Урок 38 Получить доступ за 75 баллов Рациональные числа

С начала изучения математики мы работали с натуральными числами и нулем, позже мы научились работать с числами дробными в разных их записях, а также с отрицательными числами.

Сегодня мы познакомимся с понятием рационального числа, которое является обобщением всех вышеперечисленных чисел.

Также научимся показывать, что то или иное число является рациональным.

Определение: число, которое можно записать в виде отношения \(\mathbf{\frac{a}{n}}\), где а- число целое, а n- натуральное, называют рациональным числом.

В начале мы упомянули, что это понятие является обобщением всех предыдущих категорий чисел. Покажем, что это действительно так.

Любое целое число а будет являться рациональным, так как его можно записать в виде \(\mathbf{\frac{a}{1}}\)

Пример:

Покажем, что число 5 - рациональное.

Запишем его в виде \(\mathbf{\frac{5}{1}}\), очевидно, что \(\mathbf{\frac{5}{1}=5}\)

В этой записи 5 в знаменателе целое число, а 1 в числителе - натуральное число, значит, число 5 - рациональное по определению.

Аналогичные рассуждения можно привести и для отрицательных чисел, и для нуля:

\(\mathbf{-10=\frac{-10}{1}}\)

\(\mathbf{-4=\frac{-4}{1}}\)

\(\mathbf{0=\frac{0}{1}}\)

Любая положительная обыкновенная дробь является рациональным числом даже без преобразований, ведь и ее знаменатель, и числитель будут числами натуральными.

Если же дробь отрицательная, то минус можно «занести» в числитель:

\(\mathbf{-\frac{1}{4}=\frac{-1}{4}}\)

Таким образом, мы получаем дробь, где в числителе целое число, а в знаменателе натуральное, что соответствует определению рационального числа.

А если в знаменателе дроби стоит отрицательное целое число, и это мешает знаменателю быть натуральным?

Тогда мы можем домножить и числитель и знаменатель дроби на -1, в результате получим рациональное число.

Пример:

Покажем, что число \(\mathbf{\frac{3}{-5}}\)- рациональное.

Домножим числитель и знаменатель дроби на -1:

\(\mathbf{\frac{3}{-5}=\frac{3\cdot(-1)}{-5\cdot(-1)}=\frac{-3}{5}}\)

Теперь имеем в числителе целое число, а в знаменателе натуральное, что соответствует определению рационального числа.

Являются ли смешанные и десятичные дроби рациональными числами?

Мы можем их представить в виде обыкновенных дробей, в которых в числителе стоит целое число, а в знаменателе отрицательное, - следовательно, являются.

Покажем на примерах:

\(\mathbf{2\frac{3}{7}=\frac{2\cdot7+3}{7}=\frac{17}{7}}\)

\(\mathbf{-1\frac{1}{5}=-\frac{1\cdot5+1}{5}=-\frac{6}{5}=\frac{-6}{5}}\)

\(\mathbf{3.73=3\frac{73}{100}=\frac{3\cdot100+73}{100}=\frac{373}{100}}\)

\(\mathbf{-4.5=-4\frac{5}{10}=-\frac{4\cdot10+5}{10}=-\frac{45}{10}=\frac{-45}{10}}\)

Если обыкновенная дробь в знаменателе содержит число, у которого нет других простых делителей кроме 2-х и 5-ти, то такую дробь можно представить в виде конечной десятичной.

Для этого надо просто делить числитель на знаменатель.

Это можно сделать столбиком, а можно на калькуляторе.

При делении столбиком, когда мы доходим до конца целой части, в ответе надо поставить запятую.

Также мы помним, что если у делимого нет дробной части или же мы дошли до ее конца, то всегда можно представить, что далее в дробной части идут нули, поэтому именно их мы приписываем к остаткам в следующих примерах.

Пример:

\(\mathbf{\frac{13}{2}=6.5}\)

В данном случае, деля 13 на 2, мы получаем частное 6 и остаток, равный 1-му. В этот момент мы доходим до конца целой части делимого, ставим запятую или точку в ответе.

К остатку мы бы приписали следующий разряд дробной части делимого, если бы она была, но ее нет, поэтому мы приписываем нули. (\(\mathbf{13=13.00000...}\))

Далее действуем аналогично, получаем в ответе 6.5.

Пример:

\(\mathbf{\frac{24}{5}=4.8}\)

В данном случае вычисления производились аналогично предыдущему примеру.

Заметим, что полученные данным способом десятичные дроби являются числами рациональными, так как они равны дробям, в числителях которых стоят целые числа, а в знаменателях натуральные.

Сейчас мы познакомимся с еще одним типом дробей - периодическими дробями.

В начале главы мы сказали, что обыкновенную дробь можно перевести в конечную десятичную, если ее знаменатель не имеет других простых делителей кроме 2-х и 5-ти.

Посмотрим, что будет, если мы применим тот же алгоритм к дроби, знаменатель которой делится на другие простые числа.

Попробуем перевести обыкновенную дробь \(\mathbf{\frac{1}{3}}\) в десятичную.

