Урок 44 Получить доступ за 75 баллов Перпендикулярные прямые
До этого на уроках математики мы работали с числами, буквами, выражениями.
Иногда не только писали, но и рисовали схемы, координатные прямые и рисунки, чтобы лучше разбираться в изучаемом вопросе.
Сегодня мы будем изучать геометрические понятия, а именно, что является прямой, а что нет, какие прямые называются перпендикулярными.
Также узнаем, как строить перпендикулярные прямые разными способами.
Основные определения
В геометрии есть два понятия, которые не имеют определения, их мы принимаем как аксиомы.
Это понятия точки и прямой.
Все остальные определения будут так или иначе выражаться через эти два понятия.
Определение: луч или полупрямая - это часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих по одну сторону от нее.
Заметим, что любая точка, лежащая на прямой, разделяет эту прямую на два луча.
Разделяющую точку также называют началом луча.
Определение: отрезок - часть прямой, ограниченная двумя точками.
И еще немного формализма.
Определение: угол - геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.
Эти лучи называют сторонами угла, а их общее начало вершиной угла.
Есть величины для измерения длины: метр, сантиметр, километр и прочие производные метра.
Для измерения угла используются другие величины: градусы, минуты, секунды, радианы.
Одним из наиболее простых приборов для измерения углов является транспортир. Достаточно приложить его прямую часть к одной стороне угла и посмотреть, какое деление совпадет со второй стороной угла.
Главное, быть внимательным и смотреть, с какой стороны находится внутренняя часть угла.
Допустим, имеется такая конфигурация:
Приложим транспортир:
Углы обычно обозначаются тремя буквами, где буква посередине обозначает вершину угла.
Величина угла AOB будет равняться 45-ти градусам, можно записать как \(\mathbf{45^\circ}\).
Если необходимо измерить угол BOC, то нужно из 180-ти градусов вычесть 45 градусов, так как метки на транспортире соответствуют величинам углов, если считать от нуля, а в данном случае луч ОС лежит на отметке 180.
Также часто перед буквенным обозначением угла ставят следующий знак: \(\mathbf{\angle}\), получаются такие записи: \(\mathbf{\angle AOB}\), \(\mathbf{\angle BOC}\).
Иногда, когда нет неоднозначности, угол могут обозначать и одной буквой, например \(\mathbf{\angle A}\)
Определение: прямой угол - угол в \(\mathbf{90^\circ}\).
На транспортире данная отметка находится посередине.
Если обычный угол часто обозначают маленькой дугой, то прямые углы принято обозначать таким квадратиком.
Прямой угол один из самых распространенных в мире: с большой вероятностью вы сейчас сидите в комнате с такиими углами, у вашего стола прямые углы, а также у окна и так далее.
Теперь мы подготовили все определения, чтобы определить термин из заголовка урока.
Определение: две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными.
Прямые часто обозначают одной строчной латинской буквой. В данном случае прямые a и b перпендикулярные по определению, потому что образуют прямые углы.
Если бы они пересекались под другим углом или не пересекались бы, то они не были бы перпендикулярными. В данном случае прямые a и b не являются перпендикулярными.
Построение прямого угла и перпендикулярных прямых
Перечислим основные способы в порядке возрастания сложности.
Самый простой способ взять предмет с прямым углом- чертежный треугольник, линейку, банковскую или проездную карту (придется только дорисовать скошенный угол от руки), и обвести его.
Правда, мы не можем гарантированно полагаться на перечисленные кроме треугольника предметы, так как они не предназначены для черчения, и угол может быть не совсем прямым.
Лучи, являющиеся сторонами угла, будут перпендикулярны, а значит, будут частями перпендикулярных прямых.
Также можно построить любой угол, в том числе прямой, с помощью транспортира.
1) Вершину угла мы ставим в центре прямой части транспортира.
2) Одни сторону проводим по прямой части транспортира в сторону нуля.
3) Ставим метку напротив риски с соответствующей величиной угла.
4) Соединяем вершину угла с меткой.
Аналогичным образом строится прямой угол.
В таком случае его стороны опять же будут перпендикулярными лучами, следовательно, частями перпендикулярных прямых.
Прежде чем перейти к более сложному и интересному способу, надо упомянуть, что клетки в тетради начерчены перпендикулярными прямыми, поэтому можно от руки обвести одну вертикальную линию и одну горизонтальную.
Скорее всего линии получатся не совсем прямыми, но если это нужно для какой-то схемы в черновике, то почему бы и нет.
Хотя конечно же во всех работах лучше использовать приборы и линейку чтобы рисунок был максимально красивым.
Интересно, что перпендикулярные прямые можно построить с помощью циркуля и линейки без разметки (ну и карандаша/ручки, конечно же).
Подробнее, почему алгоритм является корректным, вы узнаете в курсе геометрии за 7-й класс, но пока что посмотрим на сам алгоритм.
1) Чертим прямую и отмечаем на ней точку (назовем ее О).
2) Ставим в эту точку циркуль и с помощью него делаем две пометки, получаем две точки, равноудаленные от первой точки (назовем из А и В).
3) Проводим из каждой из точек А и В окружности одинакового радиуса, или лучше только нужные их части, так чтобы получить хотя бы одно пересечение (назовем его точной С).
4) Соединяем точку С с исходной точкой О, готово, мы получили перпендикулярную прямую, причем проходящую через точку, которую мы сами выбрали.
В этом алгоритме важна аккуратность: если точки А и В будут на разном расстоянии от центра или окружности из точек А и В будут разного радиуса, прямая может получится не перпендикулярной.
Дополнительная информация
В данном уроке нам необходимо было пользоваться простейшим прибором для черчения: линейкой.
Оказывается, самые старые линейки появились еще в Древней Греции для построения чертежей.
Важно, что, в первую очередь, линейка была способом построения прямой линии, измерять по ней длины достаточно грубо из-за разных погрешностей.
В древности линейки представляли из себя аккуратно обструганные дощечки.
Позже развились технологии, и уже европейские монахи для разметки листов бумаги использовали свинцовые пластины.
Свинец считается не самым полезным металлом, но его проще обрабатывать, поэтому его и использовали.
Также иногда использовались металлические прутья под названиями «шильцы».
У русских писцов также были похожие приборы, и они назывались «правильца».
Современная метрическая система измерения длины сложилась во Франции в начале XIX века.
За основу взяли длину географического меридиана, проходящего через Париж, и поделили его на 40 миллионов, так получился метр.
Тогда изготовили две линейки из платины, каждая длинной в один метр.
Массовое производство линеек пошло уже в конце XIX века, и в XX веке линейка стала обыденным предметом.
Также появлялись линейки под специальные нужды, например, артиллерийская линейка:
Или штурманская линейка:
В современном мире на производстве чертят уже с помощью компьютерных программ, и там построение прямых линий идет программными средствами.
В образовательных целях или же при разметке какого-либо материала, линейки и их аналоги используются по сей день.
Читайте также
В бесплатной версии урока недоступны:
- Видео
- Изображения
- Дополнительная информация
- Таблицы
- Тесты