Урок 36 Получить доступ за 75 баллов Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Со всеми числами в математике можно производить основные арифметические действия: складывать, вычитать, умножать, делить, сравнивать.

Исключением не являются обыкновенные дроби.

Сегодня мы на уроке научимся складывать и вычитать обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями.

В общем виде запишем правила сложения и вычитания таких дробей.

Выясним, как с помощью координатной прямой можно найти сумму и разность обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.

Вспомним названия компонентов арифметических операций сложения и вычитания и по каким правилам находится каждое из них.

Рассмотрим примеры решения уравнений и текстовых задач с использованием правил сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Вы уже достаточно хорошо знакомы с обыкновенными дробями.

Вам известно, что дробь- это часть некоторой рассматриваемой величины, часть от целого.

Вы умеете правильно читать и записывать обыкновенные дроби.

Мы выяснили, что дробное число состоит из двух частей (двух чисел), разделенных дробной чертой.

Нижнюю часть дроби называют знаменателем, он показывает на сколько равных частей (долей) разделили целое, верхнюю часть дроби называют числителем, он показывает сколько частей взяли.

Вы уже умеете сравнивать обыкновенные дроби, находить часть целого и целого по части.

Попробуем сегодня выяснить возможно ли обыкновенные дроби складывать и вычитать.

Сложение- это арифметическая операция, в результате которой происходит объединение исчисляемых объектов в единое целое.

Результат операции сложения называют суммой.

Складываемые числа называют слагаемыми.

В общем виде операция сложения выглядит так:

Выясним, как и по каким правилам складывают дроби с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим пример.

Целое яблоко разрезали на две равные части- две доли, каждая из которых равна ½ яблока.

Первая доля яблока- ½ яблока (первое слагаемое).

Вторая доля яблока- ½ яблока (второе слагаемое).

Одно целое яблоко будет представляет собой сумму этих двух половинок.

\(\mathbf{\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} = 1}\) (две доли из двух представляют одно целое яблоко).

Рассмотрим ситуацию посложнее.

Два друга, Саша и Миша, разделили яблоко на четыре равные части- 4 доли, каждая из которых равна ¼ яблока.

Миша съел три дольки яблока, т.е. три доли из четырех или ¾ яблока.

Саша съел одну дольку яблока, т.е. одну долю из четырех или ¼ яблока.

Для того чтобы определить сколько всего долей съели друзья, нам нужно сложить все доли, которые съел каждый из них.

¾ яблока, которые съел Миша- первое слагаемое.

¼ яблока, которые съел Саша- второе слагаемое.

Всего мальчики съели 4 доли яблока (3 доли + 1 доля) из четырех.

\(\mathbf{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3 + 1}{4} = \frac{4}{4} = 1}\) (четыре доли из четырех представляют одно целое яблоко).

Саша и Миша съели целиком все яблоко, т.е. \(\mathbf{\frac{4}{4} = 1}\).

Заметим следующее: при сложении обыкновенных дробей в первом и во втором примере, мы складывали только числители дробей, а знаменатель слагаемых в результате сложения оставался прежним.

Правило сложения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями сформулируем так:

При сложении обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают, а знаменатель оставляют тот же.

Запишем данное правило в буквенном виде.

Причем n ≠ 0.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Найдите значение суммы \(\mathbf{\frac{3}{15}\ и\ \frac{4}{15}}\).

У дробей \(\mathbf{\frac{3}{15}\ и\ \frac{4}{15}}\) одинаковый знаменатель, следовательно, чтобы сложить эти дроби, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.

\(\mathbf{\frac{3}{15} + \frac{4}{15} = \frac{3 + 4}{15} = \frac{7}{15}}\)

2. Найдите значение суммы \(\mathbf{\frac{12}{26}\ и\ \frac{8}{26}}\).

У дробей \(\mathbf{\frac{12}{26}\ и\ \frac{8}{26}}\) одинаковый знаменатель, следовательно, чтобы сложить эти дроби, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения.

\(\mathbf{\frac{12}{26} + \frac{8}{26} = \frac{12 + 8}{26} = \frac{20}{26}}\)

Правило сложения обыкновенных дробей справедливо как для правильных, так и неправильных дробей.

3. Найдите сумму правильной и неправильной дроби \(\mathbf{\frac{8}{17}\ и\ \frac{17}{17}}\).

Так как знаменатель первой и второй дроби равны, найдем сумму числителей этих дробей, а знаменатель оставим без изменения.

\(\mathbf{\frac{8}{17} + \frac{17}{17} = \frac{8 + 17}{17} = \frac{25}{17}}\)

4. Найдите сумму неправильных дробей\(\mathbf{\frac{14}{5}\ и\ \frac{9}{5}}\).

