Урок 20 Бесплатно Деление с остатком

На этом уроке продолжим разговор о делении натуральных чисел.

Вспомним название компонентов арифметической операции деления и установим, по каким правилам находится каждое из них.

Познакомимся с делением натуральных чисел с остатком, выясним алгоритм выполнения такой математической операции.

Определим компоненты арифметической операции деления с остатком.

Подробно рассмотрим взаимосвязь между компонентами деления с остатком и закрепим полученные знания, решая текстовые задачи по теме.

Деление натуральных чисел

О математической операции деления вы уже имеете общее представление.

Уроком ранее выяснили, что деление- это арифметическая операция, с помощью которой по произведению и одному из множителей находят другой множитель.

Другими словами, деление- это математическая операция, противоположная умножению.

Разделить число а на число b- это значит найти такое число с, при умножении которого на число b, получается число а.

а ÷ b = с

а = с ∙ b

Рассмотрим данное утверждение на примере.

Умножение:

На детский праздник приготовили пирожные.

Всего на празднике присутствовало 6 детей, каждому ребенку досталось по 2 пирожных.

Определим сколько пирожных для детей приготовили на праздник.

Ответ: 12 пирожных.

Деление:

На детский праздник приготовили 12 пирожных.

Всего на празднике присутствовало 6 детей, каждого ребенка угостили одинаковым количеством пирожных.

Выясним сколько пирожных досталось каждому ребенку.

Ответ: каждому ребенку досталось по 2 пирожных.

Делимое- это число, которое делят.

Делитель- это число, на которое делят делимое.

Частное (от слова «часть»)- результат арифметической операции деления (число, которое получается в результате деления одного числа на другое).

Для записи деления используют математический знак в виде двух точек, как двоеточие «:».

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Существуют и другие равносильные обозначения знака деления.

Например, символ обелюс «÷», по виду представляет собой сочетание двух знаков: знака минус и двоеточия (горизонтальная черта как будто делит двоеточие пополам).

Считают, что данный знак был введен древнегреческим философом, библиотекарем Зенодотом Эфесским.

Ставили этот знак на полях рукописей напротив тех частей текста, которые вызывали какие-либо сомнения или не соответствовали действительности.

Впервые в математике для обозначения операции деления символ обелюс применил в своих научных трудах немецкий математик Йохан Ран в 1659 г.

Долгое время в разных странах обелюсу присваивались иные значения.

Например, в одних странах этот символ применяли в качестве знака разности, в других странах использовали его для обозначения числовых диапазонов, числовых промежутков.

Возможно вы встречали в записях математических выражений знак в виде косой черты «/» или горизонтальной черты «», эти символы тоже используют в качестве знака деления.

Впервые косую черту в качестве знака деления применил в 1631 г. английский математик Уильям Отред.

По сегодняшний день часто используют символ «/» для записи формул.

Запись операции деления с помощью данного символа выглядит так:

 

а / b- значит «число а разделить на b».

Нередко в математических выражениях используют горизонтальную черту, изображая знак деления.

Например, выражение \(\mathbf{\frac{a}{b}}\) это значит: «число а разделить на b».

Имея такое символьное разнообразие, знак деления не носит специального названия

Знак деления располагается между делимым и делителем.

Делимое всегда находится слева от знака делить, а делитель- справа.

В общем виде операция деления выглядит так:

Часто, решая различного рода задачи, приходится сталкиваться с ситуацией, когда один из компонентов операции деления неизвестен и его необходимо найти.

Определим, по каким правилам можно найти каждый компонент операции деления.

1. Так как частное- это результат, полученный при выполнении деления, то очевидно, что частное находят с помощью данной арифметической операции.

Зная делимое и делитель, можно найти частное.

Рассмотрим пример.

Дима купил 12 разноцветных воздушных шариков.

Каждому своему другу он подарил по 2 шарика.

Сколько друзей получили шарики?

Решение:

12 шариков (общее количество шариков)- делимое.

2 шарика (число шариков, которое достанется каждому другу)- делитель.

Частное- число друзей (это число, которое показывает на сколько частей придется разделить все шарики)- ?

Ответ: 6 друзей получили воздушные шарики.

2. Делимое- это общее количество чего-либо, число, которое делят на части.

Если неизвестно делимое число, то необходимо перемножить два известных компонента деления: делимое и частное.

Правило: чтобы найти неизвестное делимое, нужно частное умножить на делитель или делитель умножить на частное.

Рассмотрим пример.

Вова должен решить некоторое количество задач по математике за 3 дня.

Он собирался решать по 5 задач в день.

Сколько всего задач ему необходимо решить за три дня?

Решение:

5 задач (число задач, которые необходимо решать каждый день)- делитель.

3 дня (число промежутков времени, за которое необходимо решить все задачи)- частное

Делимое (общее количество задач)- ?

Ответ: 15 задач нужно решить Вове.

3. Делитель- это число, на которое делят делимое.

Если исходное делимое число разделить на равные части, то в итоге получится некоторое количество таких частей.

