Урок 26 Получить доступ за 75 баллов Формулы

Сегодня на уроке мы выясним, что называют формулой и где её применяют.

Разберем правила решения и оформления задач, решаемых с помощью формул.

Рассмотрим примеры таких задач и научимся работать с формулами: выражать неизвестные величины через известные.

Математический язык- это формальный, искусственно созданный язык, который состоит из математических знаков, символов, терминов, выражений.

В отличие от естественных языков, этот язык более точный, логичный и краткий.

При переходе с разговорного языка на математический многие утверждения, правила, законы становятся яснее и прозрачнее.

Математика, физика, химия и многие другие науки используют язык математики, который в условной форме позволяет представить информацию наглядно и лаконично, не искажая ее при этом.

Естественными языками легче всего выражать качественные характеристики посредством красноречивых предложений.

Математический язык- это в большей степени количественный язык.

Одним из базовых элементов математического языка являются формулы.

Обобщая все выше написанное, можно сказать, что формула- это правило (высказывание), записанное на математическом языке с помощью осмысленной комбинации знаков и символов.

Формулы представляют собой некоторые суждения, которые понятны любому человеку, любой национальности, и неважно каким разговорным языком человек владеет.

В формулу входят переменные. Она устанавливает взаимосвязь между величинами, входящими в нее.

Любые правила, записанные с помощью букв, будут являться примерами формул.

Вам уже известны некоторые математические формулы.

Приведем несколько примеров.

Правило нахождения периметра треугольника: Р_АВС = a + b + c- формула.

Правило нахождения периметра прямоугольника: Р = 2(a + b)- формула.

Правило деления с остатком: a = b ∙ c + r, r < b- формула.

Любая буквенная запись арифметических операций и их свойств является формулой.

Формулам находят различное применение:

• С помощью формул можно описать различные процессы, происходящие в природе.

Формула подобно универсальной заготовке позволяет описывать различные процессы, действия, состояния, явления и т.д.

• Формула может являться некоторым логическим утверждением- тождеством.

С помощью формулы-тождества довольно сложные выражения можно преобразовывать и записывать в удобном, компактном виде, т.е. такие формулы-тождества позволяют упрощать вычисления, решать различного рода задачи.

• Из формулы по известным нам математическим правилам и законам можно выразить одну величину через другие.

Порой решение задач подразумевает определение одной величины при знании остальных величин, которые входят в данную формулу, для этого применяют некоторые математические правила и свойства.

Таким образом, формулу можно упрощать и работать с ней, как с уравнением.

Например, пусть х неизвестная величина, а и b- известные величины, тогда можно выразить:

• Совершая различные математические преобразования, из первоначальной формулы методом подстановки можно вывести вторичную.

Происходит это так: некоторая неизвестная величина выражается из одной формулы и подставляется в другую (однако необходимо, чтобы выбранные формулы были совместимы, т.е. соответствовали одному явлению, процессу и т.д.).

Если сразу вывести величину затруднительно, то можно выражать ее по действиям.

Формула является результатом многолетней работы огромного количества ученых.

Современному человеку необходимо лишь отыскать во всем множестве известных формул ту, которая подойдет в конкретной ситуации.

Нам часто приходится сталкиваться с решением различных задач.

Решить задачу - это значит через логически верную последовательность математических положений, действий и операций с объектами, величинами, числами выполнить требования задачи, т.е. найти верный ответ.

Существуют различные способы и методы решения задач.

Рассмотрим один из них: решение задач с помощью формул.

Процесс решения задач данным способом можно разделить на несколько основных этапов.

Данная последовательность действий не даст ответа на конкретную задачу, но сделает решение ее более понятным и быстрым и позволит решить даже самые непростые задачи.

Рассмотрим общие правила решения задач с помощью формул.

1. Внимательно прочитать, осмыслить и изучить условие задачи.

Следует установить то, что необходимо найти и что известно.

В задачах в основном содержится только существенная информация, т.е. те данные, которые могут быть использованы при их решении.

2. Для лучшего понимания задачи можно ее условия изобразить графически при помощи рисунка, схемы, чертежа и т.д.

С помощью иллюстрации легче понимать и воспринимать информацию.

3. Определить характерные черты задачи.

Следует понять, какого рода задача, чтобы выбрать верный путь ее решения.

Необходимо определить, какими величинами можно описать происходящие процессы, явления, действия, а также важно выяснить, из какой темы будут взяты формулы (если задача сложная, то могут понадобиться несколько формул).

4. Составить план решения задачи.

5. Выразить неизвестную величину через известные величины, т.е. вывести расчетную формулу.

6. Подставить известные числовые значения и произвести вычисления.

7. Оценить размерность (соответствие единиц измерения) величины, полученной в ответе, проверить найденный ответ на наличие вычислительных ошибок.

