Урок 45 Бесплатно Параллельные прямые

На этом уроке разберем один из случаев взаимного расположения прямых на плоскости, узнаем, какие прямые называют параллельными.

Дадим представление об основных свойствах и признаках параллельных прямых.

Рассмотрим, с помощью каких инструментов и какими способами можно построить их на плоскости.

Убедимся на примерах, в том, что знания о параллельных прямых используются во многих областях нашей жизни.

Параллельные прямые

Из всех известных нам линий самой простой на первый взгляд является прямая линия.

Прямая линия бесконечна- не имеет начала и конца.

Следовательно, изобразить на плоскости мы можем только часть прямой, а общий вид ее мы можем только представить.

Прямую обозначают любой строчной латинской буквой и читают как «Прямая а», но прямая может быть обозначена двумя прописными латинскими буквами, которые располагаются на разных концах прямой, и читают как «Прямая АВ».

Если на прямой отметить точку, то в результате получатся два луча, направленные в разные стороны (как вам уже известно, луч- это часть прямой, ограниченная с одной стороны).

Если на прямой обозначить две точки, то между этими точками образуется отрезок (отрезок- это часть прямой, ограниченная с обоих сторон).

Прямая линия имеет такие характерные особенности:

Через две произвольные точки можно провести прямую, и притом только одну.

Через произвольную точку можно провести бесконечное множество прямых.

Две не совпадающие прямые на плоскости или пересекаются, или не пересекаются.

Прямые, лежащие в одной плоскости и непересекающиеся на всем своем протяжении, называются параллельными прямыми.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Слово «параллельность»- «параллелос» с греческого языка переводится как «идущие рядом».

Термин «параллельность» использовали еще за долго до того, как параллельные прямые приобрели свое определение.

В древности знак для обозначения параллельных прямых имел вид знака, известного нам сегодня, как знак равенства «=».

Например, параллельность прямых а и d записывали так: «а = d».

Но в 1557 году Роберт Рекорд для обозначения равенства ввел знак равно в том виде, в котором он сегодня известен нам «=».

Чтобы избежать недоразумений и путаницы, символ параллельности был перевернут вертикально, его стали обозначать «||»

Сейчас параллельность прямых а и d записывают так: «а||d».

Принято считать, что между параллельными прямыми угол равен нулю.

Отрезки, лежащие на параллельных прямых, называются параллельными друг другу.

Отрезки AB и CD параллельны (AB||CD).

Отрезки OM и CD не являются параллельными.

Лучи, лежащие на параллельных прямых, называются параллельными друг другу.

Луч а и b параллельны (а||b).

Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, отрезка и луча, луча и прямой.

Необходимо понимать, что нельзя считать отрезки и лучи параллельными друг другу только за то, что они не пересекаются.

Приведем пример непересекающихся отрезков и лучей, которые вовсе не параллельны друг другу.

Как мы можем заметить, отрезок АВ не пересекает луч (а), но он и не параллелен ему.

Таким образом, отрезки и лучи, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, будут являться параллельными друг другу и этим прямым.

Выясним некоторые признаки и свойства параллельных прямых.

Рассмотрим аксиому параллельности прямых:

(Аксиома- это истинное утверждение, которое не требует доказательств, его принимают как необходимое допущение)

Через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую параллельную данной.

Все точки одной параллельной прямой находятся на одинаковом расстоянии от другой прямой параллельной данной.

Таким образом, расстояние между параллельными прямыми везде одинаково, а длина отрезка- перпендикуляра, заключенного между двумя параллельными прямыми, есть расстояние между ними.

Подобную ситуацию можно представить, вспомнив железнодорожный путь (рельсы и шпалы) или шведскую лестницу.

Рассмотрим некоторые признаки параллельных прямых:

1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они между собой параллельны

Если а||с и b||с, то а||b.

2. Если две прямые перпендикулярны третьей, то эти две прямые параллельны друг другу.

Если ас и bс, то а||b.

Перейдем к знакомству со свойствами параллельных прямых.

Свойство- это утверждения обратные признакам.

1. Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и ко второй.

Если c||b и ас, то аb.

