Урок 15 Получить доступ за 50 баллов Нахождение дроби от числа

В этом уроке мы узнаем, как найти дробь от числа, научимся находить проценты от чисел и применим эти навыки для решения задач.

Нахождение дроби от числа

Представим, что у нас есть 3-х килограммовый торт. Мы разрезали его на 8 частей и взяли три из них. В таких случаях хочется знать, сколько килограмм торта у нас есть.

Рассмотрим один из способов рассуждения в таких случаях.

Посчитаем, сколько весит каждый кусок торта.

\(\mathbf{3\div8=\frac{3}{8}}\)

То есть каждый кусок весит \(\mathbf{\frac{3}{8}}\) килограмма.

А так как у нас 3 куска торта, остается домножить вес одного куска на 3.

\(\mathbf{\frac{3}{8}\cdot3=\frac{3\cdot3}{8}=\frac{9}{8}=1\frac{1}{8}}\)

Так мы получили, что в трех кусках содержится \(\mathbf{1\frac{1}{8}}\) килограмма торта.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Сформулируем понятное правило: чтобы найти дробь от числа, надо перемножить число и эту дробь.

То есть, как и раньше, перемножаем числитель дроби и число, пишем в числитель результат умножения, а в знаменатель результата пишем знаменатель дроби.
Далее по необходимости сокращаем дробь или приводим к правильному виду из неправильного.

Дадим еще пару примеров.

Необходимо найти \(\mathbf{\frac{2}{7}}\) от 6-ти.

\(\mathbf{\frac{2}{7}\cdot6=\frac{2\cdot6}{7}=\frac{12}{7}=1\frac{5}{7}}\)

 

Или пусть дано задание найти \(\mathbf{\frac{1}{3}}\) от 9.

Здесь вы видите, что почти все заключается в сокращении.

\(\mathbf{\frac{1}{3}\cdot9=\frac{1\cdot9}{3}=\frac{1\cdot3}{1}=3}\)

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Нахождение процента от числа

Особенно часто можно слышать про проценты в контексте экономических высказываний: цены выросли на 15 %, доходы уменьшились на  5% и так далее.

Запись в виде 10 % нужно трактовать как 0.1

\(\mathbf{12\%=0.12}\)

\(\mathbf{50\%=0.5}\)

и так далее, то есть чтобы получить десятичную дробь, равную числу в процентах, надо поделить количество процентов на 100.

Таким образом, чтобы найти процент от числа, надо перевести проценты в десятичную дробь, а дальше воспользоваться правилом нахождения дроби от числа: умножить число на дробь.

Например, нужно найти 5 % от 200.

Первым действием преобразуем 5 % в десятичную дробь:

\(\mathbf{5\%=5\div100=0.05}\)

Вторым действием перемножаем найденную дробь и число:

\(\mathbf{0.05\cdot200=10}\)

10 и будет являться 5 % от 200.

 

Рассмотрим еще пару примеров.

 

Найдите 20 % от 80:

\(\mathbf{20\%=20\div100=0.2}\)

\(\mathbf{0.2\cdot80=16}\)

 

Также, если это кажется более удобным, можно перевести десятичную дробь в обычную и домножать на нее.

 

Найдем 50 % от 234:

\(\mathbf{50\%=50\div100=0.5=\frac{1}{2}}\)

\(\mathbf{234\cdot\frac{1}{2}=\frac{234}{2}=\frac{117\cdot2}{2}=117}\)

 

И немного примеров уже без пояснений:

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Применение нахождения дроби от числа для решения задач

В начале урока мы уже разобрали пример с тортом, сейчас посмотрим на другие примеры.

 

Задача 1

Остап зарабатывает 40 000 рублей в месяц.

Из них \(\mathbf{\frac{1}{4}}\) это подработка.

Сколько рублей Остапу приносит подработка?

Решение:

В данной случае числом будет являться сумма заработка за месяц - 40 000

Ну а дробью, очевидно, будет \(\mathbf{\frac{1}{4}}\).

Тогда, чтобы найти прибыль от подработки, надо просто умножить дробь на число.

\(\mathbf{40000\cdot\frac{1}{4}=\frac{40000}{4}=10000}\)

Ответ: 10 000 рублей.

 

Теперь рассмотрим что-нибудь посложнее.

Задача 2

Порфирий живет в комнате площадью 18 квадратных метров.

3 кровати занимают \(\mathbf{\frac{1}{3}}\) площади комнаты.

Какую площадь занимает одна кровать?

Решение:

Сначала найдем, какую площадь занимают 3 кровати, затем разделим это число на 3, чтобы получить площадь одной кровати.