8. Записать ответ.

Чтобы верно и быстро решить задачу, важно не только действовать четко по определенному алгоритму, но и грамотно записывать и оформлять решение этой задачи.

Задачи, решаемые с помощью формул, удобно делить на два блока: «Дано» и «Решение».

В «Дано» обычно с помощью букв или символов записывают заданные величины и величины, которые требуется определить; т.е. кратко обозначают условие задачи.

Можно использовать любые буквы для обозначения заданных и искомых величин, но тогда необходимо делать краткое описание того, какую величину обозначает та или иная буква, выбранная вами.

Однако чаще всего буквенные обозначения величин, если они не указаны в условиях задачи, выбираются в соответствии с принятыми в науке символами.

Многие величины уже имеют специальные обозначения.

Например, периметр принято обозначать буквой Р, длину и ширину буквами a и b, пройденный путь - S, скорость буквой V, время - t и т.д.

Каждая величина имеет единицу измерения.

Сразу в «Дано» переводят единицы измерения в единую систему, так как одна и та же величина должна быть выражена единой единицей измерения.

Иногда в задачах одноименные величины могут быть выражены разными числовыми мерами.

Например, расстояние может быть выражено в одной и той же задаче километрами, метрами и сантиметрами, или время может быть представлено в одном условии задачи в часах, в другом условии этой же задачи в минутах.

В таком случае необходимо выполнить перевод из разных единиц измерения в одну общую, которая будет фигурировать при числовых подсчетах.

В связи с этим мы должны использовать для той или иной величины единицы измерения, которые прописаны для нее в этой системе СИ, если иного не требуется в задаче.

Если в задаче встречаются одноименные величины, то в таком случае эти величины необходимо конкретизировать, обозначая их разными буквами или присваивая им разные индексы, не меняя буквенного обозначения.

Уточняющий индекс представляет собой маленький знак, или символ (буква, число и т. д.), или сокращение от определяющего слова.

Располагаться индексы могут как снизу, так и сверху, чаще всего с правой стороны от основного буквенного обозначения величины.

Пример.

Если в задаче дана скорость одного автомобиля и скорость второго автомобиля, то в таком случае величины лучше обозначить как V₁ и V₂, где маленькие цифры 1 и 2 справа внизу- это индексы:

V₁- скорость первого автомобиля.

V₂- скорость второго автомобиля.

В «Дано» так же указывают искомые величины: обычно пишут буквенное обозначение величины, а следом через тире вопросительный знак.

Рисунок, как правило, (если он необходим) оформляют в блоке «Решение».

Рисунок должен быть небольшим, чтобы не загромождать решение.

В блоке «Решение» обычно оформляют все преобразования, пояснения и вычисления, т.е. непосредственно само решение задачи.

Принято выводить конечную формулу, затем подставлять в нее вместо величин их числовые значения.

Если конечная формула получается громоздкой, то можно выполнять вычисления по действиям.

Полученные результаты (ответы) желательно проанализировать с точки зрения их логичности и адекватности.

Так, например, если скорость пешехода окажется равной 90 км/ч, или, например, масса яблока будет равной 40 кг, то однозначно можно утверждать, что в решении задачи допущена какая-то ошибка.

Рассмотрим примеры решения задач с помощью формул.

1. Задачи на определение цены, количества, стоимости.

Для решения данных задач применяют формулу стоимости.

Правило звучит так: чтобы найти стоимость покупки, необходимо цену товара умножить на количество этого товара.

Цена- это величина, которая показывает сколько стоит одна единица товара, измеряется в денежных единицах.

Количество- число, которое показывает сколько купили единиц товара, измеряется в штуках, кг, м, л и т.д.

Стоимость- это величина, которая показывает сколько денег потрачено на всю покупку, измеряется в денежных единицах.

Формула для определения стоимости покупки записывается так:

С- стоимость.

а- цена за единицу товара.

n- количество товара.

Рассмотрим решения такого рода задач на примерах.

Задача №1.

Задача на нахождение стоимости.

Килограмм свежих яблок стоит 78 рублей, купили 3 кг.

Сколько заплатили за 3 кг яблок?

Если внимательно читать данную задачу, то можно заметить, что

а- цена за единицу товара, это цена одного килограмма яблок.

n- количество купленного товара (купленных яблок).

Неизвестно С - стоимость всей покупки (трех килограммов яблок).

Запишем решение данной задачи.

Задача №2.

Задача на нахождение цены товара.

За 3 буханки хлеба заплатили 72 рубля.

Сколько стоит одна буханка хлеба?

Заметим, что в данной задаче:

С- стоимость всей покупки, это стоимость трех буханок хлеба.

n- количество купленного товара, это три буханки хлеба.

Неизвестно а- цена за единицу товара, это цена за одну буханку.

