Урок 35 Получить доступ за 75 баллов Вычитание

Мы уже научились складывать числа с разными знаками, а теперь нам предстоит узнать, как происходит нахождение разности между числами с разными знаками и какой дополнительный смысл это несет.

Не забудем и проанализировать, какими могут получится результаты вычитания.

До этого мы всегда вычитали из положительного числа другое положительное число, причем меньшее или равное ему.

Сейчас рассмотрим еще два случая:

• вычитание из положительного числа числа, большего, чем оно само
• вычитание из положительного числа отрицательного числа

Правило: чтобы вычесть из положительного числа другое положительное число, которое больше его, необходимо из вычитаемого вычесть уменьшаемое и к результату приписать знак «минус».

Пример:

Вычтем из 6-ти 8

В данном случае вычитаемое больше уменьшаемого, значит, вычитаем из него уменьшаемое:

\(\mathbf{8-6=2}\)

И приписываем к результату «минус», получаем:

\(\mathbf{6-8=-2}\)

Как видите, ничего сложного. В жизни такие действия встречаются также достаточно часто.

Например, 19 декабря температура равнялась 4-м градусам выше нуля, но за сутки опустилась на 9 градусов. Чему равняется температура 20-го декабря?

В данном случае нам надо вычесть из 4-х 9.

Вычитаемое больше уменьшаемого, значит, будем действовать по описанному выше алгоритму.

Вычитаем из 9-ти 4, получаем 5.

Теперь приписываем «-», получаем, что \(\mathbf{4-9=-5}\)

Значит, 20-го декабря температура равнялась \(\mathbf{-5}\)-ти градусам.

В случае финансовых расчетов мы можем вычесть больше, чем имеем. Человек может потратить больше денег, чем у него имеется, - в таком случае он окажется должен. На его счету может быть отрицательное число средств - в таком случае он должен (например, банку) модуль от этого числа.

Пример:

У Василия было на счету 15 тысяч рублей, и он потратил на новый телефон 20 тысяч. Чтобы посчитать, сколько денег у него останется на счету, мы должны вычесть из первого числа второе.

Опять же, вычитаемое больше уменьшаемого, значит, мы должны из вычитаемого вычесть уменьшаемое, а затем приписать «-».

Получаем: \(\mathbf{15-20=-5}\)

Ответ: -5 тысяч рублей будет у Василия на счету.

Теперь будем вычитать из положительных чисел отрицательные числа.

Правило: чтобы вычесть из положительного числа отрицательное, необходимо сложить их модули.

Пример:

Вычтем из 11-и -3

Складываем их модули и получаем:

\(\mathbf{11-(-3)=14}\)

Как видите, вычитание отрицательного числа эквивалентно прибавлению положительного числа, обратного этому отрицательному.

Начнем с вычитания из отрицательного числа положительного числа.  Мы делали это ранее с помощью координатной прямой. А сейчас научимся это делать, не используя ее.

Правило: чтобы вычесть из отрицательного числа положительное число, надо

1. Посчитать модули этих чисел
2. Сложить их
3. Приписать «минус» к результату сложения

Пример:

Вычтем из \(\mathbf{-3}\) \(\mathbf{4}\)

1) Находим модули:

\(\mathbf{\mid-3\mid=3}\)

\(\mathbf{\mid4\mid=4}\)

2) Складываем найденные модули:

\(\mathbf{3+4=7}\)

3) Приписываем минус, полученное число и будет ответом:

\(\mathbf{-3-4=-7}\)

Процесс взятия модуля достаточно несложный, поэтому зачастую решение можно не расписывать по действиям.

Процесс нахождения разности двух отрицательных чисел также не сложен и в целом сводится к сложению чисел с разными знаками.

Как мы уже сказали, вычесть отрицательное число - это то же самое, что и прибавить положительное с тем же модулем, что и у отрицательного.

Поэтому тут могут быть разные подходы:

Вычтем из \(\mathbf{-5}\) \(\mathbf{-2}\)

Можно применить свойство, указанное выше, и смотреть на это, как на сложение чисел с разными знаками.

\(\mathbf{-5-(-2)=-5+2}\)

В таком случае, как мы помним, нужно взять модули слагаемых, из большего вычесть меньший и к результату приписать знак слагаемого с наибольшим модулем.

В нашем случае модуль больше у \(\mathbf{-5}\), так что \(\mathbf{-5+2=-3}\)

Посмотрим еще на такое свойство:

Если мы хотим прибавить отрицательное число, то достаточно вычесть положительное число с тем же модулем, что и у отрицательного числа.

Выше мы получили сумму отрицательного числа и положительного.

Перейдем к вычитанию из одного положительного числа другого положительного.

Посмотрим на том же примере, снова вычитая из \(\mathbf{-5}\) \(\mathbf{-2}\).

\(\mathbf{-5-(-2)=-5+2=2+(-5)=2-5=-3}\)

Первое равенство (\(\mathbf{-5-(-2)=-5+2}\)) происходит, так как вычитание отрицательного числа можно превратить в прибавление положительного.

При переходе через второе равенство (\(\mathbf{-5+2=2+(-5)}\)) мы просто меняем местами слагаемые.

В третьем равенстве (\(\mathbf{2+(-5)=2-5}\)) мы пользуемся только что введенным свойством.

И четвертый переход (\(\mathbf{2-5=-3}\)) - считаем разность двух положительных чисел, как делали это в первой части урока. 

Нужно отметить, что теперь мы умеем превращать вычитание в прибавление (вычитание это прибавление числа с противоположным знаком того же модуля). И тогда при желании можно вообще не говорить отдельно про вычитание, сводя его к сложению.

