Урок 27 Бесплатно Площадь. Площадь прямоугольника

В нашей жизни приходится часто вычислять площади различных геометрических фигур. Например, площадь огорода, поля; при покупке жилья - площадь квартиры, дома, комнат; делая ремонт, мы вычисляем площадь стен, пола, окон, строительных материалов и т.д.

Сегодня мы научимся вычислять площади двух геометрических фигур: прямоугольника и квадрата, познакомимся с понятием площади и единицами ее измерения.

Выясним, какими свойствами обладает площадь.

Разберем несколько примеров решения задач.

Прямоугольник, квадрат и другие замкнутые геометрические фигуры имеют некоторую границу (контур), которая делит плоскость на области: область, которая находится снаружи этой границы, и область, которая находится внутри контура.

Площадью называют часть плоскости, ограниченную линией (кривой или ломаной).

Для обозначения площади обычно используют заглавную латинскую букву S.

Площадь различных фигур можно сравнивать.

Площадь будет больше у той фигуры, которая на плоскости занимает больше места.

Например, даны три фигуры №1, №2, №3.

Площадь фигуры №1 больше площади фигуры №2 и №3, а площадь фигуры №2 больше площади фигуры №3.

Невооруженным глазом заметно, какая фигура меньше, а какая больше.

Рассмотрим еще один пример.

Даны две фигуры №1 и №2.

Однозначно сказать, площадь какой фигуры больше, а какой меньше, затруднительно.

Нам известно, что фигуры называют равными, если при наложении одной фигуры на другую они совпадают.

Попробуем сравнить первую и вторую фигуры наложением.

Этот способ сравнения не смог дать нам однозначного ответа, поэтому постараемся найти более точный способ нахождения площади данных фигур.

Известно, чтобы определить длину отрезка, его сравнивают с отрезком, принятым за единицу измерения.

В таком случае, чтобы измерить площадь фигуры, необходимо посчитать сколько раз в ней помещается другая фигура, принятая за единицу измерения.

При измерении длины отрезка используют линейные меры длины: 1 мм, 1 см, 1 дм и т.д.

Площадь же измеряют квадратными единицами.

Квадратная единица представляет собой квадрат, стороны которого выражены линейными единицами; другими словами, площадь измеряется квадратными единицами длины.

Квадрат, у которого все стороны равны 1 мм, называется квадратным миллиметром.

Квадрат, у которого все стороны равны 1 см, называется квадратным сантиметром.

Квадрат, у которого все стороны равны 1 дм, называется квадратным дециметром.

Аналогично определяется квадратный метр и квадратный километр.

Определить площадь фигуры- это значит найти сколько квадратных единиц содержится в данной фигуре.

Обозначают квадратные единицы следующим образом:

1 мм²- один миллиметр квадратный (квадратный миллиметр)

1 см²- один сантиметр квадратный (квадратный сантиметр)

1 дм²- один дециметр квадратный (квадратный дециметр)

1 м²- один метр квадратный (квадратный метр)

1 км²- один километр квадратный (квадратный километр) и т.д.

Если разбить фигуру на n равных квадратов, то ее площадь будет равна n квадратных единиц.

Найдем для нашего примера площадь фигуры №1 и площадь фигуры №2 и сравним полученные площади. Так мы сможем выяснить, какая из фигур имеет большую площадь.

Для этого разобьем эти две фигуры на одинаковые квадраты со сторонами 1 см (т.е. на квадратные сантиметры).

Фигура №1 состоит из 12 квадратов, следовательно, данная фигура имеет площадь 12 квадратных единиц, в нашем случае квадратных сантиметров: S₁ = 12 см²

Фигура №2 состоит также из 12 квадратов, значит, данная фигура имеет площадь 12 квадратных единиц, в нашем случае квадратных сантиметров: S₂ = 12 см²

Сравним площади фигур: так как S₁ = 12 см² и S₂ = 12 см², значит, площади фигур №1 и №2 равны.

Во всех выше рассмотренных примерах мы имели дело с плоскими геометрическими фигурами (прямоугольником и квадратом).

Вспомним, что называют прямоугольником, а что квадратом.

Прямоугольник- это плоская геометрическая фигура, образованная замкнутой ломаной линией, состоящей из четырех звеньев, и плоскостью, которая располагается внутри этой линии.

У прямоугольника противоположные стороны равны и все четыре угла одинаковые.

Обычно прямоугольник обозначают четырьмя заглавными латинскими буквами, записывая их по порядку следования.

