Урок 38 Получить доступ за 50 баллов Рациональные числа

С начала изучения математики мы работали с натуральными числами и нулем, позже мы научились работать с числами дробными в разных их записях, а также с отрицательными числами.

Сегодня мы познакомимся с понятием рационального числа, которое является обобщением всех вышеперечисленных чисел.

Также научимся показывать, что то или иное число является рациональным.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Определение рационального числа

Определение: число, которое можно записать в виде отношения \(\mathbf{\frac{a}{n}}\), где а- число целое, а n- натуральное, называют рациональным числом.

В начале мы упомянули, что это понятие является обобщением всех предыдущих категорий чисел. Покажем, что это действительно так.

Любое целое число а будет являться рациональным, так как его можно записать в виде \(\mathbf{\frac{a}{1}}\)

 

Пример:

Покажем, что число - рациональное.

Запишем его в виде \(\mathbf{\frac{5}{1}}\), очевидно, что \(\mathbf{\frac{5}{1}=5}\)

В этой записи 5 в знаменателе целое число, а 1 в числителе - натуральное число, значит, число 5 - рациональное по определению.

Аналогичные рассуждения можно привести и для отрицательных чисел, и для нуля:

\(\mathbf{-10=\frac{-10}{1}}\)

\(\mathbf{-4=\frac{-4}{1}}\)

\(\mathbf{0=\frac{0}{1}}\)

Любая положительная обыкновенная дробь является рациональным числом даже без преобразований, ведь и ее знаменатель, и числитель будут числами натуральными.

Если же дробь отрицательная, то минус можно «занести» в числитель:

\(\mathbf{-\frac{1}{4}=\frac{-1}{4}}\)

Таким образом, мы получаем дробь, где в числителе целое число, а в знаменателе натуральное, что соответствует определению рационального числа.

А если в знаменателе дроби стоит отрицательное целое число, и это мешает знаменателю быть натуральным?

Тогда мы можем домножить и числитель и знаменатель дроби на -1, в результате получим рациональное число.

 

Пример:

Покажем, что число \(\mathbf{\frac{3}{-5}}\)- рациональное.

Домножим числитель и знаменатель дроби на -1:

\(\mathbf{\frac{3}{-5}=\frac{3\cdot(-1)}{-5\cdot(-1)}=\frac{-3}{5}}\)

Теперь имеем в числителе целое число, а в знаменателе натуральное, что соответствует определению рационального числа.

 

Являются ли смешанные и десятичные дроби рациональными числами?

Мы можем их представить в виде обыкновенных дробей, в которых в числителе стоит целое число, а в знаменателе отрицательное, - следовательно, являются.

Покажем на примерах:

\(\mathbf{2\frac{3}{7}=\frac{2\cdot7+3}{7}=\frac{17}{7}}\)

\(\mathbf{-1\frac{1}{5}=-\frac{1\cdot5+1}{5}=-\frac{6}{5}=\frac{-6}{5}}\)

\(\mathbf{3.73=3\frac{73}{100}=\frac{3\cdot100+73}{100}=\frac{373}{100}}\)

\(\mathbf{-4.5=-4\frac{5}{10}=-\frac{4\cdot10+5}{10}=-\frac{45}{10}=\frac{-45}{10}}\)

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Выражение обыкновенных дробей в виде десятичных дробей

Если обыкновенная дробь в знаменателе содержит число, у которого нет других простых делителей кроме 2-х и 5-ти, то такую дробь можно представить в виде конечной десятичной.

Для этого надо просто делить числитель на знаменатель.

Это можно сделать столбиком, а можно на калькуляторе.

При делении столбиком, когда мы доходим до конца целой части, в ответе надо поставить запятую.

Также мы помним, что если у делимого нет дробной части или же мы дошли до ее конца, то всегда можно представить, что далее в дробной части идут нули, поэтому именно их мы приписываем к остаткам в следующих примерах.

 

Пример:

\(\mathbf{\frac{13}{2}=6.5}\)

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

В данном случае, деля 13 на 2, мы получаем частное 6 и остаток, равный 1-му. В этот момент мы доходим до конца целой части делимого, ставим запятую или точку в ответе.

К остатку мы бы приписали следующий разряд дробной части делимого, если бы она была, но ее нет, поэтому мы приписываем нули. (\(\mathbf{13=13.00000...}\))

Далее действуем аналогично, получаем в ответе 6.5.

 

Пример:

\(\mathbf{\frac{24}{5}=4.8}\)

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

В данном случае вычисления производились аналогично предыдущему примеру.

Заметим, что полученные данным способом десятичные дроби являются числами рациональными, так как они равны дробям, в числителях которых стоят целые числа, а в знаменателях натуральные.

Сейчас мы познакомимся с еще одним типом дробей - периодическими дробями.

В начале главы мы сказали, что обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную, если ее знаменатель не имеет других простых делителей кроме 2-х и 5-ти.

Посмотрим, что будет, если мы применим тот же алгоритм к дроби, знаменатель которой делится на другие простые числа.

Попробуем перевести обыкновенную дробь \(\mathbf{\frac{1}{3}}\) в десятичную.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

В таком случае получаем десятичную дробь с бесконечной правой частью.

