Урок 29 Получить доступ за 75 баллов Модуль числа

Обратите внимание на картинку.

Для того чтобы узнать тему нашего урока, попробуйте отгадать ребус.

На этом уроке разберемся, что называют модулем числа, раскроем его геометрический смысл, рассмотрим основные свойства модуля, научимся находить модуль числа и применять эти знания при решении задач.

В переводе с латинского «модуль» (modulus) означает мера, размер.

Считается, что данный термин впервые ввел в пользование английский философ и математик Роджер Котс, друг и ученик Исаака Ньютона.

Многие ученые использовали в своих научных трудах понятие модуль, однако символьное обозначение он приобрел только в конце XIX века.

В 1841 году выдающийся немецкий ученый Карл Теодор Вильгельм Вейерштрасс ввел символьное обозначение модуля числа, которое используют и применяют по сегодняшний день.

В некоторых случаях вместо «модуль числа» говорят: «абсолютная величина», но надо понимать, что это тождественно равные понятия.

В математике модуль имеет несколько значений. Разберем, что в математике называют модулем числа (абсолютной величиной).

Рассмотрим понятие модуль с геометрической точки зрения.

Вам уже известно, что на координатной прямой мы отмечаем действительные числа, а каждому действительному числу на этой прямой соответствует определенная точка и наоборот, каждой точке на координатной прямой соответствует действительное число.

Точка задается некоторым расстоянием от начала координат.

Длина отрезка от начала координат до точки вмещает в себя определенное количество единичных отрезков координатной прямой.

Длина такого отрезка всегда неотрицательная величина.

Рассмотрим пример:

Два мяча катнули по одной прямой. Первый мяч откатился вправо от исходной точки на 4 м, второй мяч влево от исходной точки на 6 м.

Изобразим координатную прямую и отметим на ней координаты точек остановки этих двух мячей.

Точка О- это исходная точка мячей- точка начала отсчета.

Единичный отрезок координатной прямой равен 1 деление- 1 метр.

Вправо откладываем координату первого мяча А (+4)

Влево откладываем координату второго мяча В (-6)

Расстояние от точки А до начала отсчета 4 единичных отрезка.

Длина ОА = 4 единичных отрезка.

Расстояние от точки В до начала отсчета 6 единичных отрезков.

Длина ОВ = 6 единичных отрезков.

Расстояние ОА и ОВ называют абсолютной величиной, модулем числа, они всегда положительны.

Таким образом, модулем числа называют расстояние на координатной прямой от начала отсчета до заданной точки (выраженной в единичных отрезках).

Обозначается модуль двумя вертикальными чертами слева и справа от числа |  |.

Запись |A| читается как «Модуль А» или «Модуль числа А».

Пример 1

|7|- модуль числа 7

Изобразим координатную прямую, отметим на ней точку с координатой 7

Зная определение модуля числа, мы можем утверждать, что |7| - это расстояние от точки с координатой 7 до точки начала отсчета О, что составляет 7 единичных отрезков.

Значит, модуль числа 7 равен самому числу 7

|7| = 7

Пример 2

|-5| - модуль числа (-5)

Изобразим координатную прямую, отметим на ней точку с координатой (-5).

Зная определение модуля числа, мы можем утверждать, что от точки с координатой (-5) до точки начала отсчета О помещается 5 единичных отрезков.

5 единичных отрезков - это и есть расстояние от точки с координатой (-5) до точки начала отсчета (модуль числа).

Значит, модуль числа (-5) равен 5

|-5| = 5

Пример 3

|-1|- модуль числа (-1)

В расстояние от точки с координатой (-1) до точки начала отсчета помещается только один единичный отрезок этой прямой, поэтому модуль (-1) равен 1.

|-1| = 1

Рассмотрим некоторые свойства модуля числа.

1. Модуль нуля равен нулю

Так как от нуля до начала отсчета нет никакого расстояния (0 единичных отрезков), модуль нуля и есть нуль.

|0| = 0

2. Модуль числа всегда число неотрицательное (т.е. положительное или нуль)

Модуль положителен, так как по определению модуль - это расстояние, а расстояние всегда является положительным числом.

Приведем пример:

Мяч катнули вдоль прямой на расстояние, равное 3 м вправо, мяч ударился о стену и покатился вдоль прямой в обратном направлении на 3 м и остановился.

Изобразим на координатной прямой координаты точек в момент каждой остановки мяча.

Точка О на координатной прямой- это точка откуда катнули мяч- точка начала отсчета.

Единичный отрезок координатной прямой равен 1 деление- 1метр.

Точка А с координатой А (+3) - момент удара мяча о стенку.

Точка В с координатой В (0) - совпадает с точкой отсчета.

Можно ли утверждать, что мяч не преодолевал никакого расстояния, оставаясь в исходной точке в состоянии покоя, ведь в конечном счете мяч оказался в точке 0 м (от точки ноль до начала отсчета О не помещается ни одного единичного отрезка)? Конечно же, нет!

Путь мяча был бы равен нулю, если бы его вообще никуда не пинали, и он оставался в состоянии покоя в точке О.

Но мы должны понимать, что путь (расстояние), которое преодолел мяч, состоит из 3 единичных отрезков в правую сторону и 3 единичных отрезков в левую сторону; сложив все единичные отрезки, получим:

3 единичных отрезка + 3 единичных отрезка = 6 единичных отрезков

6 единичных отрезков = 6 м

Для определения пути мы складывали только числовое значение без учета направления. Это числовое значение и есть модуль числа.

