Урок 43 Бесплатно Решение уравнений

Сегодня на уроке вспомним, что такое уравнение и что называют корнем уравнения. Рассмотрим один из видов уравнений- линейное уравнение с одним неизвестным, определим его общий вид и как называются составные части такого равенства.

Разберем способы и приемы решения линейных уравнений с одним неизвестным.

Рассмотрим алгоритм и пример решения задач с помощью линейных уравнений.

Линейное уравнение

В реальной жизни нам часто приходится решать множество различных примеров и задач.

Связать реальную жизнь и математическое описание любой ситуации нам позволяет математическая модель.

Составив математическую модель жизненной задачи, мы можем превратить слова в формулы, неравенства, равенства, уравнения и т.п.

Математическая модель задачи в виде уравнения позволяет установить связи между всеми данными задачи, а также применить эту модель- уравнение для решения огромного множества подобного типа задач.

Вам уже хорошо известно, что уравнение- это математическое равенство, содержащее неизвестное число, которое необходимо определить.

Неизвестное число, входящее в уравнение, называют неизвестным членом данного уравнения.

Принято обозначать неизвестный член уравнения маленькими латинскими буквами.

Чаще всего в математике используют буквы x, y, z.

Найти неизвестное число, при котором из уравнения получается верное равенство- это значит решить уравнение, т.е. найти корни уравнения или убедиться, что корней нет.

Корень уравнения- это значение неизвестного числа в уравнении, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Уравнения могут иметь разное количество корней.

Существуют уравнения, имеющие один единственный корень, уравнения, вообще не имеющие корней.

Встречаются уравнения, решением которых являются несколько значений (два, три и более), а в некоторых случаях уравнение может иметь бесконечное множество решений.

Уравнение, в котором находится одна неизвестная, называют уравнением с одной неизвестной.

Пример:

х + 3 = 6 (уравнение с одной неизвестной х)

3 ∙ у = 15 (уравнение с одной неизвестной y).

Существую уравнения с большим количеством неизвестных: с двумя, тремя и т.д.

Рассмотрим, что представляют собой линейные уравнения с одной неизвестной.

Линейные уравнения с одной неизвестной называют уравнения вида a ∙ x = b, где a ≠ 0

х- неизвестное число

a и b- некоторые числа:

а- это коэффициент уравнения.

b- это свободный член уравнения.

Линейное уравнение с одной неизвестной может быть представлено в виде a ∙ x + b = 0, оно является равнозначным уравнению вида a ∙ x = ax = b.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Уравнения с одним неизвестным умели решать в Древнем Вавилоне и в Древнем Египте более четырех тысяч лет назад.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что знания о неизвестных величинах и методах их вычисления, которыми тогда владели ученые, были образными.

Одним из древнейших задачников по математике (примерно 1700 г до н.э.) является древнеегипетский папирус Ахмеса (также известный как папирус Ринда (Райнда) по имени его первого владельца).

Папирус Ахмеса содержит условия и решения 84 задач, он является наиболее полным старейшим математическим сборником задач, дошедшим до наших дней.

Все задачи, описанные и решенные в нем, имели практическое значение и могли применятся в строительстве, в межевании земельных наделов и т.д.

Папирус содержит множество задач, которые сводятся к решению различных видов уравнений, в том числе и к линейным уравнениям.

Папирус был обнаружен в 1858 г., сейчас большая часть рукописи хранится в Британском музее.

В III веке н.э. древнегреческий математик Диофант Александрийский в своей рукописи «Арифметика» изложил 130 задач, которые решались с помощью определенных (имеющих одно решение) и неопределенных уравнений.

Уравнения, изложенные в книге, сейчас называются «Диофантовыми уравнениями».

Также Диофант Александрийский впервые ввел буквенную символику в математику.

Однако, первым руководством по решению задач стал научный труд багдадского ученого IX века Мухамеда Бен Мусы аль-Хорезми «Книга о восстановлении и противопоставлении».

Данная научная работа стала началом становления науки о решении уравнений.

