Урок 42 Получить доступ за 75 баллов Подобные слагаемые

В одном из прошлых уроков мы узнали и разобрали одно важное свойство распределительных чисел: распределительное свойство умножения относительно сложения.

Сегодня мы подробно посмотрим, как оно позволяет нам раскрывать скобки и приводить подобные слагаемые, а также в целом упрощать выражение.

Распределительное свойство умножения справедливо для любых чисел a, b и c.

Также мы уже упоминали, что это свойство можно обобщить, во-первых, для большего числа слагаемых, во-вторых, в роли общего множителей могут выступать не только числа, но и выражения.

Сейчас подробно посмотрим на примерах.

Пример:

Посмотрим на выражение \(\mathbf{(\frac{15}{37}+\frac{19}{74})\cdot74}\)

Мы можем сначала посчитать выражение в скобках, а можем сначала раскрыть скобки, избавившись от дробей, а затем выполнить сложение.

Воспользуемся вторым способом:

\(\mathbf{(\frac{15}{37}+\frac{19}{74})\cdot74=\frac{15}{37}\cdot74+\frac{19}{74}\cdot74=30+19=49}\)

В данном случае мы имели выражение, максимально близкое к тому, что мы видим в формулировке распределительного свойства.

Теперь рассмотрим такое выражение: \(\mathbf{(1001-65):13}\)

Тут мы видим вычитание вместо сложения и деление вместо умножения.

Но мы уже умеем заменять вычитание на сложение, заменяя вычитаемое на слагаемое, противоположное вычитаемому:

\(\mathbf{(1001-65):13=(1001+(-65)):13}\)

Также и деление мы умеем заменять на умножение, заменяя делитель на множитель, обратный делителю:

\(\mathbf{(1001+(-65)):13=(1001+(-65))\cdot\frac{1}{13}}\)

Теперь мы получили выражение, соответствующее формулировке распределительного свойства.

Применим же свойство и найдем значение выражения.

\(\mathbf{(1001+(-65))\cdot\frac{1}{13}=1001\cdot\frac{1}{13}+(-65)\cdot\frac{1}{13}=\frac{1001}{13}-\frac{65}{13}=77-5=72}\)

Заметим, что хоть мы и заменяли вычитание на сложение, в конце мы все равно вычитали.

Также несмотря на то, что мы заменяли деление на умножение, в конце мы все равно делили.

Распределительное свойство также работает и в таком виде:

Также важно понимать, что распределительное свойство может работать не только с двумя числами, но и с любым другим их количеством.

Три точки обозначают любое количество слагаемых от нуля до бесконечности.

Аналогично предыдущему примеру, слагаемые в скобках могут быть с разными знаками. В таком случае они будут с такими же знаками и в правой части равенства.

Пример:

Раскроем скобки в выражении \(\mathbf{(a+b+c+d)\cdot x}\) :

\(\mathbf{(a+b+c+d)\cdot x=ax+bx+cx+dx}\)

Также важно понимать, что на месте a, b и других букв в скобках могут стоять любые другие выражения.

Пример:

Раскроем скобки в выражении \(\mathbf{(a\cdot(z+y)+b\cdot(c-de))\cdot x}\) :

\(\mathbf{(a(z+y)+b(c-de))\cdot x=ax(z+y)+bx(c-de)}\)

Также и множитель снаружи скобок может быть не только числом или скобкой, а любым другим выражением, например, как в этом примере ax и bx являются произведениями двух множителей.

\(\mathbf{ax(z+y)+bx(c-de)=axz+axy+bxc-bxde}\)

Как мы сказали, множитель может быть любым выражением, например, выражением в скобках. Рассмотрим еще такой пример.

Пример:

Раскроем скобки в выражении \(\mathbf{(a+b)(c+d)}\) :

Тут можно действовать в любом порядке: можно считать первую скобку общим множителем, раскрывая вторую, а можно и наоборот.

Мы будем сейчас раскрывать вторую скобку, то есть (\(\mathbf{a+b}\)) будет общим множителем:

\(\mathbf{(a+b)(c+d)=c(a+b)+d(a+b)}\)

Теперь общими множителями для первой и второй скобок будут с и d соответственно:

\(\mathbf{c(a+b)+d(a+b)=(ac+bc)+(ad+bd)=ac+bc+ad+bd}\)

Промежуточный шаг можно было пропустить, так как скобки не несли в нем смысла, но оставим его здесь для наглядности.

Распределительное свойство умножения относительно сложения помогает нам выносить общий множитель, то есть, смотря на формулировку, мы из правой части переходим в левую.

Сразу скажем, что по аналогии с раскрытием скобок, мы не должны пугаться вычитания и деления, а должны, если сомневаемся, заменять их на сложение и умножение соответственно.

Пример:

Вынесем общий множитель в выражении \(\mathbf{ab+ad-a(x+y)}\) :

Мы видим, что выражение состоит из трех слагаемых, каждое из которых является произведением.

В каждом из этих произведений есть множитель а.

Его мы и будем выносить.

\(\mathbf{ab+ad-a(x+y)=a(b+d-(x+y))=a(b+d-x-y)}\)

В данном случае не стояла задача раскрывать скобки. Мы это сделали, чтобы ответ выглядел более законченным

Также можно выносить несколько множителей одновременно.

Пример:

Вынесем общие множители в выражении \(\mathbf{abc+adc-ac(x+1)}\)

В данном случае в выражении три произведения, в каждом из которых есть множитель а и с, вынесем их:

\(\mathbf{abc+adc-ac(x+1)=ac(b+d-(x+1))=ac(b+d-x-1)}\)

Кстати, всегда можно проверить себя, раскрыв скобки и убедившись в равенстве полученного выражения и исходного.

