Урок 40 Бесплатно Раскрытие скобок

Ученые, открывая все новые математические законы и правила, вместе с тем, придумывали различные обозначения, символы и знаки.

Математические знаки и символы- это условные обозначения, которые используют для записи математических предложений, понятий, терминов и т.п.

Система математических знаков и символов представляет собой математический язык, который упрощает и сокращает процесс изложения информации, позволяет точнее выразить мысль и избежать неверной трактовки и ошибок.

Кроме букв алфавитов и цифр, математический язык содержит огромное множество различных символов и знаков.

Одним из наиболее часто используемых символов являются скобки.

На этом уроке рассмотрим какие основные виды скобок существуют в математике, их обозначение и применение.

Выясним, что обозначает понятие «раскрыть скобки», познакомимся с правилами раскрытия скобок, и разберем примеры применения данных правил.

Скобки в математике и их предназначение

Скобки являются парными знаками (за исключением некоторых математических обозначений): обычно первая в паре скобка- открывающая, вторая- закрывающая.

Парные скобки ограничивают часть некоторого математического выражения, т.е. заключают в себе некоторую часть целой математической записи.

В математике применяют несколько видов скобок.

Чаще всего используют три вида скобок: круглые скобки ( ), квадратные скобки [ ] и фигурные скобки {}

Круглые скобки используют:

  • для обозначения выражения, с которым проводится математические действия, например, возведение в степень (a+ b)2 и т.п.
  • для указания координаты точки
  • для указания периода в записи десятичной дроби
  • для заключения отрицательного числа в выражениях (т.е. разделение математической операции и знака числа)

Круглые скобки используют часто в математических выражениях для указания последовательности и приоритета математических действий и логических операций или изменения принятого порядка этих действий.

Квадратные скобки в математике, например, используют для обозначения целой части числа, для определения приоритета операции (аналогично круглым скобкам), в качестве скобок «второго уровня» и др.

Фигурные скобки применяют, например, для обозначения множеств, одинарная фигурная скобка обозначает объединение неравенств или уравнений в систему.

Используется двойная фигурная скобка, подобно круглым и квадратным скобкам, для разграничения приоритета действий в математических выражениях, в качестве скобок «третьего уровня» и др.

Вспомним порядок выполнения действий в выражениях со скобками.

По правилу, в выражении, содержащем скобки, первыми выполняются действия, стоящие в скобках, далее по порядку умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

На примере рассмотрим использование скобок для указания порядка действий или изменении этого порядка.

Пример:

Дано выражение \(\mathbf{8 + 5 \cdot 2}\)

Найдем значение этого выражения, используя правило, которое определяет порядок выполнения действий в математических выражениях.

Так как скобок в данном примере нет, то первым действием выполняется операция умножения, затем- сложения, получаем

\(\mathbf{8 + 5 \cdot 2 = 8 + 10 = 18}\)

Ответ: 18

 

Если выражение будет содержать все те же числа и математические операции, но будет записано в виде: \(\mathbf{(8 + 5)\cdot 2}\), то в первую очередь выполняется действие в скобках, а затем умножение, получим

\(\mathbf{(8 + 5)\cdot 2 = 13 \cdot 2 = 26}\)

Ответ: 26

 

Мы можем заметить, что, изменив порядок действий с помощью скобок, изменилось значение выражения.

Существуют выражения, которые содержат несколько пар скобок, в этом случае действия выполняют, начиная с первой скобки и далее по порядку слева направо в следующих скобка, затем все действия согласно известным правилам, определяющим порядок выполнения математических операций в выражениях.

Пример:

Дано выражение \(\mathbf{(16 - 4) + 2 \cdot (6 - 5)}\), определим порядок действий в нем.

Первым делом выполняются действия в скобках, затем умножение, далее сложение.

Решение будет выглядеть так:

\(\mathbf{(16 - 4) + 2 \cdot (6 - 5) = 12 + 2 \cdot (6 - 5) = 12 + 2 \cdot 1 = 12 + 2 = 14}\)

Иногда встречаются выражения, где применяются сложные сочетания скобок (вложенные скобки).

Выполнять действия следует с внутренних скобок, затем математические операции проводят, продвигаясь ко внешним скобкам.

Пример:

Определим порядок действий в выражение \(\mathbf{(3 \cdot (4 + 6) -7) \cdot 2}\)

Решение будет выглядеть так:

Ответ: 46

 

Для того, чтобы проще было различить одну пару скобок от другой, скобки обозначают разных размеров, либо дополнительно применяют квадратные и фигурные скобки, либо скобки изображают попарно разным цветом.