Мухамед Бен Муса аль- Хорезми впервые представил раздел математики- алгебру как самостоятельную науку об общих методах решения уравнений, предложил классификацию этих уравнений.

Но его математические сочинения в большей степени выражались словесно, в связи с этим, казались очень громоздкими и сложными.

Значительно упростить и облегчить описание и решение уравнений удалось великому французскому ученому XVI века Франсуа Виету.

Он был первым, кто ввел буквенное обозначение коэффициентам уравнений и неизвестным величинам.

Установил связь между корнями и коэффициентами уравнения.

Франсуа Виет внедрил в науку мысль о том, что преобразования можно производить не только над величинами, но и над символами, таким образом, решать любую задачу в общем виде, т.е., по сути, ввел понятие математической формулы.

До сих пор многие идеи Виета являются актуальными и востребованными

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Решение линейных уравнений с одним неизвестным

Решить линейное уравнение с одним неизвестным вида a ∙ x = b- это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Наличие и количество корней линейного уравнения зависит от значений коэффициента а и значения свободного члена уравнения b.

1. Линейное уравнение при a ≠ 0 и b- любое число, будет иметь один единственный корень, это значит, что неизвестная имеет единственное верное решение, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Известно, что деление- это обратное действие умножению (т.е. по известному множителю и произведению можно определить неизвестный множитель).

Следовательно, решение уравнения a ∙ x = b, где a ≠ 0 выглядит так:

x = b ÷ a

или \(\mathbf{x = \frac{b}{a}}\) (это корень линейного уравнения).

2. Линейное уравнение при a = 0 и b ≠ 0 не имеет корней.

Если коэффициент а равен нулю, линейное уравнение запишется как

0 ∙ x = b

Свойство умножения числа на нуль дает право утверждать, что при любом значении неизвестной х уравнение обращается в неверное равенство 0 = b.

Равенство 0 = b при b ≠ 0 неверно, а это значит, что в таком случае решения уравнения нет, т.е. уравнение не имеет корней.

3. Линейное уравнение при а = 0 и b = 0 имеет бесконечное множество корней, т.е. при любом значении неизвестной х уравнение обращается в верное равенство.

0 ∙ x = 0

0 = 0 (верное равенство)

Чтобы решить линейное уравнение необходимо выполнить ряд математических преобразований.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Некоторые математические преобразования позволяют перейти от решаемого уравнения к равносильному (эквивалентному), что порой упрощает решение первоначального уравнения.

Два уравнения равносильны, если у них одинаковые корни или оба не имеют корней, т.е. если определенное число является решением первого уравнения, то оно подойдет в качестве решения второму.

Например, равносильными можно считать уравнения:

Уравнение 1

Уравнение 2

 

16 ∙ x= 32

\(\mathbf{x = \frac{32}{16}}\)

х = 2

Ответ: х = 2

 

х + 3 = 5

х = 5 - 3

х = 2

Ответ: х = 2

Так как каждое из уравнений имеет только один корень, и он равен двум.

Равносильными, например, будут уравнения x ∙ 0 = 0 и х + 13 = 13 + х, так как решением этих уравнений может быть любое число, следовательно, решения их совпадают

Линейные уравнения обладают свойствами, которые позволяют совершать равносильные преобразования с различными уравнениями и сводить их к линейному уравнению с одной неизвестной стандартного вида, решать которое мы уже умеем.

Известно, что уравнение- это математическое равенство.

Если это равенство верно при определенных значениях неизвестной, то уравнение имеет верное решение.

Попробуем провести аналогию между уравновешенными весами и уравнением ax = b.

Как нам известно, уравновешенные весы нам показывают, что на каждой чаше весов находятся грузы равной массы.

Если весы были уравновешены, то добавив груз на одну чашу весов, необходимо добавить такой же по массе груз на вторую чашу, чтобы равновесие весов не было нарушено.

Аналогично, если убрать часть груза с одной чаши весов, то такую же часть груза нужно убрать со второй чаши, чтобы весы оставались уравновешенными.

А сейчас, представим, что левая чаша весов- это левая часть линейного уравнения (ах), правая чаша весов- свободный член этого уравнения (b).