2. Если несколько параллельных прямых пересечь прямой, то эта прямая пересечет каждую из параллельных прямых, причем под одним и тем же углом.

∠1 = ∠2 = ∠3

Части параллельных прямых, замкнутые между другими параллельными прямыми, равны.

Если а||b и d||c, ас, bc, bd, ad, то отрезки AB = CD и AC = BD.

Верно и обратное утверждение, если противоположные части четырех пересекающихся прямых равны, то эти части параллельны.

Подобную ситуацию можно представить, вспомнив четырехугольную столешницу или табурет.

Существуют другие признаки и свойства параллельных прямых, но они будут рассмотрены вами позже.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Параллельность прямых- вопрос, который имеет большую историю.

Главный труд древнегреческого математика Евклида «Начала» (300 лет до н.э.) является первым, дошедшим до наших дней, теоретическим трактатом по математике, и содержит основы античной геометрии и математики.

В «Началах» Евклид обобщил все ранее известные достижения древнегреческой математики и создал основу для ее дальнейшего изучения и развития.

Главное научное и историческое значение данной работы Евклида заключается в попытках построения теории геометрии на основе аксиом и логических рассуждений.

Изложение материала ведется от общего к частному: определения и аксиомы далее постулаты, затем задачи и теоремы.

Евклид делает понятия аксиома и постулат различными, но это различие не ясно.

Особый интерес и внимание у математиков всех времен и народов вызывала пятая аксиома о параллельных прямых, описанная в первой из тринадцати книг «Начала».

Пятый постулат Евклида о параллельных прямых, в отличии от остальных простых и элементарных для понимания постулатов, казался громоздким и, на первый взгляд, не очень очевидным.

В связи с этим, многие математики пытались доказать недоказуемое и вывести постулат из разряда аксиом и представить, как теорему.

Любые доказательства сводились к появлению только лишь более простых формулировок постулата.

За два тысячелетия было огромное множество попыток доказать пятый постулат, но каждая из них содержала утверждение, которое невозможно было доказать без использования того самого постулата.

Научные труды «Начала» оказали заметное влияние на развитие теории математики вплоть до наших дней.

Книга была переведена на множество языков.

В современных источниках приводится другая формулировка постулата о параллельных прямых, которая равносильна постулату Евклида.

Принадлежит она Птолемею Проклу: «В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.»

Существуют и другие эквивалентные формулировки

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Практические способы построения параллельных прямых на плоскости

Существует несколько способов построения параллельных прямых на плоскости, рассмотрим их.

1. Построение параллельных прямых с помощью чертежного угольника и линейки.

Чтобы построить прямую (b), параллельную заданной прямой (а), на определенном расстоянии в точке D, необходимо:

Приложить угольник к заданной прямой (а).

К угольнику приложить линейку, как показано на рисунке.

Передвинуть угольник вдоль линейки, как по рельсам (стороны линейки и угольника должны быть плотно прижаты друг к другу) до точки D, так чтобы эта точка D оказалась на стороне угольника.

Не отрывая угольника от плоскости, провести прямую (b) через точку D.

Получили: прямая а||b.

2. Построение параллельной прямой, стоящей на заданном расстоянии от данной прямой, с помощью чертежного угольника и линейки

Пусть дана прямая ОМ, и задано расстояние от этой прямой, на котором необходимо построить параллельную прямую.

Отметить на прямой ОМ произвольную точку В.

С помощью угольника через точку В провести прямую АВ перпендикулярную прямой ОМ.

На прямой АВ от точки В отложить отрезок ВС, который равен заданному расстоянию.

С помощью угольника и линейки провести прямую CD через точку С.

Для этого приложим линейку и угольник к прямой АВ, и будем передвигать угольник вдоль линейки до тех пор, пока точка С не сравняется с прямым углом угольника.

Не отрывая угольника от плоскости, провести прямую CD параллельную прямой ОМ.

3. Построение параллельных прямых с помощью линейки и циркуля.

Способ 1.

С помощью линейки провести произвольную прямую АВ.

Отметить на необходимом расстоянии точку Р, не лежащую на этой прямой.

