Урок 40 Получить доступ за 75 баллов Раскрытие скобок

Ученые, открывая все новые математические законы и правила, вместе с тем, придумывали различные обозначения, символы и знаки.

Математические знаки и символы - это условные обозначения, которые используют для записи математических предложений, понятий, терминов и т.п.

Система математических знаков и символов представляет собой математический язык, который упрощает и сокращает процесс изложения информации, позволяет точнее выразить мысль и избежать неверной трактовки и ошибок.

Кроме букв алфавитов и цифр математический язык содержит огромное множество различных символов и знаков.

Одним из наиболее часто используемых символов являются скобки.

На этом уроке рассмотрим, какие основные виды скобок существуют в математике, их обозначение и применение.

Выясним, что обозначает понятие «раскрыть скобки», познакомимся с правилами раскрытия скобок и разберем примеры применения данных правил.

Скобки являются парными знаками (за исключением некоторых математических обозначений): обычно первая в паре скобка- открывающая, вторая- закрывающая.

Парные скобки ограничивают часть некоторого математического выражения, т.е. заключают в себе некоторую часть целой математической записи.

В математике применяют несколько видов скобок.

Чаще всего используют три вида скобок: круглые скобки ( ), квадратные скобки [ ] и фигурные скобки {}

Круглые скобки используют:

• для обозначения выражения, с которым проводится математические действия, например, возведение в степень (a+ b)² и т.п.
• для указания координаты точки
• для указания периода в записи десятичной дроби
• для заключения отрицательного числа в выражениях (т.е. разделение математической операции и знака числа)

Круглые скобки используют часто в математических выражениях для указания последовательности и приоритета математических действий и логических операций или изменения принятого порядка этих действий.

Квадратные скобки в математике, например, используют для обозначения целой части числа, для определения приоритета операции (аналогично круглым скобкам), в качестве скобок «второго уровня» и др.

Фигурные скобки применяют, например, для обозначения множеств. Одинарная фигурная скобка обозначает объединение неравенств или уравнений в систему.

Используется двойная фигурная скобка, подобно круглым и квадратным скобкам, для разграничения приоритета действий в математических выражениях, в качестве скобок «третьего уровня» и др.

Вспомним порядок выполнения действий в выражениях со скобками.

По правилу, в выражении, содержащем скобки, первыми выполняются действия, стоящие в скобках, далее по порядку умножение и деление, а затем сложение и вычитание.

На примере рассмотрим использование скобок для указания порядка действий или изменении этого порядка.

Пример:

Дано выражение \(\mathbf{8 + 5 \cdot 2}\)

Найдем значение этого выражения, используя правило, которое определяет порядок выполнения действий в математических выражениях.

Так как скобок в данном примере нет, то первым действием выполняется операция умножения, затем - сложения, получаем

\(\mathbf{8 + 5 \cdot 2 = 8 + 10 = 18}\)

Ответ: 18

Если выражение будет содержать все те же числа и математические операции, но будет записано в виде: \(\mathbf{(8 + 5)\cdot 2}\), то в первую очередь выполняется действие в скобках, а затем умножение, получим

\(\mathbf{(8 + 5)\cdot 2 = 13 \cdot 2 = 26}\)

Ответ: 26

Мы можем заметить, что при изменении порядка действий с помощью скобок изменилось значение выражения.

Существуют выражения, которые содержат несколько пар скобок. В этом случае действия выполняют, начиная с первой скобки, и далее по порядку слева направо в следующих скобках, затем все действия согласно известным правилам, определяющим порядок выполнения математических операций в выражениях.

Пример:

Дано выражение \(\mathbf{(16 - 4) + 2 \cdot (6 - 5)}\), определим порядок действий в нем.

Первым делом выполняются действия в скобках, затем умножение, далее сложение.

Решение будет выглядеть так:

\(\mathbf{(16 - 4) + 2 \cdot (6 - 5) = 12 + 2 \cdot (6 - 5) = 12 + 2 \cdot 1 = 12 + 2 = 14}\)

Иногда встречаются выражения, где применяются сложные сочетания скобок (вложенные скобки).

Выполнять действия следует с внутренних скобок, затем математические операции проводят, продвигаясь ко внешним скобкам.