Так как знаменатель первой и знаменатель второй дроби равны, найдем сумму числителей этих дробей, а знаменатель оставим без изменения.

\(\mathbf{\frac{14}{5} + \frac{9}{5} = \frac{14 + 9}{5} = \frac{23}{5}}\)

Сложение дробных чисел с одинаковыми знаменателями можно проиллюстрировать с помощью координатной луча.

На координатном луче сложение дробных чисел представляет собой ряд последовательных действий.

Рассмотрим сложение дробных чисел с одинаковыми знаменателями с помощью координатного луча на примере.

Найдем сумму дробей \(\mathbf{\frac{2}{7}\ и\ \frac{3}{7}}\).

1. Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком ОЕ, равным 1 единице.

Так как знаменатели суммируемых дробных чисел одинаковы и равны семи, то единичный отрезок выгоднее всего разбить на семь равных частей (долей).

Каждая такая доля будет равна \(\mathbf{\frac{1}{7}}\) единичного отрезка ОЕ.

2. Найдем точку с координатой \(\mathbf{\frac{2}{7}}\), назовем ее точкой А.

Дробь \(\mathbf{\frac{2}{7}}\) представляет собой две части (доли) из семи, следовательно, точка А с координатой \(\mathbf{\frac{2}{7}}\) будет удалена от начала координат на расстояние двух долей единичного отрезка ОЕ.

3. К числу \(\mathbf{\frac{2}{7}}\) прибавим число \(\mathbf{\frac{3}{7}}\).

От найденной точки А(\(\mathbf{\frac{2}{7}}\)) отложим вправо (по направлению координатного луча) 3 доли единичного отрезка ОЕ, попадем в точку, координатой которой является число \(\mathbf{\frac{5}{7}}\), назовем ее точкой В.

Две доли, да еще три доли, в результате получаем пять долей из семи.

\(\mathbf{\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}}\)

Осуществлять вычитание дробей с одинаковыми знаменателями так же просто, как находить их сумму.

Вычитанием называют математическую операцию, в результате которой происходит уменьшение общего количества исчисляемых объектов.

Результат вычитания называют разностью (остаток при вычитании).

Число, из которого вычитают (которое уменьшают), называют уменьшаемым.

Число, которое вычитают из уменьшаемого- это вычитаемое.

В общем виде операция сложения выглядит следующим образом:

Рассмотрим простой пример.

Вишневый пирог разрезали на 6 равных частей, \(\mathbf{\frac{3}{6}}\) этого пирога съели.

Какая часть пирога осталась?

Для данной задачи целый вишневый пирог- это уменьшаемое.

Так как пирог разрезали на 6 долей, то дробь \(\mathbf{\frac{6}{6}}\) будет представлять собой один целый пирог.

По условию съели от целого пирога (\(\mathbf{\frac{6}{6}}\) пирога) его некоторую часть (\(\mathbf{\frac{3}{6}}\) пирога).

Следовательно, дробь \(\mathbf{\frac{3}{6}}\)- это вычитаемое.

Получаем следующее: из шести возможных долей съели три.

Определим разность- остаток (часть пирога, которая осталась нетронутой).

По рисунку мы можем заметить, что целый пирог разделили на шесть долей и из них съели три, ровно половину, вторая половина (столько же сколько съели) осталась, т.е. осталось три доли из шести.

\(\mathbf{\frac{6}{6} - \frac{3}{6} = \frac{6 - 3}{6} = \frac{3}{6}}\) пирога осталось.

Запишем правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

При вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитают числитель вычитаемого, а знаменатель оставляют прежним.

Данное правило с помощью букв можно записать следующим образом:

Причем n ≠ 0.

Рассмотрим несколько примеров.

Выполним вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.

1. Найдите значение разности \(\mathbf{\frac{16}{45}\ и\ \frac{7}{45}}\).

Дроби \(\mathbf{\frac{16}{45}\ и\ \frac{7}{45}}\) имеют одинаковые знаменатели, следовательно, нам следует из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, знаменатель необходимо оставить прежним.

\(\mathbf{\frac{16}{45} - \frac{7}{45} = \frac{16 - 7}{45} = \frac{9}{45}}\)

Правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями справедливо для всех видов обыкновенных дробей как для правильных, так и неправильных.

2. Найдите разность\(\mathbf{\frac{15}{17}\ и\ \frac{13}{17}}\).