Построить дугу №1 с центром в точке Р, с радиусом больше расстояния от точки Р до прямой АВ, так чтобы дуга пересекла прямую АВ в точке М.

Построить дугу №2 с центром в точке М и с прежним радиусом, так чтобы дуга пересекла прямую АВ в точке N.

Построить дугу №3 с центром в точке N и с прежним радиусом.

Дуги №1 и №3 пересекутся в точке Q.

Провести с помощью линейки прямую PQ.

Получим прямую, параллельную АВ и проходящую через точку Р.

4. Построение параллельных прямых с помощью линейки и циркуля.

Способ 2.

С помощью линейки провести произвольную прямую АВ.

Отметить на необходимом расстоянии точку Р, не лежащую на этой прямой.

Построить дугу №1 с центром в точке Р, с радиусом больше расстояния от точки Р до прямой АВ, так чтобы дуга пересекла прямую АВ в точках М и N.

Построить дугу №2 с центром в точке М и тем же радиусом, проходящую через заданную точку Р.

Построить дугу №3 с центром в точке Р и радиусом равным МN.

Дуга №3 пересечет дугу №2 в точке Q.

Провести с помощью линейки прямую PQ.

Получим прямую, параллельную АB и проходящую через точку Р.

5. Построение параллельных прямых с помощью циркуля и линейки.

Способ 3.

Начертить с помощью линейки произвольную прямую а.

Отметить на необходимом расстоянии точку А, не лежащую на этой прямой.

На прямой а отметить точку О.

Построить с помощью циркуля окружность №1 с центром в точке О и радиусом равным отрезку ОА.

Полученная окружность пересечет прямую а в точках В1 и В2.

Из точки В1 построить окружность №2 все с тем же радиусом равным ОА.

Окружность с центром в В1 пересечет построенную ранее окружность №1 в точке А1.

Аналогично из точки В2 построить окружность №3 все с тем же радиусом равным ОА.

Окружность с центром в В2 пересечет построенную ранее окружность №1 в точке А2.

Провести с помощью линейки прямую через точки А1 и А2.

Получим прямую А1А2 параллельную прямой а.

Помните, что расстояние между параллельными прямыми должно быть одинаковым и равным заданному значению.

Параллельность можно проверить с помощью линейки.

6. Построение параллельных прямых с помощью чертежных инструментов.

Рейсшина- это чертежная линейка с поперечной планкой на одном конце.

Другое ее название- винкель.

Слово рейсшина (Reißschiene) произошло из немецкого языка: Reißn- чертить и schiene- шина, рельс и означает линейку для проведения параллельных прямых.

Устройство первых рейсшин напоминало букву Т.

Первое время она состояла из двух линеек, закрепленных под прямых углом.

В настоящее время используют усовершенствованные формы рейсшины.

Например, создана небольшая роликовая рейсшина- инерционная линейка.

Малка- это столярный и слесарный инструмент для разметки и измерения углов, черчения параллельных линий

Состоит из двух частей, скрепленных между собой зажимным винтом: толстая часть- колодка (основание), тонкая часть- линейка, по ней проводится разметка и измерения.

Малка может применятся в строительных работах.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Параллельные прямые в окружающем нас мире

В жизни нас окружает огромное количество параллельных прямых.

Чаще всего мы их просто не замечаем, воспринимая параллельные прямые как само собой разумеющееся.

Понятно, что в жизни мы имеем дело не с прямыми, а лишь с их частями- отрезками, лежащими на этих прямых.

Знания о параллельных прямых применяются во многих областях науки и технике.

При строительстве зданий и возведении архитектурных сооружений обязательно учитывается параллельность.

Любая строительная конструкция должна быть устойчивой и прочной, поэтому их возводят из параллельных отрезков и плоскостей, соединенных между собой.

Например, строго параллельны линии пересечения стен и потолка и пересечение пола и стены, этажи дома параллельны друг другу, стены шахты лифта и самого лифта, колонны архитектурных сооружений и т.д.

Если обратить внимание на железнодорожные рельсы, то мы можем заметить, что параллельно расположены не только стальные направляющие для перемещения подвижного состава, но и шпалы, связывающие обе рельсы в общую колею.

