Урок 10 Получить доступ за 75 баллов Приведение дробей к общему знаменателю

В этом уроке мы с вами научимся приводить дроби к одинаковому знаменателю. Это очень полезные приёмы, которые пригодятся в дальнейшем даже на экзамене в 9 классе. Поэтому будьте внимательны и изучайте материал, ничего не пропуская!

Умножим числитель и знаменатель дроби \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) на одно и то же число 2. Получим равную ей дробь \(\mathbf{\frac{6}{8}}\), т.е. \(\mathbf{\frac{3}{4} = \frac{6}{8}}\).

Говорят, что мы привели дробь \(\mathbf{\frac{3}{4}}\)  к новому знаменателю 8.

Дробь можно привести к любому знаменателю, кратному знаменателю этой дроби.

Число, на которое надо умножить знаменатель дроби, чтобы получить новый знаменатель, называют дополнительным множителем.

При приведении дроби к новому знаменателю ее числитель и знаменатель умножают на дополнительный множитель.

Пример 1

Приведем дробь \(\mathbf{\frac{4}{5}}\) к знаменателю 20

Решение:

Число 20 кратно 5, так как 20 : 5 = 4

Дополнительным множителем является число 4.

Умножив числитель и знаменатель дроби на 4, получим \(\mathbf{\frac{4}{5} = \frac{4\cdot4}{5\cdot4} = \frac{16}{20}}\)

Любые две дроби можно привести к одному и тому же знаменателю, или иначе, к общему знаменателю.

Пример 2

Приведите дробь:

А) \(\mathbf{\frac{7}{15}}\) к знаменателю 60

Б) \(\mathbf{\frac{4}{9}}\) к знаменателю 27

В) \(\mathbf{\frac{5}{7}}\) к знаменателю 42

Г) \(\mathbf{\frac{6}{11}}\) к знаменателю 44

Решение:

А) \(\mathbf{\frac{7}{15} = \frac{7\cdot4}{15\cdot4} = \frac{28}{60}}\)

Б) \(\mathbf{\frac{4}{9} = \frac{4\cdot3}{9\cdot3} = \frac{12}{27}}\)

В) \(\mathbf{\frac{5}{7} = \frac{5\cdot6}{7\cdot6} = \frac{30}{42}}\)

Г) \(\mathbf{\frac{6}{11} = \frac{6\cdot4}{11\cdot4} = \frac{24}{44}}\)

Пример 3

Сколько содержится:

А) восьмых в \(\mathbf{\frac{3}{4}}\)

Б) десятых в \(\mathbf{\frac{3}{5}}\)

В) пятнадцатых в \(\mathbf{\frac{7}{5}}\)

Г) сотых в \(\mathbf{\frac{1}{4}}\)

Решение:

А) \(\mathbf{\frac{3}{4} = \frac{3\cdot2}{4\cdot2} = \frac{6}{8}}\)

Б) \(\mathbf{\frac{3}{5} = \frac{3\cdot2}{5\cdot2} = \frac{6}{10}}\)

В) \(\mathbf{\frac{7}{5} = \frac{7\cdot3}{5\cdot3} = \frac{21}{15}}\)

Г) \(\mathbf{\frac{1}{4} = \frac{1\cdot25}{4\cdot25} = \frac{25}{100}}\)

Общим знаменателем дробей может быть любое общее кратное их знаменателей (например, произведение знаменателей).

Обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Он равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.

Пример 1

Приведем к наименьшему общему знаменателю дроби \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) и \(\mathbf{\frac{5}{6}}\)

Решение:

Наименьшим общим кратным чисел 4 и 6 является 12

Чтобы привести дробь \(\mathbf{\frac{3}{4}}\) к знаменателю 12, надо умножить числитель и знаменатель этой дроби на дополнительный множитель 3 (12 : 4 = 3)

Получим \(\mathbf{\frac{3}{4} = \frac{3\cdot3}{4\cdot3} = \frac{9}{12}}\)

Чтобы привести дробь \(\mathbf{\frac{5}{6}}\) к знаменателю 12, надо числитель и знаменатель этой дроби умножить на дополнительный множитель 2 (12 : 6 = 2)

Получим \(\mathbf{\frac{5}{6} = \frac{5\cdot2}{6\cdot2} = \frac{10}{12}}\)

Итак, \(\mathbf{\frac{3}{4} = \frac{9}{12}}\), а \(\mathbf{\frac{5}{6} = \frac{10}{12}}\)

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо:

1. Найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем
2. Разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, т.е. найти для каждой дроби дополнительный множитель
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель

В сложных случаях наименьший общий знаменатель и дополнительные множители находят с помощью разложения на простые множители.

