Урок 17 Бесплатно Взаимно обратные числа

В этом уроке мы узнаем, какие числа называются взаимно обратными, как найти число, обратное данному, а также разберем все эти случаи для смешанных чисел.

Взаимно обратные числа

Введем определение: взаимно обратными числами называются такие два числа, произведение которых равняется единице.

То есть, если имеются две обыкновенных дроби, каждую из которых нельзя сократить, то необходимо ответить на вопрос: являются ли они взаимно обратными? Для этого достаточно проверить два равенства:

  1. числитель первой дроби равняется знаменателю второй
  2. числитель второй дроби равняется знаменателю первой

Можно не запоминать что с чем сравнивать. Если начнем записывать выражение для произведения, то заметим, что в случае взаимно обратных чисел числители и знаменатели сократятся, и результатом будет единица.

Перед сравнением важно, чтобы дроби уже были сокращены!

Допустим, имеются две дроби: \(\mathbf{\frac{2}{3}}\) и \(\mathbf{\frac{6}{4}}\)

Если к ним просто применить признак и сравнить по отдельности числитель первой дроби с знаменателем второй и наоборот, то мы заменим, что равенства не выполняются. Но, если их перемножить, мы заметим, что произведение равняется 1, следовательно, они являются взаимно обратными. 

Итак, имеются два способа проверить, являются ли числа взаимно обратными.

  1. по определению: перемножить два числа и проверить, является ли их произведение единицей
  2. по признаку: сократить оба числа, проверить равенство числителя первой дроби и знаменателя второй, а также равенство знаменателя первой дроби и числителя второй

 

Пример 1

Являются ли числа \(\mathbf{\frac{2}{5}}\) и \(\mathbf{\frac{3}{2}}\) взаимно обратными?

Воспользуемся вторым способом. Как можно заметить, дроби уже сокращены.

Сравним числитель первой дроби - 2 и знаменатель второй дроби - 2. Как видим, они равны, идем дальше.

Сравниваем числитель второй дроби - 3 со знаменателем первой дроби - 5. 3 не равно 5, значит, числа \(\mathbf{\frac{2}{5}}\) и \(\mathbf{\frac{3}{2}}\) не являются взаимно обратными.

Ответ: не являются.

 

Пример 2 

Являются ли числа \(\mathbf{\frac{2}{5}}\) и \(\mathbf{\frac{5}{2}}\)  взаимно обратными?

Воспользуемся первым способом.

Перемножим \(\mathbf{\frac{2}{5}}\) и \(\mathbf{\frac{5}{2}}\).

В процессе умножения все множители в числителе и знаменателе сократились и результатом произведения оказалась единица.

Значит \(\mathbf{\frac{2}{5}}\) и \(\mathbf{\frac{5}{2}}\) являются взаимно обратными.

Ответ: являются.

 

Рассмотрим еще один момент.

Допустим, нас просят проверить, являются ли взаимно обратными два числа, одно из которых является обыкновенной дробью, а второе натуральным числом.

В таком случае нам достаточно представить натуральное число в виде дроби, у которой числитель будет равняться данному натуральному числу, а знаменатель единице.

Дальше можно действовать одним из двух разобранных способов.

 

Пример 3

Являются ли числа \(\mathbf{\frac{2}{126}}\) и 63 взаимно обратными?

Представим 63 как обыкновенную дробь.

Получится \(\mathbf{\frac{63}{1}}\)

Далее воспользуемся вторым способом.

Сократим первую дробь \(\mathbf{\frac{2}{126}=\frac{2\cdot1}{2\cdot63}=\frac{1}{63}}\)

Теперь сравним числитель первой дроби со знаменателем второй: единица равна единице.

Сравним знаменатель первой дроби с числителем второй: 63 равно 63

Делаем вывод, что числа \(\mathbf{\frac{2}{126}}\) и 63 являются взаимно обратными.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Нахождение обратного числа к заданному числу

Сначала посмотрим на вопрос со строгой математической точки зрения, а потом сформулируем простое бытовое правило.

Задание:

Дано число а, найдите число, обратное ему.

Решение:

Необходимо найти такое число b, чтобы произведение а и равнялось единице.

Значит нам нужно решить уравнение:

\(\mathbf{a\cdot b=1}\)

В нем известно число a, а неизвестным будет b

Как мы знаем, в таких случаях \(\mathbf{b=1\div a}\)

Необходимо единицу поделить на число a.