1. Скобки обозначены разных размеров:

\(\mathbf{\Bigg( \bigg( \Big( 4 + 2 \Big) \cdot 5 – 0,5 \bigg) – 6 \cdot 1,5\Bigg) \div 2 - 1}\)

2. Дополнительно применены квадратные и фигурные скобки:

\(\mathbf{\{[( 4 + 2) \cdot 5 – 0,5] – 6 \cdot 1,5 \} \div 2 - 1}\)

3. Скобки изображены попарно разным цветом:

(((4 + 2) ∙ 5 - 0,5) - 6 ∙ 1,5) ÷ 2 - 1

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Скобки, в качестве символа математического языка, стали использовать в XVI- начале XVII века.

Первыми появились скобки [ ], в 1550 г., их ввел итальянский математик Рафаэль Бомбелли.

Круглые скобки ( ) появились в 1556 г.

Итальянский математик Никколо Тарталье впервые применил круглые скобки, в написанной им в 1556 г., книге под названием «Общие исследования чисел и мер».

Фигурные скобки { } появились немного позже, в 1593 году, благодаря французскому математику Франсуа Виету.

Несмотря на появление скобок различных видов, долгое время многие ученые, математики предпочитали вместо скобок подчеркивать выделяемое выражение или изображать линию над выделяемым выражением.

Широкое распространение скобки получили позже (в первой половине XVIII века), благодаря математикам Г. В. Лейбницу и Л. Эйлеру

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Раскрытие скобок

Как вам уже известно, скобки в математических выражениях часто используют для разграничения рядом стоящих знаков или для объединения и перегруппировки чисел, с которыми будут выполнятся определенные математические действия.

Но иногда при решении математических выражений удобно раскрыть скобки, нежели высчитывать их значение.

Раскрыть скобки- это значит освободить выражение от скобок, избавить выражение от лишних знаков, тем самым упростить его для вычисления.

Значение выражение со скобками и значение выражения, полученное после раскрытия скобок, равны, их записывают в виде равенства.

При преобразовании громоздких выражений, в которых содержится большое количество скобок, возникает потребность записывать промежуточные результаты вычислений, в таких случаях решение записывается в виде цепочки равенств.

Рассмотрим правила раскрытия скобок.

Разберем случаи, когда перед скобками стоит знак плюс «+».

1. Выражение вида а + (-b) можно записать, опустив скобки.

Так как вычитание обратное действие сложению (т.е. прибавить число (-b) -это тоже самое, что вычесть положительное число b), получаем равенство

а + (-b) = а - b

 

2. Выражение вида а + (b+ c) можно записать без скобок.

Согласно сочетательному свойству сложения, если к числу прибавить сумму двух чисел, то нужно сначала к этому числу прибавить первое слагаемое, а затем второе слагаемое.

а + (b + c) = а + b + c

 

3. Рассмотрим еще одно выражение а + (b- c), и преобразуем это выражение в выражение без скобок.

Если первое слагаемое в скобках стоит без знака, то его знак определяется как знак плюс «+».

Известно, что вычитание можно заменить сложением, следовательно:

а + (b- c) = а + (b+ (-c))

Применив сочетательное свойство, упростим выражение а + (b+ (-c)), в результате получим:

а + (b - c) = а + b - c

Рассуждая подобным образом, попробуем преобразовать еще два выражения со скобками.

 

4. Преобразуем выражение вида а + (-b+ c) в выражение без скобок.

Зная, что вычитание можно заменить сложением и применив сочетательное свойство сложения, упростим выражение:

а + (-b+ c) = а + ((-b) + c) = а - b+ c, т.е. получаем равенство

а + (-b + c) = а - b + c

 

5. Преобразуем выражение вида а + (-b- c) в выражение без скобок.

Зная, что вычитание можно заменить сложением, и применив сочетательное свойство сложения, упростим выражение:

а + (-b- c) = а + ((-b) + (-c)) = а - b- c, т.е. получаем равенство

а + (-b - c) = а - b - c

Заметим, что в левой части каждого из равенств перед скобкой стоит знак «+», а слагаемые, стоящие в скобке, после преобразования сохраняют свои знаки:

а + (-b) = а - b

Пример: 15 + (-5) = 15 - 5 = 10

 

а + (+ c) = а + b+ c

Пример: 15 + (5 + 2) = 15 + 5 + 2 = 22

 

а + (c) = а + b- c

Пример: 15 + (5 - 2) = 15 + 5 - 2 = 18

 

а + (-+ c) = а - + c

Пример: 15 + (-5 + 2) = 15 - 5 + 2 = 12

 

а + (-- c) = а - b- c

Пример: 15 + (-5 - 2) = 15 - 5 - 2 = 8

 

Сформулируем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс:

Если перед скобками стоит знак плюс или не стоит никакого знака, то этот знак «+» и скобки необходимо опустить, сохранив знаки слагаемых, которые стояли в скобках.

Пример:

Найдите значения выражения -4 + (3 - 1 + 4).

Решение:

Избавимся от скобок, используя правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+».

Затем, найдем значение выражения, используя переместительное свойство сложения и правило сложения чисел с разными знаками.

