Урок 4 Бесплатно Простые и составные числа

На этом уроке мы познакомимся с двумя видами чисел. Они будут различаться количеством делителей.

Также узнаем, как можно разложить составное число на простые числа, изучим основную теорему арифметики и увидим решето Эратосфена.

Давайте же начнём!

Простые и составные числа

Если мы попытаемся разделить число 11 на какие-нибудь числа без остатка, то у нас получится это сделать только если будем делить на 1 или на 11.

Получается, что число 11 имеет только два делителя: 1 и 11

Если мы поступим так же с числами 9 и 18, то узнаем, что у числа 9 три делителя: 1, 3 и 9, а число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9 и 18

Первое число, у которого всего два делителя-  это простое число. А вот числа, как 9 и 18, называют составными числами.

 

Натуральное число простое, если оно имеет делителями только единицу и само себя.

Если натуральное число имеет больше двух делителей, то оно называется составным.

 

Есть число, которое не относится ни к первым, ни ко вторым. Это число 1. Оно имеет всего один делитель- само это число.

Таким образом, числа, которые мы используем при счете, в итоге можно разделить на три разные группы по количеству делителей:

  • простые- имеют всегда пару делителей: единицу и само себя, например: 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19, 23 и т.д.
  • составные- имеют всегда три или больше делителей, например: 4, 6, 8,10,15, 22 и т.д.
  • единица (1) со своим единственным делителем

 

Пример 1

Даны числа: 1, 7, 10, 12, 13, 24. Найдите все делители для каждого из чисел. Выпишите числа, имеющие:

А) один делитель

Б) два делителя

В) больше двух делителей

Решение:

Число 1 имеет один делитель: 1

Число 7 имеет два делителя: 1, 7

Число 10 имеет четыре делителя: 1, 2, 5, 10

Число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Число 13 имеет два делителя: 1, 13

Число 24 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Ответ: 

А) один делитель- 1

Б) два делителя- 7, 13

В) больше двух делителей- 10, 12, 24

 

Таким образом, числа 7 и 13 являются простыми, потому что имеют по два делителя.

Числа 10, 12, 24 являются составными, потому что имеют больше двух делителей.

 

Пример 2

Даны числа: 2, 4, 17, 21, 28, 30, 42, 55, 127. Какие из них простые, а какие составные?

Найдите все делители для составных чисел.

Решение:

Простые- 2, 17, 127

Составные- 4, 21, 28, 30, 42, 55

 

Число 4 имеет три делителя: 1, 2, 4

Число 21 имеет четыре делителя: 1, 3, 7, 21

Число 28 имеет шесть делителей: 1, 2, 4, 7, 14, 28

Число 30 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30

Число 42 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42

Число 55 имеет четыре делителя: 1, 5, 11, 55

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Простые и составные числа с древнейших времён интересовали разных учёных. Например, древнегреческий учёный Эратосфен (276- 194 гг. до н.э.) занимался вопросом таких чисел.

Он был главой Александрийской библиотеки и в его работах появились первые факты математической географии, вычисления величины земного шара с достаточно для того времени хорошей точностью.

Для своих вычислений он создал довольно простой способ, который использовался для исследования простых чисел и дошел до нашего времени без изменений. Этот способ назвали «Решето Эратосфена».

Пусть перед нами стоит задача нахождения простых чисел от 1 до 100 включительно.

Распишем все эти числа в квадрате 10 на 10.

После этого начинаем зачеркивать те, которые делятся на 2, потом на 3, потом на 5 (на 4 не берем, ведь они уже будут зачёркнуты, когда мы будем зачеркивать делящиеся на 2), потом на 7 и… всё!

Больше зачеркивать ничего не нужно, так как дальше работает доказанное правило- оставшиеся числа в таблице будут простыми.

Почему вдруг такую таблицу назвали решетом?

Получается вот что: мы убираем числа, потом повторяем с оставшимися числами, и то, что будет не зачёркнуто, как бы напоминает то, что ОСТАЕТСЯ В РЕШЕТЕ.

Если внимательно посмотреть на табличку, то можно увидеть что все вычеркнутые стоят на прямых линиях. А кто видел решето тот знает, что оно состоит из нитей, натянутых в виде прямых. Значит, можно построить такое решето просто проводя прямую в тех местах, где число нужно вычеркнуть – вот и все. Поэтому мы и получаем подобие решета…

Те немногие числа, которые остались не зачёркнутыми, - простые.

Решето Эратосфена работает по подобию простой вычислительной машины. И, значит, еще очень давно, была изобретена СЧЕТНАЯ МАШИНА.

На сегодняшний день не существует формулы получения любого простого числа, зато еще с древности известно решето Эратосфена. Всё гениальное просто- как говорится в известном афоризме.

На числовой прямой простые числа не имеют никакой закономерности, стоят в хаотичном порядке. Но если мы соберем числовую прямую в решето Эратосфена большого размера, мы их все просеем через него и соберем, без исключения и потерь.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Основная теорема арифметики

Натуральное число можно представить в виде произведения простых чисел.

Такое разложение будет единственным и может отличаться только порядком множителей.

