Урок 24 Бесплатно Масштаб

Отправляясь в увлекательное путешествие, выясняя адрес места встречи, определяя маршрут, открывая карту или навигатор, каждый человек сталкивается с таким понятием как масштаб.

Сегодня на уроке мы определим, что такое масштаб, рассмотрим, какие существуют виды масштаба и где им находят применение.

Научимся определять масштаб и решать задачи, связанные с ним.

Масштаб

С давних пор люди использовали изображения (рисунки) как средство общения и передачи информации друг другу.

Сначала это были простейшие изображения, но с течением времени они совершенствовались.

Создание рисунков и изображений все больше стали находить применение в жизни человека. Например, при строительстве сооружений.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Первые изображения, подобие чертежей, появились много столетий назад- эти рисунки назвали «планами».

Они выполнялись непосредственно на земле, на месте планируемого сооружения, постройки. Эти изображения были в натуральную величину и получались гигантскими, а чертить их без специальных приспособлений было тяжело.

Так появились первые примитивные чертежные инструменты. Линейные размеры стали откладывать деревянным разметочным циркулем (циркуль-измеритель), окружности чертили с помощью веревки и двух колышков, один из которых вбивали в землю, вторым чертили. Для построения углов использовали веревочный прямоугольный треугольник.

Несмотря на все инструменты-помощники выполнять «планы» по прежнему было проблематично и спустя время стали изображать такие чертежи в уменьшенном виде на холсте, дереве, пергаменте и др.

Желание уменьшать размеры реальных объектов и переносить их изображения на плоскую поверхность возникало не только в области строительства, но и в других сферах деятельности человека.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Еще древние люди высекали на скалах изображения, используя условные символы и силуэты человеческих фигур, животных, деревьев, пытались схематично изображать местность.

Конечно, рисунки древнего человека были примитивны и всего лишь отдаленно напоминали карту, но постепенно язык их усложнялся.

Одной из древнейших карт считают вавилонский чертеж, выполненный на глиняной табличке. Надпись на этом камне датирована 604-562 годами до н.э.

Древние чертежи и карты давали мало представления о реальном расстоянии между объектами, о их действительных размерах, так как изображения уменьшались произвольно, носили в основном приблизительный характер.

Древние чертежи и карты

Пользуясь такими картами, люди не могли рассчитать сколько времени они будут в пути, когда доберутся до нужного места. Язык карты был очень неточным, а порой даже вводил в заблуждение мореплавателей и путешественников.

Первым картографом, который применил в составлении карты масштаб, был древнегреческий ученый Анаксимандр Милетский, живший в VII-VI веке до н.э.

На Руси чертежи земель существовали с XIII века.

Впервые масштабы в России стали применятся в XVI веке

Попробуем разобраться что такое масштаб, для чего он необходим и что он показывает.

Масштаб- слово немецкого происхождения (Maßstab), переводится как мерило, мера, размер.

Масштаб- это отношение длины отрезка на карте (плане, чертеже) к длине соответствующего отрезка в действительности на местности.

Условно можно обозначить так:

Масштаб записывается в виде дроби (отношения двух чисел).

Обычно числитель этой дроби равен единице, а знаменатель показывает во сколько раз на карте (плане, чертеже) уменьшены размеры объекта относительно его размеров в действительности.

 

Пример:

Масштаб 1:100000 означает, что 1 сантиметру на карте соответствует 100 000 сантиметров (1 километр) реального расстояния на местности, т.е. можно говорить, что на карте все расстояния и размеры уменьшены в 100 000 раз по сравнению с действительными размерами.

При масштабе 1:100 000 на карте расстояние, равное 100 000 сантиметров (1 километр) будет изображаться отрезком в 1 сантиметр.

Масштаб обозначают целым словом «Масштаб» или заглавной буквой М

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Виды масштабов

Различают три вида масштаба:

  • численный
  • именованный
  • графический

Графический, в свою очередь, делится на линейный и поперечный.

Численный масштаб представляют в виде дроби, где числитель- это единица, а знаменатель показывает степень уменьшения размеров изображения объектов относительно их реальных размеров.

Численный масштаб- это дробь, поэтому числитель и знаменатель выражены в одинаковых единицах измерения.

При обозначении численного масштаба не указывают единицы измерения, указывают только числа (1:2 000, 1:200 000, 1:100 и т.п.).

 

Пример 1

Численный масштаб карты 1:15 000 000, что он показывает?

Данный масштаб показывает, что 1 см на карте соответствует 15 000 000 см в действительности.

Нужно помнить, что чем меньше значение знаменателя в масштабе, тем крупнее масштаб.

