Урок 27 Бесплатно Площадь. Площадь прямоугольника
В нашей жизни приходится часто вычислять площади различных геометрических фигур. Например, площадь огорода, поля; при покупке жилья - площадь квартиры, дома, комнат; делая ремонт, мы вычисляем площадь стен, пола, окон, строительных материалов и т.д.
Сегодня мы научимся вычислять площади двух геометрических фигур: прямоугольника и квадрата, познакомимся с понятием площади и единицами ее измерения.
Выясним, какими свойствами обладает площадь.
Разберем несколько примеров решения задач.
Площадь плоских геометрических фигур
Прямоугольник, квадрат и другие замкнутые геометрические фигуры имеют некоторую границу (контур), которая делит плоскость на области: область, которая находится снаружи этой границы, и область, которая находится внутри контура.
Площадью называют часть плоскости, ограниченную линией (кривой или ломаной).
Для обозначения площади обычно используют заглавную латинскую букву S.
Площадь различных фигур можно сравнивать.
Площадь будет больше у той фигуры, которая на плоскости занимает больше места.
Например, даны три фигуры №1, №2, №3.
Площадь фигуры №1 больше площади фигуры №2 и №3, а площадь фигуры №2 больше площади фигуры №3.
Невооруженным глазом заметно, какая фигура меньше, а какая больше.
Рассмотрим еще один пример.
Даны две фигуры №1 и №2.
Однозначно сказать, площадь какой фигуры больше, а какой меньше, затруднительно.
Нам известно, что фигуры называют равными, если при наложении одной фигуры на другую они совпадают.
Попробуем сравнить первую и вторую фигуры наложением.
Этот способ сравнения не смог дать нам однозначного ответа, поэтому постараемся найти более точный способ нахождения площади данных фигур.
Известно, чтобы определить длину отрезка, его сравнивают с отрезком, принятым за единицу измерения.
В таком случае, чтобы измерить площадь фигуры, необходимо посчитать сколько раз в ней помещается другая фигура, принятая за единицу измерения.
При измерении длины отрезка используют линейные меры длины: 1 мм, 1 см, 1 дм и т.д.
Площадь же измеряют квадратными единицами.
Квадратная единица представляет собой квадрат, стороны которого выражены линейными единицами; другими словами, площадь измеряется квадратными единицами длины.
Квадрат, у которого все стороны равны 1 мм, называется квадратным миллиметром.
Квадрат, у которого все стороны равны 1 см, называется квадратным сантиметром.
Квадрат, у которого все стороны равны 1 дм, называется квадратным дециметром.
Аналогично определяется квадратный метр и квадратный километр.
Определить площадь фигуры- это значит найти сколько квадратных единиц содержится в данной фигуре.
Обозначают квадратные единицы следующим образом:
1 мм2- один миллиметр квадратный (квадратный миллиметр)
1 см2- один сантиметр квадратный (квадратный сантиметр)
1 дм2- один дециметр квадратный (квадратный дециметр)
1 м2- один метр квадратный (квадратный метр)
1 км2- один километр квадратный (квадратный километр) и т.д.
Если разбить фигуру на n равных квадратов, то ее площадь будет равна n квадратных единиц.
Найдем для нашего примера площадь фигуры №1 и площадь фигуры №2 и сравним полученные площади. Так мы сможем выяснить, какая из фигур имеет большую площадь.
Для этого разобьем эти две фигуры на одинаковые квадраты со сторонами 1 см (т.е. на квадратные сантиметры).
Фигура №1 состоит из 12 квадратов, следовательно, данная фигура имеет площадь 12 квадратных единиц, в нашем случае квадратных сантиметров: S1 = 12 см2
Фигура №2 состоит также из 12 квадратов, значит, данная фигура имеет площадь 12 квадратных единиц, в нашем случае квадратных сантиметров: S2 = 12 см2
Сравним площади фигур: так как S1 = 12 см2 и S2 = 12 см2, значит, площади фигур №1 и №2 равны.
