Урок 33 Получить доступ за 75 баллов Сложение отрицательных чисел

Вам известно, что существуют как положительные, так и отрицательные числа. Уроками ранее вы научились выполнять с положительными и отрицательными числами различные действия: определять и отмечать их на координатной прямой, находить модуль, сравнивать и складывать с помощью координатной прямой.

Операция сложения положительных чисел нам знакома уже давно.

Сегодня на уроке постараемся выяснить, возможно ли складывать отрицательные числа друг с другом и что будет результатом такого сложения.

Рассмотрим правило сложения отрицательных чисел и выясним, как изображают сумму отрицательных чисел на координатной прямой.

Разберем примеры сложения отрицательных чисел.

Использование отрицательных чисел в настоящее время обычно и естественно, но такая ситуация была не всегда.

Древние вообще не пользовались отрицательными числами, считали их недопустимыми, относились к ним настороженно, существование их долгое время отрицали и все полученные отрицательные результаты вычислений считали недействительными и абсурдными.

Интересен тот факт, что осознание существования и нужности отрицательных чисел началось с представления и применения их в торговле в качестве «долга» и «убытка».

Положительные числа трактовали как «прибыль» и «имущество».

Индийский математик и астроном Брахмагупта сформулировал правила сложения и вычитания отрицательных чисел, в которых говорилось:

«Сумма двух имуществ есть имущество»

(+х) + (+х) = +Х

«Сумма двух долгов есть долг»

(-х) + (-х) = -Х

Таким образом, если воспринимать отрицательные числа как «долг», то в таком случае модуль отрицательного числа будет являться величиной этого долга.

Задача:

Землевладелец попросил у своего знакомого в долг 4 мешка зерна для весеннего посева, но четырех мешков ему не хватило, и он попросил в долг еще 2 мешка зерна.

Сколько мешков зерна остался должен в итоге землевладелец своему знакомому?

Решение:

Четыре мешка зерна были взяты в долг, значит, число 4 будет обозначено отрицательным числом (-4).

Два мешка зерна так же были взяты в долг, значит, число 2 тоже будет со знаком минус (-2).

Необходимо найти общее количество мешков, взятых в долг, т.е. сумму отрицательных чисел -4 и -2.

Сумму двух отрицательных чисел можно записать двумя способами:

1.     -4 + (-2) = -6

Знаки, стоящие рядом, отделяют друг от друга скобкой.

2.     -4 - 2 = -6

Часто скобки и знак плюс опускают, при этом запись суммы отрицательных чисел становится короче, но она равнозначна первой записи (т.е. прибавление отрицательного числа равносильно вычитанию положительного).

Итак, мы выяснили, что долг землевладельца возрос и он составил 6 мешков зерна.

Мы можем заметить, что в результате сложения двух долгов, двух отрицательных чисел -4 и -2, получается долг (отрицательное число).

Сформулируем общее правило сложения отрицательных чисел.

Чтобы сложить отрицательные числа, нужно:

1. Сложить модули отрицательных чисел

2. Поставить перед полученным числом знак минус «-»

В буквенном виде правило выглядит так:

(-а) + (-b) = -(a + b) или -a – b = -(a + b)

Рассмотрим еще несколько примеров жизненных задач, где применяется сложение отрицательных чисел.

Задача:

Игрок набрал 6 штрафных очков за первую половину турнира, затем под конец турнира совершил еще одно нарушение. Судья назначил игроку 1 штрафное очко.

Сколько штрафных очков получил игрок за весь турнир?

Решение:

Штрафные очки можно записать отрицательным числом:

-6 - штрафные очки за первую половину турнира.

-1 - штрафное очко за вторую половину турнира.

Чтобы получить общее количество штрафных очков, нужно сложить все штрафы за турнир.

Воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел.

Найдем модули отрицательных чисел:

|-6| = 6

|-1| = 1

Выполним сложение модулей чисел

6 + 1 = 7

Поставим знак минус перед полученным числом, получим (-7)

Решение задачи выглядит так:

-6 + (-1) = -(6 + 1) = -7

Ответ: 7 штрафных очков получил игрок за турнир.

Задача:

Рассмотрим задачу о понижении температуры воздуха.

Температура воздуха в полдень была -3ºС, а к вечеру она понизилась на 5ºС. Какая температура воздуха стала вечером?

Решение:

Воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел.

-3 - температура воздуха в полдень.

-5 - понижение температуры на 5ºС

Найдем модули отрицательных чисел:

|-3| = 3

|-5| = 5

Выполним сложение модулей чисел

3 + 5 = 8

Поставим знак минус перед полученным числом, получим (-8)

Запись решения задачи выглядит так:

-3 + (-5) = -(3 + 5) = -8ºС

Ответ: температура воздуха стала вечером равной -8ºС

Сложение отрицательных чисел, небольших по модулю, легко представить на координатной прямой.

Рассмотрим сложение отрицательных чисел с помощью координатной прямой на примере задачи о понижении температуры воздуха, рассмотренной выше.

Мы уже знаем из условий задачи, что

-3ºС - температура воздуха в полдень.

-5ºС - понижение температуры к вечеру на 5ºС (т.е. изменение температуры составляет -5ºС).

Для задачи изобразим координатную прямую, направленную вправо, с точкой О (0) - точкой начала отсчета и с единичным отрезком, в котором 1 деление = 1ºС

По направлению координатной прямой откладываются положительные значения.

Против направления координатной прямой откладываются отрицательные значения.

