Урок 36 Получить доступ за 0 баллов Умножение
В этом уроке мы узнаем, как перемножать два числа с разными знаками, а также разберемся, как перемножить два отрицательных числа.
Научимся возводить в квадрат как положительные, так и отрицательные числа, и предугадывать знаки результата умножения.
Также мы узнаем, как связаны между собой отрицательные числа и умножение на -1 и как это можно использовать.
Произведение чисел с разными знаками
Задача:
Кондитерская фабрика выпускает шоколадки по 3000 штук в день.
Фабрика изменила вес одной шоколадки на -10 грамм.
Вопрос: на сколько изменилось количество выпускаемого в день?
Для ответа на этот вопрос необходимо перемножить то, насколько меньше стал вес одной шоколадки, на общее количество шоколадок.
Так мы пришли к тому, что нам необходимо уметь перемножать числа с разными знаками.
Правило: чтобы перемножить числа с разными знаками, необходимо посчитать произведение модулей этих чисел и к результату приписать “минус”.
Применим это правило к нашей задаче:
1) Считаем модули:
\(\mathbf{\mid3000\mid=3000}\)
\(\mathbf{\mid-10\mid=10}\)
2) Считаем произведение модулей:
\(\mathbf{3000\cdot10=30000}\)
3) Приписываем “минус” и получаем ответ: на -30000 грамм.
Как видите, все достаточно просто, приведем еще примеры:
\(\mathbf{3\cdot(-5)=-15}\)
\(\mathbf{\frac{1}{2}\cdot(-2)=-1}\)
\(\mathbf{-1\frac{1}{3}\cdot6=-8}\)
\(\mathbf{548\cdot(-0.5)=-274}\)
Заметим, что произведение чисел с разными знаками всегда число отрицательное.
Так происходит потому, что сначала считается произведение модулей, поэтому произведение положительных чисел определенно будет положительным.
Далее мы приписываем к нему минус. А если приписать минус к положительному числу, то получится ни что иное, как число отрицательное.
Произведение отрицательных чисел
Теперь посмотрим, что делать, если надо перемножить два отрицательных числа.
Правило: произведение двух отрицательных чисел равняется произведению их модулей.
Пример:
Необходимо перемножить \(\mathbf{-15}\) и \(\mathbf{-3}\)
1) Находим их модули:
\(\mathbf{\mid-15\mid=15}\)
\(\mathbf{\mid-3\mid=3}\)
2) Считаем произведение модулей:
\(\mathbf{15\cdot3=45}\)
Если записать кратко: \(\mathbf{-15\cdot(-3)=45}\)
Это и будет ответом.
Даже проще, чем с произведением отрицательных чисел, - не надо приписывать минус.
Пример:
Перемножим \(\mathbf{-\frac{1}{6}\cdot(-\frac{3}{2})}\)
1) Посчитаем модули:
\(\mathbf{\mid-\frac{1}{6}\mid=\frac{1}{6}}\)
\(\mathbf{\mid-\frac{3}{2}\mid=\frac{3}{2}}\)
2) Считаем их произведение:
\(\mathbf{\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{2}=\frac{1\cdot3}{6\cdot2}=\frac{1}{2\cdot2}=\frac{1}{4}}\)
Ответ: \(\mathbf{\frac{1}{4}}\)
И еще несколько примеров:
\(\mathbf{-54\cdot(-2)=108}\)
\(\mathbf{-\frac{12}{45}\cdot(-\frac{15}{4})=\frac{12\cdot15}{45\cdot4}=\frac{3\cdot15}{45}=\frac{45}{45}=1}\)
\(\mathbf{-0.002\cdot(-0.2)=0.0004}\)
Заметим, что произведение отрицательных чисел всегда получается больше нуля.
Так происходит потому, что, по правилу, это произведение равняется произведению модулей этих чисел.
Сами модули - числа положительные. Значит, и их произведение является числом положительным.
Все наши примеры это только подтверждают, что произведение отрицательных чисел получается положительным.
Возведение числа в квадрат
Определение: квадратом числа а называется число \(\mathbf{a^2}\) такое, что \(\mathbf{a^2=a\cdot a}\)
Возможно, у вас уже возник вопрос, почему “квадрат”? Сразу ответим на него.
Чтобы найти площадь прямоугольника, необходимо перемножить длины двух его не противоположных сторон.
А у квадрата все стороны одинаковы, поэтому площадь равняется произведению стороны на саму себя, иными словами, площадь квадрата равняется квадрату длины его стороны.
Мы уже немного ушли в геометрию, которую вы будете изучать позже, а сейчас посмотрим на примеры нахождения квадратов.
Пример:
Найдем квадрат числа 3.
Считать будем по определению, перемножим 3 само на себя:
\(\mathbf{3^2=3\cdot3=9}\)
Еще пример на положительное число, найдем квадрат числа 12 :
Точно также нужно перемножить число само на себя:
\(\mathbf{12^2=12\cdot12=144}\)
И с нулем все также максимально просто: любое число при умножении на 0 дает 0, и сам 0 при умножении на 0 даст 0 :
\(\mathbf{0^2=0\cdot0=0}\)
Теперь посмотрим, что будет, если мы будем считать квадрат отрицательного числа:
Посчитаем квадрат \(\mathbf{-4}\):
\(\mathbf{(-4)^2=(-4)\cdot(-4)=16}\)
Заметим, что мы перемножали отрицательные числа - значит, по сути просто взяли квадрат от модуля данного отрицательного числа.
Правило: квадрат отрицательного числа равен квадрату модуля отрицательных чисел.
Также заметим, что квадрат всегда неотрицателен.
