Урок 14 Получить доступ за 50 баллов Умножение дробей

В этом уроке мы научимся умножать дробь на натуральное число, разберемся с перемножением двух дробей и поймем, в чем заключается алгоритм умножения смешанных чисел.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Умножение дроби на натуральное число

Вполне типичная ситуация из жизни: человек покупает в магазине 5 упаковок товара, в каждой содержится по \(\mathbf{\frac{2}{3}}\) килограмм товара.

Логичный вопрос: сколько всего килограмм товара было куплено?

В таких и многих других случаях, необходимо уметь умножить дробь на натурально число.

В нашем случае нужно умножить \(\mathbf{\frac{2}{3}}\) на 5.

Результат умножения дроби и натурального числа будет дробь, числитель которой будет равен произведению числителя дроби и натурального числа, а знаменатель - знаменателю дроби.

То есть в нашем примере:

2 умножим на 5, получим 10.

Запишем результат: \(\mathbf{\frac{10}{3}}\)

Заметьте, что дробь получилась неправильной, то есть числитель больше знаменателя. Для красоты ответа стоит выделить целую часть та кже, как мы это делали в прошлом уроке.

На всякий случай повторим:

  1. разделите числитель нацело на знаменатель
  2. запишите частное в целую часть
  3. остаток запишите в числитель дробной части

Ответ будет: \(\mathbf{3\frac{1}{3}}\)

Приведем еще несколько примеров: 

\(\mathbf{\frac{3}{4}\cdot4=\frac{3\cdot4}{4}=3}\)

Этот пример показывает, что имеет смысл сначала записать произведение, не считая его значение. Тогда можно сократить результат и потом уже досчитать.

\(\mathbf{\frac{4}{7}\cdot5=\frac{4\cdot5}{7}=\frac{20}{7}=2\frac{6}{7}}\)

В этом примере снова потребовалось выделить целую часть.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Умножение двух дробей

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

После того, как мы научились умножать дробь на натуральное число, пора переходить к умножению дроби на дробь.

Алгоритм весьма схож. Ответом снова будет дробь:

  • в числителе будет стоять произведение числителей изначальных дробей
  • в знаменателе будет стоять произведение знаменателей

Рассмотрим подробнее на примере: пусть нам надо перемножить \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) и \(\mathbf{\frac{2}{7}}\).

Числители здесь это 3 и 4, их произведение равняется 12.

Знаменатели: 2 и 7, их произведение дает 14.

Тогда ответом будет дробь: \(\mathbf{\frac{12}{14}}\)

Возникает естественное желание сократить эту дробь. Сократим числитель и знаменатель на 2, в итоге ответ будет выглядеть так:\(\mathbf{\frac{6}{7}}\) 

Сформулируем алгоритм умножения двух дробей:

  1. перемножаем числители
  2. перемножаем знаменатели
  3. пишем результат первого действия в числитель ответа, результат второго действия в знаменатель

 

Примеры:

\(\mathbf{\frac{5}{8}\cdot\frac{2}{3}=\frac{5\cdot2}{8\cdot3}=\frac{5}{4\cdot3}=\frac{5}{12}}\)

Здесь мы прибегли к сокращению, убрав из числителя двойку и поделив восьмерку в знаменателе на 2.

\(\mathbf{\frac{1}{5}\cdot\frac{7}{9}=\frac{1\cdot7}{5\cdot9}=\frac{7}{45}}\) 

\(\mathbf{\frac{4}{9}\cdot\frac{5}{6}=\frac{4\cdot5}{9\cdot6}=\frac{2\cdot5}{9\cdot3}=\frac{10}{27}}\)

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Произведение смешанного и натурального чисел

Прежде чем рассмотреть умножение смешанного числа на смешанное, рассмотрим случай, в котором мы умножаем смешанное число на натуральное.

Существует два способа умножения смешанного числа на натуральное, рассмотрим их по порядку.

1. В первом способе мы преобразуем смешанное число к неправильной дроби, а дальше выполняем умножение дроби на натуральное число, которое мы рассмотрели в начале урока.

Например, надо решить такой пример:

\(\mathbf{1\frac{2}{7}\cdot4}\)

Домножаем целую часть смешанного числа на его знаменатель и прибавляем к числителю:

\(\mathbf{1\frac{2}{7}=\frac{1\cdot7+2}{7}=\frac{9}{7}}\)

Теперь по правилу умножения дроби на натуральное число, перемножим числитель дроби и натуральное число, а знаменатель оставим тем же самым:

\(\mathbf{\frac{9}{7}\cdot4=\frac{9\cdot4}{7}=\frac{36}{7}}\)

Остается, как и в остальных случаях, выделить целую часть:

\(\mathbf{\frac{36}{7}=5\frac{1}{7}}\)

 

И еще немного примеров:

\(\mathbf{3\frac{1}{4}\cdot3=\frac{3\cdot4+1}{4}\cdot3=\frac{13}{4}\cdot3=\frac{13\cdot3}{4}=\frac{39}{4}=9\frac{3}{4}}\)

\(\mathbf{2\frac{3}{8}\cdot5=\frac{2\cdot8+3}{8}\cdot5=\frac{19}{8}\cdot5=\frac{19\cdot5}{8}=\frac{95}{8}=11\frac{7}{8}}\)

 

2. Второй способ заключается в том, что смешанное число представляем как сумму натурального числа и правильной дроби. По очереди умножаем их на натуральное число и складываем результаты.

Вспомним распределительное свойство умножения относительно сложения:

\(\mathbf{a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c}\)

То есть если нам надо умножить сумму двух чисел на третье, мы можем сначала перемножить первое и третье, потом второе и третье и сложить результаты.

Возникает вопрос: как это поможет в нашем случае?