Соответственно, если число а - натуральное, то ответом будет дробь, в которой знаменатель равняется данному числу, а числитель- единица.

Пример:

Найдите число, обратное 5:

\(\mathbf{5\cdot b=1}\)

\(\mathbf{b=1\div5}\)

\(\mathbf{b=\frac{1}{5}}\)

Ответ: число, обратное 5-ти- \(\mathbf{\frac{1}{5}}\).

 

В случае же когда а - дробь, необходимо будет единцу поделить на эту дробь. В результате получится дробь, в которой в числителе будет стоять знаменатель исходной дроби, и наоборот, в знаменателе результата будет стоять числитель исходной дроби.

Пример:

Найдите число, обратное \(\mathbf{\frac{4}{7}}\):

\(\mathbf{\frac{4}{7}\cdot b=1}\)

\(\mathbf{b=1\div\frac{4}{7}}\)

\(\mathbf{b=\frac{7}{4}}\)

Ну, и для красоты ответа выделим целую часть.

\(\mathbf{b=1\frac{3}{4}}\)

Ответ: число, обратно \(\mathbf{\frac{4}{7}}\)- это \(\mathbf{1\frac{3}{4}}\).

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Взаимная обратность и смешанные числа

Как проверить, являются ли два числа взаимно обратными, если одно из них смешанное?

Все довольно просто: достаточно перевести смешанное число в формат неправильной дроби и воспользоваться методами, рассмотренными ранее.

 

Задание:

Взаимно обратны ли числа \(\mathbf{2\frac{2}{3}}\) и \(\mathbf{\frac{3}{8}}\)?

Решение:

Для начала переведем смешанное число в вид неправильной дроби.

\(\mathbf{2\frac{2}{3}=\frac{2\cdot3+2}{3}=\frac{8}{3}}\)

Дальше выбираем один из алгоритмов проверки взаимной обратности.

Сделаем по первому способу: проверим, равняется ли произведение двух дробей единице.

\(\mathbf{\frac{8}{3}\cdot\frac{3}{8}=\frac{8\cdot3}{3\cdot8}=1}\)

Произведение дробей равняется единице, значит, числа являются взаимно обратными.

Ответ: да, являются.

 

Заметьте, мы не случайно сказали: «...одно из них смешанное...».

Представим, что у нас имеются два смешанных числа.

У первого есть целая часть, больше или равная единице, и дробная часть, которая может быть сколь угодно малой, но будет больше нуля. Значит, первое число строго больше единицы.

Эти же рассуждения аналогичны и для второго смешанного числа. Значит, и второе число строго больше единицы.

Первое число у нас было больше единицы, значит, после умножения на второе оно не уменьшилось и единицей стать не могло.

Вывод: если мы имеем два смешанных числа, то они никак не могут быть взаимно обратными.

Кстати, аналогичное верно и для правильных дробей: если две дроби меньше единицы, то они тоже не могут быть взаимно обратными числами.

Нахождение обратного числа по данному полностью аналогично этому же процессу для обыкновенных дробей после того момента, как мы преобразуем смешанное число в неправильную дробь. 

 

Задание:

Найдите число взаимно обратное \(\mathbf{1\frac{2}{5}}\):

Решение:

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

\(\mathbf{1\frac{2}{5}=\frac{1\cdot5+2}{5}=\frac{7}{5}}\)

В данном случе получилась дробь, значит, обратным к ней числом также будет дробь.

В числителе будет стоять знаменатель дроби, полученной из смешанного числа, а в знаменателе, соответственно, числитель.

Значит, обратным числом будет \(\mathbf{\frac{5}{7}}\).

Ответ: число, взаимно обратное к \(\mathbf{1\frac{2}{5}}\)- это \(\mathbf{\frac{5}{7}}\).

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Интересная информация

Расскажем пару интересных фактов про взаимно обратные числа.

Во-первых, существует число, которое взаимно обратно самому себе.

Для того чтобы вывести это, нужна хоть и не сложная математика, но еще не пройденная.

А пока что мы можем просто проверить.

И в самом деле, \(\mathbf{1\cdot1=1}\)

 

Еще одним интересным фактом является то, что сумма любых двух взаимно обратных чисел всегда не меньше 2-х.

Опять же, доказательство уходит в чуть более сложную математику, но всегда можно поэкспериментировать и понять, что это действительно похоже на правду.

Заключительный тест

Пройти тест