Это понятие носит название основной теоремы арифметики и используется очень часто.

Посмотрим на примерах, как всё тут работает.

Разложить 6 можно двумя способами, расположив по-разному простые множители: 3 умножить на 2 или 2 умножить на 3

\(\mathbf{6 = 3\cdot2 = 2\cdot3}\)

Если попытаемся разложить число 48 на простые множители, то  получим:

\(\mathbf{48 = 2\cdot24 = 2\cdot2\cdot12 = 2\cdot2\cdot2\cdot6= 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3}\)

Чтобы всё сделать правильно при разложении, нужно выделить простой множитель, с оставшимся числом поступить так же и повторять действия, пока не получатся все простые множители.

Посмотрим еще один пример и возьмем 122

Это число делится без остатка на два, так как оно чётное, получаем 61. Шестьдесят один- это простое число (можно убедиться на решете Эратосфена).

Таким образом, разложение числа 122 на простые множители выглядит так:

\(\mathbf{122 = 2\cdot61}\)

 

Возьмем еще большее число, к примеру 462. При разложении на простые множители, получим:

\(\mathbf{462 = 2\cdot3\cdot7\cdot11}\)

Бывают такие случаи, когда в числовом ряду простые числа стоят через одно составное. Рядом они стоять не могут, ведь каждое второе число будет чётным, значит оно уже не будет являться простым.

Если простые числа стоят через одно составное, например 3 и 5 или 71 и 73, или 461 и 463, то они называются «близнецами».

С развитием вычислительной техники было доказано, что простые числа с увеличением располагаются всё дальше друг от друга. Это создаёт проблему при поиске каждого нового простого числа.

 

Пример 1

Используя основную теорему арифметики, разложите на простые множители числа 72, 228, 896, 994, 105, 98

Решение:

$$\mathbf{72 = 8\cdot9=4\cdot2\cdot3\cdot3=2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot3}$$

$$\mathbf{228= 12\cdot19 = 4\cdot3\cdot19=2\cdot2\cdot3\cdot19}$$

$$\mathbf{896 = 64\cdot14 = 4\cdot16\cdot2\cdot7= 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot7}$$

$$\mathbf{994 = 2\cdot7\cdot71}$$

$$\mathbf{105= 3\cdot5\cdot7}$$

$$\mathbf{98 = 2\cdot14 =2\cdot2\cdot7}$$

 

Пример 2

Сколько делителей имеет каждое из чисел: 31, 25, 100, 189, 325, 558, 194?

Решение:

Число 31 имеет два делителя: 1, 31

Число 25 имеет три делителя: 1, 5, 25

Число 100 имеет девять делителей: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

Число 189 имеет восемь делителей: 1, 3, 7, 9, 21, 27, 63, 189

Число 325 имеет шесть делителей: 1, 5, 13, 25, 65, 325

Число 558 имеет двенадцать делителей: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 31, 62, 93, 186, 279, 558

Число 194 имеет четыре делителя: 1, 2, 97, 194

 

Пример 3

Какое из чисел 129, 565, 441, 70, 237, 816 имеет самое большое количество делителей?

Решение:

Число 129 имеет четыре делителя: 1, 3, 43, 129

Число 565 имеет четыре делителя: 1, 5, 113, 565

Число 441 имеет девять делителей: 1, 3, 7, 9, 21, 49, 63, 147, 441

Число 70 имеет восемь делителей: 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70

Число 237 имеет четыре делителя: 1, 3, 79, 237

Число 816 имеет двадцать делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 17, 24, 34, 48, 51, 68, 102, 136, 204, 272, 408, 816

Самое большое количество делителей имеет число 816

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Перед вами кусочек таблицы простых чисел до 1000. По ней можно увидеть, что единственное простое чётное число это двойка.

На самом деле простых чисел гораздо больше и самое большое из найдённых на данный момент содержит 23 249 425 десятичных цифр. Вдумайтесь, больше 23 миллионов цифр в записи числа!

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Интересная информация

В глубокой древности началось изучение так называемых совершенных и дружественных чисел.

Некоторые из учёных пытались выражать на языке чисел всё, что наблюдали вокруг себя. Даже не математические понятия дружбы, справедливости и совершенства переводились на язык чисел.

Если число равно сумме всех возможных делителей, без него самого, то оно называется совершенным.

Например, самыми элементарными из них будут 6 и 28:

6 = 1 + 2 + 3,

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Если сумма всех возможных делителей числа (кроме него самого) равна второму числу, а сумма всех возможных делителей второго (без него самого) равна первому, то это уже дружественные числа.

Если верить историческим фактам, математик Пифагор считал, что его другом может быть «тот, кто является моим вторым Я, как числа 220 и 284»

Список делителей для 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, сумма делителей равна 284

Список делителей для 284: 1, 2, 4, 71 и 142, сумма делителей равна 220.

Пару дружественных чисел 1184 и 1210 обнаружил в 1866г. итальянский школьник- Никколо Паганини- полный тёзка великого скрипача.

Любопытно, что эту пару «проглядели» все великие математики.

Заключительный тест

Пройти тест