Урок 30 Получить доступ за 75 баллов Сравнение чисел

В этом уроке мы научимся сравнивать числа как с разными, так и c одинаковыми знаками.

Узнаем, что такое быстрое сравнение с нулем, а также поговорим про то, что касается сравнения чисел и модулей.

Со сравнением двух чисел, оба из которых больше нуля, вы уже знакомы: для этого мы просто смотрим на числа, их разряды и понимаем, какое из них больше. Для нас очевидно еще с начальной школы, что 3 больше, чем 2, 154 больше, чем 145, 1428 больш,е чем 425, и так далее.

Если говорить про отрицательные числа, то для начала приведем аналогию из реальной жизни.

Например, 3-го января температура была равна -10°С , а 4-го января температура была на отметке -7°С , в таком случае мы скажем, что 3-го числа температура была меньше, чем 4-го.

То есть, казалось бы, 10 больше, чем 7, но при этом -10°С  меньше, чем -7°С.

Отсюда правило:

Чтобы сравнить два числа, оба из которых отрицательные, надо сравнить их модули, тогда меньше будет то число, у которого модуль больше.

Это же работает и в обратную сторону.

Если два числа отрицательны и модуль первого меньше модуля второго, то первое число больше второго.

Если оба числа отрицательны и их модули равны, то и сами числа равны.

Пример:

Допустим, необходимо сравнить \(\mathbf{-324}\) и \(\mathbf{-245}\)

Первым делом находим модули:

\(\mathbf{|-324|=324}\)

\(\mathbf{|-245|=245}\)

Так как \(\mathbf{324>245}\), делаем вывод, что \(\mathbf{-324< -245}\)

Это верно и для дробных чисел, смешанных чисел, десятичных дробей и всего, с чем мы уже работали.

Сравним \(\mathbf{-\frac{3}{4}}\) и \(\mathbf{-\frac{5}{6}}\)

Действие первое- находим модули чисел:

\(\mathbf{|-\frac{3}{4}|=\frac{3}{4}}\)

\(\mathbf{|-\frac{5}{6}|=\frac{5}{6}}\)

Теперь приводим дроби к общему знаменателю:

\(\mathbf{\frac{3}{4}=\frac{3\cdot3}{4\cdot3}=\frac{9}{12}}\)

\(\mathbf{\frac{5}{6}=\frac{5\cdot2}{6\cdot2}=\frac{10}{12}}\)

Сравниваем модули чисел: \(\mathbf{\frac{9}{12}<\frac{10}{12}}\)

То есть: \(\mathbf{\frac{3}{4}<\frac{5}{6}}\)

В таком случае делаем вывод, что \(\mathbf{-\frac{3}{4}>-\frac{5}{6}}\)

Также сравним \(\mathbf{-5}\) и \(\mathbf{-5}\)

Мы видим, что модули чисел равны, к тому же, они оба отрицательны, значит эти числа равны.

Сейчас мы познакомимся с одним интересным свойством сравнения, которое позволит нам сравнивать числа с разными знаками вообще без каких-либо усилий с нашей стороны.

Задумывались ли вы раньше, почему если мы знаем, что Борис выше Анны, а Сергей выше Бориса, мы сразу сделаем вывод, что Сергей выше и Анны тоже?

Или если мы знаем, что Ваня пришел раньше Пети, а Петя раньше Ильи, то мы делаем вывод, что Ваня пришел раньше Ильи.

Это свойство называется транзитивностью.

Если говорить абстрактно, то это свойство говорит о следующем: если между объектом А и объектом Б есть транзитивное отношение и между объектом Б и объектом В тоже есть это же транзитивное отношение, то это значит, что это отношение есть между А и В.

Звучит может немного непонятно, но на примере со сравнением сейчас все встанет на свои места.

Отношения «быть больше», «быть равным» и «быть меньше» обладают свойством транзитивности.

Поэтому если мы знаем, что 2 меньше, чем 3, а 3 меньше, чем 4, то мы можем утверждать, что 2 меньше, чем 4.

Зафиксируем эти правила коротко и емко.

1. Если а меньше b и b меньше с, то а меньше с

2. Если a больше b и b больше с, то а больше с

3. Если а равно b и b равно с, то а равно с

Более подробно про отношения говорят на курсах высшей математики, дискретной математики или математической логики, но при этом бояться таких абстрактных понятий не стоит.

Теперь мы можем применить это мощное свойство к сравнению чисел с разными знаками.

Пусть а - отрицательное число, b - равно нулю, а с - положительное число.

Мы знаем, что отрицательные числа меньше нуля.

Также мы знаем, что положительные числа больше или, другими словами, нуль меньше положительных чисел.

Тогда, зная транзитивность отношения «меньше», мы можем прийти к выводу, что a меньше с.

