Урок 7 Бесплатно Наименьшее общее кратное

Мы узнаем, что такое кратные числа, познакомимся с историей этого понятия и научимся находить одно и то же кратное различных чисел.

Наименьшее общее кратное

Если первое натуральное число делится на второе нацело, то второе называют делителем первого числа.

 

Пример

1) найти 10 кратных чисел для 3 и 5

2) из них найдите общие кратные

3) Наименьшее общее кратное чисел 3 и 5

Решение:

1. кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27,30

кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

2. общие кратные 3 и 5: 15, 30. На самом деле общих кратных будет больше, но в нашем примере было ограничение в 10 кратных чисел.

3. Из 15 и 30 меньшим будет первое. Значит, оно и будет тем, что нам требуется.

Наименьшее натуральное число, кратное каждому из взятых в отдельности, будет наименьшим общим кратным всех взятых чисел вместе.

Наименьшее общее кратное чисел x и y обозначают НОК (x, y)

 

Как же можно найти этот НОК?

I способ- начинаем перебирать кратные у самого большого из взятых чисел.

  1. найдем НОК чисел 12 и 18. Самое большое из чисел 12 и 18- это число 18
  2. посчитаем числа, кратные 18: 18, 36, 54, 72, 90
  3. посчитаем числа, кратные 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84
  4. среди них находим наименьшее число 36, такое, что оно делится нацело на оба эти числа, значит оно является НОК 12 и 18

НОК (12, 18)=36

 

II способ- расписываем числа в виде разложения на простые множители.

  1. распишем все данные нам числа в виде разложения на простые множители
  2. выпишем разложение одного из чисел (лучше сразу взять разложение наибольшего  из них)
  3. дополним в эту запись множители, которые входят в разложения других чисел, но которых нет в данном
  4. перемножим то, что получилось и запишем результат

Например:

$$\mathbf{20 = 2\cdot2\cdot5}$$

$$\mathbf{15 = 3\cdot5}$$

В этих разложениях встречаются числа 3, 5, 2, 2

Поэтому, \(\mathbf{НОК (20, 15) = 2\cdot2\cdot3\cdot5 = 60}\)

 

Пример 1

Запишите НОК чисел a и b в виде разложения на множители, если:

А) \(\mathbf{a = 2\cdot2\cdot3\cdot3, b = 2\cdot2\cdot3\cdot7}\)

Б) \(\mathbf{a = 2\cdot2\cdot3, b = 2\cdot37}\)

В) \(\mathbf{a = 2\cdot2\cdot163, b = 2\cdot2\cdot17}\)

Г) \(\mathbf{a = 2\cdot43, b =2\cdot5\cdot5\cdot7}\)

Д) \(\mathbf{a = 2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5, b = 2\cdot2\cdot2\cdot5}\)

Е) \(\mathbf{a = 2\cdot2\cdot2\cdot2, b = 2\cdot2\cdot3\cdot5}\)

Решение:

А) \(\mathbf{НОК (2\cdot2\cdot3\cdot3, 2\cdot2\cdot3\cdot7) = 2\cdot2\cdot3\cdot7\cdot3 = 252}\)

Б) \(\mathbf{НОК (2\cdot2\cdot3, 2\cdot37) = 2\cdot37\cdot2\cdot3 = 444}\)

В) \(\mathbf{НОК (2\cdot2\cdot163, 2\cdot2\cdot17) = 2\cdot2\cdot163\cdot17 = 11084}\)

Г) \(\mathbf{НОК (2\cdot43, 2\cdot5\cdot5\cdot7) = 2\cdot5\cdot5\cdot7\cdot43 = 15050}\)

Д) \(\mathbf{НОК (2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5, 2\cdot2\cdot2\cdot5) = 2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot2 = 1800}\)

Е) \(\mathbf{НОК (2\cdot2\cdot2\cdot2, 2\cdot2\cdot3\cdot5) = 2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot2\cdot2 = 240}\)

 

