{2\cdot3=2+2+2=6}\)

Повторять в качестве слагаемого необходимо число 2, так как оно является первым числом, к которому применяется операция.

Повторить его нужно трижды, так как второе число, к которому применена операция- это 3.

Теперь после этого легко сложить числа и получить результат умножения.

Конечно же, вы уже знали про эту операцию ранее так же, как и про таблицу умножения и способы сложения больших чисел.

Сейчас важно дать формальное определение умножения, применимое к натуральным числам.

Каждый раз говорить “данное число”, “результат” может быть не очень удобно, ведь не всегда понятно, о чем идет речь.

В таком случае помогут следующие определения.

Определение: множители - числа, к которым применено умножение.

Определение: произведение - число, являющееся результатом умножения.

То есть в записи “\(\mathbf{2\cdot3=6}\)” множителями будут являться числа 2 и 3, так как именно к ним применяется умножение, а число 6 будет являться произведением, так как оно- результат операции умножения.

Также произведением называют не только число, результат умножения, но и само выражение, являющееся умножением.

То есть самое выражение “\(\mathbf{2\cdot3}\)” можно назвать произведением.

Нередко помимо чисел в записи выражений удобно использовать буквы.

Нужно это зачастую для обобщения. Или же, если еще не подсчитано число, которое потом подставят вместо буквы, посмотрим на определения из прошлой главы в буквенной записи.

Обычно не имеет смысл заменять произведение одной буквой, так как может теряться смысл формулы.

Если же мы хотим расписать умножение по определению как сумму, возникает сложность, ведь неизвестно, какое число скрывается за буквой b; соответственно, непонятно, сколько слагаемых писать.

Для этого удобно использовать такое обозначение:

Пишется два первых слагаемых и одно последнее, это дает понять, что идет сумма одинаковых элементов.

В середине ставится многоточие, указывающее, что за ним скрывается какое-то количество слагаемых.

Снизу, как в данном случае, или сверху подписывается фигурная или круглая скобка и ставится буква b, это покажет, что слагаемых именно b.

Точку между буквенными множителями можно опустить, почти всегда так и делают.

Тогда выражение “\(\mathbf{a\cdot b}\)” будет иметь вид “\(\mathbf{ab}\)”.

Это работают потому, что переменные (буквенные множители) обозначаются одной буквой.

Соответственно выражение “five”, это не одна переменная five, а произведение четырех множителей: f, i, v и e.

Также могут быть произведения, в которых один множитель - натуральное число, а другой множитель буквенный (или произведение буквенных множителей).

В таком случае числовой множитель ставится перед буквенными, точка между ними не ставится.

Также, если числовых множителей несколько, их можно перемножить и записать к буквенным множителям одно число.

Примеры:

\(\mathbf{a\cdot 8\cdot c=8ac}\)

\(\mathbf{4\cdot5\cdot a\cdot x\cdot y=(4\cdot5)\cdot a \cdot x \cdot y=20axy}\).

Сравнивая произведения “\(\mathbf{4\cdot15}\)” и “\(\mathbf{15\cdot4}\)” можно заметить, что эти произведения равны.

Важный момент: это верно не только для этих или каких-то еще конкретных чисел, а верно для любых двух натуральных чисел.

Свойство 1: произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей.

Это свойство называется переместительным.

Можно воспользоваться такой аналогией: нарисовать объекты в форме прямоугольника.

Тогда можно смотреть на количество объектов по строкам - получится 3 строки по 5 объектов в каждой.

А можно считать по столбцам - получится 5 столбцов по 3 объекта в каждом. Очевидно, результат умножения не будет меняться при изменении порядка.

Считать произведение можно не только двух чисел, а в целом любых выражений, если значение выражения является натуральным числом.

Например, “\(\mathbf{(12+1)\cdot3}\)”, корректное произведение, первым множителем будет выражение “\(\mathbf{12+1}\)”, а вторым число 3.