Таким образом, можно сказать, что любое число состоит из знака и абсолютного значения (модуля).

Поэтому, чтобы найти модуль числа, нужно записать это число без учета знака.

3. Модули противоположных чисел равны

Рассмотрим на примере данное утверждение:

Пусть модуль х равен 4, получим равенство |x| = 4

Отметим на координатной прямой точки, которые удовлетворяют этому равенству:

Точка О - начало отсчета координатной прямой х.

Модул ь- это расстояние от начала отсчета до точки в единичных отрезках, равное в данном случае четырем.

Откладываем 4 единичных отрезка вправо, получаем точку с координатой 4

Но такое же количество единичных отрезков можно отложить влево, тогда получим точку с координатой (-4)

Получим на координатной прямой две точки, которые удовлетворяют условию |x| = 4

В данном примере значение х может быть равным:

х = 4

х = -4

Числа 4 и -4 отличаются только знаками, поэтому смело можем сказать, что это противоположные числа.

На координатной прямой противоположные числа, хоть и по разные стороны от точки начала отсчета, но находятся на равных расстояниях от этой точки, т.е. по модулю равны.

4. Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел

В буквенном выражении это можно записать так:

\(\mathbf{|a \cdot b| = |a| \cdot |b|}\)

Пример: \(\mathbf{|5 \cdot 6| = |5| \cdot |6| = 5 \cdot 6 = 30}\)

5. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа

\(\mathbf{|a|^2 = a^2 }\)

Пример:

\(\mathbf{|10|^2 = 10^2 = 100 }\)

\(\mathbf{|-2|^2 = 2^2 = 4}\)

6. Модуль частного двух чисел равен частному их модулей

\(\mathbf{\Bigl| \frac{x}{y}\Bigr| = \frac{|x|}{|y|} , y \neq 0}\)(так как на нуль делить нельзя).

Пример:

\(\mathbf{\Bigl| \frac{8}{2}\Bigr| = \frac{|8|}{|2|}= \frac{8}{2} = 4 }\)

\(\mathbf{\Bigl| -\frac{8}{2}\Bigr| = \frac{|-8|}{|2|}= \frac{8}{2} = 4 }\)

Рассмотрим несколько примеров таких задач.

Задача 1

Запишите все числа, имеющие модуль 142.

Решение:

Представим координатную прямую с началом отсчета в точке О

Нам известно, что модуль числа - это расстояние (количество единичных отрезков) от нуля до какой-либо точки.

142 единичных отрезка мы можем отложить на координатной прямой вправо и получим точку с координатой 142.

Также 142 единичных отрезка мы можем отложить влево от нуля, в этом случае получаем точку с координатой 142.

На координатной прямой находятся два числа, которые имеют модуль 142, а расстояние до этих точек содержат по 142 единичных отрезка.

|142| = 142

|-142| = 142

Ответ: числа 142 и -142 имеют модуль 142

Задача 2

Расположите числа -15; -1; 4; 7 в порядке возрастания модулей.

Решение:

Надо понимать, что в порядке возрастания будем располагать не сами числа -15; -1; 4; 7, а их модули.

Для этого найдем модули каждого из них:

|-15| = 15

|-1| = 1

|4| = 4

|7| = 7

Модули чисел получились: 15, 1, 4, 7

Расположим эти числа в порядке возрастания (от самого маленького к самому большому):

1, 4, 7, 15.

Получаем такую последовательность равенств,

|-1| = 1

|4| = 4

|7| = 7

|-15| = 15

Следовательно, числа в порядке возрастания их модулей должны располагаться так: -1, 4, 7, -15

Ответ: -1, 4, 7, -15

Задача 3

На координатной прямой отметили две точки -73 и 68. Модуль какого числа больше?

Решение:

Представим, что на координатной прямой на определенном расстоянии от точки О (налала отсчета) отмечены две точки.

Слева от точки начала отсчета расположена точка с координатой -73

Справа от точки начала отсчета расположена точка с координатой 68

Нам известно, что модуль - это расстояние от заданной точки до точки начала отсчета, выраженное в единичных отрезках.

Расстояние от точки О до точки с координатой -73 содержит больше единичных отрезков, чем расстояние от точки О до точки с координатой 68 (т.е. координата точки -73 находится дальше от начала координат, чем точка с координатой 68).

Значит, модуль числа -73 больше модуля числа 68

|-73| = 73

|68| = 68

73 > 68, а это значит:

|-73| > |68|

Ответ: |-73| > |68|

Задача 4

На координатной прямой точка А отмечена левее точки начала отсчета на 2 единицы и точка В - правее от точки начала отсчета на 6 единиц.

Чему равны координаты этих точек?

Чему равен модуль каждой координаты?

Решение:

Построим координатную прямую, за начала отсчета примем точку О

Единичный отрезок равен 1 деление- 1 единица.

На координатной прямой отметим точки А и В

Точка А имеет координату A (-2), так как она отодвинута влево от точки О на расстояние в два единичных отрезка.

Точка В имеет координату В (6), так как она отодвинута вправо от точки О на расстояние в шесть единичных отрезков.

Получили точки с координатами A (-2) и В (6)

Модуль-это расстояние в единичных отрезках от заданной точки до начала отсчета.

Таким образом:

Модуль -2 равен 2

|-2| = 2

Модуль 6 равен 6

|6| = 6

Ответ: Модули координат точек A (-2) и В (6) равны 2 и 6 соответственно.

Наверное, вы уже заметили, что значение координат может быть положительным и отрицательным, а модули только положительными.