Урок 10 Бесплатно Приведение дробей к общему знаменателю

В этом уроке мы с вами научимся приводить дроби к одинаковому знаменателю. Это очень полезные приёмы, которые пригодятся в дальнейшем даже на экзамене в 9 классе. Поэтому будьте внимательны и изучайте материал, ничего не пропуская!

Приведение дробей к общему знаменателю

Умножим числитель и знаменатель дроби \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) на одно и то же число 2. Получим равную ей дробь \(\mathbf{\frac{6}{8}}\), т.е. \(\mathbf{\frac{3}{4} = \frac{6}{8}}\).

Говорят, что мы привели дробь \(\mathbf{\frac{3}{4}}\)  к новому знаменателю 8.

Дробь можно привести к любому знаменателю, кратному знаменателю этой дроби.

Число, на которое надо умножить знаменатель дроби, чтобы получить новый знаменатель, называют дополнительным множителем.

При приведении дроби к новому знаменателю ее числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель.

 

Пример 1

Приведем дробь \(\mathbf{\frac{4}{5}}\) к знаменателю 20

Решение:

Число 20 кратно 5, так как 20 : 5 = 4

Дополнительным множителем является число 4

Умножим числитель и знаменатель дроби на 4, получим \(\mathbf{\frac{4}{5} = \frac{4\cdot4}{5\cdot4} = \frac{16}{20}}\)

Любые две дроби можно привести к одному и тому же знаменателю, или, иначе, к общему знаменателю.

 

Пример 2

Приведите дробь:

А) \(\mathbf{\frac{7}{15}}\) к знаменателю 60

Б) \(\mathbf{\frac{4}{9}}\) к знаменателю 27

В) \(\mathbf{\frac{5}{7}}\) к знаменателю 42

Г) \(\mathbf{\frac{6}{11}}\) к знаменателю 44

Решение:

А) \(\mathbf{\frac{7}{15} = \frac{7\cdot4}{15\cdot4} = \frac{28}{60}}\)

Б) \(\mathbf{\frac{4}{9} = \frac{4\cdot3}{9\cdot3} = \frac{12}{27}}\)

В) \(\mathbf{\frac{5}{7} = \frac{5\cdot6}{7\cdot6} = \frac{30}{42}}\)

Г) \(\mathbf{\frac{6}{11} = \frac{6\cdot4}{11\cdot4} = \frac{24}{44}}\)

 

Пример 3

Сколько содержится:

А) восьмых в \(\mathbf{\frac{3}{4}}\)

Б) десятых в \(\mathbf{\frac{3}{5}}\)

В) пятнадцатых в \(\mathbf{\frac{7}{5}}\)

Г) сотых в \(\mathbf{\frac{1}{4}}\)

Решение:

А) \(\mathbf{\frac{3}{4} = \frac{3\cdot2}{4\cdot2} = \frac{6}{8}}\)

Б) \(\mathbf{\frac{3}{5} = \frac{3\cdot2}{5\cdot2} = \frac{6}{10}}\)

В) \(\mathbf{\frac{7}{5} = \frac{7\cdot3}{5\cdot3} = \frac{21}{15}}\)

Г) \(\mathbf{\frac{1}{4} = \frac{1\cdot25}{4\cdot25} = \frac{25}{100}}\)

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Понятие общего знаменателя очень часто используется при решении математических задач.

Так как дроби отражают части чего-то целого, то приведение их к общему знаменателю позволяет сравнить эти части.

Таким образом мы узнаем, какая из них меньше или больше, сможем провести дальнейшее решение задачи или сразу дать ответ на поставленный вопрос.

Например, если мы захотим сравнить половину яблока и две трети яблока, в ход пойдёт сравнение двух дробей: \(\mathbf{\frac{1}{2}}\) и \(\mathbf{\frac{2}{3}}\)

После того, как мы приведём их к общему знаменателю, получим:

\(\mathbf{\frac{3}{6}}\) и \(\mathbf{\frac{4}{6}}\)

Отсюда уже видно, что две трети яблока будут больше, чем его половина. Общий знаменатель- очень полезен в данном случае.

1

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

Общим знаменателем дробей может быть любое общее кратное их знаменателей (например, произведение знаменателей).

Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.

 

Пример 1

Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) и \(\mathbf{\frac{5}{6}}\)

Решение:

Наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является 12

Чтобы привести дробь \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) к знаменателю 12, надо умножить числитель и знаменатель этой дроби на дополнительный множитель 3 (12 : 4 = 3)

Получим \(\mathbf{\frac{3}{4} = \frac{3\cdot3}{4\cdot3} = \frac{9}{12}}\)

Чтобы привести дробь \(\mathbf{\frac{5}{6}}\) к знаменателю 12, надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на дополнительный множитель 2 (12 : 6 = 2)

Получим \(\mathbf{\frac{5}{6} = \frac{5\cdot2}{6\cdot2} = \frac{10}{12}}\)

Итак, \(\mathbf{\frac{3}{4} = \frac{9}{12}}\), а \(\mathbf{\frac{5}{6} = \frac{10}{12}}\)

 

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

  1. найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем
  2. разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т.е. найти для каждой дроби дополнительный множитель
  3. умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель

В сложных случаях наименьший общий знаменатель и дополнительные множители находят с помощью разложения на простые множители.