В каждом конкретном случае необходимо оценивать, в каких единицах измерения удобней выражать площадь той или иной фигуры.
Если требуется определить площадь фигуры, изображенной на листе бумаги, то целесообразнее измерять площадь в квадратных сантиметрах (см2).
Если же необходимо измерить площадь стены или потолка в комнате, то удобно площадь выражать в квадратных метрах (м2).
Большие значения площадей, такие как площадь Земли, островов, континентов, океанов, государств удобнее выражать в квадратных километрах (км2).
Площадь прямоугольника и квадрата
Во всех выше рассмотренных примерах мы имели дело с плоскими геометрическими фигурами (прямоугольником и квадратом).
Вспомним, что называют прямоугольником, а что квадратом.
Прямоугольник- это плоская геометрическая фигура, образованная замкнутой ломаной линией, состоящей из четырех звеньев, и плоскостью, которая располагается внутри этой линии.
У прямоугольника противоположные стороны равны и все четыре угла одинаковые.
Обычно прямоугольник обозначают четырьмя заглавными латинскими буквами, записывая их по порядку следования.
Пример: прямоугольник АВDС
Отрезки АВ, ВD, DC, СА называются сторонами прямоугольника АВDС.
Причем АВ = СD и АС = ВD.
Точки А, В, С, D называют вершинами прямоугольника АВDС.
Углы, образованные сторонами АС и АВ, АВ и ВD, ВD и DC, DC и СА, называют углами прямоугольника АВDС.
Отрезки СВ и АD, соединяющие вершины С и В, А и D, - это диагонали прямоугольника АВDС.
В любом прямоугольнике можно провести две диагонали, и они будут равны СВ = АD.
Диагонали пересекаются в точке пересечения диагоналей (точка О- точка пересечения диагоналей СВ и АD).
Она делит диагонали на равные отрезки:
Точка O делит диагональ СВ на равные отрезки СО и ОB.
Точка O делит диагональ АD на равные отрезки AО и ОD.
Каждая диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника.
Диагональ СВ делит прямоугольник АВDС на равные треугольники САВ и СDВ.
Диагональ АD делит прямоугольник АВDС на равные треугольники АСD и АВD.
Квадрат- это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Пример:
Квадрат АВDС.
Отрезки АВ, ВD, DC, СА- называются сторонами квадрата АВDС.
Причем АВ = СD = АС = ВD.
Точки А, В, С, D называют вершинами квадрата АВDС.
Углы, образованные сторонами АС и АВ, АВ и ВD, ВD и DC, DC и СА, называют углами квадрата АВDС.
Отрезки СВ и АD, соединяющие вершины С и В, А и D, - это диагонали квадрата АВDС.
Все свойства прямоугольника характерны и для квадрата.
Чтобы найти площадь прямоугольника, можно разделить его на одинаковые единичные квадраты и сосчитать их количество. Такой способ нахождения площади фигуры мы рассмотрели ранее.
Пример:
Найдем площадь прямоугольника ABCD.
Прямоугольник ABCD разобьем на квадраты со стороной 1 см, значит в нашем случае единицей измерения площади будет квадратный сантиметр (см2).
Посчитаем сколько раз помещается квадратный сантиметр в фигуру ABCD.
В прямоугольнике ABCD содержится 15 квадратов, следовательно, его площадь равна 15 квадратных сантиметров (15 см2).
Если внимательно посмотреть на прямоугольник ABCD, то можно заметить, что он разбит на 3 строчки и каждая строчка содержит 5 квадратов со сторонами 1 см каждый.
Тогда количество таких квадратов в прямоугольнике ABCD можно определить выражением (3 ∙ 5).
Найдем значение данного выражения:
3 ∙ 5 = 15
Значит площадь прямоугольника ABCD равна 15 см2.
Пересчитав по порядку каждый квадратный сантиметр прямоугольника ABCD, мы получили такой же результат.
