Урок 28 Получить доступ за 75 баллов Противоположные числа

Мир вокруг нас разнообразен и противоречив. В раннем детстве родители учили нас, что хорошо, а что плохо, читали нам сказки, где было добро и зло.

Очень часто в жизни мы используем противоположные понятия, может быть даже не замечая того.

Например, большой и маленький, высокий и низкий, правда и ложь, левый и правый, верх и низ и т.п.

Все перечисленные примеры, попарно имеют прямо противоположные лексические значения. В русском языке их называют антонимами.

Давайте разберёмся, что означает слово «противоположный».

Значение слова противоположный в толковом словаре Ожегова означает «расположенный напротив».

В толковом словаре русского языка Ефремовой есть еще одно интересное толкование этого слова: «противоположный» - значит, направленный в обратную сторону.

В различных науках можно встретить огромное множество противоположностей (противоположных понятий, явлений, процессов).

Например, в химии - положительно заряженный ион (катион) и отрицательно заряженный ион (анион).

В физике - конденсация и испарение, отрицательно заряженная частица и положительно заряженная частица, в истории - война и мир, в географи и- север и юг, горы и впадины, в биологии - левая часть тела и правая часть тела и многое другое.

Является ли математика исключением? Конечно же, нет.

В математике существует не мало противоположностей: деление и умножение, четное число и нечетное число, больше и меньше, кривая и прямая, отрицательное число и положительное число.

Сегодня на уроке мы попробуем разобраться, какие числа называют противоположными, как обозначают противоположные числа, как изображают их на координатной прямой.

Выделим некоторые свойства и правила, характерные для противоположных чисел.

Вам уже известно, что положительными называют числа, которые обозначаются со знаком «+» или вообще без знака.

Отрицательными называют числа, которые обозначают со знаком «-».

На координатной прямой положительные числа обозначаются справа от точки начала отсчета - точки О, а отрицательные- слева от неё (если координатная прямая расположена горизонтально и направление слева направо).

Если же координатная прямая расположена вертикально и снизу вверх, то положительные значения откладываются выше точки О, а отрицательные - ниже.

Давайте разберемся на примере, какие числа называют противоположными.

Пример:

Две маленькие инерционные машинки запустили с одинаковой скоростью по одной прямой.

Обе машинки за равный промежуток времени откатились на 3 м по прямой, но первая машинка откатилась вправо от места запуска, а вторая машинка влево от места запуска.

Изобразим координатную прямую и отметим на ней координаты точек остановки этих двух машинок.

Точка О - это место запуска машинок, точка начала отсчета.

Единичный отрезок координатной прямой равен 1 делению - 1 метру.

Вправо откладываем координату первой машинки А (+3)

Влево откладываем координату второй машинки А₁ (-3)

Мы можем заметить, что обе машинки проехали равный путь, так как координаты А (+3) и А₁ (-3) удалены от точки отсчета на одинаковые расстояния, но по разные стороны от точки О.

Следовательно, числа +3 и -3 будут противоположными.

Два числа называются противоположными, если соответствующие им точки на координатной прямой расположены по разные стороны от точки начала отсчета и на одинаковом расстоянии от нее.

Таким образом, можно сказать, что:

Два числа, отличные друг от друга только знаками, называются противоположными числами.

Как вы успели заметить, чтобы обозначить число, противоположное данному, нужно это число записать со знаком минус «-».

В буквенном выражении это выглядит так: «-a - это число противоположное числу a».

Приведем примеры:

+3,5 и -3,5 являются противоположными

\(\mathbf{+\frac{3}{4}\ и \ -\frac{3}{4}}\) являются противоположными

\(\mathbf{1\frac{8}{13}\ и \ -1\frac{8}{13}}\) являются противоположными

-2 и 2 являются противоположными

-0,5 и 0,5 являются противоположными

-2 и +5 не являются противоположными (так как числа различны не только по знаку, но и по числовому значению).

6,3 и -6 не являются противоположными (так как числа различны не только по знаку, но и по числовому значению). 

1. Число, противоположное положительному, - отрицательное, а число, противоположное отрицательному, - положительное.

Таким образом, знак минус «-» показывает противоположность числа.

Чтобы обозначить число, противоположное а, достаточно поставить перед ним знак минус «-», получим -а.

Число, противоположное числу -а, есть само число а. В буквенном выражении записывают так:

-(-а) = а

Первый минус, читая запись, заменяют словами «Число, противоположное числу -а…».

Приведем пример:

-(-b) = b

-(-6,1) = 6,1

-(-4/5) = 4/5

2. Число ноль противоположно самому себе.

3. Для каждого действительного числа есть единственное противоположное число.

Так как для конкретной точки координатной прямой соответствует единственное действительное число.

4. Противоположные числа имеют свойство симметричности, то есть если число а противоположно числу b, то и число b противоположно числу а.

Приведем пример:

-7 противоположно числу 7

И верно, что 7 противоположно -7

5. Числа, которые используют для счета предметов, называют натуральными числами, множество натуральных чисел обозначают N = {1, 2, 3, 4, … 100, …}

Для чисел противоположных натуральным не стали придумывать определенного названия, но если рассматривать в совокупности все натуральные числа и все противоположные натуральным числа и ноль, то такие числа называют целые числа.

Множество целых чисел обозначается: Z = {…, -100 …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, … 100, …}