Урок 7 Получить доступ за 50 баллов Наименьшее общее кратное

Мы узнаем, что такое кратные числа, познакомимся с историей этого понятия и научимся находить одно и то же кратное различных чисел.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Наименьшее общее кратное

Если первое натуральное число делится на второе нацело, то второе называют делителем первого числа.

 

Пример

1) найти 10 кратных чисел для 3 и 5

2) из них найти общие кратные

3) наименьшее общее кратное чисел 3 и 5

Решение:

1. Кратные 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27,30.

Кратные 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50

2. Общие кратные 3 и 5: 15, 30. На самом деле общих кратных будет больше, но в нашем примере было ограничение в 10 кратных чисел.

3. Из 15 и 30 меньшим будет первое. Значит, оно и будет тем, что нам требуется.

Наименьшее натуральное число, кратное каждому из взятых в отдельности, будет наименьшим общим кратным всех взятых чисел вместе.

Наименьшее общее кратное чисел x и y обозначают НОК (x, y)

 

Как же можно найти этот НОК?

I способ: начинаем перебирать кратные у самого большого из взятых чисел.

  1. Найдем НОК чисел 12 и 18. Самое большое из них - это число 18
  2. Посчитаем числа, кратные 18: 18, 36, 54, 72, 90
  3. Посчитаем числа, кратные 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84
  4. Среди них находим наименьшее число, которое  делится нацело на оба эти числа, - 36. Значит оно является НОК 12 и 18

НОК (12, 18)=36

 

II способ: расписываем числа в виде разложения на простые множители.

  1. Распишем все данные нам числа в виде разложения на простые множители
  2. Выпишем разложение одного из чисел (лучше сразу взять разложение наибольшего из них)
  3. Дополним в эту запись множители, которые входят в разложения других чисел, но которых нет в данном
  4. Перемножим то, что получилось, и запишем результат

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Например:

$$\mathbf{20 = 2\cdot2\cdot5}$$

$$\mathbf{15 = 3\cdot5}$$

В этих разложениях встречаются числа 3, 5, 2, 2

Поэтому, \(\mathbf{НОК (20, 15) = 2\cdot2\cdot3\cdot5 = 60}\)

 

Пример 1

Запишите НОК чисел a и b в виде разложения на множители, если:

А) \(\mathbf{a = 2\cdot2\cdot3\cdot3, b = 2\cdot2\cdot3\cdot7}\)

Б) \(\mathbf{a = 2\cdot2\cdot3, b = 2\cdot37}\)

В) \(\mathbf{a = 2\cdot2\cdot163, b = 2\cdot2\cdot17}\)

Г) \(\mathbf{a = 2\cdot43, b =2\cdot5\cdot5\cdot7}\)

Д) \(\mathbf{a = 2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5, b = 2\cdot2\cdot2\cdot5}\)

Е) \(\mathbf{a = 2\cdot2\cdot2\cdot2, b = 2\cdot2\cdot3\cdot5}\)

Решение:

А) \(\mathbf{НОК (2\cdot2\cdot3\cdot3, 2\cdot2\cdot3\cdot7) = 2\cdot2\cdot3\cdot7\cdot3 = 252}\)

Б) \(\mathbf{НОК (2\cdot2\cdot3, 2\cdot37) = 2\cdot37\cdot2\cdot3 = 444}\)

В) \(\mathbf{НОК (2\cdot2\cdot163, 2\cdot2\cdot17) = 2\cdot2\cdot163\cdot17 = 11084}\)

Г) \(\mathbf{НОК (2\cdot43, 2\cdot5\cdot5\cdot7) = 2\cdot5\cdot5\cdot7\cdot43 = 15050}\)

Д) \(\mathbf{НОК (2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5, 2\cdot2\cdot2\cdot5) = 2\cdot2\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot2 = 1800}\)

Е) \(\mathbf{НОК (2\cdot2\cdot2\cdot2, 2\cdot2\cdot3\cdot5) = 2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot2\cdot2 = 240}\)

 

Пример 2

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

А) 15 и 25

Б) 10 и 6

В) 100 и 84

Г) 36 и 69

Д) 74 и 12

Е) 96 и 50

Решение:

А)

\(\mathbf{15 = 3\cdot5}\)

\(\mathbf{25 = 5\cdot5}\)

\(\mathbf{НОК (15; 25) = 5\cdot5\cdot3 = 75}\)

Б)

\(\mathbf{10 = 2\cdot5}\)

\(\mathbf{6 = 2\cdot3}\)

\(\mathbf{НОК (10; 6) = 2\cdot5\cdot3 = 30}\)

В)

\(\mathbf{100 = 2\cdot2\cdot5\cdot5}\)

\(\mathbf{84 = 2\cdot2\cdot3\cdot7}\)