Как мы уже сказали, в роли множителей могут выступать всевозможные выражения, а не только числа или произведения. Покажем на примере.

Пример:

Вынесем общие множители в выражении \(\mathbf{ac+bc+ad+bd}\) :

Мы видим, что общий множитель есть у первых двух слагаемых и у вторых двух соответственно, вынесем их.

\(\mathbf{ac+bc+ad+bd=(a+b)\cdot c+(a+b)\cdot d}\)

Получается, что выражение состоит из двух слагаемых, каждое из которых является произведением, и в каждом из этих произведений есть множитель \(\mathbf{(a+b)}\), вынесем его:

\(\mathbf{(a+b)\cdot c+(a+b)\cdot d=(a+b)(c+d)}\)

Так мы получили ответ.

В заголовке мы упомянули два новых термина, поэтому сначала дадим им определения.

Подобными слагаемыми называют такие слагаемые, которые имеют одинаковую буквенную часть.

Пример:

Посмотрим, какие есть подобные слагаемые в выражении \(\mathbf{12ab+2b+3ab+5\frac{1}{2}b+0.2b}\)

У первого и третьего слагаемого буквенная часть равна \(\mathbf{ab}\), значит, эти два слагаемых являются подобными.

У второго, четвертого и пятого слагаемого буквенная часть равна \(\mathbf{b}\), эти три слагаемых являются подобными.

Если же мы зададимся вопросом, являются ли подобными первые два слагаемых, то ответ будет отрицательным.

В самом деле, их буквенные части отличаются: \(\mathbf{ab\neq a}\)

Внимательный читатель заметит, иногда \(\mathbf{ab=a}\), при условии, что \(\mathbf{b=1}\), но мы не можем на это полагаться, так как не знаем конкретных значений, поэтому такие слагаемые считать подобными не будем.

Нередко для удобства подобные слагаемые подчеркивают, причем каждую группу подобных слагаемых подчеркивают разным типом подчеркиваний:

Теперь зная, что такое подобные слагаемые, приступим к их сложению (приведению).

Чтобы привести (сложить) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть.

Пример:

Возьмем то же выражение и приведем в нем подобные слагаемые.

\(\mathbf{\underline{\underline{12ab}}+\underline{2b}+\underline{\underline{3ab}}+\underline{5\frac{1}{2}b}+\underline{0.2b}=}\)

\(\mathbf{=(12ab+3ab)+(2b+5\frac{1}{2}b+0.2b)=(12+3)\cdot ab+(2+5\frac{1}{2}+0.2)\cdot b=15ab+7.7b}\)

Как вы видите, процесс очень похож на вынесение общего множителя. В данном случае общим множителем для подобных слагаемых является их одинаковая буквенная часть.

Если мы видим в сумме слагаемое со знаком «минус» перед ним, то и коэффициенты мы будем складывать с этим же знаком.

Пример:

Приведем подобные слагаемые в выражении \(\mathbf{5c+4a-2c+3a}\)

\(\mathbf{\underline{5c}+\underline{\underline{4a}}-\underline{2c}+\underline{\underline{3a}}=(5c-2c)+(4a+3a)=(5-2)\cdot c + (4+3)\cdot a=3c+7a}\)

Также достаточно часто встречаются задания вида «раскройте скобки и приведите подобные слагаемые».

Пример:

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в выражении \(\mathbf{5a(c+3d)-4c(a-d)}\)

В целом, ничего нового в этом задании нет, надо просто аккуратно применить те приемы, которые мы уже освоили.

\(\mathbf{5a(c+3d)-4c(a-d)=5ac+5a\cdot 3d-4ac+4cd=\underline{5ac}+15ad-\underline{4ac}+4cd=}\)

\(\mathbf{=(5ac-4ac)+15ad+4cd=(5-4)\cdot ac+15ad+4cd=ac+15ad+4cd}\)

Мы уже говорили про математику в литературе, но речь была про малоизвестные случаи.

Наш урок имеет порядковый номер 42, а это число является крайне популярным в культуре!

Известно оно стало из-за книги Дугласа Адамса «Автостопом по галактике».

В ней сверхразумная раса существ создала мощный компьютер с названием "Думатель" (Deep Thought) с одной лишь целью: найти «Окончательный Ответ на величайший вопрос Жизни, Вселенной и Всего Такого».

После семи с половиной миллионов лет работы компьютер выдал один ответ: число 42.

Дальше отрывок из книги, как отреагировали существа:

“— Сорок два! — взвизгнул Лунккуоол. — И это всё, что ты можешь сказать после семи с половиной миллионов лет работы?

— Я всё очень тщательно проверил, — сказал компьютер, — и со всей определённостью заявляю, что это и есть ответ. Мне кажется, если уж быть с вами абсолютно честным, то всё дело в том, что вы сами не знали, в чём вопрос.

— Но это же великий вопрос! Окончательный вопрос жизни, Вселенной и всего такого! — почти завыл Лунккуоол.

— Да, — сказал компьютер голосом страдальца, просвещающего круглого дурака. — И что же это за вопрос? “

Книга оказалась крайне популярной и читающее сообщество начало гадать, что могло означать это число, какой смысл вкладывал автор.

Сам же автор долго уходил от ответа, но потом признался, что это была просто шутка, а 42 - первое попавшееся число, которое понравилось автору.

Но само число стало частью культуры, и, например, в сообществе программистов, часто можно встретить примеры с именно этим числом.