Урок 28 Бесплатно Противоположные числа

Мир вокруг нас разнообразен и противоречив. В раннем детстве родители учили нас, что хорошо, а что плохо, читали нам сказки, где было добро и зло.

Очень часто в жизни мы используем противоположные понятия, может быть даже не замечая того.

Например, большой и маленький, высокий и низкий, правда и ложь, левый и правый, верх и низ и т.п.

Все перечисленные примеры, попарно имеют прямо противоположные лексические значения. В русском языке их называют антонимами.

Давайте разберёмся, что означает слово «противоположный».

Значение слова противоположный в толковом словаре Ожегова означает «расположенный напротив».

В толковом словаре русского языка Ефремовой есть еще одно интересное толкование этого слова: «противоположный» - значит, направленный в обратную сторону.

В различных науках можно встретить огромное множество противоположностей (противоположных понятий, явлений, процессов).

Например, в химии - положительно заряженный ион (катион) и отрицательно заряженный ион (анион).

В физике - конденсация и испарение, отрицательно заряженная частица и положительно заряженная частица, в истории - война и мир, в географи и- север и юг, горы и впадины, в биологии - левая часть тела и правая часть тела и многое другое.

Является ли математика исключением? Конечно же, нет.

В математике существует не мало противоположностей: деление и умножение, четное число и нечетное число, больше и меньше, кривая и прямая, отрицательное число и положительное число.

Сегодня на уроке мы попробуем разобраться, какие числа называют противоположными, как обозначают противоположные числа, как изображают их на координатной прямой.

Выделим некоторые свойства и правила, характерные для противоположных чисел.

Противоположные числа

Вам уже известно, что положительными называют числа, которые обозначаются со знаком «+» или вообще без знака.

Отрицательными называют числа, которые обозначают со знаком «-».

На координатной прямой положительные числа обозначаются справа от точки начала отсчета - точки О, а отрицательные- слева от неё (если координатная прямая расположена горизонтально и направление слева направо).

Если же координатная прямая расположена вертикально и снизу вверх, то положительные значения откладываются выше точки О, а отрицательные - ниже.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Знаки сложения и вычитания были еще у древних египтян в виде иероглифов, похожих на ноги и направленных в разные стороны: при сложении в одну сторону, при вычитании в другую.

В начале ХV века в научных трудах европейских математиков в качестве знаков операции «плюс» и «минус» применяли латинские буквы «Р» и «М» соответственно.

В конце ХV века итальянский математик Лука Пачели вводит символы «\(\mathbf{\tilde{p}}\)» и  «\(\mathbf{\tilde{m}}\)».

В 1489 году немецкий математик Иоган Видман в своем научном трактате использует символ «+» и «-» (как minus и mer- от немецкого mehr означает «больше»).

Вместе с осознанием практической значимости отрицательных чисел встал вопрос о способе их обозначения.

В 1484 году Николя Шуке предложил перед отрицательными числами ставить знак, который в то время уже принимали в качестве знака операции вычитания «\(\mathbf{\tilde{m}}\)».

В 1489 году были введены символы «+» и минус «-», похожие на современные символы.

«+» и минус «-»

Математики перед отрицательными числами стали применять минус, но часть ученых это не одобрило, указав на то, что не стоит вводить путаницу и использовать один и тот же знак для обозначения отрицательного числа и знака математической операции вычитания.

Не согласны они были еще и с тем, что знак отрицания числа можно было перепутать со знаком тире.

Предлагались различные замены знака отрицательного числа «-» на другие. Например, выдвигались идеи изображать в виде уголков или убывающей (возрастающей) луны.

Фаркаш Бойян предложил применять для обозначения знака числа все те же «+» и «-», но с другим начертанием.

Таким образом, использование знаков «+» и «-» как знаков числа и двойное обозначение минуса закрепилось в науке и действует по сегодняшний день.

Давайте разберемся на примере, какие числа называют противоположными.

 

Пример:

Две маленькие инерционные машинки запустили с одинаковой скоростью по одной прямой.

Обе машинки за равный промежуток времени откатились на 3 м по прямой, но первая машинка откатилась вправо от места запуска, а вторая машинка влево от места запуска.

Изобразим координатную прямую и отметим на ней координаты точек остановки этих двух машинок.

Точка О - это место запуска машинок, точка начала отсчета.

Единичный отрезок координатной прямой равен 1 делению - метру.