В таком случае, получается, что если к левой и правой части уравнения прибавим (отнимем) одно и тоже число, то верное равенство не нарушится, получается уравнение равносильное исходному.

Добавлять к исходному можно любые числа, но необходимо выбирать то, которое упростит уравнение.

Рассмотрим пример:

Дано линейное уравнение + 12 = 37

Для того, чтобы привести данное уравнение к стандартному виду: ax = b, прибавим к левой и правой части равенства -12 (противоположное числу 12, которое находится в правой части равенства, чтобы избавится в правой части от свободного члена уравнения),

5х + 12 + (-12) = 37 + (-12)

5х + 12 - 12 = 37 - 12

5х = 37 - 12

Если посмотреть внимательно на решение, то можно заметить, что число +12 исчезло из левой части исходного уравнения и появилось в правой части полученного после преобразований, при этом сменило знак и стало равным -12

5х = 25 получили уравнение вида ax = b, так как a ≠ 0 и b ≠ 0 уравнение имеет единственный корень, найдем его:

х = 25/5

х = 5

Ответ: х = 5

Первое свойство равносильного преобразования уравнения

Любое слагаемое можно перенести из одно части уравнения в другую, при этом сменив знак этого слагаемого на противоположный, в результате получится новое уравнение равносильное исходному.

Обычно слагаемые с неизвестным переносят в левую часть уравнения, а все остальные слагаемые- в правую часть.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Чтобы лучше усвоить первое свойство равносильного преобразования уравнения, можно запомнить такое интересное сравнение.

Представьте ситуацию.

Есть хозяин дома, к нему приходит долгожданный гость.

Так как гость пришел с улицы, ему нужно уличную обувь переодеть на гостевые домашние тапочки.

Попробуем провести аналогию между рассмотренной ситуацией и первым свойством равносильного преобразования уравнения.

Например, возьмем уравнение 8х - 3 = 2х + 4.

Итак, в левой части уравнения слагаемое является «хозяином», он у себя «дома», «обувь» ему переодевать не нужно, значит знак свой не меняет.

Из правой части уравнения идет его «гость»- слагаемое , ему, как «гостю» приходится менять «обувь», т.е. менять свой знак на противоположный.

В правой части был со знаком «+», при переходе меняет свой знак на противоположный и в левой части в «гостях» появляется со знаком «-».

Аналогично, число 4 является «хозяином» в правой части уравнения, его знак остается неизменным, он у себя «дома».

Из левой части уравнения в «гости» идет слагаемое -3, ему, как «гостю» приходится менять «обувь», т.е. менять свой знак на противоположный.

В правой части слагаемое -3 было со знаком «-» при переходе знак меняется на противоположный и в левой части, в «гостях», становится со знаком «+».

Получилось эквивалентное уравнение исходному, оно выглядит так:

8х - 2х =4 + 3

Приведем подобные, получим простейшее линейное уравнение.

6х = 7

\(\mathbf{x = \frac{7}{6}}\)

\(\mathbf{x =1 \frac{1}{6}}\)

Ответ: \(\mathbf{x =1 \frac{1}{6}}\)

Рассмотрим второе свойство равносильного преобразования уравнения.

Снова обратимся к аналогии с весами.

Для того, чтобы весы оставались в равновесии, увеличивая массу груза в 1,5 раза в одной из чаш, необходимо увеличить массу груза в 1,5 раза в другой чаше весов.

Увеличивая или уменьшая массу грузов на каждой чаше весов в одинаковое количество раз, равновесие весов будет сохраняться.

Так же происходит и с уравнением, сформулируем второе свойство равносильного преобразования уравнения:

Разделив (или умножив) обе части на одно и тоже ненулевое число, равенство остается верным, получится уравнение равносильное исходному.

Рассмотрим пример

Дано уравнение 4 ∙ (2х - 1) = 16

Приведем данное уравнение к стандартному виду: ax =b

Раскрытие скобок только усложнит исходное уравнение.

