Урок 44 Получить доступ за 50 баллов Перпендикулярные прямые

До этого на уроках математики мы работали с числами, буквами, выражениями.

Иногда не только писали, но и рисовали схемы, координатные прямые и рисунки, чтобы лучше разбираться в изучаемом вопросе.

Сегодня мы будем изучать геометрические понятия, а именно, что является прямой, а что нет, какие прямые называются перпендикулярными.

Также узнаем, как строить перпендикулярные прямые разными способами.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Основные определения

В геометрии есть два понятия, которые не имеют определения, их мы принимаем как аксиомы.

Это понятия точки и прямой.

Все остальные определения будут так или иначе выражаться через эти два понятия.

Определение: луч или полупрямая - это часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих по одну сторону от нее.

Заметим, что любая точка, лежащая на прямой, разделяет эту прямую на два луча.

Разделяющую точку также называют началом луча.

Определение: отрезок - часть прямой, ограниченная двумя точками.

И еще немного формализма.

Определение: угол - геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Эти лучи называют сторонами угла, а их общее начало вершиной угла.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Есть величины для измерения длины: метр, сантиметр, километр и прочие производные метра.

Для измерения угла используются другие величины: градусы, минуты, секунды, радианы.

Одним из наиболее простых приборов для измерения углов является транспортир. Достаточно приложить его прямую часть к одной стороне угла и посмотреть, какое деление совпадет со второй стороной угла.

Главное, быть внимательным и смотреть, с какой стороны находится внутренняя часть угла.

Допустим, имеется такая конфигурация:

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Приложим транспортир:

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Углы обычно обозначаются тремя буквами, где буква посередине обозначает вершину угла.

Величина угла AOB будет равняться 45-ти градусам, можно записать как \(\mathbf{45^\circ}\).

Если необходимо измерить угол BOC, то нужно из 180-ти градусов вычесть 45 градусов, так как метки на транспортире соответствуют величинам углов, если считать от нуля, а в данном случае луч ОС лежит на отметке 180.

Также часто перед буквенным обозначением угла ставят следующий знак: \(\mathbf{\angle}\), получаются такие записи: \(\mathbf{\angle AOB}\), \(\mathbf{\angle BOC}\).

Иногда, когда нет неоднозначности, угол могут обозначать и одной буквой, например \(\mathbf{\angle A}\)

Определение: прямой угол - угол в \(\mathbf{90^\circ}\).

На транспортире данная отметка находится посередине.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Если обычный угол часто обозначают маленькой дугой, то прямые углы принято обозначать таким квадратиком.

Прямой угол один из самых распространенных в мире: с большой вероятностью вы сейчас сидите в комнате с такиими углами, у вашего стола прямые углы, а также у окна и так далее.

Теперь мы подготовили все определения, чтобы определить термин из заголовка урока.

Определение: две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Прямые часто обозначают одной строчной латинской буквой. В данном случае прямые a и b перпендикулярные по определению, потому что образуют прямые углы.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Если бы они пересекались под другим углом или не пересекались бы, то они не были бы перпендикулярными. В данном случае прямые a и b не являются перпендикулярными.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Построение прямого угла и перпендикулярных прямых

Перечислим основные способы в порядке возрастания сложности.

Самый простой способ взять предмет с прямым углом- чертежный треугольник, линейку, банковскую или проездную карту (придется только дорисовать скошенный угол от руки), и обвести его.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Правда, мы не можем гарантированно полагаться на перечисленные кроме треугольника предметы, так как они не предназначены для черчения, и угол может быть не совсем прямым.

Лучи, являющиеся сторонами угла, будут перпендикулярны, а значит, будут частями перпендикулярных прямых.

Также можно построить любой угол, в том числе прямой, с помощью транспортира.

1) Вершину угла мы ставим в центре прямой части транспортира.

2) Одни сторону проводим по прямой части транспортира в сторону нуля.

3) Ставим метку напротив риски с соответствующей величиной угла.

4) Соединяем вершину угла с меткой.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Аналогичным образом строится прямой угол.

В таком случае его стороны опять же будут перпендикулярными лучами, следовательно, частями перпендикулярных прямых.

Прежде чем перейти к более сложному и интересному способу, надо упомянуть, что клетки в тетради начерчены перпендикулярными прямыми, поэтому можно от руки обвести одну вертикальную линию и одну горизонтальную.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Скорее всего линии получатся не совсем прямыми, но если это нужно для какой-то схемы в черновике, то почему бы и нет.

Хотя конечно же во всех работах лучше использовать приборы и линейку чтобы рисунок был максимально красивым.

Интересно, что перпендикулярные прямые можно построить с помощью циркуля и линейки без разметки (ну и карандаша/ручки, конечно же).

Подробнее, почему алгоритм является корректным, вы узнаете в курсе геометрии за 7-й класс, но пока что посмотрим на сам алгоритм.

1) Чертим прямую и отмечаем на ней точку (назовем ее О).

2) Ставим в эту точку циркуль и с помощью него делаем две пометки, получаем две точки, равноудаленные от первой точки (назовем из А и В).

3) Проводим из каждой из точек А и В окружности одинакового радиуса, или лучше только нужные их части, так чтобы получить хотя бы одно пересечение (назовем его точной С).

4) Соединяем точку С с исходной точкой О, готово, мы получили перпендикулярную прямую, причем проходящую через точку, которую мы сами выбрали.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

В этом алгоритме важна аккуратность: если точки А и В будут на разном расстоянии от центра или окружности из точек А и В будут разного радиуса, прямая может получится не перпендикулярной.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Дополнительная информация

В данном уроке нам необходимо было пользоваться простейшим прибором для черчения: линейкой.

Оказывается, самые старые линейки появились еще в Древней Греции для построения чертежей.

Важно, что, в первую очередь, линейка была способом построения прямой линии, измерять по ней длины достаточно грубо из-за разных погрешностей.

В древности линейки представляли из себя аккуратно обструганные дощечки.

Позже развились технологии, и уже европейские монахи для разметки листов бумаги использовали свинцовые пластины.

Свинец считается не самым полезным металлом, но его проще обрабатывать, поэтому его и использовали.

Также иногда использовались металлические прутья под названиями «шильцы».

У русских писцов также были похожие приборы, и они назывались «правильца».

Современная метрическая система измерения длины сложилась во Франции в начале XIX века.

За основу взяли длину географического меридиана, проходящего через Париж, и поделили его на 40 миллионов, так получился метр.

Тогда изготовили две линейки из платины, каждая длинной в один метр.

Массовое производство линеек пошло уже в конце XIX века, и в XX веке линейка стала обыденным предметом.

Также появлялись линейки под специальные нужды, например, артиллерийская линейка:

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Или штурманская линейка:

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

В современном мире на производстве чертят уже с помощью компьютерных программ, и там построение прямых линий идет программными средствами.

В образовательных целях или же при разметке какого-либо материала, линейки и их аналоги используются по сей день.

В бесплатной версии урока недоступны:

  • Видео
  • Изображения
  • Дополнительная информация
  • Таблицы
  • Тесты
Получить доступ