Урок 43 Получить доступ за 75 баллов Решение уравнений

Сегодня на уроке вспомним, что такое уравнение и что называют корнем уравнения. Рассмотрим один из видов уравнений: линейное уравнение с одним неизвестным, определим его общий вид и узнаем, как называются составные части такого равенства.

Разберем способы и приемы решения линейных уравнений с одним неизвестным.

Рассмотрим алгоритм и пример решения задач с помощью линейных уравнений.

В реальной жизни нам часто приходится решать множество различных примеров и задач.

Связать реальную жизнь и математическое описание любой ситуации нам позволяет математическая модель.

Составив математическую модель жизненной задачи, мы можем превратить слова в формулы, неравенства, равенства, уравнения и т.п.

Математическая модель задачи в виде уравнения позволяет установить связи между всеми данными задачи, а также применить эту модель-уравнение для решения огромного множества подобного типа задач.

Вам уже хорошо известно, что уравнение - это математическое равенство, содержащее неизвестное число, которое необходимо определить.

Неизвестное число, входящее в уравнение, называют неизвестным членом данного уравнения.

Принято обозначать неизвестный член уравнения маленькими латинскими буквами.

Чаще всего в математике используют буквы x, y, z.

Найти неизвестное число, при котором из уравнения получается верное равенство, - это значит решить уравнение, т.е. найти корни уравнения или убедиться, что корней нет.

Корень уравнения - это значение неизвестного числа в уравнении, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Уравнения могут иметь разное количество корней.

Существуют уравнения, имеющие один единственный корень, и уравнения, вообще не имеющие корней.

Встречаются уравнения, решением которых являются несколько значений (два, три и более), а в некоторых случаях уравнение может иметь бесконечное множество решений.

Уравнение, в котором находится одна неизвестная, называют уравнением с одной неизвестной.

Пример:

х + 3 = 6 (уравнение с одной неизвестной х)

3 ∙ у = 15 (уравнение с одной неизвестной y).

Существуют уравнения с большим количеством неизвестных: с двумя, тремя и т. д.

Рассмотрим, что представляют собой линейные уравнения с одной неизвестной.

Линейные уравнения с одной неизвестной называют уравнения вида a ∙ x = b, где a ≠ 0

х- неизвестное число

a и b- некоторые числа:

а- это коэффициент уравнения.

b- это свободный член уравнения.

Линейное уравнение с одной неизвестной может быть представлено в виде a ∙ x + b = 0, оно является равнозначным уравнению вида a ∙ x = ax = b.

Решить линейное уравнение с одним неизвестным вида a ∙ x = b - это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Наличие и количество корней линейного уравнения зависит от значений коэффициента а и значения свободного члена уравнения b.

1. Линейное уравнение при a ≠ 0 и b - любое число, будет иметь один единственный корень; это значит, что неизвестная имеет единственное верное решение, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Известно, что деление - это обратное действие умножению (т.е. по известному множителю и произведению можно определить неизвестный множитель).

Следовательно, решение уравнения a ∙ x = b, где a ≠ 0 выглядит так:

x = b ÷ a

или \(\mathbf{x = \frac{b}{a}}\) (это корень линейного уравнения).

2. Линейное уравнение при a = 0 и b ≠ 0 не имеет корней.

Если коэффициент а равен нулю, линейное уравнение запишется, как

0 ∙ x = b

Свойство умножения числа на нуль дает право утверждать, что при любом значении неизвестной х уравнение обращается в неверное равенство 0 = b.

Равенство 0 = b при b ≠ 0 неверно, а это значит, что в таком случае решения уравнения нет, т.е. уравнение не имеет корней.

3. Линейное уравнение при а = 0 и b = 0 имеет бесконечное множество корней, т.е. при любом значении неизвестной х уравнение обращается в верное равенство.

0 ∙ x = 0

0 = 0 (верное равенство)

Чтобы решить линейное уравнение необходимо выполнить ряд математических преобразований.

Линейные уравнения обладают свойствами, которые позволяют совершать равносильные преобразования с различными уравнениями и сводить их к линейному уравнению с одной неизвестной стандартного вида, решать которое мы уже умеем.

Известно, что уравнение - это математическое равенство.

Если это равенство верно при определенных значениях неизвестной, то уравнение имеет верное решение.

Попробуем провести аналогию между уравновешенными весами и уравнением ax = b.

Как нам известно, уравновешенные весы нам показывают, что на каждой чаше весов находятся грузы равной массы.

Если весы были уравновешены, то добавив груз на одну чашу весов, необходимо добавить такой же по массе груз на вторую чашу, чтобы равновесие весов не было нарушено.

Аналогично, если убрать часть груза с одной чаши весов, то такую же часть груза нужно убрать со второй чаши, чтобы весы оставались уравновешенными.

А сейчас представим, что левая чаша весов - это левая часть линейного уравнения (ах), правая чаша весов - свободный член этого уравнения (b).

В таком случае получается, что если к левой и правой части уравнения прибавим (отнимем) одно и тоже число, то верное равенство не нарушится - получается уравнение равносильное исходному.

Добавлять к исходному можно любые числа, но необходимо выбирать то, которое упростит уравнение.

Рассмотрим пример:

Дано линейное уравнение 5х + 12 = 37

Для того, чтобы привести данное уравнение к стандартному виду: ax = b, прибавим к левой и правой части равенства -12 (противоположное числу 12, которое находится в правой части равенства, чтобы избавится в правой части от свободного члена уравнения),

5х + 12 + (-12) = 37 + (-12)

5х + 12 - 12 = 37 - 12

5х = 37 - 12

Если посмотреть внимательно на решение, то можно заметить, что число +12 исчезло из левой части исходного уравнения и появилось в правой части полученного после преобразований, при этом сменило знак и стало равным -12.