 

Пример 2

Приведем дроби \(\mathbf{\frac{11}{60}}\) и \(\mathbf{\frac{31}{168}}\) к наименьшему общему знаменателю.

Решение:

Разложим знаменатели данных дробей на простые множители:

\(\mathbf{60 = 2\cdot2\cdot3\cdot5}\)

\(\mathbf{168 = 2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot7}\)

Найдем наименьший общий знаменатель: \(\mathbf{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot7 = 840}\)

Дополнительными множителями для дроби \(\mathbf{\frac{11}{60}}\) является произведение \(\mathbf{2\cdot7}\), т.е. тех множителей, которые надо добавить к разложению числа 60, чтобы получить разложение общего знаменателя 840

Поэтому \(\mathbf{\frac{11}{60} = \frac{11\cdot2\cdot7}{60\cdot2\cdot7} = \frac{154}{840}}\)

Для дроби \(\mathbf{\frac{31}{168}}\) таким же способом находим дополнительный множитель 5

Значит, \(\mathbf{\frac{31}{168} = \frac{31\cdot5}{168\cdot5} = \frac{155}{840}}\)

 

Пример 3

Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

А) \(\mathbf{\frac{1}{3}}\) и \(\mathbf{\frac{2}{9}}\)

Б) \(\mathbf{\frac{1}{9}}\) и \(\mathbf{\frac{7}{30}}\)

В) \(\mathbf{\frac{1}{10}}\) и \(\mathbf{\frac{3}{4}}\)

Г) \(\mathbf{\frac{8}{15}}\) и \(\mathbf{\frac{7}{12}}\)

Решение:

А)

\(\mathbf{НОК (3;9) = 9}\)

\(\mathbf{\frac{1}{3} = \frac{1\cdot3}{3\cdot3} = \frac{3}{9}}\)

\(\mathbf{\frac{2}{9} = \frac{2\cdot1}{9\cdot1} = \frac{2}{9}}\)

Б)

\(\mathbf{НОК (9;30) = 90}\)

\(\mathbf{\frac{1}{9} = \frac{1\cdot10}{9\cdot10} = \frac{10}{90}}\)

\(\mathbf{\frac{7}{30} = \frac{7\cdot3}{30\cdot3} = \frac{21}{90}}\)

В)

\(\mathbf{НОК (10;4) = 20}\)

\(\mathbf{\frac{1}{10} = \frac{1\cdot2}{10\cdot2} = \frac{2}{20}}\)

\(\mathbf{\frac{3}{4} = \frac{3\cdot5}{4\cdot5} = \frac{15}{20}}\)

Г)

\(\mathbf{НОК (15;12) = 60}\)

\(\mathbf{\frac{8}{15} = \frac{8\cdot4}{15\cdot4} = \frac{32}{60}}\)

\(\mathbf{\frac{7}{12} = \frac{7\cdot5}{12\cdot5} = \frac{35}{60}}\)

 

Пример 4

Приведите дроби к общему знаменателю и сравните их:

А) \(\mathbf{\frac{2}{3}}\) и \(\mathbf{\frac{5}{7}}\)

Б) \(\mathbf{\frac{2}{5}}\) и \(\mathbf{\frac{1}{6}}\)

Решение:

А)

\(\mathbf{НОК (3;7) = 21}\)

\(\mathbf{\frac{2}{3} = \frac{2\cdot7}{3\cdot7} = \frac{14}{21}}\)

\(\mathbf{\frac{5}{7} = \frac{5\cdot3}{7\cdot3} = \frac{15}{21}}\)

\(\mathbf{\frac{14}{21} < \frac{15}{21}}\)

Б)

\(\mathbf{НОК (5;6) = 30}\)

\(\mathbf{\frac{2}{5} = \frac{2\cdot6}{5\cdot6} = \frac{12}{30}}\)

\(\mathbf{\frac{1}{6} = \frac{1\cdot5}{6\cdot5} = \frac{5}{30}}\)

\(\mathbf{\frac{12}{30} > \frac{5}{30}}\)

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Наименьший общий знаменатель используется при решении задач, требующих ввода неизвестных величин.

Например, в уравнениях или неравенствах. Не всегда в таком случае дробь будет состоять только из чисел, но даже и в таком случае можно будет найти общий знаменатель и наименьший.

Для дробей \(\mathbf{\frac{2}{x-2}}\) и \(\mathbf{\frac{x-3}{x+2}}\) общим знаменателем будет \(\mathbf{\frac{x-2}{x+2}}\), то есть произведение их знаменателей.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Интересная информация

Ранее калькуляторы могли выполнять лишь простые вычисления, требующие простых математических операций: умножения, сложения, вычитания и деления.

С развитием техники и технологий задачи усложнялись, а калькуляторы получали новые функции.

На данный момент существует возможность вычисления с помощью калькулятора наименьшего общего знаменателя нескольких дробей и даже получения упрощённого вида с общим знаменателем.

Достаточно написать дроби в таком виде: 1/2, то есть через косую черту, поставить между дробями запятые и нажать кнопку. Всё быстро посчитается и можно себя проверить- верно ли был решён пример.

Умение самостоятельно считать наименьший общий знаменатель должно быть у каждого, особенно если калькулятора поблизости может не оказаться.

Заключительный тест

Пройти тест