Пример 2

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

А) 15 и 25

Б) 10 и 6

В) 100 и 84

Г) 36 и 69

Д) 74 и 12

Е) 96 и 50

Решение:

А)

\(\mathbf{15 = 3\cdot5}\)

\(\mathbf{25 = 5\cdot5}\)

\(\mathbf{НОК (15; 25) = 5\cdot5\cdot3 = 75}\)

Б)

\(\mathbf{10 = 2\cdot5}\)

\(\mathbf{6 = 2\cdot3}\)

\(\mathbf{НОК (10; 6) = 2\cdot5\cdot3 = 30}\)

В)

\(\mathbf{100 = 2\cdot2\cdot5\cdot5}\)

\(\mathbf{84 = 2\cdot2\cdot3\cdot7}\)

\(\mathbf{НОК (100; 84) = 2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot3\cdot7 = 2100}\)

Г)

\(\mathbf{36 = 2\cdot2\cdot3\cdot3}\)

\(\mathbf{69 = 3\cdot23}\)

\(\mathbf{НОК (36; 69) = 3\cdot23\cdot2\cdot2\cdot3 = 828}\)

Д)

\(\mathbf{74 = 2\cdot37}\)

\(\mathbf{12 = 2\cdot2\cdot3}\)

\(\mathbf{НОК (74; 12) = 2\cdot37\cdot2\cdot3 = 444}\)

Е)

\(\mathbf{96 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3}\)

\(\mathbf{50 = 2\cdot5\cdot5}\)

\(\mathbf{НОК (96; 50) = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot5 = 2400}\)

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

 «Крат»  в древней Руси XI века значило дословно «раз».

Получается, что «многократно» расшифровывается как «много раз».

Самим понятием кратности часто пользуются в обиходе. Например, бывают разные виды годов, которые получились при использовании нашего математического понятия. На каждые обычные три года, в которых по 365 дней приходится один, в котором 366 дней. Это связано с тем, что в таком году в феврале 29 дней, а не 28. Этот год называется високосным.

Если число, обозначающее год, будет кратно 4, то такой год будет високосным, а если не кратно - тогда год обычный. Например, 2018 год обычный, потому что 2018 не делится без остатка на 4. Следующий за ним, 2019 будет тоже обычным. А вот 2020 год будет уже точно високосный.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Свойства НОК

 

  1. НОК больше, либо равен всем данным числам, для которых его ищут.
  2. Если есть пара чисел и одно из них делится на другое, то НОК для них будет наибольшее из этих чисел.

Алгоритм нахождения НОК согласно этому свойству:

Проверить, не будет ли самое большое из данных чисел делиться на другие из них.

Если делится, тогда это число будет НОК всех данных чисел.

Если не делится, то проверить, не будет ли делиться на остальные числа удвоенное большее число, утроенное и т.д.

Так проверять до тех пор, пока не найдется самое маленькое число, которое будет делиться на каждое из остальных чисел.

Например, НОК (18, 54) = 54; НОК (27, 81) = 81

  1. Для взаимно простых чисел НОК можно найти как их произведение.
  2. НОК(x, x) = x.
  3. НОК(x, 1) = x.

 

Пример 1

Выясните, будут ли числа 35 и 88 взаимно простыми?

Найдите НОК чисел 35 и 88. Равно ли оно произведению 35 и 88?

Найдите НОК получившегося произведения.

Решение:

\(\mathbf{35 = 5\cdot7}\)

\(\mathbf{88 = 2\cdot2\cdot2\cdot11}\)

 

Одинаковых множителей, кроме 1, в разложениях чисел 35 и 88 не нашлось. Можно сделать вывод, что они взаимно простые.

\(\mathbf{НОК (35; 88) = 5\cdot7\cdot2\cdot2\cdot2\cdot11 = (5\cdot7)\cdot(2\cdot2\cdot2\cdot11)= 35\cdot88 =3080}\)

Наименьшее общее кратное чисел 35 и 88 находится как произведение этих чисел.

 

Пример 2

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

а) 45 и 135; б) 34 и 170

Равно ли оно одному из данных чисел?