5х = 25 получили уравнение вида ax = b, так как a ≠ 0 и b ≠ 0 уравнение имеет единственный корень, найдем его:

х = 25/5

х = 5

Ответ: х = 5

Первое свойство равносильного преобразования уравнения

Любое слагаемое можно перенести из одно части уравнения в другую, при этом сменив знак этого слагаемого на противоположный, в результате получится новое уравнение, равносильное исходному.

Обычно слагаемые с неизвестным переносят в левую часть уравнения, а все остальные слагаемые в правую часть.

Рассмотрим второе свойство равносильного преобразования уравнения.

Снова обратимся к аналогии с весами.

Для того, чтобы весы оставались в равновесии, увеличивая массу груза в 1,5 раза в одной из чаш, необходимо увеличить массу груза в 1,5 раза в другой чаше весов.

Увеличивая или уменьшая массу грузов на каждой чаше весов в одинаковое количество раз, равновесие весов будет сохраняться.

Так же происходит и с уравнением. Сформулируем второе свойство равносильного преобразования уравнения:

Разделив (или умножив) обе части на одно и тоже ненулевое число, равенство остается верным, получится уравнение равносильное исходному.

Рассмотрим пример

Дано уравнение 4 ∙ (2х - 1) = 16

Приведем данное уравнение к стандартному виду: ax =b

Раскрытие скобок только усложнит исходное уравнение.

Заметим, что левую и правую часть можем разделить на 4 (это наименьшее общее кратное чисел 4 и 16).

4 ∙ (2х - 1) = 16          |÷4

\(\mathbf{\frac{4 \cdot (2x - 1)}{4} = 16 \div 4}\)

2х - 1 = 4

Слагаемые с неизвестным оставляем в левой часть уравнения, а слагаемое -1 переносим в правую часть уравнения, сменив знак числа на противоположный, т.е. на «+».

2x = 4 + 1

2x = 5 получили уравнение вида ax = b

х = 5/2

x = 2,5

Ответ: х = 2,5

Решение линейных уравнений происходит с помощью нескольких преобразований, которые могут быть выполнены в любом порядке.

1. Освобождение от дробных членов уравнения (если такие есть) с помощью умножения левой и правой части уравнения на одно и тоже ненулевое число

2. Деление левой и правой части уравнения на одно и тоже ненулевое число

3. Раскрытие скобок (если они есть и это необходимо)

4. Перенос членов уравнения из одной части в другую со сменой их знаков на противоположные

5. Приведение подобных слагаемых

Завершая решение уравнения, стоит выполнить проверку, подставив в исходное уравнение найденное значение неизвестного. Если уравнение обратилось в верное равенство, значит, корень уравнения найден верно.

Итогом решения уравнения является ответ, в котором перечисляются все найденные корни уравнения.

Решение текстовых задач часто сводится к решению уравнений.

Уравнения позволяют записать информацию в таком виде, чтобы с ней можно было выполнить любые математические действия и преобразования, известные нам.

Решение задачи обычно сводится к тому, чтобы путем некоторых рассуждений и вычислений составить математическую модель задачи и найти значение неизвестной величины.

Этапы решения задач с помощью уравнения.

1. Искомое значение обозначить через неизвестную (за неизвестную принимают наименьшее значение по условию задачи)
2. Выразить через неизвестную другие величины
3. Составить математическую модель задачи - уравнение
4. С помощью равносильных преобразований решить уравнение
5. Найти ответ на вопрос задачи
6. Решив задачу, выполнить проверку найденных корней уравнения
7. Записать ответ

Рассмотрим пример.

У Миши и Гриши было одинаковое количество денег.

Миша купил 4 одинаковые шоколадки, и у него осталось 30 рублей.

Гриша купил 2 такие же шоколадки, и у него осталось 120 рублей.

Сколько стоит шоколадка?

Решение:

Пусть х руб. стоит одна шоколадка.

4х руб. заплатил Миша за 4 шоколадки.

2х руб. заплатил Гриша за 2 шоколадки.

У Миши было денег (руб).: 4х + 30

У Гриши было денег (руб).: 2х + 120

Составим уравнение.

Так как денег у мальчиков было поровну, получим равенство:

4х + 30 = 2х + 120

Перенесем члены уравнения из одно части уравнения в другую, при этом сменив их знак на противоположный: члены уравнения, содержащие неизвестную, влево, известные члены вправо.

4х - 2х = 120 - 30

Приведем подобные:

2х = 90

Получили уравнение вида ax =b, решим его.

х = 90/2

х = 45 (руб.) стоит одна шоколадка.

Выполним проверку найденного корня уравнения, подставив в исходное уравнение полученное значение х:

4 ∙ 45 + 30 = 2 ∙ 45 + 120

180 + 30 = 90 + 120

210 = 210

Получили верное равенство, следовательно, корень уравнения был найден верно.

Ответ: х = 45 (руб.)

Американский математик в 1939, будучи аспирантом Калифорнийского университета, однажды опоздал на занятие и ошибочно подумал, что изображенное на доске уравнение - это домашнее задание.

Уравнение ему показалось трудно решаемым, но через несколько дней ему удалось его решить.

Позже выяснилось, что на доске было записано не задание на дом, а две «нерешаемые» проблемы в статистике, решение которых уже много лет пытались найти многие ученые того времени.