Этот же прямоугольник можно разбить на 5 полос по 3 квадрата со сторонами 1 см каждый.
Найдем площадь прямоугольника ABCD.
В этом случае площадь прямоугольника ABCD будет определяться выражением (5 ∙ 3).
Как нам уже известно, от перестановки множителей произведение не изменяется:
5 ∙ 3 = 15.
Площадь прямоугольника получается равной 15 см2 Результат, как мы видим, не изменился.
Важно заметить, что сторона АВ прямоугольника ABCD- это ширина данного прямоугольника (равная 3 см), а сторона ВС - это его длина (равная 5 см).
Таким образом, для того, чтобы найти площадь прямоугольника ABCD, не обязательно разбивать его на квадратные единицы, необходимо просто знать длину и ширину этого прямоугольника.
Правило: чтобы найти площадь прямоугольника, нужно его длину умножить на ширину (в одинаковых единицах).
Единицы измерения длины и ширины должны совпадать.
Если меры не совпадают, их необходимо перевести, т.е. свести к единой единице измерения.
Запишем правило в виде формулы.
Площадь прямоугольника обозначим латинской буквой S, ширину прямоугольника обозначим буквой а, длину буквой b.
Формула площади прямоугольника выглядит так:
Рассмотрим некоторые свойства площади.
1. Площади равных фигур равны.
Периметры таких фигур также равны.
Фигуры, имеющие равные площади называются равновеликими.
Не следует путать такие понятия, как периметр и площадь геометрических фигур.
Периметр- это замкнутая ломаная или кривая линия (контур) геометрической фигуры, которая ограничивает внутреннюю область этой фигуры.
По сути, периметр- это длина контура фигуры (для многоугольника это сумма длин всех сторон многоугольника).
Периметр часто обозначают заглавной латинской буквой Р.
Периметр измеряется в линейных единицах длины: мм, см, дм и т.д.
Площадь же- это часть плоскости, которая ограничена периметром.
Площадь измеряется только в квадратных единицах длины: мм2, см2, дм2 и т.д.
Пример:
На рисунке периметр обозначен красной линией, площадь фигуры выделена на рисунке штриховкой.
Р = 2 см + 6 см + 2 см + 6 см = 2 (2 + 6) = 16 (см) периметр фигуры (прямоугольника).
S = 2 см∙ 6 см = 12 (см2) площадь фигуры (прямоугольника)
2. Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей.
Рассмотрим пример, иллюстрирующий данное свойство.
Разделим прямоугольник ABCD на две части ломаной линией KOMN.
Одна из частей- ABNMОK имеет площадь, равную 10 см2.
S1 = 10 см2.
Вторая часть- KОMNCD имеет площадь 8 см2.
S2 = 8 см2.
Площадь всего прямоугольника равна сумме его частей:
S = S1 + S2
S = 10 см2 + 8 см2 = 18 см2.
Вычислив площадь прямоугольника по формуле S = a ∙ b,
где а = АВ = 3 см, b = ВС = 6 см.
S = 3 ∙ 6 = 18 см2.
Площадь всей фигуры равна 18 см2, такой же результат был получен при сложении площадей двух частей, на которые эта фигура была разделена.
Первое и второе свойства- это основные свойства площадей.
3. Диагональ прямоугольника (квадрата), делит его на два равных треугольника.
Пусть отрезок BD делит прямоугольник ABCD на два равных треугольника:
∆ ABD = ∆ BCD
Сумма площадей каждого треугольника равна площади всего прямоугольника, следовательно, площадь каждого треугольника равна половине площади прямоугольника.
SABD = SABCD ÷ 2.
SBCD = SABCD ÷ 2.
4. Площадь квадрата.
Квадрат- это прямоугольник, у которого все четыре стороны равны.
Изобразим квадрат со стороной 2 см (это выражение означает, что все четыре стороны у квадрата будут 2 см).