\(\mathbf{НОК (100; 84) = 2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot3\cdot7 = 2100}\)

Г)

\(\mathbf{36 = 2\cdot2\cdot3\cdot3}\)

\(\mathbf{69 = 3\cdot23}\)

\(\mathbf{НОК (36; 69) = 3\cdot23\cdot2\cdot2\cdot3 = 828}\)

Д)

\(\mathbf{74 = 2\cdot37}\)

\(\mathbf{12 = 2\cdot2\cdot3}\)

\(\mathbf{НОК (74; 12) = 2\cdot37\cdot2\cdot3 = 444}\)

Е)

\(\mathbf{96 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3}\)

\(\mathbf{50 = 2\cdot5\cdot5}\)

\(\mathbf{НОК (96; 50) = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot3\cdot5\cdot5 = 2400}\)

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Свойства НОК

 

  1. НОК больше либо равен всем данным числам, для которых его ищут
  2. Если есть пара чисел и одно из них делится на другое, то НОК для них будет наибольшее из этих чисел

Алгоритм нахождения НОК согласно этому свойству:

Проверить, не будет ли самое большое из данных чисел делиться на другие из них.

Если делится, тогда это число будет НОК всех данных чисел.

Если не делится, то проверить, не будет ли делиться на остальные числа удвоенное большее число, утроенное и т.д.

Так проверять до тех пор, пока не найдется самое маленькое число, которое будет делиться на каждое из остальных чисел.

Например, НОК (18, 54) = 54; НОК (27, 81) = 81

  1. Для взаимно простых чисел НОК можно найти как их произведение.
  2. НОК(x, x) = x.
  3. НОК(x, 1) = x.

 

Пример 1

Выясните, будут ли числа 35 и 88 взаимно простыми?

Найдите НОК чисел 35 и 88. Равно ли оно произведению 35 и 88?

Найдите НОК получившегося произведения.

Решение:

\(\mathbf{35 = 5\cdot7}\)

\(\mathbf{88 = 2\cdot2\cdot2\cdot11}\)

 

Одинаковых множителей, кроме 1, в разложениях чисел 35 и 88 не нашлось. Можно сделать вывод, что они взаимно простые.

\(\mathbf{НОК (35; 88) = 5\cdot7\cdot2\cdot2\cdot2\cdot11 = (5\cdot7)\cdot(2\cdot2\cdot2\cdot11)= 35\cdot88 =3080}\)

Наименьшее общее кратное чисел 35 и 88 находится как произведение этих чисел.

 

Пример 2

Найдите наименьшее общее кратное чисел:

а) 45 и 135; б) 34 и 170

Равно ли оно одному из данных чисел?

Решение:

а)

\(\mathbf{45 = 3\cdot3\cdot5}\)

\(\mathbf{135 = 3\cdot3\cdot3\cdot5}\)

\(\mathbf{НОК (45; 135) = 3\cdot3\cdot5\cdot3 = 135}\) и равно од­ному из чисел - 135;
б)

\(\mathbf{34 = 2\cdot17}\)

\(\mathbf{170 = 2\cdot5\cdot17}\)

\(\mathbf{НОК (34; 170) = 2\cdot5\cdot17=170}\) и равно одному из данных чисел - 170 

 

Пример 3

Вдоль дороги от пункта А поставлены столбы через каждые 75 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их на расстоянии 30 м друг от друга. Найдите расстояние от пункта А до ближайшего столба, который будет стоять на месте старого, кроме столба в точке А. 

Решение:

Надо найти НОК (75; 30).

\(\mathbf{75=3\cdot5\cdot5}\)

\(\mathbf{30=2\cdot3\cdot5}\)

\(\mathbf{НОК (75; 30)= 3\cdot5\cdot5\cdot2 = 150}\)

Ответ: расстояние от пункта А до ближайшего столба, ко­торый будет стоять на месте старого, равно 150 м.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Интересная информация

Понятие кратных чисел используется не только при нахождении НОК.

По всему миру при обозначении разных больших чисел используются кратные единицы. Например, в физике или химии.

Существует определенная единица измерения и кратные ей, превышающие в несколько раз целое число.

На основе этих кратных единиц построена международная система единиц (СИ). Посмотрим, какие бывают единицы СИ в физике и других науках.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Все эти приставки вводились постепенно с 1960 года и вводятся по сей день. Их мы используем и в жизни.

Вспомните: есть такая мера веса как грамм. Но есть и мера веса как КИЛОграмм. Если посмотрите на таблицу выше. Эта приставка из третьей строки. Она означает, что в одном килограмме 1000 грамм или \(\mathbf{10^{3}}\) грамм.

В жизни используются и другие из этих приставок в основном в науке или производстве.

В бесплатной версии урока недоступны:

  • Видео
  • Изображения
  • Дополнительная информация
  • Таблицы
  • Тесты
Получить доступ