-4 + (3 - 1 + 4) = -4 + 3 - 1 + 4 = 4 - 4 + 3 - 1= 0 + 3 - 1 = 3 - 1 = 2

Ответ: 2

 

Рассмотрим случаи, когда перед раскрываемыми скобками стоит знак минус «-».

Вспомним какие числа называют противоположными: два числа называют противоположными, если они отличны друг от друга только знаками, модули их равны.

Число а противоположно числу (-а).

-(-а) противоположно числу (-а).

Тогда верно утверждение, что -(-а) = а.

Найдем значение выражения: -(-8 + 4)

Определим значение данного выражения двумя способами:

1. Найдем значение суммы в скобках, затем полученную сумму запишем со знаком минус «-».

-(-8 + 4) = -(-4) = 4

 

2. Раскроем скобки.

Чтобы найти сумму противоположную сумме нескольких слагаемых, действуем по аналогии с утверждением -(-а) = а, необходимо изменить знаки слагаемых на противоположные.

-(-8 + 4) = 8 - 4 = 4

 

В первом и во втором случае получили одинаковый результат, он равен четырем.

Сформулируем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус.

Если перед скобками стоит знак минус, то этот знак «-» и скобки необходимо опустить, изменив знаки слагаемых, которые стояли в скобках на противоположные (знак минус меняется на плюс, знак плюс- на минус).

Рассмотрим несколько равенств и раскроем скобки в них согласно данному правилу.

а - (-b) = а + b

Пример: 10 - (-5) = 10 + 5 = 15

 

а - (c) = а - b- c

Пример: 20 - (5 + 3) = 20 - 5 - 3 = 15 - 3 = 12

 

а - (- c) = а - + c

Пример: 20 - (5 - 3) = 20 - 5 + 3 = 15 + 3 = 18

 

а - (-+ c) = а + b- c

Пример: 20 - (-5 + 3) = 20 + 5 - 3 = 25 - 3 = 22

 

а - (-- c) = а + b+ c

Пример: 20 - (-5 - 3) = 20 + 5 + 3 = 25 + 3 = 28

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

В математике существуют правила достаточно объемные и сложные для понимания.

Благодаря стихотворной форме некоторые математические законы, правила и формулы становятся проще для запоминания и усвоения.

В связи с этим, математики придумали множество забавных стихотворений о правилах раскрытия скобок.

Вот некоторые из них:

1. Если перед скобкой минус,

Он ведет себя как вирус.

Скобки сразу все съедает,

Всем, кто в скобках, знак меняет.

Ну, а если плюс стоит,

Он все знаки сохранит.

 

2. Перед скобкой плюс стоит,

Он о том и говорит,

Что ты скобки опускай,

Да все числа выпускай.

Перед скобкой минус строгий

Загородит нам дорогу.

Чтобы скобки все убрать,

Надо знаки поменять.

 

3. Перед скобкой вижу плюс,

Ошибиться не боюсь.

Скобки раскрываются,

Знаки сохраняются.

Минус повстречается,

Будьте осторожны:

Скобки раскрываются,

Знаки изменяются

На противоположные!

Пример:

Вычислите значение выражения 15 - (4 + 15 - 3).

Решение:

Избавимся от скобок, используя правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-».

Затем, найдем значение выражения, используя переместительное свойство сложения и правило сложения чисел с разными знаками.

15 - (4 + 15 - 3) = 15 - 4 - 15 + 3 = 15 - 15 - 4 + 3 = 0 - 4 + 3 = -4 + 3 = -1

Ответ: -1

 

Разберем правило раскрытия скобок при умножении числа на сумму (суммы на число).

Правило раскрытия скобок для данного случая звучит так:

Для раскрытия скобок в выражениях, содержащих умножение суммы на число или числа на сумму, используется распределительное свойство умножения относительно сложения.

\(\mathbf{(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c}\)

\(\mathbf{(a - b) \cdot c = a \cdot c + (-b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c}\)

 

Если число с положительное, то знаки слагаемых a и b не изменяются.

Если число с отрицательное, то знаки слагаемых a и b меняются на противоположные.

Пример:

Найдите значение выражения \(\mathbf{(7,2 - 5,3) \cdot 2}\)

Решение:

Воспользуемся правилом раскрытия скобок при умножении суммы на число.

\(\mathbf{(7,2 - 5,3) \cdot 2 = 7,2 \cdot 2 - 5,3 \cdot 2 = 14,4 - 10,6 = 3,8}\)

Ответ: 3,8

 

Пример:

Найдите значение выражения  \(\mathbf{(7,2 - 5,3) \cdot (-2)}\)

Решение:

Воспользуемся правилом раскрытия скобок при умножении суммы на число.

\(\mathbf{(7,2 - 5,3) \cdot (-2) = 7,2 \cdot (-2) - 5,3 \cdot (-2) = -14,4 + 10,6 = -3,8}\)

Ответ: -3,8

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Заключительный тест

Пройти тест