Урок 33 Бесплатно Площадь. Площадь прямоугольника

В нашей жизни приходится часто вычислять площади различных геометрических фигур. Например, площадь огорода, поля; при покупке жилья- площадь квартиры, дома, комнат; делая ремонт, вычисляем площадь стен, пола, окон, строительных материалов и т.д.

Сегодня мы научимся вычислять площади двух геометрических фигур: прямоугольника и квадрата, познакомимся с понятием площади и единицами ее измерения.

Выясним, какими свойствами обладает площадь.

Разберем несколько примеров решения задач.

Площадь плоских геометрических фигур

Прямоугольник, квадрат и другие замкнутые геометрические фигуры имеют некоторую границу (контур), которая делит плоскость на области: область, которая находится снаружи этой границы, и область, которая находится внутри контура.

Площадью называют часть плоскости, ограниченную линией (кривой или ломаной).

Для обозначения площади обычно используют заглавную латинскую букву S.

Площадь различных фигур можно сравнивать.

Площадь будет больше у той фигуры, которая на плоскости занимает больше места.

Например, даны три фигуры №1, №2, №3.

Площадь фигуры №1 больше площади фигуры №2 и №3, а площадь фигуры №2 больше площади фигуры №3.

Невооруженным глазом заметно, какая фигура меньше, а какая больше.

 

Рассмотрим еще один пример.

Даны две фигуры №1 и №2.

Однозначно сказать площадь какой фигуры больше, а какой меньше затруднительно.

Нам известно, что фигуры называют равными, если при наложении одной фигуры на другую они совпадают.

Попробуем сравнить первую и вторую фигуры наложением.

Этот способ сравнения не смог дать нам однозначного ответа, поэтому постараемся найти более точный способ нахождения площади данных фигур.

Известно, чтобы определить длину отрезка, его сравнивают с отрезком, принятым за единицу измерения.

В таком случае, чтобы измерить площадь фигуры, необходимо посчитать сколько раз в ней помещается другая фигура, принятая за единицу измерения.

При измерении длины отрезка используют линейные меры длины: 1 мм, 1 см, 1 дм и т.д.

Площадь же измеряют квадратными единицами.

Квадратная единица представляет собой квадрат, стороны которого выражены линейными единицами, другими словами, площадь измеряется квадратными единицами длины.

Квадрат, у которого все стороны равны 1 мм, называется квадратным миллиметром.

Квадрат, у которого все стороны равны 1 см, называется квадратным сантиметром.

Квадрат, у которого все стороны равны 1 дм, называется квадратным дециметром.

Аналогично определяется квадратный метр и квадратный километр.

Определить площадь фигуры- это значит найти сколько квадратных единиц содержится в данной фигуре.

Обозначают квадратные единицы следующим образом:

1 мм2- один миллиметр квадратный (квадратный миллиметр)

1 см2- один сантиметр квадратный (квадратный сантиметр)

1 дм2- один дециметр квадратный (квадратный дециметр)

1 м2- один метр квадратный (квадратный метр)

1 км2- один километр квадратный (квадратный километр) и т.д.

Если разбить фигуру на n равных квадратов, то ее площадь будет равна n квадратных единиц.

Найдем для нашего примера площадь фигуры №1 и площадь фигуры №2 и сравним полученные площади. Так мы сможем выяснить, какая из фигур имеет большую площадь.

Для этого разобьем эти две фигуры на одинаковые квадраты со сторонами 1 см (т.е. на квадратные сантиметры).

Фигура №1 состоит из 12 квадратов, следовательно, данная фигура имеет площадь 12 квадратных единиц, в нашем случае квадратных сантиметров: S1 = 12 см2

Фигура №2 состоит также из 12 квадратов, значит данная фигура имеет площадь 12 квадратных единиц, в нашем случае квадратных сантиметров: S2 = 12 см2

Сравним площади фигур: так как S1 = 12 см2 и S2 = 12 см2, значит площади фигур №1 и №2 равны.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

В каждом конкретном случае необходимо оценивать, в каких единицах измерения удобней выражать площадь той или иной фигуры.

