Урок 14 Получить доступ за 75 баллов Умножение дробей

В этом уроке мы научимся умножать дробь на натуральное число, разберемся с перемножением двух дробей и поймем, в чем заключается алгоритм умножения смешанных чисел.

Вполне типичная ситуация из жизни: человек покупает в магазине 5 упаковок товара, в каждой содержится по \(\mathbf{\frac{2}{3}}\) килограмм товара.

Логичный вопрос: сколько всего килограмм товара было куплено?

В таких и многих других случаях, необходимо уметь умножить дробь на натурально число.

В нашем случае нужно умножить \(\mathbf{\frac{2}{3}}\) на 5.

Результат умножения дроби и натурального числа будет дробь, числитель которой будет равен произведению числителя дроби и натурального числа, а знаменатель - знаменателю дроби.

То есть в нашем примере:

2 умножим на 5, получим 10.

Запишем результат: \(\mathbf{\frac{10}{3}}\)

Заметьте, что дробь получилась неправильной, то есть числитель больше знаменателя. Для красоты ответа стоит выделить целую часть также, как мы это делали в прошлом уроке.

На всякий случай повторим:

1. разделите числитель нацело на знаменатель
2. запишите частное в целую часть
3. остаток запишите в числитель дробной части

Ответ будет: \(\mathbf{3\frac{1}{3}}\)

Приведем еще несколько примеров: 

\(\mathbf{\frac{3}{4}\cdot4=\frac{3\cdot4}{4}=3}\)

Этот пример показывает, что имеет смысл сначала записать произведение, не считая его значение. Тогда можно сократить результат и потом уже досчитать.

\(\mathbf{\frac{4}{7}\cdot5=\frac{4\cdot5}{7}=\frac{20}{7}=2\frac{6}{7}}\)

В этом примере снова потребовалось выделить целую часть.

После того, как мы научились умножать дробь на натуральное число, пора переходить к умножению дроби на дробь.

Алгоритм весьма схож. Ответом снова будет дробь:

• в числителе будет стоять произведение числителей изначальных дробей
• в знаменателе будет стоять произведение знаменателей

Рассмотрим подробнее на примере: пусть нам надо перемножить \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) и \(\mathbf{\frac{2}{7}}\).

Числители здесь это 3 и 2, их произведение равняется 6.

Знаменатели: 4 и 7, их произведение дает 28.

Тогда ответом будет дробь: \(\mathbf{\frac{6}{28}}\)

Возникает естественное желание сократить эту дробь. Сократим числитель и знаменатель на 2, в итоге ответ будет выглядеть так:\(\mathbf{\frac{6}{7}}\) 

Сформулируем алгоритм умножения двух дробей:

1. перемножаем числители
2. перемножаем знаменатели
3. пишем результат первого действия в числитель ответа, результат второго действия в знаменатель

Примеры:

\(\mathbf{\frac{5}{8}\cdot\frac{2}{3}=\frac{5\cdot2}{8\cdot3}=\frac{5}{4\cdot3}=\frac{5}{12}}\)

Здесь мы прибегли к сокращению, убрав из числителя двойку и поделив восьмерку в знаменателе на 2.

\(\mathbf{\frac{1}{5}\cdot\frac{7}{9}=\frac{1\cdot7}{5\cdot9}=\frac{7}{45}}\) 

\(\mathbf{\frac{4}{9}\cdot\frac{5}{6}=\frac{4\cdot5}{9\cdot6}=\frac{2\cdot5}{9\cdot3}=\frac{10}{27}}\)

Прежде чем рассмотреть умножение смешанного числа на смешанное, рассмотрим случай, в котором мы умножаем смешанное число на натуральное.

Существует два способа умножения смешанного числа на натуральное, рассмотрим их по порядку.

1. В первом способе мы преобразуем смешанное число к неправильной дроби, а дальше выполняем умножение дроби на натуральное число, которое мы рассмотрели в начале урока.

Например, надо решить такой пример:

\(\mathbf{1\frac{2}{7}\cdot4}\)

Домножаем целую часть смешанного числа на его знаменатель и прибавляем к числителю:

\(\mathbf{1\frac{2}{7}=\frac{1\cdot7+2}{7}=\frac{9}{7}}\)

Теперь по правилу умножения дроби на натуральное число, перемножим числитель дроби и натуральное число, а знаменатель оставим тем же самым:

\(\mathbf{\frac{9}{7}\cdot4=\frac{9\cdot4}{7}=\frac{36}{7}}\)

Остается, как и в остальных случаях, выделить целую часть:

\(\mathbf{\frac{36}{7}=5\frac{1}{7}}\)

И еще немного примеров:

\(\mathbf{3\frac{1}{4}\cdot3=\frac{3\cdot4+1}{4}\cdot3=\frac{13}{4}\cdot3=\frac{13\cdot3}{4}=\frac{39}{4}=9\frac{3}{4}}\)

\(\mathbf{2\frac{3}{8}\cdot5=\frac{2\cdot8+3}{8}\cdot5=\frac{19}{8}\cdot5=\frac{19\cdot5}{8}=\frac{95}{8}=11\frac{7}{8}}\)

2. Второй способ заключается в том, что смешанное число представляем как сумму натурального числа и правильной дроби. По очереди умножаем их на натуральное число и складываем результаты.

Вспомним распределительное свойство умножения относительно сложения:

\(\mathbf{a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c}\)

То есть если нам надо умножить сумму двух чисел на третье, мы можем сначала перемножить первое и третье, потом второе и третье и сложить результаты.