Можно доказать, что этот процесс будет бесконечен: каждый раз мы будем записывать 3 в ответ, 1 в остаток, к 1-му будем приписывать 0, получать 10, снова деля на 3 будем получать 3 в ответ, 1 в остаток, и так процесс зацикливается.

В этом случае используют периодические дроби.

Определение: периодическая дробь - это бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места в дробной части, периодически повторяется определенная группа цифр.

 

Пример:

\(\mathbf{\frac{1}{3}=0.33333333...=0.(3)}\)

Читается такая запись как «3 десятых и 3 в периоде».

В данном случае периодическая часть начинается сразу после запятой. Такие дроби называют чистыми периодическими.

Если же период идет, только начиная с какого-то разряда дробной части, то такая дробь называется смешанной периодической.

 

Примеры:

\(\mathbf{0.1(23)}\)

\(\mathbf{7.77(12)}\)

 

И также стоит заметить, что таким образом полученные дроби являются рациональными числами, так как равны дробям с целым числителем и натуральным знаменателем.

Далее научимся переводить десятичные дроби обратно к виду обычных дробей, а пока решим несколько заданий на тему перевода обыкновенных дробей в десятичные.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Выражение периодических дробей в виде обыкновенных дробей

Мы уже говорили, как выразить конечную дробь в виде десятичной в 12-м уроке.

Напомним: для этого необходимо записать дробь, в числителе которой будет стоять данная десятичная дробь, а в знаменателе единица; далее необходимо умножать числитель и знаменатель дроби на 10 до тех пор, пока числитель не станет целым.

 

Примеры:

\(\mathbf{0.05=\frac{0.05}{1}=\frac{0.5}{10}=\frac{5}{100}}\)

\(\mathbf{0.712=\frac{0.712}{1}=\frac{7.12}{10}=\frac{71.2}{100}=\frac{712}{1000}}\)

 

Можно просто писать в числитель дробную часть, а в знаменатель единицу с количеством нулей, равным количеству цифр в числителе.

Выражая десятичную дробь как дробь обыкновенную, мы тем самым доказываем, что она является рациональным числом, так как получаем дробь, в числителе которой стоит целое число (дробная часть десятичной дроби), а в знаменателе натуральное (произведение единицы и десяток).

Теперь научимся переводить периодические дроби.

Правило: если периодическая дробь является чистой, то, чтобы получить обыкновенную дробь, равную ей, период записывается в числитель, а в знаменатель записывается число, состоящее из цифр 9 в том количестве, сколько цифр в периоде.

 

Примеры:

\(\mathbf{0.(6)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}}\)

\(\mathbf{1.(23)=1\frac{23}{99}}\)

\(\mathbf{0.(81)=\frac{81}{99}=\frac{9}{11}}\)

Теперь посмотрим, что делать со смежными периодическими дробями.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Правило: если периодическая дробь является смешанной, то, чтобы получить обыкновенную дробь, равную ей, в числитель обыкновенной дроби необходимо записать все, что идет после запятой, а потом вычесть из этого часть между запятой и периодом, затем в знаменатель нужно записать столько цифр 9, сколько цифр в периоде, а затем столько цифр 0, сколько цифр идет перед периодом.

Звучит сложно, но на примерах все оказывается значительно проще.

 

Примеры:

\(\mathbf{0.3(4)=\frac{34-3}{90}=\frac{31}{90}}\)

\(\mathbf{12.2(34)=12\frac{234-2}{990}=12\frac{232}{990}=12\frac{116}{495}}\)

\(\mathbf{5.0(55)=5\frac{55-0}{990}=5\frac{55}{990}=5\frac{5}{90}=5\frac{1}{18}}\)

Теперь мы умеем переводить и периодические дроби в обыкновенные, а значит, умеем показывать, что они являются рациональными числами.

Могло сложиться обманчивое впечатление, что все уже изученные нами числа являются рациональными, мы развеем это впечатление в дополнительной информации, а пока закрепим навык переводы десятичных дробей в обыкновенные.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Дополнительная информация

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Оказывается, известное нам число \(\mathbf{\pi}\) не является рациональным.

Обычно мы используем не его, а его рациональные приближения, одно из самых популярных это \(\mathbf{3.14}\), данное число является конечной десятичной дробью, а соответственно, является рациональным.

Но само число \(\mathbf{\pi}\) равняется \(\mathbf{3.1415926535897932384626433832795…}\)

И оно не является рациональным.

Довольно интересно, что об этом числе знали еще в древности и даже использовали его приближения для расчетов. Однако доказать его иррациональность, то есть что оно не является рациональным), смог Иоганн Генрих Ламберт только в 1761 году.

Пифагорейцы, ученики Пифагора, еще не знали про иррациональные числа, поэтому природа числа \(\mathbf{\pi}\) их пугала.

Подробнее про иррациональные числа вы узнаете позже в школьной программе, но пока важно понимать, что рациональными числами все не ограничивается, и, если мы хотим работать с каким-то числом как с рациональным, его рациональность важно уметь доказать, чему мы научились в этом уроке.

В бесплатной версии урока недоступны:

  • Видео
  • Изображения
  • Дополнительная информация
  • Таблицы
  • Тесты
Получить доступ