Такая ситуация естественна, так как расстояние между колесами железнодорожного состава постоянное, если рельсы и шпалы не будут параллельны, то вагон сойдет с них.

Например, четкое соблюдение параллельности используется в таком высокотехнологичном устройстве, как лазер.

Лазер- это устройство, в которой энергия тепловая, химическая или электрическая превращается в более мощную энергию- лазерную энергию.

Важнейшей частью лазера является устройство, которое называется оптический резонатор- это пара зеркал, параллельных друг другу.

За счет такого расположения зеркал резонатор заставляет световую волну многократно отражаться и усиливать световой луч во много раз.

Параллельными являются световые лучи приходящие и исходящие в угловой отражатель.

Таковым, например, является световой отражатель- катафот, который используется для отражения луча света, тем самым привлекая внимание в условиях плохого освещения.

Устанавливаются подобные приборы на велосипеды, коляски, автомобили, используют для повышения заметности навигационных знаков для радиолокаторов судов.

Так же угловой отражатель применяют для точного измерения расстояний.

Например, получения съемочного оригинала топографических карт или планов и др.

Примеров научного и технического применения свойств параллельных прямых, лучей и отрезков огромное множество, их можно перечислять бесконечно.

Если внимательно присмотреться, параллели можно заметить повсюду.

Многие художники в своих произведениях искусства использовали параллельные прямые и отрезки.

Например, никак не обойтись без параллельных форм в таком направлении искусства как кубизм, главной особенностью которого является изображение и построение объемных фигур и геометрических элементов.

Параллельные прямые можно заметить в музыке.

Действительно, тетради и нотная грамота разлинованы параллельными прямыми; струны, клавиши музыкальных инструментов расположены параллельно по отношению друг к другу и др.

Параллельны лестницы шведской стенки и турник относительно пола в спортзале, параллельны в шкафу полки, у линейки края, страницы в книге и многое другое.

Кроме всего разнообразия примеров использования и применения параллельных прямых в жизни человека, мы можем заметить, что и сама природа использует параллельные.

Например, формы шестиугольника позволяют предельно минимизировать пространство и дает возможность на меньшей территории поместить как можно больше таких фигур.

Шестиугольная форма симметричная: грани в ней попарно параллельны.

Наиболее ярким примером природного шестигранника служат пчелиные соты.

Пчелы используют многогранники для хранения меда и откладки яиц.

Глаза некоторых насекомых состоят из множества шестиугольников, что позволяет насекомому видеть сразу во всех направлениях.

В человеческом глазу тоже должна соблюдаться параллельность, так у здоровых людей зрительные оси обоих глаз должны быть параллельны, иначе развивается болезнь глаз- косоглазие.

Кристаллы воды и алмаза, некоторые растительные клетки имеют форму правильных шестиугольников, в которых грани попарно параллельны.

А, например, кристаллы кальцита, если их раздробить на мелкие части, они всегда распадаются на осколки с параллельными гранями, чаще всего в форме параллелепипеда.

Как мы смогли убедиться, вокруг нас находится множество параллелей, очевидных и о которых мы, может быть, даже не подозреваем.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Дополнительная информация

Известно, что параллельные прямые никогда не пересекаются.

Но существуют некоторые зрительные иллюзии, которые заставляют нас думать иначе, вопреки законам математики.

Визуально противоречивые изображения создают конфликт между фактической формой и картинкой видимой глазу.

Посмотрим несколько таких иллюзий:

1. Иллюзия Геринга- иллюзия «веера».

На самом деле прямые параллельны, но расходящиеся из центра подобно вееру черные линии, искажают их.

2. Иллюзия Вундта.

Горизонтальные линии в центре параллельны, но ломаные в такой конфигурации искажают их.

3. Окружность в центре только кажется искаженной, ее зрительно искажают параллельные линии, пересекающие окружность.

4. Иллюзия Цольнера.

Параллельные прямые кажутся беспорядочно направленными из-за коротких насечек на них.

5. Параллельные прямые такими нам не кажутся из-за особого расположения черных и белых квадратиков

Заключительный тест

Пройти тест