Урок 5 Получить доступ за 75 баллов Разложение на простые множители

Мы с вами окунемся в мир разложения на простые множители - ведь тут начинается одна из основных проблем, с которой сталкиваются школьники. Если разобраться с нею сразу, то дальше будет намного проще!

Недавно мы с вами разобрались, что существуют три группы чисел: простые, составные и единица, которая не относится к ним.

На рисунке можно увидеть это деление.

Составные числа всегда можно представить в виде пары множителей, больших единицы.

Например:

Видим, что было дано число 60. Мы его расписали как произведение чисел, больших единицы: 2 и 3, 2 и 5

Если посмотреть внимательно, видно, что все множители в нашем случае являются простыми числами. То есть, мы разложили на простые множители число 60

Можно сделать вывод, что каждое из составных чисел записывается единственным образом в виде произведения простых чисел.

Мы с вами познакомились с основной теоремой арифметики для натуральных чисел.

Если разложить любое натуральное число на простые множители, то всегда получим одни и те же простые множители, просто в разном порядке.

Например, представим число 390 в виде произведения простых чисел.

Таким образом, чтобы разложить натуральное число на простые множители, нужно:

1. записать его как произведение множителей
2. проверить, есть ли среди них составные числа
3. если есть, повторить разложение с ними
4. делать так до тех пор, пока все числа в разложении не станут простыми
5. записать получившееся разложение

Пример:

Чтобы открыть сейф, нужно ввести код - число, состоящее из пяти простых чисел, записанных в порядке убывания. Все эти числа - простые делители числа 984

Решение

$$\mathbf{984 = 2\cdot492 = 2\cdot2\cdot246 = 2\cdot2\cdot2\cdot123 = 2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot41}$$

Ответ: Шифр 413222

Пример:

Разложите на множители число 60 всеми возможными способами:

а) на 2 множителя;

б) на 3 множителя;

в) на 4 множителя;

Решение

а) на 2 множителя: \(\mathbf{60 = 2\cdot30 = 3\cdot20 = 4\cdot15 = 5\cdot12 = 6\cdot10}\)

б) на 3 множителя: \(\mathbf{60 = 2\cdot5\cdot6 = 2\cdot3\cdot10 = 2\cdot2\cdot15 = 3\cdot4\cdot5}\)

в) на 4 множителя: \(\mathbf{60 = 2\cdot2\cdot3\cdot5}\)

Пример:

Разложить на простые множители числа: 2520, 4100, 472, 888

Решение

Для первого числа:

\(\mathbf{2520 = 2\cdot1260 = 2\cdot2\cdot630 = 2\cdot2\cdot2\cdot315 = 2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot105 \\= 2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot35 = 2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot7}\)

Для второго числа:

\(\mathbf{4100 = 2\cdot2050=2\cdot2\cdot1025 = 2\cdot2\cdot5\cdot205 = 2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot41}\)

Для третьего:

\(\mathbf{472 = 2\cdot236 = 2\cdot2\cdot118 = 2\cdot2\cdot2\cdot59}\)

Для последнего:

\(\mathbf{888 = 2\cdot444 = 2\cdot2\cdot222 = 2\cdot2\cdot2\cdot111 = 2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot37}\)

Натуральное число можно разложить на простые множители и другим способом:

1. Последовательно делить его сначала на два, потом на 3 и т.д. пока не получим единицу
2. Полученное записать в виде произведения простых чисел

Ниже можно увидеть пример того, как нужно оформить такой способ нахождения разложения.

В итоге мы получили разложение на простые множители.

Получается, что составное число можно поделить без остатка только на те простые числа, из которых можно записать разложение этого числа на простые множители.

\(\mathbf{600 = 2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot5}\) не делится на 7, 11

Составное натуральное число можно разделить без остатка на те составные числа, разложения которых на простые множители входят целиком в разложение нашего числа.

Например:

Пример:

Разложите вторым способом числа на простые множители.

а) 48

б) 3600

в) 532

г) 780

д) 8160

е) 624

Решение

а) \(\begin{matrix}48&2\\24&2\\12&2\\\;\;6&2\\\;\;3&3\\\;\;1&\end{matrix}\)

б) \(\begin{matrix}3600&2\\1800&2\\\;\;900&2\\\;\;450&2\\\;\;225&3\\\;\;\;\;75&3\\\quad\;25&5\\\quad\;\;\;5&5\\\quad\;\;\;1&\end{matrix}\)

в) \(\begin{matrix}532&2\\266&2\\133&7\\\;\;19&\;19\\\;\;\;\;1&\end{matrix}\)

г) \(\begin{matrix}780&2\\390&2\\195&3\\\;\;65&5\\\;\;13&\;13\\\;\;\;\;1&\end{matrix}\)

д) \(\begin{matrix}8160&2\\4080&2\\2040&2\\1020&2\\\;\;510&2\\\;\;255&3\\\quad85&5\\\quad\;17&\;17\\\quad\;\;\;1&\end{matrix}\)

е) \(\begin{matrix}624&2\\312&2\\156&2\\\;\;78&2\\\;\;39&3\\\;\;13&\;13\\\quad1&\end{matrix}\)

Закономерность между расположением простых чисел на числовой прямой так и остается загадкой с древнейших времён.

Уже точно известно, что простых чисел бесчисленное множество и никто не знает точное их количество.

При Эратосфене появился первый алгоритм того, как можно определить, простое перед нами число или нет.

Начиная с работ известных математиков  Эйлера и Ферма, множество других ученых до сих пор пытаются разгадать тайну простых чисел.

Придумано и описано несколько алгоритмов, закономерностей, но они работают только для небольшого количества простых чисел. А для всех сразу уже возникают проблемы.

К числу таких проблем относится так называемая гипотеза Римана. За её решение, а так же за решение других шести проблем тысячелетия предлагается премия в размере одного миллиона долларов.

На сегодняшний день ученые уже говорят о 23 проблемах, которые появились в более позднее время и тоже относятся к неразрешенным.

Рассмотрим 2 проблемы по изучаемой нами теме.

Первая проблема Ландау.

Каждое чётное число, большее 2, записывается как сумма двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, записывается как сумма трёх простых чисел.

Примеры:

14 = 7 + 7

17 = 5 + 5 + 7

22 = 11 + 11

23 = 11+5+7

51 = 1 + 13 + 37

Вторая проблема Ландау.

Бесконечно ли множество «простых близнецов» - простых чисел, разность между которыми равна 2?

1. Среди чисел нашлись «близнецы»:

3 и 5; 5 и 7; 7 и 9; 11 и 13, 17 и 19; 41 и 43;

2. Пары близнецов состоят из двойников с общим элементом. Математики смогли найти такие пары близнецов-«двойников» (3, 5) и (5, 7).

Мы знаем, что число простых чисел неограничено, но бесконечность количества пар близнецов не была доказана или опровергнута.