Урок 15 Получить доступ за 75 баллов Нахождение дроби от числа

В этом уроке мы узнаем, как найти дробь от числа, научимся находить проценты от чисел и применим эти навыки для решения задач.

Представим, что у нас есть 3-х килограммовый торт. Мы разрезали его на 8 частей и взяли три из них. В таких случаях хочется знать, сколько килограмм торта у нас есть.

Рассмотрим один из способов рассуждения в таких случаях.

Посчитаем, сколько весит каждый кусок торта.

\(\mathbf{3\div8=\frac{3}{8}}\)

То есть каждый кусок весит \(\mathbf{\frac{3}{8}}\) килограмма.

А так как у нас 3 куска торта, остается домножить вес одного куска на 3.

\(\mathbf{\frac{3}{8}\cdot3=\frac{3\cdot3}{8}=\frac{9}{8}=1\frac{1}{8}}\)

Так мы получили, что в трех кусках содержится \(\mathbf{1\frac{1}{8}}\) килограмма торта.

Сформулируем понятное правило: чтобы найти дробь от числа, надо перемножить число и эту дробь.

То есть, как и раньше, перемножаем числитель дроби и число, пишем в числитель результат умножения, а в знаменатель результата пишем знаменатель дроби.
Далее по необходимости сокращаем дробь или приводим к правильному виду из неправильного.

Дадим еще пару примеров.

Необходимо найти \(\mathbf{\frac{2}{7}}\) от 6-ти.

\(\mathbf{\frac{2}{7}\cdot6=\frac{2\cdot6}{7}=\frac{12}{7}=1\frac{5}{7}}\)

Или пусть дано задание найти \(\mathbf{\frac{1}{3}}\) от 9.

Здесь вы видите, что почти все заключается в сокращении.

\(\mathbf{\frac{1}{3}\cdot9=\frac{1\cdot9}{3}=\frac{1\cdot3}{1}=3}\)

Особенно часто можно слышать про проценты в контексте экономических высказываний: цены выросли на 15 %, доходы уменьшились на  5% и так далее.

Запись в виде 10 % нужно трактовать как 0.1

\(\mathbf{12\%=0.12}\)

\(\mathbf{50\%=0.5}\)

и так далее, то есть чтобы получить десятичную дробь, равную числу в процентах, надо поделить количество процентов на 100.

Таким образом, чтобы найти процент от числа, надо перевести проценты в десятичную дробь, а дальше воспользоваться правилом нахождения дроби от числа: умножить число на дробь.

Например, нужно найти 5 % от 200.

Первым действием преобразуем 5 % в десятичную дробь:

\(\mathbf{5\%=5\div100=0.05}\)

Вторым действием перемножаем найденную дробь и число:

\(\mathbf{0.05\cdot200=10}\)

10 и будет являться 5 % от 200.

Рассмотрим еще пару примеров.

Найдите 20 % от 80:

\(\mathbf{20\%=20\div100=0.2}\)

\(\mathbf{0.2\cdot80=16}\)

Также, если это кажется более удобным, можно перевести десятичную дробь в обычную и домножать на нее.

Найдем 50 % от 234:

\(\mathbf{50\%=50\div100=0.5=\frac{1}{2}}\)

\(\mathbf{234\cdot\frac{1}{2}=\frac{234}{2}=\frac{117\cdot2}{2}=117}\)

И немного примеров уже без пояснений:

В начале урока мы уже разобрали пример с тортом, сейчас посмотрим на другие примеры.

Задача 1

Остап зарабатывает 40 000 рублей в месяц.

Из них \(\mathbf{\frac{1}{4}}\) это подработка.

Сколько рублей Остапу приносит подработка?

Решение:

В данной случае числом будет являться сумма заработка за месяц - 40 000

Ну а дробью, очевидно, будет \(\mathbf{\frac{1}{4}}\).

Тогда, чтобы найти прибыль от подработки, надо просто умножить дробь на число.

\(\mathbf{40000\cdot\frac{1}{4}=\frac{40000}{4}=10000}\)

Ответ: 10 000 рублей.

Теперь рассмотрим что-нибудь посложнее.

Задача 2

Порфирий живет в комнате площадью 18 квадратных метров.

3 кровати занимают \(\mathbf{\frac{1}{3}}\) площади комнаты.

Какую площадь занимает одна кровать?

