Урок 9 Получить доступ за 75 баллов Сокращение дробей

На этом уроке мы изучим основное свойство дроби и узнаем, какие дроби являются равными друг другу. Научимся сокращать дроби, определять, является ли дробь сократимой или нет, попрактикуемся в сокращении дробей и узнаем, когда стоит использовать сокращение, а когда нет.

Представьте себе такую ситуацию:

За столом сидят 3 человека, на нем лежит 5 яблок. Делятся 5 яблок на троих. Каждому достается по \(\mathbf{\frac{5}{3}}\) яблока.

А за соседним столом еще 3 человека и тоже 5 яблок. Каждому опять по \(\mathbf{\frac{5}{3}}\)

При этом всего 10 яблок и 6 человек. Каждому по \(\mathbf{\frac{10}{6}}\)

Но это одно и то же.

\(\mathbf{\frac{5}{3} = \frac{10}{6}}\)

Эти дроби эквивалентны.

Можно увеличить в два раза количество людей и в два раза количество яблок. Результат будет тем же самым.

В математике это формулируется так:

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число (не равное 0), то новая дробь будет равна исходной.

Это свойство иногда называют «основным свойством дроби».

$$\mathbf{\frac{a}{b} = \frac{a\cdot c}{b\cdot c} = \frac{a:d}{b:d}}$$

Например:

Путь от города до деревни равен 14 км.

Мы идем по дороге и определяем пройденный путь по километровым столбикам. Пройдя шесть столбиков (шесть километров), мы понимаем, что прошли \(\mathbf{\frac{6}{14}}\) пути.

Но если мы не видим столбиков (может, их не установили), можно путь считать по электрическим столбам вдоль дороги. Их 40 штук на каждый километр. То есть всего 560 на всем пути. Шесть километров- \(\mathbf{6\cdot40 = 240}\) столбов. То есть мы прошли 240 из 560 столбов- \(\mathbf{\frac{240}{560}}\)

\(\mathbf{\frac{6}{14} = \frac{240}{560}}\)

Пример 1

Отметьте точку с координатами (5; 7) на  координатной плоскости XОY. Она будет соответствовать дроби \(\mathbf{\frac{5}{7}}\)

Соедините начало координат с получившейся точкой. Постройте другую точку, которая имеет координаты в два раза больших предыдущих. Какую дробь вы получили? Будут ли они равны?

Решение:

Дробь на координатной плоскости можно отмечать точкой. Чтобы изобразить дробь \(\mathbf{\frac{5}{7}}\), отметим точку с координатой 5 по оси Y и 7 по оси X. Проведем прямую из начала координат через нашу точку.

На этой же прямой будет лежать и точка, соответствующая дроби \(\mathbf{\frac{10}{14}}\)

Они являются эквивалентными: \(\mathbf{\frac{5}{7} = \frac{10}{14}}\)

Пример 2

Для каждой обыкновенной дроби из левого столбца укажите равную ей дробь из правого столбца.

$$\mathbf{\begin{matrix}\frac{3}{4}&\mathbf{\frac{12}{14}}\\\mathbf{\frac{9}{18}}&\mathbf{\frac{2}{8}}\\\mathbf{\frac{6}{7}}&\mathbf{\frac{14}{20}}\\\mathbf{\frac{1}{4}}&\mathbf{\frac{1}{2}}\\\mathbf{\frac{10}{50}}&\mathbf{\frac{6}{8}}\\\mathbf{\frac{7}{10}}&\mathbf{\frac{1}{5}}\end{matrix}}$$

Решение:

\(\mathbf{\frac{3}{4} = \frac{6}{8}}\)

\(\mathbf{\frac{9}{18} = \frac{1}{2}}\)

\(\mathbf{\frac{6}{7} = \frac{12}{14}}\)

\(\mathbf{\frac{1}{4} = \frac{2}{8}}\)

\(\mathbf{\frac{10}{50} = \frac{1}{5}}\)

\(\mathbf{\frac{7}{10} = \frac{14}{20}}\)

\(\mathbf{\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{4}{12} = \frac{5}{15} = …}\)

Дробь \(\mathbf{\frac{4}{12}}\) можно было получить из \(\mathbf{\frac{1}{3}}\) умножением числителя и знаменателя на 4:

\(\mathbf{\frac{1}{3} = \frac{1\cdot4}{3\cdot4} = \frac{4}{12}}\)

или из \(\mathbf{\frac{2}{6}}\) умножением на 2:

\(\mathbf{\frac{2}{6} = \frac{2\cdot2}{6\cdot2} = \frac{4}{12}}\)

Таким же путем можно проделать обратное действие:

У дроби \(\mathbf{\frac{4}{12}}\) можно числитель и знаменатель разделить на 2, получить \(\mathbf{\frac{2}{6}}\):

\(\mathbf{\frac{4}{12} = \frac{4:2}{12:2} = \frac{2}{6}}\)

Или числитель и знаменатель разделить на 4, получить \(\mathbf{\frac{1}{3}}\):

\(\mathbf{\frac{4}{12} = \frac{4:4}{12:4} = \frac{1}{3}}\)

Такой переход от одной дроби к другой с помощью деления числителя и знаменателя на одно и то же число называется сокращением дроби.