Правило: чтобы найти делитель, нужно делимое разделить на частное.

Рассмотрим пример.

Восемь кусочков пиццы разделили на четверых человек.

Каждому досталось одинаковое количество кусочков пиццы.

По сколько кусочков пиццы получил каждый?

Решение:

8 кусков пиццы (общее количество кусочков, которые необходимо разделить)- делимое.

4 человека (число человек, на которых делят пиццу)- частное.

Делитель (число кусочков пиццы, которые получит каждый)- ?

Ответ: по 2 кусочка пиццы получит каждый человек.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Деление с остатком

Математическая операция деление связано с разделением чего-либо на части.

Делить натуральное число на равные части вы уже умеете, данная математическая операция не вызовет у вас большого затруднения.

Однако, не всегда удается разделить натуральное число на равные части.

Рассмотрим пример.

Разложим поровну на 4 тарелки 13 абрикосов.

Сначала в каждую тарелку положим по одному абрикосу, далее по второму, затем по третьему.

В результате у нас останется 1 абрикос, но тарелок 4.

Таким образом, в каждую тарелку удалось положить по 3 абрикоса и еще 1 остался.

Так мы разделили число 13 на равные части, и у нас остался остаток.

Продемонстрируем рассмотренный пример на координатном луче.

Изобразим координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О и единичным отрезком 1 деление = 1 единица.

На координатном луче отметим точку А(13)- эта точка показывает общее количество абрикосов, которые нужно поделить.

Отрезок ОА разобьем на 4 отрезка по 3 деления (так как абрикосы раскладывали на четыре тарелки по три абрикоса).

Заметим следующее: по три деления мы отложили четыре раза и одно деление еще осталось (это деление нам указывает на остаток абрикосов- 1 шт).

При делении с остатком результат деления записывают двумя числами: первое число называют неполным частным, так как число делится не полностью, второе число называют остатком.

Запись деления с остатком соответствует следующей схеме:

Неполное частное- это наибольшее число, которое может быть получено при умножении его на делитель, и не превосходящее делимое.

В буквенном виде деление с остатком можно записать так:

Для разобранного выше примера про абрикосы получаем следующее:

13 ÷ 3 = 4 (ост. 1)

Число 13- это делимое

Число 3- это делитель

Число 4- это неполное частное

Число 1- это остаток от деления

Важно знать и помнить, что остаток всегда должен быть меньше делителя.

Если при делении одного натурального числа на другое остаток равен нулю, то говорят: «Число делится нацело», т.е. первое число делится на второе без остатка.

Рассмотрим алгоритм деления с остатком.

1. Найти наибольшее число, которое будет удовлетворять одновременно следующим требованиям:

    • найденное число будет меньше делимого
    • это число делится на делитель без остатка.

2. Подобранное число разделить на делитель.

Таким образом находится значение неполного частного.

3. Вычесть из делимого наибольшее число (найденное в пункте 1 нашего алгоритма), полученный результат- это остаток.

4. Проверяем остаток сравнением, он должен быть меньше делителя.

Записывать деление с остатком можно в строчку а ÷ b = с (ост. r) или в столбик- «деление уголком».

Приведем пример.

Найдем значение выражения 19 ÷ 6.

Наибольшее число, которое меньше 19 и делится на 6- это 18.

18 разделим на делитель 6, получим 3-это неполное частное.

Вычтем из делимого числа 19 найденное наибольшее число 18, получим число 1- это остаток от деления.

Соберем все известные и полученные данные в равенство: 19 ÷ 6 = 3 (ост 1).

19- делимое.

6- делитель.

3- неполное частное.

1-остаток от деления.

Деление с остатком «уголком» выполняется по той же схеме, как и без остатка.

Разберем пример.

Разделим 45 на 13.

1. Выделим в делимом наибольшее неполное делимое, которое делится на 13.

 

В нашем случае это само число 45, следовательно, в неполном частном будет только одна цифра.

2. Разделим неполное делимое на делитель.

Предположим, что результатом такого деления будет число 4, тогда, умножив 13 на 4, получим число 52, но это число противоречит действительности, так как делимое 45 меньше числа 52, полученного при умножении 13 и 4.

Число 4 в качестве неполного частного нам не подходит.

Тогда возьмем число, которое предшествует 4, это число 3.

Делитель 13 умножим на 3.

3. Умножим делитель на найденное число.

13 ∙ 3 = 39 (полученное число 39 показывает, сколько единиц разделили из 45)

Число 39 меньше делимого 45, значит подобранная пробная цифра 3 подходит, записываем ее в частное

Произведение 13 и 3 запишем под делимым 45.

Важно помнить, что деление чисел в столбик происходит и записывается по разрядам, а начинается с высшего разряда.

4. Найдем остаток от деления вычитанием.

Из 45 вычтем 39, получаем остаток, он равен 45 – 39 = 6.

5. Сравним остаток от деления с делителем.

По правилу остаток всегда меньше делителя, иначе можно было бы продолжать деление.