В таком случае получаем десятичную дробь с бесконечной правой частью.

Можно доказать, что этот процесс будет бесконечен: каждый раз мы будем записывать 3 в ответ, 1 в остаток, к 1-му будем приписывать 0, получать 10, снова деля на 3 будем получать 3 в ответ, 1 в остаток, и так процесс зацикливается.

В этом случае используют периодические дроби.

Определение: периодическая дробь - это бесконечная десятичная дробь, в которой, начиная с некоторого места в дробной части, периодически повторяется определенная группа цифр.

Пример:

\(\mathbf{\frac{1}{3}=0.33333333...=0.(3)}\)

Читается такая запись как «0 целых и 3 в периоде».

В данном случае периодическая часть начинается сразу после запятой. Такие дроби называют чистыми периодическими.

Если же период идет, только начиная с какого-то разряда дробной части, то такая дробь называется смешанной периодической.

Примеры:

\(\mathbf{0.1(23)}\)

\(\mathbf{7.77(12)}\)

И также стоит заметить, что таким образом полученные дроби являются рациональными числами, так как равны дробям с целым числителем и натуральным знаменателем.

Далее научимся переводить десятичные дроби обратно к виду обычных дробей, а пока решим несколько заданий на тему перевода обыкновенных дробей в десятичные.

Мы уже говорили, как выразить конечную дробь в виде десятичной в 12-м уроке.

Напомним: для этого необходимо записать дробь, в числителе которой будет стоять данная десятичная дробь, а в знаменателе единица; далее необходимо умножать числитель и знаменатель дроби на 10 до тех пор, пока числитель не станет целым.

Примеры:

\(\mathbf{0.05=\frac{0.05}{1}=\frac{0.5}{10}=\frac{5}{100}}\)

\(\mathbf{0.712=\frac{0.712}{1}=\frac{7.12}{10}=\frac{71.2}{100}=\frac{712}{1000}}\)

Можно просто писать в числитель дробную часть, а в знаменатель единицу с количеством нулей, равным количеству цифр в числителе.

Выражая десятичную дробь как дробь обыкновенную, мы тем самым доказываем, что она является рациональным числом, так как получаем дробь, в числителе которой стоит целое число (дробная часть десятичной дроби), а в знаменателе натуральное (произведение единицы и десяток).

Теперь научимся переводить периодические дроби.

Правило: если периодическая дробь является чистой, то, чтобы получить обыкновенную дробь, равную ей, период записывается в числитель, а в знаменатель записывается число, состоящее из цифр 9 в том количестве, сколько цифр в периоде.

Примеры:

\(\mathbf{0.(6)=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}}\)

\(\mathbf{1.(23)=1\frac{23}{99}}\)

\(\mathbf{0.(81)=\frac{81}{99}=\frac{9}{11}}\)

Теперь посмотрим, что делать со смежными периодическими дробями.

Правило: если периодическая дробь является смешанной, то, чтобы получить обыкновенную дробь, равную ей, в числитель обыкновенной дроби необходимо записать все, что идет после запятой, а потом вычесть из этого часть между запятой и периодом, затем в знаменатель нужно записать столько цифр 9, сколько цифр в периоде, а затем столько цифр 0, сколько цифр идет перед периодом.

Звучит сложно, но на примерах все оказывается значительно проще.

Примеры:

\(\mathbf{0.3(4)=\frac{34-3}{90}=\frac{31}{90}}\)

\(\mathbf{12.2(34)=12\frac{234-2}{990}=12\frac{232}{990}=12\frac{116}{495}}\)

\(\mathbf{5.0(55)=5\frac{55-0}{990}=5\frac{55}{990}=5\frac{5}{90}=5\frac{1}{18}}\)

Теперь мы умеем переводить и периодические дроби в обыкновенные, а значит, умеем показывать, что они являются рациональными числами.

Могло сложиться обманчивое впечатление, что все уже изученные нами числа являются рациональными, мы развеем это впечатление в дополнительной информации, а пока закрепим навык переводы десятичных дробей в обыкновенные.

Оказывается, известное нам число \(\mathbf{\pi}\) не является рациональным.

Обычно мы используем не его, а его рациональные приближения, одно из самых популярных это \(\mathbf{3.14}\), данное число является конечной десятичной дробью, а соответственно, является рациональным.

Но само число \(\mathbf{\pi}\) равняется \(\mathbf{3.1415926535897932384626433832795…}\)

И оно не является рациональным.

Довольно интересно, что об этом числе знали еще в древности и даже использовали его приближения для расчетов. Однако доказать его иррациональность, то есть что оно не является рациональным), смог Иоганн Генрих Ламберт только в 1761 году.

Пифагорейцы, ученики Пифагора, еще не знали про иррациональные числа, поэтому природа числа \(\mathbf{\pi}\) их пугала.

Подробнее про иррациональные числа вы узнаете позже в школьной программе, но пока важно понимать, что рациональными числами все не ограничивается, и, если мы хотим работать с каким-то числом как с рациональным, его рациональность важно уметь доказать, чему мы научились в этом уроке.