Пример: прямоугольник АВDС

Отрезки АВ, ВD, DC, СА называются сторонами прямоугольника АВDС.

Причем АВ = СD и АС = ВD.

Точки А, В, С, D называют вершинами прямоугольника АВDС.

Углы, образованные сторонами АС и АВ, АВ и ВD, ВD и DC, DC и СА, называют углами прямоугольника АВDС.

Отрезки СВ и АD, соединяющие вершины С и В, А и D, - это диагонали прямоугольника АВDС.

В любом прямоугольнике можно провести две диагонали, и они будут равны СВ = АD.

Диагонали пересекаются в точке пересечения диагоналей (точка О- точка пересечения диагоналей СВ и АD).

Она делит диагонали на равные отрезки:

Точка O делит диагональ СВ на равные отрезки СО и ОB.

Точка O делит диагональ АD на равные отрезки AО и ОD.

Каждая диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника.

Диагональ СВ делит прямоугольник АВDС на равные треугольники САВ и СDВ.

Диагональ АD делит прямоугольник АВDС на равные треугольники АСD и АВD.

Квадрат- это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Пример:

Квадрат АВDС.

Отрезки АВ, ВD, DC, СА- называются сторонами квадрата АВDС.

Причем АВ = СD = АС = ВD.

Точки А, В, С, D называют вершинами квадрата АВDС.

Углы, образованные сторонами АС и АВ, АВ и ВD, ВD и DC, DC и СА, называют углами квадрата АВDС.

Отрезки СВ и АD, соединяющие вершины С и В, А и D, - это диагонали квадрата АВDС.

Все свойства прямоугольника характерны и для квадрата.

Чтобы найти площадь прямоугольника, можно разделить его на одинаковые единичные квадраты и сосчитать их количество. Такой способ нахождения площади фигуры мы рассмотрели ранее.

Пример:

Найдем площадь прямоугольника ABCD.

Прямоугольник ABCD разобьем на квадраты со стороной 1 см, значит в нашем случае единицей измерения площади будет квадратный сантиметр (см²).

Посчитаем сколько раз помещается квадратный сантиметр в фигуру ABCD.

В прямоугольнике ABCD содержится 15 квадратов, следовательно, его площадь равна 15 квадратных сантиметров (15 см²).

Если внимательно посмотреть на прямоугольник ABCD, то можно заметить, что он разбит на 3 строчки и каждая строчка содержит 5 квадратов со сторонами 1 см каждый.

Тогда количество таких квадратов в прямоугольнике ABCD можно определить выражением (3 ∙ 5).

Найдем значение данного выражения:

3 ∙ 5 = 15

Значит площадь прямоугольника ABCD равна 15 см².

Пересчитав по порядку каждый квадратный сантиметр прямоугольника ABCD, мы получили такой же результат.

Этот же прямоугольник можно разбить на 5 полос по 3 квадрата со сторонами 1 см каждый.

Найдем площадь прямоугольника ABCD.

В этом случае площадь прямоугольника ABCD будет определяться выражением (5 ∙ 3).

Как нам уже известно, от перестановки множителей произведение не изменяется:

5 ∙ 3 = 15.

Площадь прямоугольника получается равной 15 см² Результат, как мы видим, не изменился.

Важно заметить, что сторона АВ прямоугольника ABCD-  это ширина данного прямоугольника (равная 3 см), а сторона ВС - это его длина (равная 5 см).

Таким образом, для того, чтобы найти площадь прямоугольника ABCD, не обязательно разбивать его на квадратные единицы, необходимо просто знать длину и ширину этого прямоугольника.

Правило: чтобы найти площадь прямоугольника, нужно его длину умножить на ширину (в одинаковых единицах).

Единицы измерения длины и ширины должны совпадать.

Если меры не совпадают, их необходимо перевести, т.е. свести к единой единице измерения.

Запишем правило в виде формулы.

Площадь прямоугольника обозначим латинской буквой S, ширину прямоугольника обозначим буквой а, длину буквой b.

Формула площади прямоугольника выглядит так:

Рассмотрим некоторые свойства площади.

1. Площади равных фигур равны.

Периметры таких фигур также равны.

Фигуры, имеющие равные площади называются равновеликими.

2. Площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий данное свойство.

Разделим прямоугольник ABCD на две части ломаной линией KOMN.

Одна из частей- ABNMОK имеет площадь, равную 10 см².

S₁ = 10 см².

Вторая часть- KОMNCD имеет площадь 8 см².

S₂ = 8 см².

