Урок 16 Получить доступ за 75 баллов Применение распределительного свойства умножения

В этом уроке мы узнаем, как умножать смешанное число на натуральное, и разберем, как использовать распределительное свойство умножения для рационализации вычислений с обыкновенными дробями и смешанными числами.

Это свойство говорит нам о том, что если необходимо умножить одно число, назовем его a, на сумму двух других чисел, обозначим их b и c, то ответом будет сумма двух произведений: произведения a и b и произведения a и c

Напомним, коммутативное свойство - это научный термин для обычного правила, которое гласит, что перемена мест слагаемых (или множителей) не влияет на результат.

Вторая строка говорит о том же самом, что и первая; просто показывает, что коммутативное свойство умножения работает и в этом случае.

В уроке "Умножение дробей" мы уже касались этих моментов. Теперь рассмотрим их более подробно.

Самый простой способ умножения смешанного числа на натуральное заключается в том, чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, домножив целую часть на знаменатель и прибавив его к числителю, а далее домножить полученную неправильную дробь на натуральное число, перемножив числитель дроби и натуральное число.

Это и будет результатом.

Пример:

\(\mathbf{43\frac{1}{3}\cdot2=\frac{43\cdot3+1}{3}\cdot2=\frac{129+1}{3}\cdot2=\frac{130}{3}\cdot2=\frac{130\cdot2}{3}=\frac{260}{3}=86\frac{2}{3}}\)

Этот пример нам показывает, что даже такая простая операция, как умножение на 2, приводит нас к множеству умножений, сложений и даже делению. Для больших чисел такой путь неудобен. Стоит только представить, что целая часть смешанного числа будет больше 100, и знаменатель также также весьма сложный, то мы получим операции, которые с трудом делаются в уме.

Здесь нас выручит распределительное свойство.

Если представить \(\mathbf{43\frac{1}{3}}\) как сумму его целой и дробной частей, то есть

\(\mathbf{43\frac{1}{3}=43+\frac{1}{3}}\), то нам нужно будет в дальнейшем умножать только 43 и \(\mathbf{\frac{1}{3}}\), что значительно проще.

Посмотрим, как это все будет выглядеть целиком:

\(\mathbf{43\frac{1}{3}\cdot2=(43+\frac{1}{3})\cdot2=(43\cdot2)+(\frac{1}{3}\cdot2)=86+\frac{2}{3}=86\frac{2}{3}}\)

Можно заметить, что несмотря на то, что мы удлинили запись выражения, сами вычисления стали проще.

Может возникнуть необходимость выделения целой части, про это забывать нельзя. Но даже в таком случае делимое будет значительно меньше, чем если бы мы выносили целую часть из произведения, полученного классическим способом.

Пример:

\(\mathbf{25\frac{2}{5}\cdot3=(25+\frac{2}{5})\cdot3=(25\cdot3)+(\frac{2}{5}\cdot3)=75+\frac{6}{5}=75+1\frac{1}{5}=76\frac{1}{5}}\)

Все те же свойства умножения выполняются не только по отношению к смешанному числу и натуральному, но и по отношению к смешанному числу и дроби (как и к любым другим числам).

Если необходимо умножить смешанное число на дробь, то можно разложить его как сумму и умножать на дробь отдельные слагаемые, а потом сложить результат.

Для понимания того, насколько это упрощает вычисления, снова разберем один и тот же пример двумя способами: «в лоб», то есть приводя смешанное число к дроби, и используя распределительное свойство.

Посчитаем выражение \(\mathbf{45\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{3}}\)

I Первый способ (преобразовывая смешанное число в дробь):

\(\mathbf{45\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{3}=\frac{45\cdot5+2}{5}\cdot\frac{1}{3}=\frac{227}{5}\cdot\frac{1}{3}=\frac{227\cdot1}{5\cdot3}=\frac{227}{15}=15\frac{2}{15}}\)

II Второй способ (используя распределительное свойство умножения):

\(\mathbf{45\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{3}=(45+\frac{2}{5})\cdot\frac{1}{3}=(45\cdot\frac{1}{3})+(\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{3})=\frac{45}{3}+\frac{2\cdot1}{5\cdot3}=15+\frac{2}{15}=15\frac{2}{15}}\)

Можем заметить, что при подсчете вторым способом самым крупным числом было 45, которое уже находилось в условии, в то же время при подсчете первым способом появилось число 227, которое больше, и в уме с ним работать уже менее комфортно.

Интересен тот факт, что ничего нам не запрещает применять распределительное свойство дважды.

Посмотрим на изображение выше.

На ней мы хотим перемножить две суммы.

Будем смотреть на первую скобку как на цельное выражение и обозначим его буквой А заглавной.

В этом случае надо, как и раньше, умножить A на c и прибавить к этому результат умножения A на d

Далее вспомним, что А - это тоже сумма, и применим распределительное свойство к выражениям \(\mathbf{(a+b)\cdot c}\) и \(\mathbf{(a+b)\cdot d}\)

Тогда получим именно то, что и получилось в конце: сумма четырех произведений.