Зная стоимость и количество купленного товара, по формуле стоимости покупки можно найти цену единицы товара.

Запишем решение данной задачи.

Задача №3.

Задача на нахождение количества купленного товара.

Один килограмм конфет стоит 243 рубля.

Сколько таких конфет можно купить на 972 рубля?

Заметим, что в данной задаче:

С- это стоимость всей покупки.

а- цена за единицу товара, это цена за один килограмм конфет.

Неизвестно n- количество купленного товара, это количество (кг) купленных конфет.

Зная стоимость и цену товара, по формуле стоимости покупки можно найти количество купленного товара.

Запишем решение данной задачи.

2. Задачи на движение.

Решая простые задачи на движение, мы будем использовать формулу вида:

S- это пройденный путь.

V- это скорость движения.

t- время движения.

Чтобы узнать расстояние, необходимо скорость умножить на время.

Скорость- это расстояние, пройденное за единицу времени.

Под единицей времени мы должны понимать 1 час, 1 минута, 1 секунда.

Задача №1.

Задача на нахождение расстояния (пути).

Легковой автомобиль двигается по трассе с постоянной скоростью 70 км/ч.

Какое расстояние он пройдет за 4 ч?

Если внимательно читать данную задачу, то можно заметить, что известны следующие величины:

V- скорость движения автомобиля.

t- время движения.

Неизвестно S- расстояние, которое может пройти автомобиль за 4 часа при заданных скорости и времени.

Решение данной задачи будет выглядеть так.

Задача №2.

Задача на нахождение скорости движения.

На грузовом автомобиле за 4 часа проехали 280 км.

Скорость движения на всем пути была постоянна (одинаковая).

Чему равна скорость автомобиля?

По условию известны следующие величины:

S- пройденный путь.

t- время движения.

Неизвестна V- скорость движения автомобиля.

Решение данной задачи будет выглядеть так.

Задача №3.

Задача на нахождение времени движения.

Из деревни в поселок велосипедист ехал 2 часа со скорость 15 км/ч, а обратно он ехал по тому же пути со скоростью 10 км/ч.

Сколько времени затратил велосипедист на обратный путь?

Обозначим скорость велосипедиста из деревни в поселок как V₁.

Скорость велосипедиста из поселка в деревню как V₂.

t₁- время движения из деревни в поселок.

t₂- время движения из поселка в деревню.

Решение данной задачи будет выглядеть так.

3. Решение задач на нахождение работы и производительности труда.

Продолжая разбирать элементарные задачи по математике, мы рассмотрим пример решения задачи по теме «Работа. Производительность труда.».

Задачи по этой теме имеют схожий принцип решения с задачами, которые мы рассмотрели выше.

Принято работу обозначать заглавной латинской буквой (А).

Производительностью называют работу, которая выполняется за единицу времени.

Под временной единицей понимается 1 час, 1 минута, 1 секунда.

Производительность будем обозначать латинской буквой (р).

Рассмотрим пример.

Задача.

Два друга Миша и Гриша готовились к контрольной работе по математике.

Миша за 3 часа решил 12 задач, а Гриша за 2 часа решил 10 задач.

Кто из мальчиков решал задачи быстрее?

А решал задачи быстрее тот, кто за один час выполнил больше заданий.

Т.е. необходимо выяснить у кого из мальчиков производительность была выше.

Для нахождения производительности существует такое правило:

Чтобы найти производительность, необходимо выполненную работу разделить на время.

В формульном виде данное правило выглядит так:

р- производительность.

t- время работы.

А- выполненная работа.

Если обратиться к нашему примеру, то выполненная работа- это количество решенных задач, а время выполнения работы- это время, затраченное на решение этих задач.

Таким образом, зная значение этих величин, можно вычислить производительность Миши и Гриши.

Примем для задачи следующие обозначения.

А_м- количество решенных задач Мишей.

t_м- время работы Миши.

А_г- количество решенных задач Гришей.

t_г- время работы Гриши.

Несмотря на то, что Миша решил больше задач, производительность его работы оказалась в итоге меньше (т.е. работал он медленнее, чем Гриша).

По аналогии с предыдущими задачами из известной нам уже формулы р = A ÷ t можно выразить и другие величины, входящие в эту формулу (при условии, что две остальные величины известны).

• если известны производительность (р) и время работы (t), то можно найти объем работы (А) по формуле А = р ∙ t.
• если известны производительность (р) и объем работы (А), то можно найти время работы (t) по формуле t = А ÷ р.

Как мы с вами уже успели заметить, если решать задачи с помощью формул и выполнять все общие рекомендации по их решению и оформлению, то без проблем можно решить задачу любой сложности.

Несомненно, для этого необходимо хорошо знать и помнить базовые формулы, и уметь их применять.