Отметим на координатной прямой начальную температуру воздуха. Она равна -3ºС, значит, от точки О (0) влево откладываем 3 единичных отрезка, попадаем в точку А (-3)

Понижение температуры на 5ºС, т.е. прибавление числа -5 (или вычитание числа 5), означает сдвиг точки А (-3) влево на 5 единичных отрезков - попадаем в точку В (-8)

Температура воздуха к вечеру стала равной -8ºС

А это значит:

-3 + (-5) = -3-5 = -(|-3| + |-5|)= -8ºС

Рассмотрим порядок сложения двух отрицательных чисел с помощью координатной прямой:

1. Отметить на координатной прямой точку, с координатой равной первому слагаемому

2. Переместить ее против направления координатной прямой на расстояние (количество единичных отрезков), равное модулю следующего слагаемого

3. Полученная точка на координатной прямой будет иметь значение, равное сумме отрицательных чисел

Если суммируется не два отрицательных числа, а больше, то после п.3 рассмотренного порядка сложения отрицательных чисел с помощью координатной прямой, необходимо применить п.2 для каждого следующего слагаемого.

Пример:

-2 + (-2) + (-3) = -4 + (-3) = -7

Изобразим координатную прямую, направленную вправо, с точкой О (0) - точкой начала отсчета и с единичным отрезком, равным 1 деление = 1 единица.

Попробуем разобраться с помощью координатной прямой в истинности утверждений:

• Любое число от прибавления отрицательного числа уменьшается
• При сложении отрицательных чисел всегда получатся отрицательное число
• Модуль суммы отрицательных чисел равен сумме модулей слагаемых

Доказательство первого утверждения:

Так как слагаемые отрицательные числа, то точки, соответствующие этим числам, находятся слева от точки начала отсчета.

В результате сложения отрицательных слагаемых точка перемещается еще дальше от точки начала отсчета влево (против направления координатной прямой), что говорит об уменьшение значения суммы и о том, что значение суммы будет являться отрицательным числом.

Доказательство второго утверждения:

Отмечая точку, соответствующую первому слагаемому, откладываем влево от начала координат (против направления координатной прямой) отрезок, длина которого равна модулю этого слагаемого. В результате полученная точка смещается влево (против направления координатной прямой) на отрезок, равный модулю следующего слагаемого и т.д. Следовательно, сумма длин отрезков (а это значит, сумма модулей слагаемых) равняется модулю суммы всех слагаемых.

Пример:

-2+(-2)+(-3)+(-3) = -10

Изобразим координатную прямую направленную вправо с точкой О (0) - точкой начала отсчета и с единичным отрезком равным 1 деление = 1 единица.

OA = 2 - модуль первого слагаемого

AB = 2 - модуль второго слагаемого

BC = 3 - модуль третьего слагаемого

CD = 3 - модуль четвертого слагаемого

OD = 10 - модуль суммы всех слагаемых

OD = OA + AB + BC + CD = 2 + 2 + 3 + 3= 10

Разберем несколько примеров сложения отрицательных чисел.

Задача 1

Найдите значение выражения -120 + (-1610)

Решение:

Воспользуемся правилом сложения отрицательных чисел.

Найдем модули данных чисел:

|-120| = 120

|-1610| = 1610

Выполним сложение модулей чисел:

120 + 1610 = 1730

Поставим знак минус перед полученным числом, получим -1730

Краткий вид решения выглядит так:

-120 + (-1610) = -(120 + 1610) = -1730

Ответ: -1730

Заметим, что при перестановке слагаемых местами сумма отрицательных чисел не изменится.

-120 + (-1610) = -120 - 1610 = -(120 + 1610) = -1730

Слагаемые переставим местами - значение суммы не изменилось:

-1610 + (-120) = -1610 - 120 = -(1610 + 120) = -1730

Задача 2

Сложите отрицательные числа  \(\mathbf{-\frac{1}{2}}\) и -6,5

При сложении отрицательных рациональных чисел их необходимо привести к общему виду.

Решение:

Согласно правилу сложения отрицательных чисел, первым делом определим модули отрицательных чисел:

\(\mathbf{|-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}}\)

|-6,5| = 6, 5

Выполним сложение модулей чисел, предварительно приведем числа к общему виду.

Значения удобно свести к десятичным дробям:

\(\mathbf{\frac{1}{2} = 0,5}\)

0,5+6,5 = 7

Поставим знак минус перед полученным значением, получим -7

Краткий вид решения выглядит так:

\(\mathbf{-\frac{1}{2}}\) + (-6,5) = -(\(\mathbf{\frac{1}{2}}\) + 6,5) = -(0,5 + 6,5) = -7

Ответ: -7

Задача 3

Найдите значение выражения a+ b+ c, если

a = -16

b = -3,5

c = \(\mathbf{-\frac{1}{5}}\)

Решение:

При сложении получаем выражение вида: -16+(-3,5)+( \(\mathbf{-\frac{1}{5}}\))

Согласно правилу сложения отрицательных чисел, определим модули отрицательных чисел:

|-16| = 16

|-3,5| = 3,5

\(\mathbf{|-\frac{1}{5}| = \frac{1}{5} = 0,2}\)

Выполним сложение модулей чисел:

16 + 3,5 + 0,2 = 19,7

Перед полученным числом поставим знак минус, получим -19,7

Краткий вид решения выглядит так:

-16 + (-3,5) + ( \(\mathbf{-\frac{1}{5}}\))= -(16 + 3,5 + \(\mathbf{\frac{1}{5}}\)) = -(16 + 3,5 + 0,2) = -19,7

Ответ: -19,7

Задача 4

Решите уравнение х + 3 = -14

Решение:

Решение данного уравнения сводится к нахождению неизвестного слагаемого.

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.

Согласно правилу сложения отрицательных чисел, определим сумму отрицательных чисел:

х = -14 + (-3)

х = -(14 + 3)

х = -17

Ответ: -17