В дальнейшем вы привыкните делать такие вещи в уме, беря по слагаемому из каждой скобки, и сможете обойтись без промежуточного вычисления.

Но пока что оно добавляет наглядности и объясняет, почему все происходит именно так.

Прежде чем перейти к смешанным числам посмотрим на пример с натуральными числами.

Пример:

\(\mathbf{(40+5)(20+3)=(40+5)\cdot20+(40+5)\cdot3=}\)

\(\mathbf{=40\cdot20+5\cdot20+40\cdot3+5\cdot3=800+100+120+15=1035}\)

Опять же, выражение стало более длинным, но согласитесь, все умножения, которые в итоге пришлось сделать, были проще, чем перемножение 45-ти и 23-х.

Теперь применим этот мощный инструмент к перемножению смешанных чисел.

Как вы могли догадаться, мы снова будем представлять смешанное число как сумму натурального числа и обыкновенной дроби. Таким образом, произведение двух смешанных чисел будет равно произведению сумм натурального числа и обыкновенной дроби каждого из этих чисел.

Сразу перейдем к примерам, ибо в них вся наглядность.

Пример:

\(\mathbf{12\frac{2}{3}\cdot9\frac{1}{5}=(12+\frac{2}{3})\cdot(9+\frac{1}{5})=(12+\frac{2}{3})\cdot9+(12+\frac{2}{3})\cdot\frac{1}{5}=}\)

\(\mathbf{=12\cdot9+\frac{2}{3}\cdot9+12\cdot\frac{1}{5}+\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{5}=}\)

\(\mathbf{=108+\frac{18}{3}+\frac{12}{5}+\frac{2}{15}=108+\frac{90}{15}+\frac{36}{15}+\frac{2}{15}=}\)

\(\mathbf{=108+\frac{90+36+2}{15}=108+\frac{128}{15}=108+8\frac{8}{15}=116\frac{8}{15}}\)

И для сравнения классическим способом:

\(\mathbf{12\frac{2}{3}\cdot9\frac{1}{5}=\frac{12\cdot3+2}{3}\cdot\frac{9\cdot5+1}{5}=\frac{38}{3}\cdot\frac{46}{5}=\frac{38\cdot46}{3\cdot5}=\frac{1748}{15}=116\frac{8}{15}}\)

Видно, что в одном способе больше действий, а в другом сложнее вычисления. Смотрите что для вас проще и понятнее, и выбирайте соответствующий способ.

Пример:

\(\mathbf{20\frac{1}{4}\cdot5\frac{3}{5}=(20+\frac{1}{4})\cdot(5+\frac{3}{5})=(20+\frac{1}{4})\cdot5+(20+\frac{1}{4})\cdot\frac{3}{5}=}\)

\(\mathbf{=20\cdot5+\frac{1}{4}\cdot5+20\cdot\frac{3}{5}+\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{5}=}\)

\(\mathbf{=100+\frac{5}{4}+\frac{60}{5}+\frac{3}{20}=100+\frac{25}{20}+12+\frac{3}{20}=}\)

\(\mathbf{=112+\frac{25+3}{20}=112+\frac{28}{20}=112+\frac{7}{5}=112+1\frac{2}{5}=113\frac{2}{5}}\)

И снова сравним с классическим способом:

\(\mathbf{20\frac{1}{4}\cdot5\frac{3}{5}=\frac{20\cdot4+1}{4}\cdot\frac{5\cdot5+3}{5}=\frac{81}{4}\cdot{28}{5}=\frac{81\cdot28}{4\cdot5}=\frac{81\cdot7}{5}=\frac{567}{5}=113\frac{2}{5}}\)

Итог точно такой же: с распределительным свойством больше вычислений, меньше сложность каждого конкретного вычисления, а при классическом способе наоборот.

Современный человек может не понять, зачем нужно распределительное свойство, ведь под рукой есть калькулятор, которому на первый взгляд безразлично, насколько большие числа в нем вычислять. Поэтому расскажу немного о том, как представлены числа в компьютерах и почему иногда важно уменьшить обрабатываемые числа.

Целые числа в компьютере представлены в двоичной системе счисления.

Она на самом деле весьма похожа на десятичную, только в ней всего лишь две цифры: 0 и 1

На уроках информатики вы узнаете, как именно связаны двоичная система счисления и десятичная, а пока просто запомним, что в компьютерах все числа представлены как нули и единицы.

В зависимости от реализации под числа выделяется какое-то количество бит - ячеек, способных принимать значение 0 или 1

Например, популярно выделять под целое число 32 бит.

Как видим, хоть целые числа могут быть сколь угодно малыми или сколь угодно большими, на практике появляются вполне реальные ограничения.

Так в языке программирования Java целые числа принимают значения от -2 147 483 648 до +2 147 483 647

Да, если мы делаем какие-то бытовые расчеты, этого хватает с запасом.

А если вычисления делает банк или правительство, где числа совсем другие?

На практике часто начинают выделять больше памяти под числа или использовать другие специальные технологии, тогда пользователь может снова не думать про размер чисел.

Но мысль о том, что размер чисел имеет значение, весьма важна.