Пример:

Определим порядок действий в выражение \(\mathbf{(3 \cdot (4 + 6) -7) \cdot 2}\)

Решение будет выглядеть так:

Ответ: 46

Для того, чтобы проще было различить одну пару скобок от другой, скобки обозначают разными размерами, либо дополнительно применяют квадратные и фигурные скобки, либо скобки изображают попарно разным цветом.

1. Скобки обозначены разных размеров:

\(\mathbf{\Bigg( \bigg( \Big( 4 + 2 \Big) \cdot 5 – 0,5 \bigg) – 6 \cdot 1,5\Bigg) \div 2 - 1}\)

2. Дополнительно применены квадратные и фигурные скобки:

\(\mathbf{\{[( 4 + 2) \cdot 5 – 0,5] – 6 \cdot 1,5 \} \div 2 - 1}\)

3. Скобки изображены попарно разным цветом:

(((4 + 2) ∙ 5 - 0,5) - 6 ∙ 1,5) ÷ 2 - 1

Как вам уже известно, скобки в математических выражениях часто используют для разграничения рядом стоящих знаков или для объединения и перегруппировки чисел, с которыми будут выполнятся определенные математические действия.

Но иногда при решении математических выражений удобно раскрыть скобки, нежели высчитывать их значение.

Раскрыть скобки- это значит освободить выражение от скобок, избавить выражение от лишних знаков, тем самым упростить его для вычисления.

Значение выражение со скобками и значение выражения, полученное после раскрытия скобок, равны, их записывают в виде равенства.

При преобразовании громоздких выражений, в которых содержится большое количество скобок, возникает потребность записывать промежуточные результаты вычислений. В таких случаях решение записывается в виде цепочки равенств.

Рассмотрим правила раскрытия скобок.

Разберем случаи, когда перед скобками стоит знак плюс «+».

1. Выражение вида а + (-b) можно записать, опустив скобки.

Так как вычитание обратное действие сложению (т.е. прибавить число (-b)  -это тоже самое, что вычесть положительное число b), получаем равенство

а + (-b) = а - b

2. Выражение вида а + (b+ c) можно записать без скобок.

Согласно сочетательному свойству сложения, если к числу прибавить сумму двух чисел, то нужно сначала к этому числу прибавить первое слагаемое, а затем второе слагаемое.

а + (b + c) = а + b + c

3. Рассмотрим еще одно выражение а + (b- c), и преобразуем это выражение в выражение без скобок.

Если первое слагаемое в скобках стоит без знака, то его знак определяется как знак плюс «+».

Известно, что вычитание можно заменить сложением, следовательно:

а + (b- c) = а + (b+ (-c))

Применив сочетательное свойство, упростим выражение а + (b+ (-c)), в результате получим:

а + (b - c) = а + b - c

Рассуждая подобным образом, попробуем преобразовать еще два выражения со скобками.

4. Преобразуем выражение вида а + (-b+ c) в выражение без скобок.

Зная, что вычитание можно заменить сложением и применив сочетательное свойство сложения, упростим выражение:

а + (-b+ c) = а + ((-b) + c) = а - b+ c, т.е. получаем равенство

а + (-b + c) = а - b + c

5. Преобразуем выражение вида а + (-b- c) в выражение без скобок.

Зная, что вычитание можно заменить сложением, и применив сочетательное свойство сложения, упростим выражение:

а + (-b- c) = а + ((-b) + (-c)) = а - b- c, т.е. получаем равенство

а + (-b - c) = а - b - c

Заметим, что в левой части каждого из равенств перед скобкой стоит знак «+», а слагаемые, стоящие в скобке, после преобразования сохраняют свои знаки:

а + (-b) = а - b

Пример: 15 + (-5) = 15 - 5 = 10

а + (b + c) = а + b+ c

Пример: 15 + (5 + 2) = 15 + 5 + 2 = 22

а + (b - c) = а + b- c

Пример: 15 + (5 - 2) = 15 + 5 - 2 = 18

а + (-b + c) = а - b + c

Пример: 15 + (-5 + 2) = 15 - 5 + 2 = 12

а + (-b - c) = а - b- c

Пример: 15 + (-5 - 2) = 15 - 5 - 2 = 8

Сформулируем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак плюс:

Если перед скобками стоит знак плюс или не стоит никакого знака, то этот знак «+» и скобки необходимо опустить, сохранив знаки слагаемых, которые стояли в скобках.

