Урок 23 Получить доступ за 75 баллов Прямая и обратная пропорциональные зависимости

На этом уроке мы рассмотрим, что такое прямая и обратная пропорциональные зависимости, научимся оформлять и решать задачи с помощью пропорции, устанавливая пропорциональную зависимость между величинами в ней, рассмотрим примеры задач на прямую и обратную пропорциональную зависимость.

Давайте сначала разберемся, что такое пропорциональность.

Пропорциональность - это зависимость двух величин друг от друга таким образом, что значение отношения этих величин остается постоянным.

Зависимость величин друг от друга может быть прямой и обратной.

Отношение между величинами описываются прямой или обратной пропорциональностью.

Прямая пропорциональность выражается так: \(\mathbf{y = kx}\)

Обратная пропорциональность выражается так: \(\mathbf{y = \frac{k}{x}}\)

где k - это число, которое называют коэффициентом пропорциональности.

x и y величины, зависящие друг от друга.

Пример

Площадь прямоугольника равна \(\mathbf{S = a \cdot b}\), где S- это площадь прямоугольника, а - длина прямоугольника, b - ширина прямоугольника.

Если один из множителей произведения - постоянная величина, то произведение прямо пропорционально второму множителю.

Если постоянно значение произведения, то множители зависят друг от друга обратно пропорционально.

По формуле видно, что площадь квадрата зависит от длины (ширины) его стороны, а длина стороны (ширина) зависит от его площади.

Какова эта зависимость, сейчас и рассмотрим.

\(\mathbf{S = a \cdot b}\)

Зависимость площади прямоугольника от длины при постоянном значении ширины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.

Зависимость площади прямоугольника от ширины при постоянном значении длины является прямо пропорциональной зависимостью этих величин.

\(\mathbf{a = \frac {S}{b}}\) или \(\mathbf{b = \frac {S}{a}}\)

Пусть одна клетка равна 1 см. Рассмотрим рисунок:

Ширина прямоугольника b постоянная величина

b = 4 см

a₁ = 6 см

Увеличим ширину прямоугольника - сторону a₁ на 1 см, получим

a₂ = 7 см

Найдем площади прямоугольников S₁ и S₂

\(\mathbf{S_{1} = a_{1} \cdot b = 6 \cdot 4 = 24}\) см²

\(\mathbf{S_{2} = a_{2} \cdot b = 7 \cdot 4 = 28}\)  см²

Вывод: при увеличении стороны прямоугольника увеличилась площадь прямоугольника.

Рассмотрим другой вариант зависимости

Зависимость одной из сторон прямоугольника от второй стороны при постоянном значении площади прямоугольника является обратно пропорциональной зависимостью. Пусть одна клетка равна 1 см

Площадь прямоугольника S постоянная величина

S = 24 см²

b₁ = 4 см

\(\mathbf{a_{1} = \frac{S}{b_{1}} = 6}\) (см)

Увеличим высоту прямоугольника- сторону прямоугольника b₁ на 2 см_, получим

b₂ = 6 см

Найдем ширину прямоугольника- сторону a₂

\(\mathbf{a_{2} = \frac{S}{b_{2}} = 4}\) (см)

Вывод: при увеличении одной стороны прямоугольника и постоянном значении площади, вторая сторона уменьшается.

Таким образом, мы подошли к основным понятиям пропорциональной зависимости. Чтобы было легко разобраться в несложных схемах ниже, мы дадим пояснение символам:

Итак:

1)    Две величины прямо пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, так же увеличивается (уменьшается) в n количество раз.

2)    Две величины обратно пропорциональны друг другу, если при увеличении (уменьшении) одной величины в n количество раз, другая величина, зависящая от первой, уменьшается (увеличивается) в n количество раз.

Примеров прямой и обратной пропорциональности множество.

Однако не все величины зависят друг от друга прямо пропорционально или обратно пропорционально, встречаются и более простые и более сложные зависимости величин.

Надо понимать, что даже если какие-нибудь две величины возрастают или убывают, то между ними не обязательно существует пропорциональная зависимость.

Например, с течением времени увеличивается возраст человека и его размер ноги, но эти величины не являются пропорциональными, так как при удвоении возраста размер ноги человека не удваивается

Алгоритм решения задач на пропорциональную зависимость состоит из нескольких основных пунктов:

1. Обозначить буквой значение неизвестной величины (чаще всего для этого выбирают латинскую букву Х)
2. Проанализировать задачу и кратко записать ее условия (краткую запись можно делать в виде таблицы или изображать в виде логической схемы)
3. Установить зависимость между величинами
4. В краткой записи задачи обозначить стрелками пропорциональную зависимость

- Стрелки, которые направлены в одну сторону, обозначают прямую пропорциональную зависимость величин

- Стрелки, которые направлены в разные стороны, обозначают обратную пропорциональную зависимость величин.

        5. Записать пропорцию, учитывая характер пропорциональности величин

        6. Составить уравнение

        7. Найти неизвестный член уравнения (искомую величину)

        8. Записать ответ задачи

Важно помнить, что при составлении краткой записи задачи величины с одинаковыми единицами измерения записывают друг под другом.

Если между величинами прямая пропорциональная зависимость, то пропорция составляется точно в соответствии с краткой записью задачи.

Если между величинами обратная пропорциональная зависимость, то при составлении пропорции одноименные величины меняются местами в одном любом из столбцов таблицы (логической схемы) краткой записи задачи.

Другими словами, при прямо пропорциональной зависимости отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.