 

Пример 2

Масштаб 1:1 000 крупнее, чем 1:15 000, так как знаменатель первого масштаба равен 1 000, а знаменатель второго масштаба 15 000.

1 000 меньше 15 000, следовательно, масштаб 1:1 000 крупнее.

Чем крупнее масштаб, тем больше можно изобразить объектов действительности, карта (план) получается подробней и содержательней.

При большем масштабе хорошо изображать небольшие по площади территории.

Применяется в топографических картах и планах.

На чертежах могут изображаться как уменьшенные изображения реальных объектов, так и увеличенные, если размеры изображаемого объекта слишком малы.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Если в записи масштаба знаменатель больше числителя, то такой масштаб называют масштабом уменьшения.

Масштаб 1:m, где m > 1

(например, масштаб 1:4, 1:20, 1:100 и т.п.)

Если в записи масштаба знаменатель меньше числителя, то такой масштаб называют масштабом увеличения

Масштаб m:1, где m > 1

(например, масштаб 4:1, 20:1, 100:1 и т.п.)

Масштаб в натуральную величину:

Масштаб 1:1 (числитель и знаменатель равны единице)

При создании изображений в натуральную величину, в информации о чертеже указывают Масштаб 1:1

Именованный масштаб- это, по сути, словесное обозначение численного масштаба.

Такой масштаб показывает сколько одному сантиметру на карте (плане) соответствует метров (километров) на местности.

Расстояние на местности, соответствующее 1 сантиметру на карте (плане), называют величиной масштаба.

 

Пример 3

Дан именованный масштаб: в 1 см- 250 м (в 1 сантиметре- 250 метров).

Такой масштаб означает, что 250 м на местности соответствуют 1 см на карте (плане).

Величина этого масштаба равна 250 м.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

На картах (планах) отмеряют расстояние в сантиметрах, а на местности в метрах или километрах.

Необходимо помнить правила перевода из одной единицы измерения в другую.

1 м = 100 см

1 км = 100 000 см

Рассмотрим правила-помощники для перевода из сантиметров в метры и километры.

Если в значении знаменателя масштаба убрать два последних нуля, то остается число, которое покажет, сколько метров на местности соответствует одному сантиметру на карте (плане), т.е. величину масштаба.

Если в значении знаменателя масштаба убрать пять последних нулей, то остается число, которое покажет, сколько километров на местности соответствует одному сантиметру на карте (плане), т.е. величину масштаба.

Попробуем перевести масштаб из численного в именованный, пользуясь правилами- помощниками

масштаб из численного в именованный

Обратным образом происходит перевод из именованного в численный

Графический масштаб подразделяют на линейный и поперечный.

Линейный масштаб дает возможность определить расстояние и размеры без расчетов и переводов длин из масштабных в реальные, позволяя тем самым ускорить работу с картой.

Линейный масштаб представляет собой отрезок прямой, разделенный на деления (подобно линейке со шкалой).

Эти деления равной длины, но с разным номинальным значением, называют основанием линейного масштаба.

Каждое деление подписано значениями, указывающими размеры соответствующих им отрезков в действительности.

Основание откладывается по всей длине масштабного отрезка (чаще всего с шагом 2 см).

Крайнее левое от нуля основание делят на более мелкие деления- это наименьшее деление линейного масштаба.

Расстояние в действительности, соответствующее номинальному делению масштаба, называют точностью масштаба (т.е. это отрезок на местности, который соответствует одному минимальному значению масштаба).

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Как правильно пользоваться линейным масштабом

  1. Приложить к измеряемому отрезку на карте раствор циркуля, сделать замер
  2. Приложить к линейке масштаба полученный раствор циркуля и по делениям отсчитать значение замера

Отсчет берется по двум значениям: правую ножку циркуля необходимо поставить на деление справа от нуля, левая ножка циркуля может выходить за ноль в левое основание, таким образом длина замера будет состоять из двух отсчетов: отсчет целого основания и отсчет наименьших делений линейного масштаба левого основания.

Обратите внимание на рисунок линейного масштаба, представленного выше.

Мы можем увидеть, что раствор циркуля укладывается только в одно правое основание линейного масштаба и в два наименьших деления крайнего левого основания.

Сложив все полученные значения, получаем:

измеряемый отрезок на местности = \(\mathbf{200 м + (2 \cdot 20 м) = 240 м}\)

Поперечный масштаб

Поперечный масштаб это улучшенный вариант линейного масштаба, позволяющий делать максимально точные измерения расстояний и размеров.