Сравним: 13 > 6 (остаток 6 меньше делителя 13)

В делимом разрядов больше нет, выделить следующее неполное делимое не удается, следовательно, на этом деление можно считать законченным.

6. Однако, если есть следующее неполное делимое, то необходимо далее следовать данному алгоритму, начиная с пункта 2.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Найти результат деления с остатком, т.е. определить неполное частное и остаток от деления, можно методом последовательного вычитания делителя из делимого.

Идея этого метода заключается в следующем: вычитается делитель из делимого до тех пор, пока возможно выполнять такое действие.

В результате количество вычитаний будет значением неполного частного, а итоговый остаток (должен быть всегда меньше делителя)- это остаток от деления.

Пример.

Разложим 15 сувениров в подарочные пакеты по 4 сувенира в каждый, по сути необходимо найти значение выражения 15 ÷ 4.

Из общего количества сувениров необходимо взять 4 штуки и положить их в подарочный пакет, данное действие опишем следующим равенством 15 – 4 = 11.

Таким образом остается 11 сувениров для дальнейшей расфасовки.

Из них опять берем 4 сувенира и укладываем в новый подарочный пакет, в результате останется 11 – 4 = 7 сувениров.

Из оставшихся 7 мы можем взять еще 4 и сформировать третий подарочный пакет, после этого у нас останется 7 – 4 = 3 сувенира.

Имея в остатке три сувенира, нам не удастся сформировать еще один (четвертый) подарочный пакет, так как по условию сувениров должно быть по 4 штуки в каждом пакете, а у нас в наличии только 3.

В результате получаем 3 подарочных пакета с необходимым количеством сувениров и 3 сувенира в остатке.

Полученный результат запишем следующим образом: 15 ÷ 4 = 3 (ост 3)

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Взаимосвязь между компонентами арифметической операции деления с остатком

Запишем математическую операцию деления с остатком следующим образом:

Где а- это делимое, b- это делитель, с- это неполное частное, r- это остаток от деления.

1. Нахождение делимого, если известны делитель, неполное частное и остаток от деления.

Правило: чтобы найти неизвестное делимое, нужно неполное частное умножить на делитель (или наоборот делитель умножить на неполное частное) и к полученному произведению прибавить остаток.

Данное равенство используют для проверки операции деления с остатком.

В предыдущем разделе данного урока искали значение выражения 45 ÷ 13.

Нами был получен результат: 45 ÷ 13 = 3 (ост 6).

Проверим полученный результат деления с остатком.

Умножим делитель 13 на неполное частное 3 и прибавим остаток 6, если в итоге получится число, равное делимому 45, то деление с остатком выполнено верно.

Проверяем: 13 ∙ 3 + 6 = 39 + 6 = 45.

Деление было выполнено верно, неполное частное и остаток найдены правильно.

2. Нахождение делителя, если известны делимое, неполное частное и остаток от деления.

Правило: чтобы определить неизвестный делитель, нужно из делимого вычесть остаток, полученную разность разделить на неполное частное.

Данное правило в буквенной форме запишем так:

Рассмотрим пример, иллюстрирующий данное правило.

Мальчик заплатил за несколько альбомов 50 рублей.

Цена каждого альбома 15 рублей.

Ему сдали сдачу 5 рублей.

Сколько альбомов купил мальчик на 50 рублей?

Обозначим условно:

а- делимое (общее количество денег, которое было у мальчика).

с- неполное частное (часть денег, потраченных на каждый альбом).

r- остаток (сдача).

b- делитель (число альбомов, которое нужно купить на 50 руб.).

Запишем решение данной задачи.

3. Нахождение неполного частного, если известны все остальные компоненты деления с остатком.

Правило: чтобы найти неизвестное неполное частное, нужно из делимого вычесть остаток, полученную разность разделить на делитель.

Правило в буквенной форме запишем так:

Рассмотрим пример, демонстрирующий данное правило.

У бабушки было 30 конфет.

Она решила угостить ими своих внуков.

Каждому внуку дала по 7 конфет, и у нее осталось 2 конфеты.

Сколько внуков получило конфеты?

Введем условные обозначения для данной задачи.

а- делимое (общее количество конфет, которое было у бабушки).

b- делитель (число конфет, которые получил каждый внук).

r- остаток (оставшиеся конфеты).

с- неполное частное (число внуков).

Запишем решение данной задачи.

4. Нахождение остатка, если известно делимое, делитель, неполное частное.

Правило: остаток от деления равен разности делимого и произведения делителя на неполное частное.

Для данного случая справедливо равенство:

Рассмотрим данное правило на примере.

У учителя было 25 тетрадей.

Он раздал 12 ученикам по 2 тетради.

Сколько тетрадей осталось у учителя?

Введем условные обозначения для данной задачи.

а- делимое (общее количество тетрадей, которое были у учителя).

b- делитель (число тетрадей, которые получил каждый ученик).

с- неполное частное (число учеников, которым раздали тетради).

r- остаток (оставшиеся тетради).

Запишем решение данной задачи.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Заключительный тест

Пройти тест