Если требуется определить площадь фигуры, изображенной на листе бумаги, то целесообразнее измерять площадь в квадратных сантиметрах (см2).

Если же необходимо измерить площадь стены или потолка в комнате, то удобно площадь выражать в квадратных метрах (м2).

Большие значения площадей, такие как площадь Земли, островов, континентов, океанов, государств удобнее выражать в квадратных километрах (км2).

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Площадь прямоугольника и квадрата

Во всех выше рассмотренных примерах мы имели дело с плоскими геометрическими фигурами (прямоугольником и квадратом).

Вспомним, что называют прямоугольником, а что квадратом.

Прямоугольник- это плоская геометрическая фигура, образованная замкнутой ломаной линией, состоящей из четырех звеньев, и плоскостью, которая располагается внутри этой линии.

У прямоугольника противоположные стороны равны и все четыре угла одинаковые.

Обычно прямоугольник обозначают четырьмя заглавными латинскими буквами, записывая их по порядку следования.

Пример: прямоугольник АВDС

 

Отрезки АВ, ВD, DC, СА- называются сторонами прямоугольника АВDС.

Причем АВ = СD и АС = ВD.

Точки А, В, С, D называют вершинами прямоугольника АВDС.

Углы, образованные сторонами АС и АВ, АВ и ВD, ВD и DC, DC и СА называют углами прямоугольника АВDС.

Отрезки СВ и АD, соединяющие вершины С и В, А и D- это диагонали прямоугольника АВDС.

В любом прямоугольнике можно провести две диагонали, и они будут равны СВ = АD.

Диагонали пересекаются в определенной точке- точке пересечения диагоналей (точка О- точка пересечения диагоналей СВ и АD).

Такая точка пересечения делит диагонали на равные отрезки:

Точка O делит диагональ СВ на равные отрезки СО и ОB.

Точка O делит диагональ АD на равные отрезки и ОD.

Каждая диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника.

Диагональ СВ делит прямоугольник АВDС на равные треугольники САВ и СDВ.

Диагональ АD делит прямоугольник АВDС на равные треугольники АСD и АВD.

Квадрат- это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Пример:

Квадрат АВDС.

Отрезки АВ, ВD, DC, СА- называются сторонами квадрата АВDС.

Причем АВ = СD = АС = ВD.

Точки А, В, С, D называют вершинами квадрата АВDС.

Углы, образованные сторонами АС и АВ, АВ и ВD, ВD и DC, DC и СА называют углами квадрата АВDС.

Отрезки СВ и АD, соединяющие вершины С и В, А и D- это диагонали квадрата АВDС.

Все свойства прямоугольника характерны и для квадрата.

Чтобы найти площадь прямоугольника, можно разделить его на одинаковые единичные квадраты и сосчитать их количество- такой способ нахождения площади фигуры мы рассмотрели ранее.

Пример:

Найдем площадь прямоугольника ABCD.

Прямоугольник ABCD разобьем на квадраты со стороной 1 см, значит в нашем случае единицей измерения площади будет квадратный сантиметр (см2).

Посчитаем сколько раз помещается квадратный сантиметр в фигуру ABCD.

В прямоугольнике ABCD содержится 15 квадратов, следовательно, его площадь равна 15 квадратных сантиметров (15 см2).

Если внимательно посмотреть на прямоугольник ABCD, то можно заметить, что он разбит на 3 строчки, и каждая строчка содержит 5 квадратов со сторонами 1 см каждый.

Тогда количество таких квадратов в прямоугольнике ABCD можно определить выражением (3 5).

Найдем значение данного выражения:

3 5 = 15

Значит площадь прямоугольника ABCD равна 15 см2.