Вправо откладываем координату первой машинки А (+3)

Влево откладываем координату второй машинки А(-3)

Мы можем заметить, что обе машинки проехали равный путь, так как координаты А (+3) и А(-3) удалены от точки отсчета на одинаковые расстояния, но по разные стороны от точки О.

Следовательно, числа +3 и -3 будут противоположными.

Два числа называются противоположными, если соответствующие им точки на координатной прямой расположены по разные стороны от точки начала отсчета и на одинаковом расстоянии от нее.

Таким образом, можно сказать, что:

Два числа, отличные друг от друга только знаками, называются противоположными числами.

Как вы успели заметить, чтобы обозначить число, противоположное данному, нужно это число записать со знаком минус «-».

В буквенном выражении это выглядит так: «-a - это число противоположное числу a».

Приведем примеры:

+3,5 и -3,5 являются противоположными

\(\mathbf{+\frac{3}{4}\ и \ -\frac{3}{4}}\) являются противоположными

\(\mathbf{1\frac{8}{13}\ и \ -1\frac{8}{13}}\) являются противоположными

-2 и 2 являются противоположными

-0,5 и 0,5 являются противоположными

-2 и +5 не являются противоположными (так как числа различны не только по знаку, но и по числовому значению).

6,3 и -6 не являются противоположными (так как числа различны не только по знаку, но и по числовому значению). 

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Свойства и правила, характерные для противоположных чисел

1. Число, противоположное положительному, - отрицательное, а число, противоположное отрицательному, - положительное.

Таким образом, знак минус «-» показывает противоположность числа.

Чтобы обозначить число, противоположное а, достаточно поставить перед ним знак минус «-», получим -а.

Число, противоположное числу -а, есть само число а. В буквенном выражении записывают так:

-(-а) = а

Первый минус, читая запись, заменяют словами «Число, противоположное числу …».

Приведем пример:

-(-b) = b

-(-6,1) = 6,1

-(-4/5) = 4/5

 

2. Число ноль противоположно самому себе.

 

3. Для каждого действительного числа есть единственное противоположное число.

Так как для конкретной точки координатной прямой соответствует единственное действительное число.

 

4. Противоположные числа имеют свойство симметричности, то есть если число а противоположно числу b, то и число b противоположно числу а.

Приведем пример:

-7 противоположно числу 7

И верно, что 7 противоположно -7

 

5. Числа, которые используют для счета предметов, называют натуральными числами, множество натуральных чисел обозначают N = {1, 2, 3, 4, … 100, …}

Для чисел противоположных натуральным не стали придумывать определенного названия, но если рассматривать в совокупности все натуральные числа и все противоположные натуральным числа и ноль, то такие числа называют целые числа.

Множество целых чисел обозначается: Z = {…, -100 …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … 100, …}

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Наглядным примером применения противоположных чисел в жизни является термометр жидкостный (спиртовой), который используется в метрологии.

Подобный термометр возможно применять при высоких и низких температурах, так как рабочим веществом в нем является этиловый спирт (температура замерзания ниже -100\(^\circ\)C).

Рабочее положение термометра - вертикальное.

Подобно вертикальной координатной прямой, на термометр нанесена шкала с делениями.

Задан единичный отрезок (цена деления прибора) и точка отсчета.

За точку отсчета по шкале Цельсия (шкала названа в честь шведского ученого Андерса Цельсия) выбрана температура замерзания воды- это 0\(^\circ\)C.

Все, что выше точки отсчета (температуры замерзания воды), - положительные значения (высокие температуры).

Все, что ниже, обозначаются отрицательными значениями (низкие температуры).

Приведем пример:

Является ли температуры 20\(^\circ\)C и -20\(^\circ\)C противоположными по значению?

противоположные

Отметка 20\(^\circ\)будет располагаться выше точки отсчета 0\(^\circ\)C, т.к. это положительное температурное значение, означает 20\(^\circ\)C тепла.

Отметка -20\(^\circ\)будет располагаться ниже точки отсчета 0\(^\circ\)C, т.к. это отрицательное температурное значение, означает 20\(^\circ\)C холода.

А мы знаем, что два числа называются противоположными, если соответствующие им точки на координатной прямой расположены по разные стороны от точки начала отсчета и на одинаковом расстоянии от нее, значит:

значение 20\(^\circ\)C является противоположным значению -20\(^\circ\)C, соответственно значение 20\(^\circ\)C является противоположным значению -20\(^\circ\)C

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Заключительный тест

Пройти тест