Урок 8 Получить доступ за 75 баллов Основное свойство дроби

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина.

Хотя названия всех следующих дробей связаны с названиями их знаменателей («треть», «четверть» и т. д.), для половины это не так - ее название во всех языках не имеет ничего общего со словом «два».

Сегодня мы познакомимся с основным свойством любой из таких дробей.

Возьмем круг, разделим его на три равные части и закрасим две из них.

Каждую из 3-х частей поделим еще на 4 равные части.

Посмотрим, что получилось:

Получим, что весь круг поделен на \( \textbf{3}\cdot\textbf{4}=\textbf{12} \)  частей, а в двух закрашенных частях круга будет \(\textbf{2}\cdot\textbf{4}=\textbf{8} \) таких частей.

Значит, $$\frac{\textbf{2}}{\textbf{3}}=\frac{\textbf{2}\cdot\textbf{4}}{\textbf{3}\cdot\textbf{4}}=\frac{\textbf{8}}{\textbf{12}}$$

То есть $$\frac{\textbf{2}}{\textbf{3}}=\frac{\textbf{8}}{\textbf{12}} $$

Можно записать иначе:

$$\frac{\textbf{8}}{\textbf{12}}=\frac{\textbf{8 : 4}}{\textbf{12 : 4}}=\frac{\textbf{2}}{\textbf{3}}$$

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

В этом заключается основное свойство дроби.

Две равные дроби являются различными записями одного и того же числа.

Любое математическое правило или свойство можно применить на практике.

Посмотрим, как применяется основное свойство дроби.

Пример:

$$\frac{\textbf{3}}{\textbf{4}}=\frac{\textbf{x}}{\textbf{12}}$$

Решение

Мы видим, что неизвестен числитель второй дроби, но дроби между собой равны.

Значит, используя основное свойство дроби, выясним, во сколько раз отличаются знаменатели дробей.

Проще делить больший знаменатель на меньший.

То есть,

$$\frac{\textbf{3}}{\textbf{4}}=\frac{\textbf{3}\cdot\textbf{a}}{\textbf{4}\cdot\textbf{a}}=\frac{\textbf{x}}{\textbf{12}}$$

$$\textbf{4}\cdot\textbf{a}=\textbf{12}$$

12 разделим на 4 и получим 3

$$\textbf{a}=\textbf{3}$$

Теперь найдем неизвестный числитель.

Мы посчитали, что a = 3 Подставив в формулу это значение, получим:

$$\textbf{x}=\textbf{3}\cdot\textbf{a}=\textbf{3}\cdot\textbf{3}=\textbf{9}$$

Получаем девять в числителе второй дроби:

$$\frac{\textbf{3}}{\textbf{4}}=\frac{\textbf{9}}{\textbf{12}}$$

Здесь видим подтверждение того факта, что равные дроби являются различными записями одного и того же числа.

Пример:

На тетрадном листе начертите луч длиной 10 клеток. Отметьте на нем точки с координатами:

$$\frac{\textbf{1}}{\textbf{2}} ; \frac{\textbf{4}}{\textbf{5}} ; \frac{\textbf{3}}{\textbf{10}}$$

Решение

Начертим луч и отметим нужные нам координаты, используя основное свойство дроби, где это требуется.

$$\frac{\textbf{1}}{\textbf{2}}=\frac{\textbf{1}\cdot\textbf{5}}{\textbf{2}\cdot\textbf{5}}=\frac{\textbf{5}}{\textbf{10}}$$

$$\frac{\textbf{4}}{\textbf{5}}=\frac{\textbf{4}\cdot\textbf{2}}{\textbf{5}\cdot\textbf{2}}=\frac{\textbf{8}}{\textbf{10}}$$

В русском языке слово «дробь» появилось в VIII веке. Оно происходит от глагола «дробить» - разбивать, ломать на части.

Современное обозначение дробей берет своё начало в Древней Индии, затем его стали использовать и арабы.

В старых руководствах есть следующие названия дробей на Руси:

Славянская нумерация употреблялась в России до XVI века, затем в страну начала постепенно проникать десятичная позиционная система счисления, она окончательно вытеснила славянскую нумерацию при Петре I.

Использовалась в России земельная мера четверть и более мелкая - получетверть, которая называлась осьмина.

Это были конкретные дроби, единицы для измерения площади земли. Но осьминой нельзя было измерить время или скорость и др.

Значительно позднее осьмина стала означать отвлеченную дробь 1/8, которой можно выразить любую величину.

О применении дробей в России XVII века можно прочитать в книге В. Беллюстина «Как постепенно люди дошли до настоящей арифметики» следующее:

«В рукописи XVII в. «Статиячисленная о всяких долях указ «начинается прямо с письменного обозначения дробей и с указания числителя и знаменателя.

При выговаривании дробей интересны такие особенности: четвертая часть называлась четью, доли же со знаменателем от 5 до 11 выражались словами с окончанием «ина», так что 1/7- седмина, 1/5- пятина, 1/10- десятина; доли же со знаменателями, большими 10, выговаривались с помощью слов «жеребей», например 5/13- пять тринадцатых жеребьёв.

Нумерация дробей была прямо заимствована из западных источников: числитель назывался «верхним числом», знаменатель «исподним».