Пересчитав по порядку каждый квадратный сантиметр прямоугольника ABCD, мы получили такой же результат.

Этот же прямоугольник можно разбить на 5 полос по 3 квадрата со сторонами 1 см каждый.

Найдем площадь прямоугольника ABCD.

В этом случае площадь прямоугольника ABCD будет определяться выражением (5 3).

Как нам уже известно, от перестановки множителей произведение не изменяется:

∙ 3 = 15.

Площадь прямоугольника получается равной 15 см2, результат, как мы видим, не изменился.

Важно заметить, что сторона АВ прямоугольника ABCD- это ширина данного прямоугольника (равная 3 см), а сторона ВС- это его длина (равная 5 см).

Таким образом, для того, чтобы найти площадь прямоугольника ABCD, не обязательно разбивать его на квадратные единицы, необходимо просто знать длину и ширину этого прямоугольника.

Правило: чтобы найти площадь прямоугольника, нужно его длину умножить на ширину (в одинаковых единицах).

Единицы измерения длины и ширины должны совпадать.

Если меры не совпадают, их необходимо перевести, т.е. свести к единой единице измерения.

Запишем правило в виде формулы.

Площадь прямоугольника обозначим латинской буквой S, ширину прямоугольника обозначим буквой а, длину- буквой b.

Формула площади прямоугольника выглядит так:

Рассмотрим некоторые свойства площади.

1. Площади равных фигур равны.

Периметры таких фигур также равны.

Фигуры, имеющие равные площади называются равновеликими.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Не следует путать такие понятия, как периметр и площадь геометрических фигур.

Периметр- это замкнутая ломаная или кривая линия (контур) геометрической фигуры, которая ограничивает внутреннюю область этой фигуры.

По сути, периметр- это длина контура фигуры (для многоугольника- это сумма длин всех сторон многоугольника).

Периметр часто обозначают заглавной латинской буквой Р.

Периметр измеряется в линейных единицах длины: мм, см, дм и т.д.

Площадь же- это часть плоскости, которая ограничена периметром.

Площадь измеряется только в квадратных единицах длины: мм2, см2, дм2 и т.д.

Пример:

На рисунке периметр обозначен красной линией, площадь фигуры выделена на рисунке штриховкой.

Р = 2 см + 6 см + 2 см + 6 см = 2 (2 + 6) = 16 (см) периметр фигуры (прямоугольника).

S = 2 см 6 см = 12 (см2) площадь фигуры (прямоугольника)

2. Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий данное свойство.

Разделим прямоугольник ABCD на две части ломаной линией KOMN.

Одна из частей- ABNMОK имеет площадь, равную 10 см2.

S1 = 10 см2.

Вторая часть- KОMNCD имеет площадь 8 см2.

S2 = 8 см2.

Площадь всего прямоугольника равна сумме его частей:

S = S1 + S2

S = 10 см2 + 8 см2 = 18 см2.

Вычислив площадь прямоугольника по формуле S = a ∙ b,

где а = АВ = 3 см, b = ВС = 6 см.

S = 3 ∙ 6 = 18 см2.

Площадь всей фигуры равна 18 см2, такой же результат был получен при сложении площадей двух частей, на которые эта фигура была разделена.

Первое и второе свойства- это основные свойства площадей.

3. Диагональ прямоугольника (квадрата), делит его на два равных треугольника.

Пусть отрезок BD делит прямоугольник ABCD на два равных треугольника:

∆ ABD = ∆ BCD

Сумма площадей каждого треугольника равна площади всего прямоугольника, следовательно, площадь каждого треугольника равна половине площади прямоугольника.

SABD = SABCD ÷ 2.

SBCD = SABCD ÷ 2.

4. Площадь квадрата.

Квадрат- это прямоугольник, у которого все четыре стороны равны.

Изобразим квадрат со стороной 2 см (это выражение означает, что все четыре стороны у квадрата будут 2 см).