При обратно пропорциональной зависимости отношение значений одной величины будет равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Рассмотрим некоторые варианты задач на пропорциональную зависимость, в которых величины зависят прямо пропорционально одна от другой.

Задача 1

Для приготовления из 3 кг черной смородины по рецепту требуется 3,3 кг сахара.

Сколько сахара потребуется для приготовления варенья из 5 кг черной смородины?

Решение:

Пусть х (кг) сахара потребуется для приготовления варенья из 5 кг ягод.

Составим краткую запись задачи в виде таблицы:

Определим, как зависят масса сахара и масса ягод.

Чем больше ягод, тем больше нужно сахара, следовательно, между величинами прямо пропорциональная зависимость.

В таблице вертикальными стрелками изображаем прямо пропорциональную зависимость величин.

Так как зависимость величин прямо пропорциональная, составим пропорцию в точном соответствии с таблицей.

Отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.

Получим \(\mathbf{\frac{3,3}{x} = \frac{3}{5}}\)

Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:

\(\mathbf{{3}\cdot{x} = {5}\cdot{3,3}}\)

\(\mathbf{ {x} = {(5}\cdot{3,3)}\div{3}}\)

\(\mathbf{ {x} = {5,5}}\) (кг) сахара потребуется для приготовления варенья из 5 кг ягод.

Ответ: \(\mathbf{ {x} = {5,5}}\)  (кг)

Задача 2

Автомобиль, двигаясь с постоянной скоростью, проехал 400 км за 5 часов.

За какое время автомобиль проедет 600 км?

Решение:

Пусть х (ч) – время, за которое автомобиль проедет 600 км.

Составим краткую запись задачи в виде таблицы:

Определим, как зависят величины S от t, где S - это путь, а t - это время.

Так как движение происходит с постоянной скоростью, то \(\mathbf{ {S} = {V}\cdot{t}}\).

Чем больше расстояние, тем больше требуется времени для преодоления этого расстояния, значит, зависимость между величинами S и t прямо пропорциональная.

Изображаем в таблице краткой записи задачи вертикальными стрелками прямо пропорциональную зависимость величин.

Так как зависимость величин прямо пропорциональная, составим пропорцию в точном соответствии с таблицей.

Отношение значений одной величины равно отношению соответствующих значений другой величины.

Получим \(\mathbf{\frac{5}{x} = \frac{400}{600}}\)

Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:

\(\mathbf{ {400}\cdot{x} = {5}\cdot{600}}\)

\(\mathbf{ {x} = {(5}\cdot{600)}\div{400}}\)

\(\mathbf{ {x} = {7,5}}\)   (ч) время, за которое автомобиль проедет 600 км

Ответ: \(\mathbf{ {x} = {7,5}}\)  (ч)

Примеры решения задач, в которых величины зависят обратно пропорционально одна от другой.

Задача 1

Для перевозки гравия потребовалось 42 машины грузоподъемностью 5 т.

Сколько нужно машин грузоподъемностью 7 т, чтобы перевезти тот же объем гравия?

Решение:

Пусть х (шт) - это количество машин грузоподъемностью 7 т, необходимых для перевозки груза.

Краткую запись задачи оформим в виде таблицы:

Определим, как зависят величины друг от друга.

Чем больше грузоподъемность машины, тем меньше машин потребуется для перевозки груза.

Получаем обратно пропорциональную зависимость.

Изображаем на краткой записи задачи вертикальными стрелками, направленными в разные стороны, обратно пропорциональную зависимость величин.

При обратно пропорциональной зависимости отношение значений одной величины будет равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

А это значит, что при составлении пропорции одно из отношений получится перевернутым.

Получим \(\mathbf{\frac{42}{x} = \frac{7}{5}}\)

Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:

\(\mathbf{ {7}\cdot{x} = {42}\cdot{5}}\)

\(\mathbf{ {x} = {(42}\cdot{5)}\div{7}}\)

\(\mathbf{ {x} = {30}}\) (шт.) машин грузоподъёмностью 7 т понадобится для перевозки гравия.

Ответ: \(\mathbf{ {x} = {30}}\)  (шт.)

Задача 2

Велосипедист проехал путь от дачи до дома за час со скоростью 10 км/ч. Сколько понадобится времени велосипедисту на преодоление этого пути со скоростью 20 км/ч?

Решение:

Пусть х (ч) время велосипедиста, если он будет двигаться со скоростью 20 км/ч. Составим краткую запись задачи в виде таблицы:

Определим, как зависят V и t, где V- скорость движения велосипедиста, t- время движения.

Чем больше скорость велосипедиста, тем меньше времени ему потребуется для преодоления пути.

Получаем обратно пропорциональную зависимость величин друг от друга.

Изображаем на краткой записи задачи вертикальными стрелками, направленными в разные стороны, обратно пропорциональную зависимость величин.

При обратно пропорциональной зависимости отношение значений одной величины будет равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

А это значит, при составлении пропорции одно из отношений получаем перевернутым.

Получим  \(\mathbf{\frac{x}{1} = \frac{10}{20}}\)

Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:

\(\mathbf{ {20}\cdot{x} = {10}\cdot{1}}\)

\(\mathbf{ {x} = {(10}\cdot{1)}\div{20}}\)

\(\mathbf{ {x} = {0,5}}\) (ч) время велосипедиста, если он будет двигаться со скоростью 20 км/ч.

Ответ: \(\mathbf{ {x} = {0,5}}\) (ч)