Доказательство:
- Если число в квадрате положительно, то квадрат положительного числа равен произведению положительных чисел и даст результат больший нуля.
- Если число, от которого берется квадрат, равно нулю, то и квадрат равен нулю, что удовлетворяет определению неотрицательности.
- Если же число, от которого берется квадрат, отрицательно, квадрат будет являться произведением двух отрицательных чисел, то есть числом положительным.
Таким образом, мы рассмотрели все возможные случаи, и во всех из них квадрат был числом неотрицательным, то есть положительным.
Представление отрицательного числа как произведения
Мы уже знаем, что произведение отрицательного числа на положительное даст нам отрицательное число.
А что, если воспользоваться этим в обратную сторону?
Например, имеется отрицательное число \(\mathbf{-43}\)
Заметим, что оно равно \(\mathbf{-1\cdot43}\)
Также заметим, что квадрат от -1 равен 1.
\(\mathbf{(-1)^2=(-1)\cdot(-1)=-(1\cdot1)1}\)
Используя это в случаях с произведением чисел мы можем ловко менять и переставлять знаки.
Например, было такое произведение:
\(\mathbf{-636\cdot(-452)\cdot21\cdot(-3)}\)
Преобразовав его можно оставить только один “минус”, смотрите:
\(\mathbf{-636\cdot(-452)\cdot21\cdot(-3)=(-1)\cdot636\cdot(-1)\cdot452\cdot21\cdot(-1)\cdot3}\)
Сейчас для больше наглядности мы переставим все -1 в начало, но этого можно и не делать:
\(\mathbf{(-1)\cdot636\cdot(-1)\cdot452\cdot21\cdot(-1)\cdot3=(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot636\cdot452\cdot21\cdot3}\)
Каждая пара минус единиц дает единицу. В данном случае минус единиц три штуки, значит, две из них дадут единицу, а третья останется:
\(\mathbf{(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot636\cdot452\cdot21\cdot3=(-1)\cdot636\cdot452\cdot21\cdot3}\)
Казалось бы, что нам это дало? А дало это нам то, что теперь знак выражения стал более наглядным: мы видим произведение -1 и произведение положительных чисел, являющегося положительным числом.
Вот теперь можно сказать, что ответом будет отрицательное число.
Правило: произведение нескольких чисел является отрицательным, тогда и только тогда, когда из его множителей нечетное количество является отрицательными и ни один множитель не равен нулю.
Оговорка про нуль важна, так как если один из множителей равен нулю, то и все выражение равно нулю, а значит, не является отрицательным.
Иногда -1 уходят полностью. Так происходят в случаях, когда отрицательных множителей четное число.
Пример:
\(\mathbf{-7\cdot2\cdot(-3)\cdot(-4)\cdot(-2)=(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)\cdot7\cdot2\cdot3\cdot4\cdot2=7\cdot2\cdot3\cdot4\cdot2}\)
Правило: произведение нескольких чисел является положительным тогда и только тогда, когда из его множителей их четное количество являются отрицательными и ни один множитель не равен нулю.
Отметим еще один момент: -1 можно выносить и заносить в обе стороны.
То есть в данном случае мы можем переписать выражение так:
\(\mathbf{(-1)\cdot636\cdot452\cdot21\cdot3=-(636\cdot452\cdot21\cdot3)}\)
Это же позволит превращать вычитание отрицательного числа в прибавление положительного. В самом деле:
\(\mathbf{a-(-b)=a+(-(-b))=a+(-1\cdot(-b))=a+(-1\cdot(-1)\cdot b)=a+b}\)
Дополнительная информация
Интересно посмотреть,как развивалась математика в Древней Руси.
В XVIII веке с приходом к власти Петра Первого (1672- 1725) в России появилась система образования, которая постепенно интегрировалась с общемировой и дала множество открытий.
Однако до этого момента тоже существовали математические познания, о которых мы сейчас и расскажем.
Как и в остальном мире, необходимость в математике была вызвана экономикой.
Поэтому одними из первых денежных знаков были домашние животные и шкуры.
Так, например, были резаны (куски шкур), куны (от слова “куница”) и ногаты.
Позже расчеты свели к гривнам: одна гривна, равная примерно 50-ти граммам серебра, равнялась 50-ти резанам, 25-ти кунам или 20-ти ногатам.
И уже позже, только к XIV веку, начали переходить к рублю, представлявшему из себя на тот момент круглый кусок серебра массой 205 грамм.
Меры длины во многих системах, в том числе и древнерусской, были связаны с параметрами человеческого тела:
- пядь равнялась расстоянию между концами разведенных большого и указательного пальца
- локоть равнялся расстоянию от кончиков пальца до локтя
- сажень была косой и маховой: маховая между разведенными с сторону руками, косая между ногой и отведенной вверх рукой
Первый свод математических правил встречается в сборнике “Русская правда” (XI век), там опять же говорилось про экономику: штрафы, долги проценты, что лишний раз показывает, что люди уже умели оперировать целыми и дробными числами.
Далее выходили и другие труды, связанные с математикой, которые постепенно входили и в массы.
Книга “Считание удобное, которым всякий человек купующий или продающий, зело удобно изыскати может, число всякие вещи”, которая вышла в 1682 году, своим названием уже намекает на то, что предназначена была не только для ученых или любителей, но и для купечества.
Ну а дальше при Петре I появлялись школы, приглашались зарубежные специалисты, и наука шагнула далеко вперед.
По сей день российские ученые и студенты-математики выигрывают международные конкурсы и награды, решая нерешенные до этого задачи.
Читайте также
В бесплатной версии урока недоступны:
- Видео
- Изображения
- Дополнительная информация
- Таблицы
- Тесты