Кратко записать это свойство поможет буквенная запись.

Также выражением может оказаться произведение, например: \(\mathbf{(6\cdot5)\cdot4}\)

Иногда скобки могут не стоять, тогда их необходимо расставить, если не сразу легко понять, произведением каких множителей является выражение.

Пример: \(\mathbf{7\cdot8\cdot9=(7\cdot8)\cdot9}\).

Множителей может быть сколько угодно.

С этими знаниями перейдем к следующему свойству.

Свойство 2: чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первый множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

Это свойство называется сочетательным.

Формулировка может быть не самой очевидной, буквенная запись более наглядная:

Можно посмотреть, как это свойство работает на примере.

Действительно, верно равенство:

\(\mathbf{7\cdot(8\cdot9)=504=(7\cdot8)\cdot9}\)

Нейтральным элементом по умножению является 1 - это значит, что любое натуральное число, умноженное на единицу будет равняться самому себе.

Действительно, если в каждом доме в поселке живут 5 человек, при этом в поселке только один дом, то и во всем поселке будет жить 5 человек.

Запишем кратко:

Также есть и еще один особенный множитель - 0.

Умножение его на любое число или выражение делает произведение равному нулю.

Или если кратко:

На самом деле это очень важное свойство, ведь если вовремя заметить, что в произведении один множитель равен нулю, то и произведение считать не надо, сразу получается ответ 0.

Когда мы говорим про математиков, нам часто вспоминаются математики Древней Греции. Так происходит потому, что примерно в то время математика дошла до уровня современной школьной программы 5-7 классов.

Однако известные ученые математики жили и намного позже.

Одним из наиболее известных математиков и физиков был Альберт Эйнштейн, и сегодня вы узнаете 5 интересных фактов про него.

1. Эйнштейн не любил фантастику.

Часто получается, что фантастические книги пишут далеко не ученые, а далекие от науки писатели, соответственно, то, что они описывают, при внешней правдоподобности может быть антинаучно.

Эйнштейн рекомендовал воздерживаться от такой литературы.

Про себя он говорил: “Я никогда не думаю о будущем, оно итак скоро придет”.

2. Эйнштейн плохо учился в школе.

Это один из самых известных фактов про него.

До того, как ученый стал известным, он не смог закончить гимназию, в которой учителя не верили, что из него что-то получится, затем он даже не с первого раза поступил в Высшее техническое училище.

В училище он часто прогуливал лекции, однако, в этом время читал научные статьи и разрабатывал свои собственные теории.

3. Эйнштейн не любил спорт.

Из всех видов спорта он отдавал предпочтение плаванию, считая его наименее энергозатратным.

Такое отношение к спорту он объяснял тем, что после работы у него остаются силы только на “работу ума”, а на спорт сил уже нет.

4. Эйнштейн не относился к проблемам серьезно.

Окружающим людям Эйнштейн казался неестественно спокойным, иногда даже заторможенным.

Ученый предпочитал быть “самодовольно жизнерадостным”.

При этом он не только сам не любил переживать о проблемах, но и не терпел, когда в его окружении кто-то был в печали.

Иногда он использовал шутки для того, чтобы мириться с проблемами, а иногда сравнивал свои проблемы с общими (в сущности, проблема ссоры с кем-то становится менее значимой, если сравнивать ее с всеобщим голодом или войной).

5. Эйнштейн играл на скрипке и это помогало ему работать.

Для того, чтобы придумывать новые гениальные идеи, нужно быть предельно сосредоточенным.

И одним из способов быть сосредоточенным была игра на скрипке.

Если ученый сталкивался со сложной проблемой или просто хотел войти в особое состояние мысли, он просто начинал играть на скрипке, и к нему постепенно приходили нужные мысли.

Как видите, жизни великих ученых бывают весьма интересными, а иногда из их биографии можно почерпнуть полезные вещи и применять их в своей жизни.