Заметьте, что мы нигде ни для а, ни для с не предполагали конкретных значений, а значит, любое отрицательное число меньше любого положительного.

Те же самые рассуждения можно провести в обратную сторону и получить, что любое положительное число больше любого отрицательного.

Итак, посмотрим, как происходит процесс сравнения чисел с разными знаками на практике.

Пример 1

Сравним \(\mathbf{-5}\) и \(\mathbf{3}\).

\(\mathbf{-5}\)- отрицательное число, \(\mathbf{3}\)- положительное.

Значит, \(\mathbf{-5<3}\), так как любое отрицательное число меньше любого положительного.

Пример 2

Сравним \(\mathbf{6}\) и \(\mathbf{-1}\).

\(\mathbf{6}\)- положительное число, \(\mathbf{-1}\)- отрицательное.

Значит, \(\mathbf{6>-1}\), так как любое положительное число больше любого отрицательного.

Вы уже познакомились с модулями чисел. Теперь надо понять, как их сравнивать с числами.

Про модуль числа нам известно, что он всегда больше или равен нулю: равен нулю, если взят от нуля, во всех остальных случаях он больше нуля.

Это знание нам и позволяет легко сравнивать модуль с другими числами.

Число может быть:

• меньше нуля
• равно нулю
• больше нуля

Рассмотрим все три варианта.

1. Сравнение модуля с отрицательным числом

Мы знаем, что отрицательные числа меньше нуля.

Также мы знаем, что отрицательные числа меньше положительных.

Значит, что бы не было внутри модуля, он сам будет больше или равен нулю, и отрицательное число окажется меньше него.

Пример:

Сравним \(\mathbf{-3}\) и \(\mathbf{\mid-54\mid}\)

Первое число- отрицательное, вторым выражением будет модуль.

Так как отрицательное число всегда меньше модуля, делаем вывод, что \(\mathbf{-3<\mid-54\mid}\)

2. Сравнение модуля с нулем

Модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда значение под модулем равно нулю.

Значит, чтобы понять, больше ли нуля модуль, мы должны посмотреть на значение под ним.

Пример 1

Сравним \(\mathbf{\mid-12\mid}\) и 0

Аргумент модуля не равен нулю, значит, модуль больше нуля, то есть \(\mathbf{\mid-12\mid>0}\)

Пример 2

Сравним \(\mathbf{\mid10-2\cdot5\mid}\) и 0

Посчитаем аргумент модуля.

\(\mathbf{10-2\cdot5=10-10=0}\)

Если выражение под модулем равно нулю, значит, и модуль равен нулю, так что \(\mathbf{\mid10-2\cdot5\mid=0}\)

3. Сравнение модуля с положительным числом

В этом случае сразу или почти сразу ничего сказать нельзя, придется вычислять значение модуля, а дальше сравнивать два числа с одинаковыми знаками.

Пример:

Сравним \(\mathbf{\mid-\frac{3}{8}\mid}\) и \(\mathbf{\frac{2}{7}}\)

Первым делом считаем значение модуля:

\(\mathbf{\mid-\frac{3}{8}\mid=\frac{3}{8}}\)

Теперь приводим дроби к общему знаменателю:

\(\mathbf{\frac{3}{8}=\frac{3\cdot7}{8\cdot7}=\frac{21}{56}}\)

\(\mathbf{\frac{2}{7}=\frac{2\cdot8}{7\cdot8}=\frac{16}{56}}\)

Теперь сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями:

Мы видим, что \(\mathbf{\frac{21}{56}>\frac{16}{56}}\)

А значит, \(\mathbf{\mid-\frac{3}{8}\mid>\frac{2}{7}}\)

Наверно, вы неоднократно слышали про различных математиков прошлого то, что они были не только математиками, но и философами, а ещё нередко математика пересекалась с искусством.

Давайте же посмотрим, как связаны эти две на первый взгляд совершенно непохожие области человеческой деятельности.

Связывать искусство с математикой, а точнее с ее разделом - геометрией, в которой изучают фигуры, начали еще в Древней Греции.

Вы наверняка знаете, насколько греки любили делать скульптуры людей, причем довольно точные. Этой точности они добивались, высчитывая идеальные длины тех или иных частей тела.

Греческий скульптор Поликлет Старший, живший около 450-420 лет до нашей эры, издал труд под названием «Канон», в который включил понятия отношений, пропорции и симметрии.

Математика обосновывает такое понятие, как перспектива, с которым вы уже могли ознакомиться в курсе изобразительного искусства - именно это придает изображению объем.

Посмотрите, как на этой картине все то, что базируется на прямых, уходящих в одну точку, дает нам понять, что ближе, а что дальше. А ведь прямые и все остальное - это и есть математика.

Вот так иногда оказываются связаны на первый взгляд столь разные вещи! Любите математику, любите искусство!