1) \(\mathbf{18\cdot\frac{1}{3}=\frac{18}{3}=6}\) (квадратных метров) занимают 3 кровати

2) \(\mathbf{6\div3=2}\) (квадратных метра) занимает одна кровать

Ответ: 2 квадратных метра.

 

Теперь посмотрим, как в задачах применяются проценты.

Задача 3

Пересвет работает на заводе и производит 100 деталей в день.

Начальник Елисей пообещал Пересвету выдать премию, если он будет делать на 20% деталей больше.

Сколько деталей в день должен делать Пересвет, чтобы получить премию?

Решение:

Для начала надо понять, на сколько в количественном измерении больше деталей нужно выпустить Пересвету, чтобы получить премию.

Для этого домножим текущее количество деталей на процент или долю, учитывая, что 20% - это 20 частей из 100, или иначе 0,20, и получим искомую прибавку.

1) \(\mathbf{20\%=20\div100=0.2}\)

2) \(\mathbf{100\cdot0.2=20}\) (деталей)- то, насколько больше деталей нужно производить

Теперь, чтобы найти общее количество деталей, надо прибавить эту прибавку к тому, что Пересвет производит уже сейчас.

3) \(\mathbf{100+20=120}\) (деталей) в день нужно производить для получения премии

Ответ: 120 деталей.

 

В некоторых задачах нужно несколько раз применять нахождение процентов от числа.

Задача 4

Глубина реки в начале мая была равна 10 метрам, к началу июня она обмелела на 10%, а к началу июля еще на 15% относительно показателей начала июня. Вычислите, какая глубина реки была в начале июля.

Решение:

Исходное число- 10 метров, дробь задана в виде процентов.

Первым действием нужно будет найти глубину реки в начале июня.

Здесь можно пойти двумя разными путями:

I. Посчитаем, на сколько метров опустился уровень воды, а затем вычтем это из исходных показателей.

0) \(\mathbf{10\%=10\div100=0.1}\)

1) \(\mathbf{10-10\cdot0.1=10-1=9}\) (метров)- глубина реки в начале июня

 

II. Можно вместо того, чтобы считать разницу и вычитать ее, посчитать сколько процентов останется и найти сразу именно эту часть от исходного числа.

Учитывая, что всего у нас 100%, да если глубина уменьшилась на 10%, то осталось 90%.

0) \(\mathbf{100-10=90}\) (процентов) останется

1) \(\mathbf{90\%=90\div100=0.9}\)

2) \(\mathbf{10\cdot0.9=9}\) (метров)- глубина реки в начале июня

 

Как мы видим, эти два подхода дают одинаковый результат.

Поэтому вы можете выбирать любой из них в зависимости от задачи и ваших предпочтений.

Таким образом, мы посчитали глубину в начале июня. Теперь нужно понять, какая будет глубина в начале июля, когда глубина уменьшится еще на 15 процентов.

Используем в этом случае второй способ.

3) \(\mathbf{100-15=85}\) (процентов) останется в июле от уровня июня

4) \(\mathbf{85\%=85\div100=0.85}\)

5) \(\mathbf{0.85\cdot9=7.65}\) (метров) составит глубина реки в начале июля

Ответ: 7.65 метра.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

Интересная информация

На этом занятии мы поработали с процентами.

Первые упоминания о них встречаются в Древнем Риме.

Например, Октавиан Август взимал налог в \(\mathbf{\frac{1}{100}}\) на товары с аукциона.

Но до XVI века, несмотря на обилие задач на проценты, связанных с торговлей, с процентами работали весьма неумело.

В 1584 году бельгийский ученый Симон Севин создал таблицы для подсчета процентов.

Также, по одной из версий, именно он и ввел слово «процент».

Если говорить про сам значок процента, то существуют разные версии его происхождения.

По одной из них он произошел от итальянского слова cento, которое писалось сокращенно как cto.

В какой-то момент буква «t» перешла в вид косой черты, и так знак дошел до нас.

Другой вариант также отсылает к Италии.

Букву «p» тогда писали не как сейчас, а еще и с горизонтальной чертой, проходящей под строкой.

Тогда при написании «р 100» 100 оказывалась над чертой. Постепенно р и 10 отошли, и осталась черта с ноликом.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci alias assumenda consequatur cupiditate, ex id minima quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Эта информация доступна зарегистрированным пользователям

В бесплатной версии урока недоступны:

  • Видео
  • Изображения
  • Дополнительная информация
  • Таблицы
  • Тесты
Получить доступ