Площадь всего прямоугольника равна сумме его частей:

S = S₁ + S₂

S = 10 см² + 8 см² = 18 см².

Вычислив площадь прямоугольника по формуле S = a ∙ b,

где а = АВ = 3 см, b = ВС = 6 см.

S = 3 ∙ 6 = 18 см².

Площадь всей фигуры равна 18 см², такой же результат был получен при сложении площадей двух частей, на которые эта фигура была разделена.

Первое и второе свойства- это основные свойства площадей.

3. Диагональ прямоугольника (квадрата), делит его на два равных треугольника.

Пусть отрезок BD делит прямоугольник ABCD на два равных треугольника:

∆ ABD = ∆ BCD

Сумма площадей каждого треугольника равна площади всего прямоугольника, следовательно, площадь каждого треугольника равна половине площади прямоугольника.

S_ABD = S_ABCD ÷ 2.

S_BCD = S_ABCD ÷ 2.

4. Площадь квадрата.

Квадрат- это прямоугольник, у которого все четыре стороны равны.

Изобразим квадрат со стороной 2 см (это выражение означает, что все четыре стороны у квадрата будут 2 см).

Площадь квадрата рассчитывается таким же образом, как и площадь прямоугольника:

S = a ∙ b- произведение длины и ширины прямоугольника.

Известно, что в квадрате все стороны между собой равны, значит, длина квадрата равна ширине этого квадрата.

В таком случае, умножив длину на ширину, получим произведение двух равных по значению множителей, каждый равен длине стороны квадрата (а).

Получаем формулу площади квадрата:

S = a ∙ a

Число, умноженное само на себя, представляет собой квадрат этого числа.

Формула площади квадрата будет выглядеть так:

Число возводится во вторую степень, т.е. возводится в квадрат.

Правило: площадь квадрата равна квадрату его стороны.

Рассмотрим такой пример.

Вычислим площадь квадрата со стороной 4 см.

Решение данной задачи:

Теперь, когда нам известны формулы площадей прямоугольника и квадрата и их свойства, рассмотрим решение нескольких задач.

Задача №1

Длина столешницы прямоугольной формы 2 м, а ее ширина 10 дм.

Найдите площадь и периметр столешницы.

Единица измерения ширины столешницы выражена в дециметрах, ее сразу переведем в метры.

Задача №2

Периметр прямоугольного участка земли 80 м, а его длина 30 м.

Чему равна площадь этого участка?

Выясним план решения данной задачи.

Решать задачу будем по действиям.

1. Найдем чему равна половина периметра (Р ÷ 2), т.е. выясним, чему равна сумма двух сторон (ширины и длины) участка.

2. Из полученного значения полупериметра вычтем известное значение длины прямоугольника b; таким образом, мы найдем ширину участка а.

3. Когда будут известны ширина и длина участка, можно будет найти его площадь.

Задача №3

Площадь прямоугольной грядки 7 м², ширина этой грядки 1 м.

Чему равен периметр грядки?

Задача №4

Девочка вырезала прямоугольник, длина которого получилась равной 5 см, а ширина 2 см, и разрезала этот прямоугольник по диагонали, у нее получились два равных треугольника.

Найдите площадь этих треугольников.

План решения у нас будет следующим.

1. Первым делом найдем площадь вырезанного прямоугольника.

2. Диагональ делит прямоугольник на два равных треугольника, значит, площадь одного треугольника будет в два раза меньше площади прямоугольника.

3. Разделив площадь прямоугольника на два, получим площадь треугольника.

Задача №5

Найдите площадь квадрата, диагональ которого равна 4 см.

Площадь квадрата можно найти, если известен его периметр.

Так как все четыре стороны квадрата равны, периметр квадрата находится по формуле

Р = 4 ∙ а

а- это длина стороны квадрата.

Выразим из этой формулы сторону квадрата, для этого разделим периметр на 4.

а = Р ÷ 4

Зная длину стороны квадрата, можно найти площадь квадрата:

S = а² = Р² ÷ 4² = Р² ÷ 16

S = Р² ÷ 16

Задача №6

Периметр квадратной песочницы 8 м.

Найдите площадь этой песочницы.

Первый способ: решим данную задачу по действиям.

Второй способ: решим данную задачу с помощью формулы S = Р² ÷ 16.

Решая задачу первым и вторым способом, ответ получили одинаковый: площадь песочницы оказалась равной S = 4 (м²).

Попробуем решить обратную задачу: по известной площади квадрата найдем его периметр.

Задача №7

Площадь квадратной комнаты равна 25 м².

Найдите периметр этой комнаты.