Дроби \(\mathbf{\frac{15}{17}\ и\ \frac{13}{17}}\) имеют одинаковые знаменатели, следовательно, из числителя уменьшаемого вычтем числитель вычитаемого, а знаменатель оставим тем же.

\(\mathbf{\frac{15}{17} - \frac{13}{17} = \frac{15 - 13}{17} = \frac{2}{17}}\)

3. Найдите разность\(\mathbf{\frac{25}{13}\ и\ \frac{7}{13}}\).

Из неправильной дроби \(\mathbf{\frac{25}{13}}\) вычтем правильную \(\mathbf{ \frac{7}{13}}\).

Дроби \(\mathbf{\frac{25}{13}\ и\ \frac{7}{13}}\) имеют одинаковые знаменатели, следовательно, из числителя уменьшаемого вычтем числитель вычитаемого, а знаменатель оставим тем же.

\(\mathbf{\frac{25}{13} - \frac{7}{13} = \frac{25 - 7}{13} = \frac{18}{13}}\)

4. Найдите разность \(\mathbf{\frac{35}{35}\ и\ \frac{3}{35}}\).

Из неправильной дроби \(\mathbf{\frac{35}{35}}\) вычтем правильную \(\mathbf{\frac{3}{35}}\).

Дроби \(\mathbf{\frac{35}{35}\ и\ \frac{3}{35}}\) имеют одинаковые знаменатели, следовательно, из числителя уменьшаемого вычтем числитель вычитаемого, а знаменатель оставим тем же.

\(\mathbf{\frac{35}{35} - \frac{3}{35} = \frac{35 - 3}{35} = \frac{32}{35}}\)

5. Найдите разность\(\mathbf{\frac{52}{35}\ и\ \frac{40}{35}}\).

Найдем разность двух неправильных дробей.

Дроби \(\mathbf{\frac{52}{35}\ и\ \frac{40}{35}}\) имеют одинаковые знаменатели.

Из числителя уменьшаемого вычтем числитель вычитаемого, а знаменатель оставим тем же.

\(\mathbf{\frac{52}{35} - \frac{40}{35} = \frac{52 - 40}{35} = \frac{12}{35}}\)

Вычитание дробных чисел с одинаковыми знаменателями можно продемонстрировать с помощью координатного луча.

Как это происходит, рассмотрим на примере.

Найдем разность дробей \(\mathbf{\frac{6}{7}\ и\ \frac{2}{7}}\).

1. Изобразим горизонтальный координатный луч, направленный вправо, с началом отсчета в точке О(0) и единичным отрезком ОЕ, равным 1 единице.

Так как знаменатели уменьшаемого и вычитаемого одинаковы и равны семи, то единичный отрезок выгоднее всего разбить на семь равных частей (долей).

Каждая такая доля будет равна \(\mathbf{\frac{1}{7}}\) единичного отрезка ОЕ.

2. Отметим на координатном луче точку А с координатой \(\mathbf{\frac{6}{7}}\).

Дробь \(\mathbf{\frac{6}{7}}\) представляет собой шесть долей единичного отрезка ОЕ из семи.

Следовательно, точка А должна быть удалена от начала координат вправо (по направлению координатного луча) на расстояние шести долей единичного отрезка ОЕ.

3. Найдем разность дробей \(\mathbf{\frac{6}{7}\ и\ \frac{2}{7}}\).

Из \(\mathbf{\frac{6}{7}}\)вычтем \(\mathbf{\frac{2}{7}}\), для этого переместим полученную точку А(\(\mathbf{\frac{6}{7}}\)) на 2 доли единичного отрезка ОЕ влево (против направления координатного луча), получим точку В с координатой \(\mathbf{\frac{4}{7}}\).

\(\mathbf{\frac{6}{7} - \frac{2}{7} = \frac{6 - 2}{7} = \frac{4}{7}}\)

Уравнения и задачи, содержащие обыкновенные дроби, решают по тем же правилам и используя те же методы, которые применяют при решении уравнений и задач с натуральными числами.

Рассмотрим на примерах решение уравнений, содержащих обыкновенные дроби.

Уравнение- это равенство, которое включает в себя неизвестные числа, обозначенные буквами, значение которых можно определить.

Важно помнить, что при нахождении корней уравнения, с правой и левой частью уравнения можно производить различные действия и преобразования, однако, эти действия не должны нарушать равенство между ними.

Нам хорошо известно каким образом связаны между собой компоненты каждой арифметической операции, воспользуемся данными знаниями при решении уравнений.

• Решение уравнения с неизвестным слагаемым.

Неизвестным может быть любое слагаемое.

Правило: чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Пример №1.

Решим уравнение \(\mathbf{x + \frac{7}{12} = \frac{12}{12}}\).