Решение:

а)

\(\mathbf{45 = 3\cdot3\cdot5}\)

\(\mathbf{135 = 3\cdot3\cdot3\cdot5}\)

\(\mathbf{НОК (45; 135) = 3\cdot3\cdot5\cdot3 = 135}\) и равно од­ному из чисел - 135;
б)

\(\mathbf{34 = 2\cdot17}\)

\(\mathbf{170 = 2\cdot5\cdot17}\)

\(\mathbf{НОК (34; 170) = 2\cdot5\cdot17=170}\) и равно одному из данных чисел - 170 

 

Пример 3

Вдоль дороги от пункта А поставлены столбы через каждые 75 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 30 м друг от друга. Найдите расстояние от пункта А до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого, кроме столба в точке А. 

Решение:

Надо найти НОК (75; 30).

\(\mathbf{75=3\cdot5\cdot5}\)

\(\mathbf{30=2\cdot3\cdot5}\)

\(\mathbf{НОК (75; 30)= 3\cdot5\cdot5\cdot2 = 150}\)

Ответ: расстояние от пункта А до ближайшего столба, ко­торый будет стоять на месте старого, равно 150 м.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

По разобранным примерам видно, что в НОК не входит наибольший общий делитель чисел.

Получаем такое свойство: произведение любой пары натуральных чисел равно произведению их наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК)

\(\mathbf{A\cdot b = НОД (A; b) \cdot НОК (A; b)}\)

 

Пример использования формулы:

НОК (143; 91) - ?

\(\mathbf{143\cdot91 = НОД (143; 91) \cdot НОК (143; 91)}\)

 

Используем алгоритм Евклида:

\(\mathbf{НОД (143; 91) = НОД (52; 91) = НОД (52; 39) = НОД (13; 39) = 13}\)

\(\mathbf{143\cdot91 = 13\cdotНОК (143; 91)}\)

\(\mathbf{НОК (143; 91) = (143\cdot91) : 13 = 1001}\)

\(\mathbf{НОК (143; 91) = 1001}\)

 

Итак, можно выделить еще один, уже третий по счёту алгоритм вычисления НОК:

его можно применять для пары чисел, для которых уже найден их НОД.

Рациональнее его применять в задачах на нахождение НОД и НОК, так как тогда он даёт выигрыш во времени решения таких задач. Во всех других случаях вы потратите почти в два раз больше времени, если выберете этот алгоритм, а не предыдущие два.

Разберём пример.

Нужно найти НОД и НОК чисел 24 и 12.

Первым шагом вычислим НОД этих чисел:

\(\mathbf{24 = 2\cdot2\cdot2\cdot3}\)

\(\mathbf{12 = 2\cdot2\cdot3}\)

\(\mathbf{НОД (12; 24) = 2\cdot2\cdot3 = 12}\)

Теперь для нахождения НОК чисел 24 и 12, нужно найти их произведение и полученный результат разделить на их НОД, который мы посчитали в первом шаге.

Произведение чисел 24 и 12, равно 288

288 : 12 = 24

В частном получили 24. Значит НОК чисел 24 и 12 равно 24

НОК (12; 24) = 24

НОК (12; 24) = 24

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Интересная информация

Понятие кратных чисел используется не только при нахождении НОК.

По всему миру при обозначении разных больших чисел используются кратные единицы. Например, в физике или химии.

Существует определенная единица измерения и кратные ей, превышающие в несколько целое число раз.

На основе этих кратных единиц построена международная система единиц (СИ). Посмотрим, какие бывают единицы СИ в физике и других науках.

Все эти приставки вводились постепенно с 1960 года и вводятся по сей день. Их мы используем и в жизни.

Вспомните- есть такая мера веса, как грамм. Но есть и мера веса как КИЛОграмм. Если посмотрите на таблицу выше, то это приставка из третьей строки и она означает, что в одном килограмме 1000 грамм или \(\mathbf{10^{3}}\) грамм.

В жизни используются и другие из этих приставок в основном в науке или производстве.

Заключительный тест

Пройти тест