Пример 2

Приведем дроби \(\mathbf{\frac{11}{60}}\) и \(\mathbf{\frac{31}{168}}\) к наименьшему общему знаменателю.

Решение:

Разложим знаменатели данных дробей на простые множители:

\(\mathbf{60 = 2\cdot2\cdot3\cdot5}\)

\(\mathbf{168 = 2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot7}\)

Найдем наименьший общий знаменатель: \(\mathbf{2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot7 = 840}\)

Дополнительными множителями для дроби \(\mathbf{\frac{11}{60}}\) является произведение \(\mathbf{2\cdot7}\), т.е. тех множителей, которые надо добавить к разложению числа 60, чтобы получить разложение общего знаменателя 840.

Поэтому \(\mathbf{\frac{11}{60} = \frac{11\cdot2\cdot7}{60\cdot2\cdot7} = \frac{154}{840}}\)

Для дроби \(\mathbf{\frac{31}{168}}\) таким же способом находим дополнительный множитель 5.

Значит, \(\mathbf{\frac{31}{168} = \frac{31\cdot5}{168\cdot5} = \frac{155}{840}}\)

Пример 3

Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

А) \(\mathbf{\frac{1}{3}}\) и \(\mathbf{\frac{2}{9}}\)

Б) \(\mathbf{\frac{1}{9}}\) и \(\mathbf{\frac{7}{30}}\)

В) \(\mathbf{\frac{1}{10}}\) и \(\mathbf{\frac{3}{4}}\)

Г) \(\mathbf{\frac{8}{15}}\) и \(\mathbf{\frac{7}{12}}\)

Решение:

А)

\(\mathbf{НОК (3;9) = 9}\)

\(\mathbf{\frac{1}{3} = \frac{1\cdot3}{3\cdot3} = \frac{3}{9}}\)

\(\mathbf{\frac{2}{9} = \frac{2\cdot1}{9\cdot1} = \frac{2}{9}}\)

Б)

\(\mathbf{НОК (9;30) = 90}\)

\(\mathbf{\frac{1}{9} = \frac{1\cdot10}{9\cdot10} = \frac{10}{90}}\)

\(\mathbf{\frac{7}{30} = \frac{7\cdot3}{30\cdot3} = \frac{21}{90}}\)

В)

\(\mathbf{НОК (10;4) = 20}\)

\(\mathbf{\frac{1}{10} = \frac{1\cdot2}{10\cdot2} = \frac{2}{20}}\)

\(\mathbf{\frac{3}{4} = \frac{3\cdot5}{4\cdot5} = \frac{15}{20}}\)

Г)

\(\mathbf{НОК (15;12) = 60}\)

\(\mathbf{\frac{8}{15} = \frac{8\cdot4}{15\cdot4} = \frac{32}{60}}\)

\(\mathbf{\frac{7}{12} = \frac{7\cdot5}{12\cdot5} = \frac{35}{60}}\)

Пример 4

Приведите дроби к общему знаменателю и сравните их:

А) \(\mathbf{\frac{2}{3}}\) и \(\mathbf{\frac{5}{7}}\)

Б) \(\mathbf{\frac{2}{5}}\) и \(\mathbf{\frac{1}{6}}\)

Решение:

А)

\(\mathbf{НОК (3;7) = 21}\)

\(\mathbf{\frac{2}{3} = \frac{2\cdot7}{3\cdot7} = \frac{14}{21}}\)

\(\mathbf{\frac{5}{7} = \frac{5\cdot3}{7\cdot3} = \frac{15}{21}}\)

\(\mathbf{\frac{14}{21} < \frac{15}{21}}\)

Б)

\(\mathbf{НОК (5;6) = 30}\)

\(\mathbf{\frac{2}{5} = \frac{2\cdot6}{5\cdot6} = \frac{12}{30}}\)

\(\mathbf{\frac{1}{6} = \frac{1\cdot5}{6\cdot5} = \frac{5}{30}}\)

\(\mathbf{\frac{12}{30} > \frac{5}{30}}\)

Ранее калькуляторы могли выполнять лишь простые вычисления, требующие простых математических операций: умножение, сложение, вычитание и деление.

С развитием техники и технологий задачи усложнялись, а калькуляторы получали новые функции.

На данный момент существует возможность вычисления с помощью калькулятора наименьшего общего знаменателя нескольких дробей и даже получения упрощённого вида с общим знаменателем.

Достаточно написать дроби в таком виде: 1/2, то есть через косую черту, поставить между дробями запятые и нажать кнопку. Всё быстро посчитается, и можно себя проверить, верно ли был решён пример.

Но умение самостоятельно считать наименьший общий знаменатель должно быть у каждого, ведь калькулятора поблизости может не оказаться.