Урок 21 Получить доступ за 75 баллов Отношения

В этом уроке мы узнаем, что такое отношения. Также поймем, что нам показывает отношение двух чисел. И в завершение узнаем, как определить часть одного числа от другого.

Начнем с определения:

Отношением двух чисел называют частное этих двух чисел.

Записать отношение числа a к числу b мы можем как \(\mathbf{a \div b}\) или же через дробную черту: \(\mathbf{\frac{a}{b}}\)

У нас получается дробное выражение, поэтому возможны варианты во что оно преобразуется:

• может получиться натуральное число
• обыкновенная дробь
• смешанное число

Посмотрим на разные примеры.

Пример 1

Найдем отношение чисел 256 и 8

По определению, отношением двух чисел будет являться их частное, что мы и посчитаем.

\(\mathbf{256\div8=32}\)

Ответом будет 32.

Иными словами, 256 относится к 8 как 32 к 1

В последней фразе была как раз упомянута суть отношения, мы акцентируем на этом внимание.

Отношение одного числа к другому показывает, как одно число соотносится с другим, иными словами, во сколько раз оно его больше или меньше:

• если отношение получилось больше 1, значит, первое число больше второго
• если меньше 1, то второе число больше первого
• если отношение оказалось равно 1, значит, числа равны

Пример 2

Найдите отношение 15 к 12

По определению посчитаем частное, а далее посмотрим на полученный результат.

\(\mathbf{15\div12=\frac{15}{12}=\frac{5\cdot3}{4\cdot3}=\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}}\)

Данный пример иллюстрирует, в каких случая получается смешанное число.

Отношение равняется смешанному числу в тех случаях, когда первое число больше второго, и при этом первое на второе не делится.

Мы можем прочитать результат так: 15 больше 12 в \(\mathbf{1\frac{1}{4}}\) раза.

Пример 3

Найдем отношение 16 к 24.

Снова идем по алгоритму: делим первое число на второе.

\(\mathbf{16\div24=\frac{16}{24}=\frac{8\cdot2}{8\cdot3}=\frac{2}{3}}\)

В этом случае мы получили в ответе правильную дробь.

Нам это говорит о том, что первое число меньше второго.

А если мы хотим сказать, как именно первое число меньше второго, то это можно сделать так: первое число меньше второго в \(\mathbf{\frac{2}{3}}\) раза.

Мы можем сформулировать вывод и так: 16 составляет \(\mathbf{\frac{2}{3}}\) от 24-х, то есть мы отвечаем на вопрос, какой частью является первое число от второго.

Также важно отметить, что отношение числа a к числу b не всегда равно отношению числа b к числу a.

Пример 4

Есть два числа, 14 и 28

Посчитаем отношение 14 к 28

\(\mathbf{14\div28=\frac{14}{28}=\frac{14\cdot1}{14\cdot2}=\frac{1}{2}}\)

И посчитаем отношение 28 к 14

\(\mathbf{28\div14=2}\)

Как вы видите, получились разные значения.

Как можно заметить, это взаимно обратные числа.

Отметим еще одно свойство отношений: если есть два числа a и b, то отношение a к b взаимно обратно отношению b к a.

Если дано отношение первого числа ко второму, то мы без труда сможем найти отношение второго к первому, даже не зная самих чисел, просто посчитав обратное к отношению число.

Пример 5

Дано, что отношение числа a к числу b равно \(\mathbf{\frac{2}{5}}\), найдем отношение b к a

Для этого надо найти обратное число к \(\mathbf{\frac{2}{5}}\)

\(\mathbf{1\div\frac{2}{5}=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}}\)

Значит, отношение b к a равняется \(\mathbf{2\frac{1}{2}}\)

В конце этой части добавим еще одно простое, но важное свойство.

Отношение двух чисел не изменится, если каждое из них домножить или разделить на одно и тоже число.

Это легко доказать, показав, что при делении этот множитель сократится.

Пример 6

Отношение числа 10 к числу 30 равно \(\mathbf{\frac{1}{3}}\)

Домножим каждое из чисел на 2 и заметим, что отношение 20 к 60 также равно \(\mathbf{\frac{1}{3}}\)

Посмотрим, какие еще можно сделать выводы, зная отношение.

Мы знаем, что, чтобы найти часть от числа (другими словами, дробь от числа), надо умножить число на эту дробь.

Так мы получим число, которое будет частью исходного.

Допустим, изначально у нас было число 4, и мы решили найти от него \(\mathbf{\frac{3}{8}}\)

Перемножив, мы получим:

\(\mathbf{4\cdot\frac{3}{8}=\frac{4\cdot3}{8}=\frac{4\cdot3}{4\cdot2}=\frac{3}{2}=1\frac{1}{2}}\)

А теперь найдите отношение полученного числа к изначальному.

Для этого разделите одно на другое:

\(\mathbf{1\frac{1}{2}\div4=\frac{3}{2}\div4=\frac{3}{2\cdot4}=\frac{3}{8}}\)

То, что вы получили отношение, равное той дроби, которую мы находили, не совпадение.

Действительно, находя дробь от числа мы получаем число, чье отношение к исходному будет равно этой дроби.

Сформулируем еще более коротко и четко: отношение числа a к числу b обратно дроби, которую нужно взять от числа а, чтобы получить число b.

Пример 1

Известно, что некая дробь от числа 10 равна \(\mathbf{2\frac{1}{2}}\)

Найдем, какая именно это дробь.

Решение:

Дробь от числа равна отношению полученного числа к изначальному.