Заметим, что левую и правую часть можем разделить на (это наименьшее общее кратное чисел 4 и 16).

4 ∙ (2х - 1) = 16          |÷4

\(\mathbf{\frac{4 \cdot (2x - 1)}{4} = 16 \div 4}\)

2х - 1 = 4

Слагаемые с неизвестным оставляем в левой часть уравнения, а слагаемое -1 переносим в- правую часть уравнения, сменив знак числа на противоположный т.е. на «+».

2x = 4 + 1

2x = 5 получили уравнение вида ax = b

х = 5/2

x = 2,5

Ответ: х = 2,5

Решение линейных уравнений происходит с помощью нескольких преобразований, которые могут быть выполнены в любом порядке.

1. Освобождение от дробных членов уравнения (если такие есть), умножив левую и правую часть уравнения на одно и тоже ненулевое число.

2. Деление левой и правой части уравнения на одно и тоже ненулевое число.

3. Раскрытие скобок (если они есть и это необходимо).

4. Перенос членов уравнения из одной части в другую, меняя при этом их знаки на противоположные.

5. Приведение подобных слагаемых

Завершая решение уравнения, стоит выполнить проверку, подставив в исходное уравнение найденное значение неизвестного, если уравнение обратилось в верное равенство, значит корень уравнения найден верно.

Итогом решения уравнения является ответ, в котором перечисляются все найденные корни уравнения.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Решение задач с помощью линейных уравнений

Решение текстовых задач часто сводится к решению уравнений.

Уравнения позволяют записать информацию в таком виде, чтобы с ней можно было выполнить любые математические действия и преобразования известные нам.

Решение задачи обычно сводится к тому, чтобы путем некоторых рассуждений и вычислений составить математическую модель задачи и найти значение неизвестной величины.

Этапы решения задач с помощью уравнения.

  1. Искомое значение обозначить через неизвестную (за неизвестную принимают наименьшее значение по условию задачи).
  2. Выразить через неизвестную другие величины.
  3. Составить математическую модель задачи- уравнение.
  4. С помощью равносильных преобразований решить уравнение.
  5. Найти ответ на вопрос задачи.
  6. Решив задачу, выполнить проверку найденных корней уравнения.
  7. Записать ответ.

Рассмотрим пример.

У Миши и Гриши было одинаковое количество денег.

Миша купил 4 одинаковые шоколадки и у него осталось 30 рублей.

Гриша купил 2 такие же шоколадки и у него осталось 120 рублей.

Сколько стоит шоколадка?

Решение:

Пусть х руб.- стоит одна шоколадка.

руб.- заплатил Миша за 4 шоколадки.

руб.- заплатил Гриша за 2 шоколадки.

У Миши было денег, руб.: 4х + 30

У Гриши было денег, руб.: 2х + 120

Составим уравнение.

Так как денег у мальчиков было поровну, получим равенство:

4х + 30 = 2х + 120

Перенесем члены уравнения из одно части уравнения в другую, при этом сменив их знак на противоположный: члены уравнения, содержащие неизвестную влево, известные члены вправо.

4х - 2х = 120 - 30

Приведем подобные:

2х = 90

Получили уравнение вида ax =b, решим его.

х = 90/2

х = 45 (руб.) стоит одна шоколадка.

Выполним проверку найденного корня уравнения, подставив в исходное уравнение полученное значение х:

4 ∙ 45 + 30 = 2 ∙ 45 + 120

180 + 30 = 90 + 120

210 = 210

Получили верное равенство, следовательно, корень уравнения был найден верно.

Ответ: х = 45 (руб.)

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Дополнительная информация

Американский математик, в 1939, будучи аспирантом Калифорнийского университета, однажды опоздал на занятие и ошибочно подумал, что изображенное на доске уравнение- это домашнее задание.

Уравнение ему показалось трудно решаемым, но через несколько дней ему удалось его решить.

Позже выяснилось, что на доске было записано не задание на дом, а две «нерешаемые» проблемы в статистике, решение которых уже много лет пытались найти многие ученые того времени

Заключительный тест

Пройти тест