У дроби \(\mathbf{\frac{400}{500}}\) можно разделить числитель и знаменатель на 100. Получим \(\mathbf{\frac{4}{5}}\)

Это эквивалентная запись, но она короче. Мы сократили запись.

Сократили дробь: \(\mathbf{\frac{400}{500} = \frac{4}{5}}\)

Пример 1

Сократить дробь, разложив на множители числитель и знаменатель.

\(\mathbf{\frac{100}{560}}\)

Решение:

Разложим на простые множители 100 и 560:

\(\mathbf{100 = 2\cdot2\cdot5\cdot5}\)

\(\mathbf{560 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot7}\)

Сократим на общие множители, на 2, 2 и 5

Больше общих множителей (делителей) нет. Перемножим оставшиеся множители:

\(\mathbf{\frac{100}{560} = \frac{2\cdot2\cdot5\cdot5}{2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot7} = \frac{5}{2\cdot2\cdot7} = \frac{5}{28}}\)

Пример 2

Сократите дроби:

А) \(\mathbf{\frac{6}{12}}\)

Б) \(\mathbf{\frac{5}{15}}\)

В) \(\mathbf{\frac{9}{180}}\)

Г) \(\mathbf{\frac{4}{20}}\)

Д) \(\mathbf{\frac{8}{80}}\)

Решение:

А) \(\mathbf{\frac{6}{12} = \frac{1\cdot6}{2\cdot6} = \frac{1}{2}}\)

Б) \(\mathbf{\frac{5}{15} = \frac{1\cdot5}{3\cdot5} = \frac{1}{3}}\)

В) \(\mathbf{\frac{9}{180} = \frac{1\cdot9}{20\cdot9} = \frac{1}{20}}\)

Г) \(\mathbf{\frac{4}{20} = \frac{1\cdot4}{5\cdot4} = \frac{1}{5}}\)

Д) \(\mathbf{\frac{8}{80} = \frac{1\cdot8}{10\cdot8} = \frac{1}{10}}\)

Пример 3

Сократите:

А) \(\mathbf{\frac{3\cdot2}{4\cdot5}}\)

Б) \(\mathbf{\frac{2\cdot3}{7\cdot2}}\)

В) \(\mathbf{\frac{5\cdot4}{4\cdot9}}\)

Г) \(\mathbf{\frac{7\cdot5}{2\cdot7}}\)

Д) \(\mathbf{\frac{4\cdot5}{3\cdot6}}\)

Решение:

А) \(\mathbf{\frac{3\cdot2}{4\cdot5} = \frac{3}{10}}\)

Б) \(\mathbf{\frac{2\cdot3}{7\cdot2} = \frac{3}{7}}\)

В) \(\mathbf{\frac{5\cdot4}{4\cdot9} = \frac{5}{9}}\)

Г) \(\mathbf{\frac{7\cdot5}{2\cdot7} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}}\)

Д) \(\mathbf{\frac{4\cdot5}{3\cdot6} = \frac{10}{9} = 1\frac{1}{9}}\)

Пример 4

Один рабочий изготовил 12 одинаковых деталей за 8 ч, а другой- 48 таких же деталей за 16 ч.

Какой из них тратил на изготовление одной детали больше времени и на сколько?

Решение:

Первый рабочий тратил на изготовление одной детали \(\mathbf{8:12 = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}}\) часа, второй: \(\mathbf{16:48 = \frac{16}{48} = \frac{1}{3}}\) часа. Первый рабочий тратил больше времени на изготовление одной детали на \(\mathbf{\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = \frac{1}{3}}\) часа

Первым европейским ученым, который стал использовать и распространять современную запись дробей, был итальянский купец и путешественник, сын городского писаря Фиббоначи (Леонардо Пизанский). В 1202 году он ввёл в науку слово «дробь».

Поначалу европейские математики оперировали только обыкновенными дробями, а в астрономии шестидесятеричными.

Первый шестидесятеричный знак после запятой называется минута (′), второй- секунда (″). Ранее использовались названия терция (‴) для третьего знака, кварта для четвёртого знака, квинта для пятого знака и т. д.

Название «минута» происходит от того же слова, что и «минимум». Оно обозначает «малая часть», а «секунда», «терция» и остальные являются порядковыми: «второе» деление на части, «третье» деление на части и т. п. Частей традиционно берётся по 60.