Урок 2 Бесплатно Признаки делимости на 10, на 5 и на 2

В этом уроке мы познакомимся с признаками делимости, узнаем, как определить делится ли число на 2, на 5 или на 10

Мы изучим правило, которое позволит без деления, по внешнему виду числа узнать, будет ли оно делиться на другое число без остатка.

Некоторые из признаков делимости были известны с древних времен, например, признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10

Некоторые из них использовали в Египте еще 4000 лет назад.

Итальянский математик Леонардо Фибоначчи (1170-1228) в своих работах подробно описал признаки делимости на 2, 3 и 5.

Натурально число, в записи которого последняя цифра 0, делится на 10 без остатка.

Для этого нужно всего лишь отбросить этот 0.

Например, 150 делится на 10 без остатка, так как 150 : 10 = 15

Если же возьмем 154 и поделим на 10, то получим неполное частное 15 и в остатке 4

То есть, если на конце числа стоит не 0, а любая другая цифра, тогда это число на 10 без остатка не делится.

Если натуральное число на конце содержит 0, то оно точно делится на 10

Если же на конце натурального числа любая другая цифра, но на 10 оно без остатка не делится!

Остаток в этом случае равен последней цифре числа.

Пример 1

Вася принес несколько упаковок печенья, по 10 штук в каждой упаковке.

Может ли быть так, что он принес всего 123 штуки печенья? 105 штук печенья? 70 штук печенья?

Решение:

123 : 10 = 12 (остаток 3)- значит, столько штук не может быть, так как по условию в упаковке содержится 10 штук печенья и количество упаковок - целое число.

105 : 10 = 10 (остаток 5)- значит, столько штук не может быть, так как по условию в упаковке содержится 10 штук печенья и количество упаковок - целое число.

70 : 10 = 7- значит, столько штук Вася мог принести в пачках, так как по условию количество упаковок - целое число.

Пример 2

Можно ли, используя только цифры 1, 3, 5 записать число, делящееся на 10?

Решение:

Нет, так как неважно, какое число мы составим, всё равно на конце не будет 0, так как среди указанных цифр нет 0.

Число 10 это сумма двух пятёрок, или можно записать так: \(\mathbf{10=2\cdot5}\)

Получается, что 10 делится нацело на пять.

Какое бы мы не взяли число, его всегда можно разложить на сумму десятков и единиц, например:

347 = 340 + 7

1735 = 1730 + 5

Любые десятки всегда делятся на 5, ведь они оканчиваются на ноль.

Значит, делимость всего числа на 5 будет зависеть от единиц: если единицы делятся на 5, то и всё число целиком будет делиться на 5.

Это работает, если в разряде единиц стоит 5 или 0

Например, 1895 делится нацело на 5, ведь в разряде единиц стоит пятёрка.

Если в записи натурального числа в разряде единиц стоит 0 или 5, такое число делится на 5 без остатка.

Если же в разряде единиц стоит любая другая цифра, то при делении на 5 обязательно получится остаток.

Пример 1

Купили пять одинаковых коробок ручек.

Может ли быть в них всего: 47 ручек? 15 ручек? 32 ручки?

Решение:

47 : 5 = 9 (остаток 2)- значит, столько ручек не может быть

15 : 5 = 3- значит, по 3 ручки в каждой из 5 коробок

32 : 5 = 6 (остаток 2)- значит, столько ручек не может быть

Пример 2

Можно ли, используя только цифры 3, 8, 5, записать число, делящееся на 5?

Решение:

Не всегда. Можно, если в разряд единиц поставить 5, например, 385 или 835

Число 10 можно разложить на пять двоек.

 \(\mathbf{10=5\cdot2}\)

Это означает, что десять всегда делится нацело на 2.

Если натуральное число делится нацело на 2, оно называется чётным.

Если же появляется остаток 1, тогда такое число называют нечётным.

Из однозначных чисел числа 0, 2, 4, 6 и 8 чётны, а числа 1, 3, 5, 7 и 9 нечётны.

Поэтому и цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют чётными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9- нечётными.

Полный десяток всегда является чётным числом, т.к. делится на 2 без остатка.

Если в разряде единиц стоит чётная цифра, значит, число будет чётным.

И наоборот, если в разряде единиц стоит нечётная цифра, то и само число будет нечётным.

Довольно легко запомнить!

Когда в записи натурального числа на конце стоит чётная цифра, то такое число чётное (делится нацело на 2), а если в записи числа на конце стоит нечётная цифра, то это число нечётное.

Например, числа:

2, 88, 174, 2374 четные

3, 37, 541, 2391 нечетные

Пример 1

Можно ли, используя только цифры 2, 3, 4, 5, 7, записать число, делящееся на 2?

Решение:

Не всегда. Можно, если в разряд единиц поставить 2 или 4, например: 32574 или 73542

Можно придумать и другие числа, меняя местами предложенные цифры, но всегда в разряде единиц должны стоять четные.

Пример 2

Найдите среди чисел 154, 161, 174, 178, 191, 315, 320, 346, 425, 475 числа, кратные 2

Решение:

По признаку делимости на 2, нам надо выбрать только четные числа.

Значит, выбираем 154, 174, 178, 320, 346

Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662)

Ему принадлежит так называемый признак Паска́ля - метод, позволяющий получить признаки делимости на любое число, это своего рода «универсальный признак делимости».

Например, был получен интересный факт, с помощью которого научились определять, делится ли число на 11 (то есть получили признак делимости на 11).

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11.

Например, число 182919 делится на 11, так как 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 делится на 11

То есть мы последовательно перебираем цифры числа, чередуя знаки плюс и минус, затем считаем итог и смотрим, делится ли он на 11.

Если да, то и исходное число делится на 11.

С помощью признака Паскаля был получен и признак делимости на 7.

Не будем вдаваться в тонкости, распишем кратко, как он работает:

для любого числа 

$$\mathbf{...a_8a_7a_6a_5a_4a_3a_2a_1}$$

его остаток от деления на 7 равен

 $$\mathbf{a_1+3\cdot{a_2}+2\cdot{a_3}+6\cdot{a_4}+4\cdot{a_5}+5\cdot{a_6}+a_7+3\cdot{a_8}+...}$$

Многоточие в конце означает, что дальше будет повторение множителей,  а \(\textbf{a}_\textbf{1}\), \(\textbf{a}_\textbf{2}\)и другие это любые цифры от 0 до до 9

Кажется сложным, но давайте попробуем.

Проверим, делится ли число 48916 на 7

Используем наше правило и берем цифры с конца, умножая где нужно на число из формулы выше

\(\mathbf{6+3\cdot1+2\cdot9+6\cdot8+4\cdot4=6+3+18+48+16=91}\)

91 делится на 7 (можете проверить сами, разделив уголком)

Значит 48916 делится на 7