Решение:

Сначала найдем, какую площадь занимают 3 кровати, затем разделим это число на 3, чтобы получить площадь одной кровати.

1) \(\mathbf{18\cdot\frac{1}{3}=\frac{18}{3}=6}\) (квадратных метров) занимают 3 кровати

2) \(\mathbf{6\div3=2}\) (квадратных метра) занимает одна кровать

Ответ: 2 квадратных метра.

Теперь посмотрим, как в задачах применяются проценты.

Задача 3

Пересвет работает на заводе и производит 100 деталей в день.

Начальник Елисей пообещал Пересвету выдать премию, если он будет делать на 20% деталей больше.

Сколько деталей в день должен делать Пересвет, чтобы получить премию?

Решение:

Для начала надо понять, на сколько в количественном измерении больше деталей нужно выпустить Пересвету, чтобы получить премию.

Для этого домножим текущее количество деталей на процент или долю, учитывая, что 20% - это 20 частей из 100, или иначе 0,20, и получим искомую прибавку.

1) \(\mathbf{20\%=20\div100=0.2}\)

2) \(\mathbf{100\cdot0.2=20}\) (деталей)- то, насколько больше деталей нужно производить

Теперь, чтобы найти общее количество деталей, надо прибавить эту прибавку к тому, что Пересвет производит уже сейчас.

3) \(\mathbf{100+20=120}\) (деталей) в день нужно производить для получения премии

Ответ: 120 деталей.

В некоторых задачах нужно несколько раз применять нахождение процентов от числа.

Задача 4

Глубина реки в начале мая была равна 10 метрам, к началу июня она обмелела на 10%, а к началу июля еще на 15% относительно показателей начала июня. Вычислите, какая глубина реки была в начале июля.

Решение:

Исходное число- 10 метров, дробь задана в виде процентов.

Первым действием нужно будет найти глубину реки в начале июня.

Здесь можно пойти двумя разными путями:

I. Посчитаем, на сколько метров опустился уровень воды, а затем вычтем это из исходных показателей.

0) \(\mathbf{10\%=10\div100=0.1}\)

1) \(\mathbf{10-10\cdot0.1=10-1=9}\) (метров)- глубина реки в начале июня

II. Можно вместо того, чтобы считать разницу и вычитать ее, посчитать сколько процентов останется и найти сразу именно эту часть от исходного числа.

Учитывая, что всего у нас 100%, да если глубина уменьшилась на 10%, то осталось 90%.

0) \(\mathbf{100-10=90}\) (процентов) останется

1) \(\mathbf{90\%=90\div100=0.9}\)

2) \(\mathbf{10\cdot0.9=9}\) (метров)- глубина реки в начале июня

Как мы видим, эти два подхода дают одинаковый результат.

Поэтому вы можете выбирать любой из них в зависимости от задачи и ваших предпочтений.

Таким образом, мы посчитали глубину в начале июня. Теперь нужно понять, какая будет глубина в начале июля, когда глубина уменьшится еще на 15 процентов.

Используем в этом случае второй способ.

3) \(\mathbf{100-15=85}\) (процентов) останется в июле от уровня июня

4) \(\mathbf{85\%=85\div100=0.85}\)

5) \(\mathbf{0.85\cdot9=7.65}\) (метров) составит глубина реки в начале июля

Ответ: 7.65 метра.

На этом занятии мы поработали с процентами.

Первые упоминания о них встречаются в Древнем Риме.

Например, Октавиан Август взимал налог в \(\mathbf{\frac{1}{100}}\) на товары с аукциона.

Но до XVI века, несмотря на обилие задач на проценты, связанных с торговлей, с процентами работали весьма неумело.

В 1584 году бельгийский ученый Симон Севин создал таблицы для подсчета процентов.

Также, по одной из версий, именно он и ввел слово «процент».

Если говорить про сам значок процента, то существуют разные версии его происхождения.

По одной из них он произошел от итальянского слова cento, которое писалось сокращенно как cto.

В какой-то момент буква «t» перешла в вид косой черты, и так знак дошел до нас.

Другой вариант также отсылает к Италии.

Букву «p» тогда писали не как сейчас, а еще и с горизонтальной чертой, проходящей под строкой.

Тогда при написании «р 100» 100 оказывалась над чертой. Постепенно р и 10 отошли, и осталась черта с ноликом.