Ответ: можно представить смешанное число как сумму его целой и дробной частей.

Например:

\(\mathbf{5\frac{2}{3}=5+\frac{2}{3}}\)

Если нам надо умножить смешанное число на натуральное, можно сначала представить смешанное число как сумму натурального числа и правильной дроби, затем по очереди умножить их на натуральное число и сложить результаты.

Для понимания решим такой пример:

\(\mathbf{5\frac{2}{3}\cdot8}\)

Представляем смешанное число в виде суммы:

\(\mathbf{5\frac{2}{3}\cdot8=(5+\frac{2}{3})\cdot8}\)

Расписываем выражение по распределительному свойству:

\(\mathbf{(5+\frac{2}{3})\cdot8=5\cdot8+\frac{2}{3}\cdot8}\)

Производим умножения:

\(\mathbf{5\cdot8+\frac{2}{3}\cdot8=40+\frac{16}{3}}\)

Остается преобразовать неправильную дробь в смешанное число и сложить с полученным натуральным:

\(\mathbf{40+\frac{16}{3}=40+5\frac{1}{3}=45\frac{1}{3}}\)

 

Также дадим еще парочку примеров на это правило:

\(\mathbf{3\frac{8}{9}\cdot2=(3+\frac{8}{9})\cdot2=3\cdot2+\frac{8}{9}\cdot2=6+\frac{8\cdot2}{9}=6+\frac{16}{9}=6+1\frac{7}{9}=7\frac{7}{9}}\)

\(\mathbf{8\frac{5}{7}\cdot3=(8+\frac{5}{7})\cdot3=8\cdot3+\frac{5}{7}\cdot3=24+\frac{5\cdot3}{7}=24+\frac{15}{7}=24+2\frac{1}{7}=26\frac{1}{7}}\)

 

Второй способ часто оказывается более удобным, так как в нем мы работаем с меньшими по величине числами.

Теперь вы знаете два способа перемножения смешанных и натуральных чисел. Выбирайте наиболее удобный для вас!

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Умножение двух смешанных чисел

Перейдем к умножению двух смешанных чисел.

Если говорить коротко, то надо преобразовать смешанные числа в неправильные дроби и проделать все действия для умножения дробей.

Распишем все это подробно.

Допустим, мы хотим посчитать произведение \(\mathbf{3\frac{1}{2}}\) и \(\mathbf{2\frac{2}{3}}\)

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

Для этого перемножаем целую часть смешанного числа и его знаменатель и прибавляем к числителю, знаменатель оставляем без изменений.

\(\mathbf{3\frac{1}{2}=\frac{3\cdot2+1}{2}=\frac{7}{2}}\)

\(\mathbf{2\frac{2}{3}=\frac{2\cdot3+1}{3}=\frac{7}{3}}\)

Теперь пойдем по алгоритму произведения дробей.

Перемножим числители: \(\mathbf{7\cdot7=49}\)

Перемножим знаменатели: \(\mathbf{2\cdot3=6}\)

Подставим это в дробь: \(\mathbf{\frac{49}{6}}\)

Теперь остается выделить целую часть: \(\mathbf{\frac{49}{6}=8\frac{1}{6}}\)

Это и будет решением нашего примера.

 

Еще немного примеров:

 

\(\mathbf{7\frac{2}{9}\cdot2\frac{1}{4}=\frac{7\cdot9+2}{9}\cdot\frac{2\cdot4+1}{4}=\frac{65}{9}\cdot\frac{9}{4}=\frac{65\cdot9}{9\cdot4}=\frac{65}{4}=16\frac{1}{4}}\)

 

\(\mathbf{4\frac{2}{5}\cdot3\frac{3}{8}=\frac{4\cdot5+2}{5}\cdot\frac{3\cdot8+3}{8}=\frac{22}{5}\cdot\frac{27}{8}=\frac{22\cdot27}{5\cdot8}=\frac{11\cdot27}{5\cdot4}=\frac{297}{20}=14\frac{17}{20}}\)

 

\(\mathbf{2\frac{1}{2}\cdot1\frac{2}{3}=\frac{2\cdot2+1}{2}\cdot\frac{1\cdot3+2}{3}=\frac{5}{2}\cdot\frac{5}{3}=\frac{5\cdot5}{2\cdot3}=\frac{25}{6}=4\frac{1}{6}}\)

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Интересная информация

Мы уже привыкли работать с обычными и десятичными дробями.

Также мы довольно неплохо умеем читать римские цифры, которые часто используют на часах, для описания глав книги или подпунктов задач и теорем.

Тогда возникает естественный интерес: как в римской записи будут выглядеть дроби?

Оказывается, в Древнем Риме использовали двенадцатеричную систему дробей.

То есть у всех дробей в этой системе счисления знаменатель равен 12.

Это аналогично тому, как в десятичных дробях знаменатель кратен 10.

Медные монеты ассы, используемые в Древнем Риме, делились на 12 равных частей - унций.

Одной унции соответствовала одна точка: \(\mathbf{\cdot}\), двум унциям соответствовало две точки и так далее.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

На приведенной выше картинке изображены монеты номиналом по 4 унции.

Также были специальные обозначения для \(\mathbf{\frac{1}{2}}\)- семис, \(\mathbf{\frac{1}{6}}\)- секстанс, \(\mathbf{\frac{1}{24}}\)- семиунция и так далее.

Для работы с такими сложными дробями римлянам приходилось прибегать к специальным таблицам.

Смотря на это, можно порадоваться: с нашей системой счисления работать гораздо удобнее.

В бесплатной версии урока недоступны:

  • Видео
  • Изображения
  • Дополнительная информация
  • Таблицы
  • Тесты
Получить доступ