Урок 26 Получить доступ за 75 баллов Шар

Обратите внимание на предметы, изображенные на рисунке:

Давайте подумаем, что же их может объединять?

Очевидно, что цвет и фактура у этих объектов различна, но если вы обратите внимание на форму, то заметите явное сходство.

В математике (геометрии) важную роль при описании и представлении тела играет его геометрическая форма.

Все представленные объекты на рисунке объемные тела (т.е. их в реальности можно посмотреть и потрогать со всех сторон).

Отметим еще одну важную общую черту: у всех изображенных объектов отсутствуют углы (т.е. в действительности они шарообразной, или еще называют: сферической формы, их свободно можно покатать в любые стороны).

Давайте же разберемся, что такое шар, а что называют сферой.

Определим, какими элементами описывают данные геометрические фигуры, какими они свойствами обладают.

Узнаем, как определить площадь сферы, объем круга и рассмотрим примеры решения задач.

Шар - это множество точек пространства, равноудаленных от некоторой заданной точки - центра шара.

Сфера - это поверхность шара (оболочка). Сфера внутри полая.

Примеры сфер: мыльный пузырь, мяч, глобус. Эти тела состоят из оболочки, но внутри пустые.

Можно сказать, что шар - это геометрическое тело, ограниченное сферой (шаровой поверхностью).

Шар внутри заполнен.

Примеры шаров: арбуз, пушечное ядро, бильярдный шар. Эти тела заполненные внутри.

Центр шара (сферы) - это точка, которая находится на одинаковом расстоянии (равноудаленная) от любой точки, находящейся на шаровой поверхности.

Центр шара (сферы) обозначают обычно заглавной буквой О.

Сфера и шар пространственные фигуры, но определяются такими же элементами, что и окружность, и круг на плоскости.

Радиус шара- это отрезок, соединяющий точку поверхности шара (шаровой поверхности) с его центром.

Радиус обозначается строчной латинской буквой r или заглавной R.

Для шара можно провести столько же радиусов, сколько точек имеет поверхность шара, при этом все эти радиусы равны.

Диаметром шара называют отрезок, проходящий через центр шара и соединяющий две точки шаровой поверхности.

Обычно диаметр обозначают строчной латинской буквой d или заглавной D.

По величине диаметр равен двум радиусам, лежащим на одной прямой.

d = 2r

Следовательно, радиус - это половина диаметра.

r = d : 2

Точки сферы, являющиеся концами диаметра сферы, называют диаметрально противоположными.

Для сферы характерны те же элементы, которые используют для описания шара.

При построении изображений пространственных (объемных) фигур на листе бумаги или иной плоской поверхности, приходится рисовать рисунок так, чтобы он казался объемным- для этого линии, которые не видны глазу человека, изображают штрихпунктирной линией.

Рассмотрим, как выглядят шар, сфера и элементы, их характеризующие, на плоскости.

Сфера и шар- это фигуры вращения.

Подобно секущей прямой для круга, для шара существует секущая плоскость.

Рассмотрим, как могут быть расположены по отношению друг к другу плоскость и шар (сфера) в пространстве:

1. Если расстояние от центра шара (сферы) до плоскости больше длины радиуса шара (сферы), то шар (сфера) и плоскость не имеют ни одной общей точки.

На рисунке:

Отрезок ОМ = r - это радиус шара.

Отрезок ОА = m - это расстояние от центра шара (сферы) до плоскости

Для данного случая m > r

2. Если расстояние от центра шара (сферы) до плоскости равно длине радиуса шара (сферы), то шар (сфера) и плоскость имеют единственную общую точку.

На рисунке:

Отрезок ОМ = r - это радиус шара.

Отрезок ОА = m - это расстояние от центра шара (сферы) до плоскости

Для данного случая m = r

Точка А общая для плоскости сечения и шара

3. Если расстояние от центра шара (сферы) до плоскости меньше длины радиуса, то плоскость пересекает шар (сферу).

На рисунке:

Отрезок ОМ = r - это радиус шара.

Отрезок ОА = m - это расстояние от центра шара (сферы) до плоскости \(\mathbf{\alpha}\)

Для данного случая m < r

Сечение шара плоскостью представляет круг.

Представить мы можем это на примере апельсина, разрезанного на две части.

Сечением сферы плоскостью является окружность.

Такое сечение мы можем представить, если разрезать теннисный мяч

Отсеченная плоскостью часть шара называется шаровым сегментом.

Отсеченную плоскостью часть сферы называют сферическим сегментом.

Если плоскость сечения проходит через центр шара (сферы), то сечением шара (сферы) является самый большой круг (окружность), а радиус круга (окружности) является радиусом самого шара (сферы).

В таком случае шар (сфера) делится на два равных сегмента (две равные части).

Чем дальше проходит секущая плоскость от центра шара (сферы), тем меньше радиус сечения.