Теперь разделим одно на другое и получим ответ.

\(\mathbf{2\frac{1}{2}\div10=\frac{2\cdot2+1}{2}\div10=\frac{5}{2}\div10=\frac{5}{2\cdot10}=\frac{1}{2\cdot2}=\frac{1}{4}}\)

Ответ: дробь, взяв которую от 10 получили \(\mathbf{2\frac{1}{2}}\), равняется \(\mathbf{\frac{1}{4}}\)

Пример 2

Отношение первого числа ко второму равно \(\mathbf{1\frac{1}{5}}\), также известно, что первое число равно 6.

Найдем второе число.

Решение:

Мы знаем, что отношение обратно дроби.

Найдем обратное число к \(\mathbf{1\frac{1}{5}}\)

\(\mathbf{1\div1\frac{1}{5}=1\div\frac{6}{5}=1\cdot\frac{5}{6}=\frac{5}{6}}\)

Теперь можно найти второе число, домножим первое на эту дробь:

\(\mathbf{6\cdot\frac{5}{6}=\frac{6\cdot5}{6}=5}\)

Второе число равно 5

Проверка:

Найдем отношение первого числа ко второму, то есть 6 к 5

\(\mathbf{6\div5=\frac{6}{5}=1\frac{1}{5}}\)

Получилось то же отношение, что и в условии.

Пример 3

Решим похожую задачу:

Отношение числа а к числу b равно \(\mathbf{1\frac{1}{2}}\)

Известно, что число b равняется 8-ми, надо найти число а.

Решение:

Найдем, какую дробь число b составляет от числа a, то есть найдем обратное число от отношения:

\(\mathbf{1\div1\frac{1}{2}=1\div\frac{3}{2}=\frac{2}{3}}\)

Теперь, чтобы найти число по его дроби, надо разделить часть от числа на эту дробь.

В нашем случае на дробь надо делить число b :

\(\mathbf{8\div\frac{2}{3}=8\cdot\frac{3}{2}=\frac{8\cdot3}{2}=4\cdot3=12}\)

Ответ: число a равняется 12

Теперь научимся находить отношения в задачах.

Сразу перейдем к примерам, чтобы посмотреть, за какими формулировками могут стоять отношения.

Задача 1

Длина улицы составляет 25 километров. Освещено 15 километров улицы.

а) Найдите, какая часть улицы освещена.

б) Во сколько раз вся улица длиннее ее освещенной части?

Решение:

В начале урока мы находили отношение меньшего числа к большему, тем самым определили, какую часть первое число составляет от второго.

Именно это и спрашивается в первом вопросе.

Для нахождения отношения длины освещенного участка к длине всей улицы поделим одну величину на другую:

\(\mathbf{15\div25=\frac{15}{25}=\frac{3\cdot5}{5\cdot5}=\frac{3}{5}}\)

Значит, длина освещенного участка составляет \(\mathbf{\frac{3}{5}}\) от длины всей улицы.

Во втором вопросе нас спрашивают: «Во сколько раз больше?» - это соответствует отношению большего числа к меньшему.

Для нахождения этого отношения необходимо поделить длину всей улицы на длину ее освещенной части:

\(\mathbf{25\div15=\frac{25}{15}=\frac{5\cdot5}{3\cdot5}=\frac{5}{3}=1\frac{2}{3}}\)

Что отвечает на вопрос второго пункта.

Ответ: a) \(\mathbf{\frac{3}{5}}\), б) \(\mathbf{1\frac{2}{3}}\)

Также важно помнить, что если подаются какие-либо величины, то всегда надо следить, чтобы мера измерения была одинаковой.

То есть если нам подали что-то в тоннах и килограммах и мы хотим найти отношения этих величин, то надо либо тонны переводить в килограммы, либо наоборот.

Задача 2

Масса груза составляет 2 тонны. Известно, что часть груза-  это одежда и ее масса 350 кг.

Найдите, какую часть от массы груза составляет масса одежды.

Решение:

Для начала преобразуем преобразуем тонны в килограммы. Получается, что масса груза равна 2000 кг.

Теперь найдем искомое отношение:

\(\mathbf{\frac{350}{2000}=\frac{35}{200}=\frac{7\cdot5}{5\cdot40}=\frac{7}{40}}\)

Ответ: \(\mathbf{\frac{7}{40}}\).

Теперь попробуйте порешать задачи самостоятельно, а если будет сложно, используйте подсказки.

Сегодня вы узнаете о математических фокусах!

Их идея в том, что можно запутать людей математическими преобразованиями, которые выдадут то, что нужно нам.

Фокус 1

Попросите зрителя загадать число и никому не говорить.

Теперь попросите его умножить это число на 2, прибавить к результату 8, разделить на 2 и вычесть задуманное число.

Теперь вы можете уверенно сказать, что у зрителя получилось число 4.

Так получается за счет того, что в процессе преобразований исходное число вообще уходит из цепочки вычислений и остается только четверка.

Попробуй доказать это на формулах, взяв за задуманное число Х 

Фокус 2

В нем вы можете угадать День рождения человека.

Попросите зрителя умножить на 2 число дня его рождения, затем пусть он прибавит к результату 5 и умножит это все на 50, после этого попросите зрителя прибавить к этому числу номер месяца рождения (январь- 1, февраль- 2 и т. д.).

Для того чтобы сказать по полученному числу День рождения человека, надо вычесть из числа, названного зрителем, 250 - получится трехзначное или четырехзначное число, где первые одна или две цифры - это день рождения, а последние две - месяц.