Площадь квадрата рассчитывается таким же образом, как и площадь прямоугольника:
S = a ∙ b- произведение длины и ширины прямоугольника.
Известно, что в квадрате все стороны между собой равны, значит, длина квадрата равна ширине этого квадрата.
В таком случае, умножив длину на ширину, получим произведение двух равных по значению множителей, каждый равен длине стороны квадрата (а).
Получаем формулу площади квадрата:
S = a ∙ a
Число, умноженное само на себя, представляет собой квадрат этого числа.
Формула площади квадрата будет выглядеть так:
Число возводится во вторую степень, т.е. возводится в квадрат.
Правило: площадь квадрата равна квадрату его стороны.
Рассмотрим такой пример.
Вычислим площадь квадрата со стороной 4 см.
Решение данной задачи:
Решение текстовых задач по теме «Площадь. Площадь прямоугольника (квадрата)»
Теперь, когда нам известны формулы площадей прямоугольника и квадрата и их свойства, рассмотрим решение нескольких задач.
Задача №1
Длина столешницы прямоугольной формы 2 м, а ее ширина 10 дм.
Найдите площадь и периметр столешницы.
Единица измерения ширины столешницы выражена в дециметрах, ее сразу переведем в метры.
Задача №2
Периметр прямоугольного участка земли 80 м, а его длина 30 м.
Чему равна площадь этого участка?
Выясним план решения данной задачи.
Решать задачу будем по действиям.
1. Найдем чему равна половина периметра (Р ÷ 2), т.е. выясним, чему равна сумма двух сторон (ширины и длины) участка.
2. Из полученного значения полупериметра вычтем известное значение длины прямоугольника b; таким образом, мы найдем ширину участка а.
3. Когда будут известны ширина и длина участка, можно будет найти его площадь.
Задача №3
Площадь прямоугольной грядки 7 м2, ширина этой грядки 1 м.
Чему равен периметр грядки?
Задача №4
Девочка вырезала прямоугольник, длина которого получилась равной 5 см, а ширина 2 см, и разрезала этот прямоугольник по диагонали, у нее получились два равных треугольника.
Найдите площадь этих треугольников.
План решения у нас будет следующим.
1. Первым делом найдем площадь вырезанного прямоугольника.
2. Диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника, значит, площадь одного треугольника будет в два раза меньше площади прямоугольника.
3. Разделив площадь прямоугольника на два, получим площадь треугольника.
Вычислить площадь квадрата легко, зная длину стороны:
S = а ∙ а = а2
Рассмотрим случай, когда длина стороны квадрата не определена, но известна длина диагонали квадрата.
Чтобы рассчитать площадь квадрата на основании длины его диагонали, нужно длину диагонали возвести в квадрат и разделить на два.
В виде формулы данное правило выглядит так:
S = р2 ÷ 2
S- площадь квадрата
p- длина диагонали
Задача №5
Найдите площадь квадрата, диагональ которого равна 4 см.
Площадь квадрата можно найти, если известен его периметр.
Так как все четыре стороны квадрата равны, периметр квадрата находится по формуле
Р = 4 ∙ а
а- это длина стороны квадрата.
Выразим из этой формулы сторону квадрата, для этого разделим периметр на 4.
а = Р ÷ 4
Зная длину стороны квадрата, можно найти площадь квадрата:
S = а2 = Р2 ÷ 42 = Р2 ÷ 16
S = Р2 ÷ 16
Задача №6
Периметр квадратной песочницы 8 м.
Найдите площадь этой песочницы.
Первый способ: решим данную задачу по действиям.
Второй способ: решим данную задачу с помощью формулы S = Р2 ÷ 16.
Решая задачу первым и вторым способом, ответ получили одинаковый: площадь песочницы оказалась равной S = 4 (м2).
Попробуем решить обратную задачу: по известной площади квадрата найдем его периметр.
Задача №7
Площадь квадратной комнаты равна 25 м2.
Найдите периметр этой комнаты.