Выражение, стоящее в левой части уравнения, является суммой.

В этом выражении неизвестно первое слагаемое х.

\(\mathbf{x + \frac{7}{12} = \frac{12}{12}}\)

\(\mathbf{x = \frac{12}{12} - \frac{7}{12}}\)

\(\mathbf{x = \frac{5}{12}}\)

Проверка: в исходное уравнение \(\mathbf{x + \frac{7}{12} = \frac{12}{12}}\) вместо неизвестного х нужно подставить найденное значение \(\mathbf{x = \frac{5}{12}}\).

\(\mathbf{\frac{5}{12} + \frac{7}{12} = \frac{12}{12}}\)

\(\mathbf{\frac{12}{12} = \frac{12}{12}}\) получили верное равенство, следовательно, корень уравнения найден верно.

Ответ: \(\mathbf{x = \frac{5}{12}}\).

• Решение уравнения с неизвестным уменьшаемым.

Правило: если неизвестно уменьшаемое число, необходимо сложить два неизвестных компонента операции вычитания, т.е. нужно разность сложить с вычитаемым.

Пример №2.

Решим уравнение \(\mathbf{x - \frac{10}{17} = \frac{7}{17}}\).

Выражение, стоящее в левой части уравнения, является разностью, а неизвестная х- уменьшаемым.

Найдем значение х, при которой исходное уравнение обратится в верное равенство.

\(\mathbf{x - \frac{10}{17} = \frac{7}{17}}\)

\(\mathbf{x = \frac{7}{17} + \frac{10}{17}}\)

\(\mathbf{x = \frac{17}{17}}\)

Проверка: в исходное уравнение \(\mathbf{x - \frac{10}{17} = \frac{7}{17}}\) вместо неизвестного х нужно подставить найденное значение \(\mathbf{x = \frac{17}{17}}\).

\(\mathbf{\frac{17}{17} - \frac{10}{17} = \frac{7}{17}}\)

\(\mathbf{\frac{7}{17} = \frac{7}{17}}\) получили верное равенство, следовательно, корень уравнения найден верно.

Ответ: \(\mathbf{x = \frac{17}{17} = 1}\).

• Решение уравнения с неизвестным вычитаемым.

Правило: чтобы найти вычитаемое, необходимо от уменьшаемого отнять разность.

Пример №3.

Решим уравнение \(\mathbf{\frac{15}{31} - x = \frac{9}{31}}\).

Выражение, стоящее в левой части уравнения, является разностью, в данном выражении неизвестная х- это вычитаемое.

Найдем значение х, при которой исходное уравнение обратится в верное равенство.

\(\mathbf{\frac{15}{31} - x = \frac{9}{31}}\)

\(\mathbf{x = \frac{15}{31} - \frac{9}{31}}\)

\(\mathbf{x = \frac{6}{31}}\)

Проверка: в исходное уравнение \(\mathbf{\frac{15}{31} - x = \frac{9}{31}}\) вместо неизвестного х нужно подставить найденное значение \(\mathbf{x = \frac{6}{31}}\).

\(\mathbf{\frac{15}{31} - \frac{6}{31} = \frac{9}{31}}\)

\(\mathbf{\frac{9}{31} = \frac{9}{31}}\) получили верное равенство, следовательно, корень уравнения найден верно.

Ответ: \(\mathbf{x = \frac{6}{31}}\).

Рассмотрим решение более сложного уравнения, которое содержит несколько арифметических операций.

Пример №4.

Решим уравнение \(\mathbf{(\frac{24}{18} - x) - \frac{5}{18} = \frac{12}{18}}\).

Первым делом упростим данное уравнение.

Определим арифметическую операцию, которая будет выполнятся в последнюю очередь.

Последним действием будет нахождение разности между выражением в скобках \(\mathbf{(\frac{24}{18} - x)}\) и дробью \(\mathbf{\frac{5}{18}}\)

За неизвестное примем целое выражение, стоящее в левой части уравнения в скобках.

В таком случае х (на данном этапе решения) является частью неизвестного уменьшаемого.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно разность сложить с вычитаемым.

\(\mathbf{(\frac{24}{18} - x) = \frac{12}{18} + \frac{5}{18}}\)

\(\mathbf{\frac{24}{18} - x = \frac{12 + 5}{18}}\)

\(\mathbf{\frac{24}{18} - x = \frac{17}{18}}\)

В результате получили простое уравнение, в котором неизвестно вычитаемое.