Возникает вопрос: как это поможет в нашем случае?

Ответ: можно представить смешанное число как сумму его целой и дробной частей.

Например:

\(\mathbf{5\frac{2}{3}=5+\frac{2}{3}}\)

Если нам надо умножить смешанное число на натуральное, можно сначала представить смешанное число как сумму натурального числа и правильной дроби, затем по очереди умножить их на натуральное число и сложить результаты.

Для понимания решим такой пример:

\(\mathbf{5\frac{2}{3}\cdot8}\)

Представляем смешанное число в виде суммы:

\(\mathbf{5\frac{2}{3}\cdot8=(5+\frac{2}{3})\cdot8}\)

Расписываем выражение по распределительному свойству:

\(\mathbf{(5+\frac{2}{3})\cdot8=5\cdot8+\frac{2}{3}\cdot8}\)

Производим умножения:

\(\mathbf{5\cdot8+\frac{2}{3}\cdot8=40+\frac{16}{3}}\)

Остается преобразовать неправильную дробь в смешанное число и сложить с полученным натуральным:

\(\mathbf{40+\frac{16}{3}=40+5\frac{1}{3}=45\frac{1}{3}}\)

Также дадим еще парочку примеров на это правило:

\(\mathbf{3\frac{8}{9}\cdot2=(3+\frac{8}{9})\cdot2=3\cdot2+\frac{8}{9}\cdot2=6+\frac{8\cdot2}{9}=6+\frac{16}{9}=6+1\frac{7}{9}=7\frac{7}{9}}\)

\(\mathbf{8\frac{5}{7}\cdot3=(8+\frac{5}{7})\cdot3=8\cdot3+\frac{5}{7}\cdot3=24+\frac{5\cdot3}{7}=24+\frac{15}{7}=24+2\frac{1}{7}=26\frac{1}{7}}\)

Второй способ часто оказывается более удобным, так как в нем мы работаем с меньшими по величине числами.

Теперь вы знаете два способа перемножения смешанных и натуральных чисел. Выбирайте наиболее удобный для вас!

Перейдем к умножению двух смешанных чисел.

Если говорить коротко, то надо преобразовать смешанные числа в неправильные дроби и проделать все действия для умножения дробей.

Распишем все это подробно.

Допустим, мы хотим посчитать произведение \(\mathbf{3\frac{1}{2}}\) и \(\mathbf{2\frac{2}{3}}\)

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

Для этого перемножаем целую часть смешанного числа и его знаменатель и прибавляем к числителю, знаменатель оставляем без изменений.

\(\mathbf{3\frac{1}{2}=\frac{3\cdot2+1}{2}=\frac{7}{2}}\)

\(\mathbf{2\frac{2}{3}=\frac{2\cdot3+1}{3}=\frac{7}{3}}\)

Теперь пойдем по алгоритму произведения дробей.

Перемножим числители: \(\mathbf{7\cdot7=49}\)

Перемножим знаменатели: \(\mathbf{2\cdot3=6}\)

Подставим это в дробь: \(\mathbf{\frac{49}{6}}\)

Теперь остается выделить целую часть: \(\mathbf{\frac{49}{6}=8\frac{1}{6}}\)

Это и будет решением нашего примера.

Еще немного примеров:

\(\mathbf{7\frac{2}{9}\cdot2\frac{1}{4}=\frac{7\cdot9+2}{9}\cdot\frac{2\cdot4+1}{4}=\frac{65}{9}\cdot\frac{9}{4}=\frac{65\cdot9}{9\cdot4}=\frac{65}{4}=16\frac{1}{4}}\)

\(\mathbf{4\frac{2}{5}\cdot3\frac{3}{8}=\frac{4\cdot5+2}{5}\cdot\frac{3\cdot8+3}{8}=\frac{22}{5}\cdot\frac{27}{8}=\frac{22\cdot27}{5\cdot8}=\frac{11\cdot27}{5\cdot4}=\frac{297}{20}=14\frac{17}{20}}\)

\(\mathbf{2\frac{1}{2}\cdot1\frac{2}{3}=\frac{2\cdot2+1}{2}\cdot\frac{1\cdot3+2}{3}=\frac{5}{2}\cdot\frac{5}{3}=\frac{5\cdot5}{2\cdot3}=\frac{25}{6}=4\frac{1}{6}}\)

Мы уже привыкли работать с обычными и десятичными дробями.

Также мы довольно неплохо умеем читать римские цифры, которые часто используют на часах, для описания глав книги или подпунктов задач и теорем.

Тогда возникает естественный интерес: как в римской записи будут выглядеть дроби?

Оказывается, в Древнем Риме использовали двенадцатеричную систему дробей.

То есть у всех дробей в этой системе счисления знаменатель равен 12.

Это аналогично тому, как в десятичных дробях знаменатель кратен 10.

Медные монеты ассы, используемые в Древнем Риме, делились на 12 равных частей - унций.

Одной унции соответствовала одна точка: \(\mathbf{\cdot}\), двум унциям соответствовало две точки и так далее.

На приведенной выше картинке изображены монеты номиналом по 4 унции.

Также были специальные обозначения для \(\mathbf{\frac{1}{2}}\)- семис, \(\mathbf{\frac{1}{6}}\)- секстанс, \(\mathbf{\frac{1}{24}}\)- семиунция и так далее.

Для работы с такими сложными дробями римлянам приходилось прибегать к специальным таблицам.

Смотря на это, можно порадоваться: с нашей системой счисления работать гораздо удобнее.