Урок 44 Бесплатно Перпендикулярные прямые

До этого на уроках математики мы работали с числами, буквами, выражениями.

Иногда не только писали, но и рисовали схемы, координатные прямые и рисунки, чтобы лучше разбираться в изучаемом вопросе.

Сегодня мы будем изучать геометрические понятия, а именно, что является прямой, а что нет, какие прямые называются перпендикулярными.

Также узнаем, как строить перпендикулярные прямые разными способами.

Основные определения

В геометрии есть два понятия, которые не имеют определения, их мы принимаем как аксиомы.

Это понятия точки и прямой.

Все остальные определения будут так или иначе выражаться через эти два понятия.

Определение: луч или полупрямая - это часть прямой, состоящая из данной точки и всех точек, лежащих по одну сторону от нее.

Заметим, что любая точка, лежащая на прямой, разделяет эту прямую на два луча.

Разделяющую точку также называют началом луча.

Определение: отрезок - часть прямой, ограниченная двумя точками.

И еще немного формализма.

Определение: угол - геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Эти лучи называют сторонами угла, а их общее начало вершиной угла.

Есть величины для измерения длины: метр, сантиметр, километр и прочие производные метра.

Для измерения угла используются другие величины: градусы, минуты, секунды, радианы.

Одним из наиболее простых приборов для измерения углов является транспортир. Достаточно приложить его прямую часть к одной стороне угла и посмотреть, какое деление совпадет со второй стороной угла.

Главное, быть внимательным и смотреть, с какой стороны находится внутренняя часть угла.

Допустим, имеется такая конфигурация:

Приложим транспортир:

Углы обычно обозначаются тремя буквами, где буква посередине обозначает вершину угла.

Величина угла AOB будет равняться 45-ти градусам, можно записать как \(\mathbf{45^\circ}\).

Если необходимо измерить угол BOC, то нужно из 180-ти градусов вычесть 45 градусов, так как метки на транспортире соответствуют величинам углов, если считать от нуля, а в данном случае луч ОС лежит на отметке 180.

Также часто перед буквенным обозначением угла ставят следующий знак: \(\mathbf{\angle}\), получаются такие записи: \(\mathbf{\angle AOB}\), \(\mathbf{\angle BOC}\).

Иногда, когда нет неоднозначности, угол могут обозначать и одной буквой, например \(\mathbf{\angle A}\)

Определение: прямой угол - угол в \(\mathbf{90^\circ}\).

На транспортире данная отметка находится посередине.

Если обычный угол часто обозначают маленькой дугой, то прямые углы принято обозначать таким квадратиком.

Прямой угол один из самых распространенных в мире: с большой вероятностью вы сейчас сидите в комнате с такиими углами, у вашего стола прямые углы, а также у окна и так далее.

Теперь мы подготовили все определения, чтобы определить термин из заголовка урока.

Определение: две прямые, образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными.

Прямые часто обозначают одной строчной латинской буквой. В данном случае прямые a и b перпендикулярные по определению, потому что образуют прямые углы.

Если бы они пересекались под другим углом или не пересекались бы, то они не были бы перпендикулярными. В данном случае прямые a и b не являются перпендикулярными.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Построение прямого угла и перпендикулярных прямых

Перечислим основные способы в порядке возрастания сложности.

Самый простой способ взять предмет с прямым углом- чертежный треугольник, линейку, банковскую или проездную карту (придется только дорисовать скошенный угол от руки), и обвести его.

Правда, мы не можем гарантированно полагаться на перечисленные кроме треугольника предметы, так как они не предназначены для черчения, и угол может быть не совсем прямым.

Лучи, являющиеся сторонами угла, будут перпендикулярны, а значит, будут частями перпендикулярных прямых.

Также можно построить любой угол, в том числе прямой, с помощью транспортира.

1) Вершину угла мы ставим в центре прямой части транспортира.

2) Одни сторону проводим по прямой части транспортира в сторону нуля.

3) Ставим метку напротив риски с соответствующей величиной угла.

4) Соединяем вершину угла с меткой.

Аналогичным образом строится прямой угол.

В таком случае его стороны опять же будут перпендикулярными лучами, следовательно, частями перпендикулярных прямых.

Прежде чем перейти к более сложному и интересному способу, надо упомянуть, что клетки в тетради начерчены перпендикулярными прямыми, поэтому можно от руки обвести одну вертикальную линию и одну горизонтальную.

Скорее всего линии получатся не совсем прямыми, но если это нужно для какой-то схемы в черновике, то почему бы и нет.

Хотя конечно же во всех работах лучше использовать приборы и линейку чтобы рисунок был максимально красивым.

Интересно, что перпендикулярные прямые можно построить с помощью циркуля и линейки без разметки (ну и карандаша/ручки, конечно же).

Подробнее, почему алгоритм является корректным, вы узнаете в курсе геометрии за 7-й класс, но пока что посмотрим на сам алгоритм.

1) Чертим прямую и отмечаем на ней точку (назовем ее О).

2) Ставим в эту точку циркуль и с помощью него делаем две пометки, получаем две точки, равноудаленные от первой точки (назовем из А и В).

3) Проводим из каждой из точек А и В окружности одинакового радиуса, или лучше только нужные их части, так чтобы получить хотя бы одно пересечение (назовем его точной С).

4) Соединяем точку С с исходной точкой О, готово, мы получили перпендикулярную прямую, причем проходящую через точку, которую мы сами выбрали.

В этом алгоритме важна аккуратность: если точки А и В будут на разном расстоянии от центра или окружности из точек А и В будут разного радиуса, прямая может получится не перпендикулярной.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Дополнительная информация

В данном уроке нам необходимо было пользоваться простейшим прибором для черчения: линейкой.

Оказывается, самые старые линейки появились еще в Древней Греции для построения чертежей.

Важно, что, в первую очередь, линейка была способом построения прямой линии, измерять по ней длины достаточно грубо из-за разных погрешностей.

В древности линейки представляли из себя аккуратно обструганные дощечки.

Позже развились технологии, и уже европейские монахи для разметки листов бумаги использовали свинцовые пластины.

Свинец считается не самым полезным металлом, но его проще обрабатывать, поэтому его и использовали.

Также иногда использовались металлические прутья под названиями «шильцы».

У русских писцов также были похожие приборы, и они назывались «правильца».

Современная метрическая система измерения длины сложилась во Франции в начале XIX века.

За основу взяли длину географического меридиана, проходящего через Париж, и поделили его на 40 миллионов, так получился метр.

Тогда изготовили две линейки из платины, каждая длинной в один метр.

Массовое производство линеек пошло уже в конце XIX века, и в XX веке линейка стала обыденным предметом.

Также появлялись линейки под специальные нужды, например, артиллерийская линейка:

Или штурманская линейка:

В современном мире на производстве чертят уже с помощью компьютерных программ, и там построение прямых линий идет программными средствами.

В образовательных целях или же при разметке какого-либо материала, линейки и их аналоги используются по сей день.

Заключительный тест

Пройти тест