Обратите внимание на рисунок:

Сечение шара с радиусом сечения r является самым большим кругом, а радиус круга является радиусом самого шара.

Сечение шара с радиусом сечения r₁ находится дальше от центра шара, чем сечение шара с радиусом сечения r₂  Мы можем заметить на рисунке что r₂ > r₁

Сечения шара (сферы), удаленные на равные расстояния от центра, имеют равные радиусы:

Сечение шара с радиусом сечения r₂ и сечение шара с радиусом сечения r₃ удаленные на равные расстояния от центра шара, имеют равные радиусы (r₂ = r₃)

Сфера и шар- фигуры вращения

Шар образуется вращением полукруга около его неподвижного диаметра- оси шара.

Сфера является фигурой вращения, образованной при вращении полуокружности вокруг своего неподвижного диаметра.

АВ- это ось вращения шара (сферы).

Если посмотреть вокруг, мы можем заметить множество объектов, имеющих или принимающих форму шара (сферы).

Так, например, падающая микроскопическая капля дождя или капля жидкости, находящаяся в невесомости, принимают форму шара.

Это происходит потому, что давление вокруг жидкости и в самой жидкости примерно равны (т.е. со всех сторон давление на каплю одинаковое), в результате получается шарообразная форма.

Сферической формой обладают мыльные пузыри или пузыри в воде.

Происходит это благодаря поверхностному натяжению, свойственному жидкостям (своего рода, «невидимая» оболочка жидкости).

Силы поверхностного натяжения стремятся придать мыльному пузырю оптимальную форму, а этой формой и является шар, так как в шарообразной форме воздух внутри пузыря равномерно давит на все участки его внутренней стенки.

Многие ягоды и фрукты, икринки рыбы, жемчужины и др. в природе являются обладателями шарообразных и сферических форм.

Представления о планетах и небесных телах, молекулах и некоторых элементарных частицах в связи с определенными свойствами и поведением сводятся к модели шара и сферы.

Существует множество примеров использования свойств и характеристик шара (сферы) в науке, технике и производстве.

Сферических и шарообразных форм в жизни огромное множество, они прекрасно демонстрируют в своих закономерностях и проявлениях законы физики и математики.

Приводя примеры объектов сферической и шарообразной формы, мы много говорили о площади и объеме этих тел.

Давайте посмотрим, как определить площадь поверхности сферы и объем шара.

Площадь поверхности сферы (площадь поверхности шара) находят по формуле:

\(\mathbf{S = 4\pi r^2}\)

\(\mathbf{S = \pi d^2}\)

S- площадь поверхности сферы (шара)

r- радиус сферы (шара)

\(\mathbf{\pi}\)- постоянная величина, равная приблизительно 3,14

Задача 1

Найдите площадь поверхности сферы, радиус которой равен 8 см.

Решение:

Число \(\mathbf{\pi}\) округлить до десятых.

Дано:

r = 8 см

\(\mathbf{\pi = 3,1}\)

Найти:

Площадь поверхности сферы S - ?

Площадь поверхности сферы, зная радиус сферы, определяют по формуле:

\(\mathbf{S = 4\pi r^2}\)

Подставим известные значения радиуса сферы и постоянной величины \(\mathbf{\pi}\), получим

\(\mathbf{S = 4 \cdot 3,1 \cdot 8^2 = 793,6}\) (см²)

Ответ: S = 793,6 (см²).

Задача 2

Найдите площадь поверхности сферы, диаметр которой равен 6 см.

Решение:

Число \(\mathbf{\pi}\) округлить до десятых.

Дано:

d = 6 см

\(\mathbf{\pi = 3,1}\)

Найти:

Площадь поверхности сферы S - ?

Площадь поверхности сферы, зная диаметр этой сферы, определяют по формуле:

\(\mathbf{S = \pi d^2}\)

Подставим известные значения радиуса сферы и постоянной величины , получим

\(\mathbf{S = 3,1\cdot 6^2}\) (см²)

Ответ: S = 111,6 (см²).

Объем шара определяется по формуле:

\(\mathbf{V = \frac{4}{3}\pi r^3}\)

V- объем шара

r- радиус шара

\(\mathbf{\pi}\)- постоянная величина, равная приблизительно 3,14

Вспомним, что означает r³

\(\mathbf{r^3 = r \cdot r \cdot r}\)

Задача 3

Найдите объем шара, если радиус шара 5 м.

Решение:

Число \(\mathbf{\pi}\) округлить до целых.

Дано:

r = 5 м

\(\mathbf{\pi = 3}\)

Найти:

Объем шара V - ?

Объем шара определяется по формуле:

\(\mathbf{V = \frac{4}{3}\pi r^3}\)

Подставим известные значения радиуса шара и постоянной величины , получим:

\(\mathbf{V = \frac{4}{3}\cdot 3 \cdot 5^3 = \frac{4\cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{3} = 500}\)(м³) объем шара

Ответ: V = 500 м³