\(\mathbf{x = \frac{24}{18} - \frac{17}{18}}\)

\(\mathbf{x = \frac{24 - 17}{18}}\)

\(\mathbf{x = \frac{7}{18}}\)

Проверка: в упрощенное уравнение \(\mathbf{\frac{24}{18} - x = \frac{17}{18}}\) вместо неизвестного х нужно подставить найденное значение \(\mathbf{x = \frac{7}{18}}\).

\(\mathbf{\frac{24}{18} - \frac{7}{18} = \frac{17}{18}}\)

\(\mathbf{\frac{17}{18} = \frac{17}{18}}\) получили верное равенство, следовательно, корень уравнения найден верно.

Ответ: \(\mathbf{x = \frac{7}{18}}\).

Рассмотрим на примерах решение задач на сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.

Нам известны различные виды арифметических задач на сложение и вычитание: задачи на нахождение суммы, разности, вычитаемого, уменьшаемого, слагаемого, задачи на разностное сравнение, задачи на увеличение или уменьшение на несколько единиц.

Сегодня рассмотрим только некоторые из них.

Задача №1.

В первый день засеяли \(\mathbf{\frac{2}{7}}\) поля, а во второй день \(\mathbf{\frac{3}{7}}\) этого поля.

Какую часть поля засеяли за эти два дня?

Кратко запишем условие задачи.

Общую часть поля, которую засеяли за два дня, найдем с помощью операции сложения.

Решение:

Из условия задачи известно первое слагаемое (\(\mathbf{\frac{2}{7}}\)) и второе слагаемое (\(\mathbf{\frac{3}{7}}\)).

Найдем сумму двух слагаемых.

\(\mathbf{\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2 + 3}{7} = \frac{5}{7}}\)(поля) засеяли за два дня.

Ответ: \(\mathbf{\frac{5}{7}}\) (поля).

Задача №2.

Мама купила один кочан капусты.

Для приготовления супа она потратила \(\mathbf{\frac{3}{5}}\) кочана.

Какая часть кочана капусты осталась?

Мы знаем, что единицу можно представить в виде дроби, в которой числитель равен знаменателю.

Чтобы решить данную задачу, единицу (один кочан капусты) нужно представить в виде дроби со знаменателем 5, так будет удобнее производить вычисления.

Получим дробь \(\mathbf{\frac{5}{5}}\)- это целый кочан капусты, который купила мама.

Известно, чтобы найти остаток чего-либо (разность чисел), нужно от уменьшаемого отнять вычитаемое.

В нашем случае, уменьшаемое- это дробь \(\mathbf{\frac{5}{5}}\) (целый кочан капусты).

Вычитаемое в данной задаче- это дробь \(\mathbf{\frac{3}{5}}\) (часть капусты, которая пошла на приготовление супа).

Запишем кратко условие задачи.

Было: 1 кочан капусты (\(\mathbf{\frac{5}{5}}\) кочана)

Израсходовали: \(\mathbf{\frac{3}{5}}\) кочана

Осталось- ?

Решение:

\(\mathbf{\frac{5}{5} - \frac{3}{5} = \frac{5 - 3}{5} = \frac{2}{5}}\) (кочана) осталось.

Ответ: \(\mathbf{\frac{2}{5}}\) (кочана)

Попробуем решить более сложную задачу на сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, в которой необходимо выполнить несколько арифметических операций.

Задача №3.

В магазин привезли ананасы.

В первой половине дня продали \(\mathbf{\frac{1}{4}}\) всех ананасов, а после обеда- \(\mathbf{\frac{2}{4}}\) привезенных ананасов, и осталось продать еще 40 ананасов.

Сколько ананасов привезли в магазин?

Выясним, какую часть от привезенных ананасов составляет число 40.

Общее количество ананасов примем за единицу, вычтем из этого количества часть ананасов, которые удалось продать.

Далее по известной части оставшихся ананасов найдем исходное их количество.

\(\mathbf{1 - \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4} -\frac{2}{4} = \frac{4 - 1 - 2}{4} = \frac{3 - 2}{4} = \frac{1}{4}}\) (ананасов) осталось продать.

40 ананасов- это остаток ананасов, которые не удалось продать, составляет \(\mathbf{\frac{1}{4}}\) всех привезенных ананасов.

Если известно сколько составляет часть от целого, то по известной части можно найти целое.

Воспользуемся правилом нахождения целого по его части.

40 ананасов, составляющие \(\mathbf{\frac{1}{4}}\) часть всех привезенных ананасов, разделим на числитель и полученный результат умножим на знаменатель дроби, которая выражает эту часть.

40 ÷ 1 • 4 = 40 • 4 = 160 (ананасов) всего привезли в магазин.

Ответ: 160 (ананасов).