Выглядит поперечный масштаб как сетка, состоящая из горизонтальных линий, пересеченных вертикалями и наклонными линиями (трансверсали).

Используют поперечный масштаб подобно линейному, но измерения откладываются по трем основаниям (горизонталям, вертикалям и трансверсалям).

Для фиксирования длины отрезка на карте так же используют циркуль.

Чаще всего поперечный масштаб применяют на специализированных картах.

Этот вид масштаба удобен для определения длинны рек, дорог, горных хребтов и других кривых на карте.

Нередко, для удобства на картах приводятся все три вида масштабов: численный, именованный, графический (линейный).

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Примеры решения задач на масштаб

Задачи, связанные с масштабом, бывают трех типов:

  1. Задачи на определение расстояния (размеров) на карте
  2. Задачи на определение расстояния на местности (размеров реального объекта)
  3. Задачи на определение масштаба

Алгоритм решения задач первого и второго типа можно представить так:

  1. Привести единицы измерения величин к общему виду
  2. Обозначить неизвестную величину (чаще всего обозначают буквой х)
  3. Составить пропорцию с неизвестным членом
  4. Составить уравнение
  5. Решить уравнение (найти неизвестный член пропорции)
  6. Записать ответ

 

Задача 1

Длина отрезка на местности 4 км.

Найдите длину этого отрезка на карте, если масштаб карты 1:200 000.

Решение:

В 1 см на карте- 200 000 см

1 км = 100 000 см

4 км = 400 000 см

Пусть х (см)- длина отрезка на карте.

Составим краткую запись задачи в виде таблицы

Составим пропорцию:

\(\mathbf{\frac{x}{400000} = \frac{1}{200000}}\)

Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:

\(\mathbf{{x}\cdot{200000} = {1}\cdot{400000}}\)

\(\mathbf{{x}= \frac{400000}{200000}}\)

\(\mathbf{x = 2}\)(см)

Ответ: \(\mathbf{x = 2}\) (см) длина отрезка на карте.

 

Задача 2

Длина отрезка на карте 6 см.

Найдите длину соответствующего отрезка на местности, если масштаб карты 1:1000000.

Решение:

В 1 см на карте- 1 000 000 см

1 км = 100 000 см

Пусть х (см)- длина отрезка на местности.

Составим краткую запись задачи в виде таблицы

Составим пропорцию:

\(\mathbf{\frac{6}{x} = \frac{1}{100000}}\)

Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:

\(\mathbf{{x}\cdot{1} = {6}\cdot{1000000}}\)

\(\mathbf{x = 6000000}\)(см)

\(\mathbf{x = 60}\)(км)

Ответ: \(\mathbf{x = 60}\) (км) длина отрезка на местности.

 

Задача 3

Расстояние между населенными пунктами А и В составляет 400 км.

Расстояние между населенными пунктами А и В на карте равно 10 см.

Определите масштаб карты.

Решение:

Так как масштаб- это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности

\(\mathbf{M = \frac{L_{карта}}{L_{местность}}}\)

где М- масштаб карты

Lкарта- расстояние между населенными пунктами на карте

Lместность- расстояние между населенными пунктами на местности

Запишем как относятся расстояние на карте и на местности для нашей задачи.

Приведем величины к единой единице измерения:

400 км = 400 000 м= 40 000 000 см

\(\mathbf{M = \frac{10}{40000000}}\)

 \(\mathbf{M = \frac{1}{4000000}}\)

Ответ: Масштаб карты 1:4 000 000

 

Задача 4 (практика)

Выясним как пользоваться масштабом на карте

По карте нужно узнать реальное расстояние от пункта А до пункта В. Задан масштаб карты 1:500 000 (или в 1 см- 5 км).

Решение:

Необходимо взять линейку и измерить расстояние от пункта А до пункта В на карте. Полученную величину (допустим, измеренный отрезок получился равным 6 см) умножим на величину масштаба (для нашей задачи величина масштаба равна 5 км = 500 000 см)

\(\mathbf{6 см \cdot 500 000 см = 3 000 000см = 30км}\)

Ответ: Расстояние между пунктами А и В равно 30 километров

Масштаб используют не только в картографии и геодезии, но и в других областях деятельности человека:

  • на производстве при создании чертежей крупногабаритных или мелких деталей
  • в проектировании и архитектуре при создании чертежей зданий, сооружений, коммуникаций
  • в фото и видео технике есть возможность масштабирования картинки (увеличивая или уменьшая ее)
  • в конструировании и моделировании (при создании макетов, моделей, выкроек)
Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Заключительный тест

Пройти тест