Площадь квадрата рассчитывается таким же образом, как и площадь прямоугольника:

S = a ∙ b- произведение длины и ширины прямоугольника.

Известно, что в квадрате все стороны между собой равны, значит длина квадрата равна ширине этого квадрата.

В таком случае, умножив длину на ширину, получим произведение двух равных по значению множителей, каждый равен длине стороны квадрата (а).

Получаем формулу площади квадрата:

S = a ∙ a

Число, умноженное само на себя, представляет собой квадрат этого числа.

Формула площади квадрата будет выглядеть так:

Число возводится во вторую степень, т.е. возводится в квадрат.

Правило: площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Рассмотрим такой пример.

Вычислим площадь квадрата со стороной 4 см.

Решение данной задачи:

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Решение текстовых задач по теме «Площадь. Площадь прямоугольника (квадрата)»

Теперь, когда нам известны формулы площадей прямоугольника и квадрата и их свойства, рассмотрим решение нескольких задач.

Задача №1

Длина столешницы прямоугольной формы 2 м, а ее ширина 10 дм.

Найдите площадь и периметр столешницы.

Единица измерения ширины столешницы выражена в дециметрах, ее сразу переведем в метры.

Задача №2

Периметр прямоугольного участка земли 80 м, а его длина 30 м.

Чему равна площадь этого участка?

Выясним план решения данной задачи.

Решать задачу будем по действиям.

1. Найдем чему равна половина периметра (Р ÷ 2), т.е. выясним чему равна сумма двух сторон (ширины и длины) участка.

2. Из полученного значения полупериметра вычтем известное значение длины прямоугольника b, таким образом мы найдем ширину участка а.

3. Когда будут известны ширина и длина участка, можно будет найти его площадь.

Задача №3

Площадь прямоугольной грядки 7 м2, ширина этой грядки 1 м.

Чему равен периметр грядки?

Задача №4

Девочка вырезала прямоугольник, длина которого получилась равной 5 см, а ширина 2 см, и разрезала этот прямоугольник по диагонали, у нее получились два равных треугольника.

Найдите площадь этих треугольников.

План решения у нас будет следующим.

1. Первым делом найдем площадь вырезанного прямоугольника.

2. Диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника, значит площадь одного треугольника будет в два раза меньше площади прямоугольника.

3. Разделив площадь прямоугольника на два, получим площадь треугольника.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Вычислить площадь квадрата легко, зная длину стороны:

S = аа = а2

Рассмотрим случай, когда длина стороны квадрата не определена, но известна длина диагонали квадрата.

Чтобы рассчитать площадь квадрата на основании длины его диагонали, нужно длину диагонали возвести в квадрат и разделить на два.

В виде формулы данное правило выглядит так:

S = р2 ÷ 2

S- площадь квадрата

p- длина диагонали

Задача №5

Найдите площадь квадрата, диагональ которого равна 4 см.

Площадь квадрата можно найти, если известен его периметр.

Так как все четыре стороны квадрата равны, периметр квадрата находится по формуле

Р = 4 ∙ а

а- это длина стороны квадрата.

Выразим из этой формулы сторону квадрата, для этого разделим периметр на 4.

а = Р ÷ 4

Зная длину стороны квадрата, можно найти площадь квадрата:

S = а2 = Р2 ÷ 42 = Р2 ÷ 16

S = Р2 ÷ 16

 

Задача №6

Периметр квадратной песочницы 8 м.

Найдите площадь этой песочницы.

Первый способ: решим данную задачу по действиям.

Второй способ: решим данную задачу с помощью формулы S = Р2 ÷ 16.

Решая задачу первым и вторым способом, ответ получили одинаковый: площадь песочницы оказалась равной S = 42).

 

Попробуем решить обратную задачу: по известной площади квадрата найдем его периметр.

Задача №7

Площадь квадратной комнаты равна 25 м2.

Найдите периметр этой комнаты.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Заключительный тест

Пройти тест