Пример:

Найдите значения выражения -4 + (3 - 1 + 4).

Решение:

Избавимся от скобок, используя правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «+».

Затем найдем значение выражения, используя переместительное свойство сложения и правило сложения чисел с разными знаками.

-4 + (3 - 1 + 4) = -4 + 3 - 1 + 4 = 4 - 4 + 3 - 1= 0 + 3 - 1 = 3 - 1 = 2

Ответ: 2

Рассмотрим случаи, когда перед раскрываемыми скобками стоит знак минус «-».

Вспомним, какие числа называют противоположными: два числа называют противоположными, если они отличны друг от друга только знаками, модули их равны.

Число а противоположно числу (-а).

-(-а) противоположно числу (-а).

Тогда верно утверждение, что -(-а) = а

Найдем значение выражения: -(-8 + 4)

Определим значение данного выражения двумя способами:

1. Найдем значение суммы в скобках, затем полученную сумму запишем со знаком минус «-».

-(-8 + 4) = -(-4) = 4

2. Раскроем скобки.

Чтобы найти сумму противоположную сумме нескольких слагаемых, действуем по аналогии с утверждением -(-а) = а - необходимо изменить знаки слагаемых на противоположные.

-(-8 + 4) = 8 - 4 = 4

В первом и во втором случае получили одинаковый результат, он равен четырем.

Сформулируем правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак минус.

Если перед скобками стоит знак минус, то этот знак «-» и скобки необходимо опустить, изменив знаки слагаемых, которые стояли в скобках на противоположные (знак минус меняется на плюс, знак плюс на минус).

Рассмотрим несколько равенств и раскроем скобки в них согласно данному правилу.

а - (-b) = а + b

Пример: 10 - (-5) = 10 + 5 = 15

а - (b + c) = а - b- c

Пример: 20 - (5 + 3) = 20 - 5 - 3 = 15 - 3 = 12

а - (b - c) = а - b + c

Пример: 20 - (5 - 3) = 20 - 5 + 3 = 15 + 3 = 18

а - (-b + c) = а + b- c

Пример: 20 - (-5 + 3) = 20 + 5 - 3 = 25 - 3 = 22

а - (-b - c) = а + b+ c

Пример: 20 - (-5 - 3) = 20 + 5 + 3 = 25 + 3 = 28

Пример:

Вычислите значение выражения 15 - (4 + 15 - 3).

Решение:

Избавимся от скобок, используя правило раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «-».

Затем найдем значение выражения, используя переместительное свойство сложения и правило сложения чисел с разными знаками.

15 - (4 + 15 - 3) = 15 - 4 - 15 + 3 = 15 - 15 - 4 + 3 = 0 - 4 + 3 = -4 + 3 = -1

Ответ: -1

Разберем правило раскрытия скобок при умножении числа на сумму (суммы на число).

Правило раскрытия скобок для данного случая звучит так:

Для раскрытия скобок в выражениях, содержащих умножение суммы на число или числа на сумму, используется распределительное свойство умножения относительно сложения.

\(\mathbf{(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c}\)

\(\mathbf{(a - b) \cdot c = a \cdot c + (-b) \cdot c = a \cdot c - b \cdot c}\)

Если число с положительное, то знаки слагаемых a и b не изменяются.

Если число с отрицательное, то знаки слагаемых a и b меняются на противоположные.

Пример:

Найдите значение выражения \(\mathbf{(7,2 - 5,3) \cdot 2}\)

Решение:

Воспользуемся правилом раскрытия скобок при умножении суммы на число.

\(\mathbf{(7,2 - 5,3) \cdot 2 = 7,2 \cdot 2 - 5,3 \cdot 2 = 14,4 - 10,6 = 3,8}\)

Ответ: 3,8

Пример:

Найдите значение выражения  \(\mathbf{(7,2 - 5,3) \cdot (-2)}\)

Решение:

Воспользуемся правилом раскрытия скобок при умножении суммы на число.

\(\mathbf{(7,2 - 5,3) \cdot (-2) = 7,2 \cdot (-2) - 5,3 \cdot (-2) = -14,4 + 10,6 = -3,8}\)

Ответ: -3,8