Примеры:

\(\mathbf{5-2=5+(-2)}\)

\(\mathbf{234-(-132)-98=234+132+(-98)}\)

Рассмотрим геометрический смысл разности: она показывает, как соотносятся точки на координатной прямой.

Если точки не равны, то модуль разности координат покажет нам расстояние между ними, а знак - в какую сторону от одной точки идти до другой.

Пример:

Пусть будет точка А с координатой -2 и точка В с координатой 3

Разность равна \(\mathbf{-2-3=-5}\)

Значит расстояние между точками равно 5-ти (модулю разности).

А знак «минус» говорит о том, что точка А лежит ближе по направлению, чем точка В (в данном случае левее).

Сформулируем правила:

1) Если разность координат двух точек больше нуля, значит, первая точка лежит дальше по направлению, чем вторая точка.

2) Если разность координат двух точек равна нулю, то точки совпадают

3) Если разность координат двух точек меньше нуля, значит, первая точка лежит ближе по направлению, чем вторая точка.

Если вернемся к картинке и посчитаем разность между координатами точек В и А, именно в таком порядке, то заметим, что она равна 5-ти, что подтверждает то, что точка В лежит дальше по направлению, чем точка А.

Если же посчитаем разность координат точки В, то есть вычтем из 3-х 3, мы получим 0, что подтверждает то, что это одна точка.

Иногда, еще до того, как мы начнем считать разность двух чисел, нам может захотеться знать знак результата.

Сформулируем общее правило:

1) Если уменьшаемое больше вычитаемого, то разность будет положительной

2) Если уменьшаемое равно вычитаемому, то разность будет равна нулю

3) Если уменьшаемое меньше вычитаемого, то разность будет отрицательной

Посмотрим на примерах и убедимся, что это действительно так.

Пример, когда уменьшаемое больше вычитаемого.

Случай, когда оба числа больше нуля тривиален. Вы с ним хорошо знакомы, поэтому интересней поговорить про случай, когда оба числа отрицательны.

Например, вычтем из \(\mathbf{-11}\)-ти \(\mathbf{-15}\)

В данном случае уменьшаемое больше вычитаемого (так как они оба отрицательные и модуль уменьшаемого меньше).

Используя правила, получаем:

\(\mathbf{-11-(-15)=-11+15=15-11=4}\)

Получилось положительное число, как мы и ожидали.

Это происходит из-за природы вычитания: разность показывает сколько надо прибавить к вычитаемому, чтобы получить уменьшаемое.

В самом деле, если мы прибавим к \(\mathbf{-15}\)-ти 4, то мы получим \(\mathbf{-11}\)

Именно поэтому, если уменьшаемое больше вычитаемого, чтобы из вычитаемого получить уменьшаемое, нужно будет прибавлять положительное число, а значит, и разность будет положительной.

Пример, когда уменьшаемое равно вычитаемому.

Здесь все также вполне тривиально: числа и так не различаются, значит, разность будет равна нулю.

Аналогия с координатной прямой здесь также говорит о том, что разность будет равняться нулю, ведь ненулевого отрезка между точками не будет.

Пример, когда уменьшаемое меньше вычитаемого.

Вычтем из 5-ти 15, получаем -10, число отрицательное, как и должно было получиться.

В этом и предыдущих уроках мы нередко обращались к аналогии с градусником или ртутным термометром.

Оказывается, этот прибор слабо менялся с начала XVIII века, а первые приборы для измерения температуры появились еще раньше.

Есть разные версии на тему того, кто именно являлся изобретателем первого термометра. Один из вероятных изобретателей - Галилей, но в его трудах не было сказано про термометр, про это только позже говорили его ученики.

В 1561-м году родился Итальянский врач Санторио. Помимо непосредственно исцеления людей, он любил наблюдать и проводить на себе опыты. Для того, чтобы опыт был содержательным, надо было как-то измерять показатели тела. Так был создан прибор для измерения силы пульсации артерий, весы для человека и, по одной из версий, термометр. Выглядело его устройство немного странно: вместо привычной узкой трубки - извилистая. Хотя и с некоторыми проблемами, но его устройство работало.

А проблемы были. Если использовали воду, то она замерзала и могла разбить трубку. Так ученые пришли к необходимости использовать винный спирт или другие спиртосодержащие жидкости, которые не замерзают при таких незначительных температурах.

В результате экспериментов с конструкциями появилась запаянная с одного конца трубка, наполненная ртутью. Теперь низкая температура не разрушала устройство, а давление не изменяло показатели.

Первую единую шкалу придумал немецкий физик Габриэль Фаренгейт в 1723 году.

Точку нуля он выставил как температуру состава снега и нашатыря или поваренной соли.

Точку в 32 градуса он выставил, как «начинающееся замерзание воды».

Есть в этой шкале и что-то человеческое: 96 градусов по Фаренгейту (96ºF) соответствуют температуре здорового человека.

Эту систему до сих пор используют в США, поэтому не стоит сильно удивляться непривычным цифрам, которые иногда можно услышать в сериалах и фильмах.

Почти привычную нам систему придумал шведский ученый Цельсий в 1742 году.

Он установил 0 в точке закипания воды, а 100 - в точке плавления льда.

Позже ее «перевернули» и теперь мы знаем, что лед плавится при 0 градусах Цельсия (ºC), а вода кипит при 100ºC.

Сегодня обычные термометры постепенно отходят в прошлое, уступая свое место приложениям в телефоне, а опасные ртутные градусники заменяют более удобными и безопасными электронными, но в свое время это изобретение позволило сильно продвинуть науку вперед и улучшить жизнь людей.