Урок 24 Получить доступ за 75 баллов Масштаб

Отправляясь в увлекательное путешествие, выясняя адрес места встречи, определяя маршрут, открывая карту или навигатор, каждый человек сталкивается с таким понятием как масштаб.

Сегодня на уроке мы определим, что такое масштаб, рассмотрим, какие существуют виды масштаба и где им находят применение.

Научимся определять масштаб и решать задачи, связанные с ним.

С давних пор люди использовали изображения (рисунки) как средство общения и передачи информации друг другу.

Сначала это были простейшие изображения, но с течением времени они совершенствовались.

Создание рисунков и изображений все больше стали находить применение в жизни человека. Например, при строительстве сооружений.

Желание уменьшать размеры реальных объектов и переносить их изображения на плоскую поверхность возникало не только в области строительства, но и в других сферах деятельности человека.

Попробуем разобраться, что такое масштаб, для чего он необходим и что он показывает.

Масштаб - слово немецкого происхождения (Maßstab), переводится как мерило, мера, размер.

Масштаб - это отношение длины отрезка на карте (плане, чертеже) к длине соответствующего отрезка в действительности на местности.

Условно можно обозначить так:

Масштаб записывается в виде дроби (отношения двух чисел).

Обычно числитель этой дроби равен единице, а знаменатель показывает во сколько раз на карте (плане, чертеже) уменьшены размеры объекта относительно его размеров в действительности.

Пример:

Масштаб 1:100000 означает, что 1 сантиметру на карте соответствует 100 000 сантиметров (1 километр) реального расстояния на местности, т.е. можно говорить, что на карте все расстояния и размеры уменьшены в 100 000 раз по сравнению с действительными размерами.

При масштабе 1:100 000 на карте расстояние, равное 100 000 сантиметров (1 километр), будет изображаться отрезком в 1 сантиметр.

Масштаб обозначают целым словом «Масштаб» или заглавной буквой М.

Различают три вида масштаба:

• численный
• именованный
• графический

Графический, в свою очередь, делится на линейный и поперечный.

Численный масштаб представляют в виде дроби, где числитель - это единица, а знаменатель показывает степень уменьшения размеров изображения объектов относительно их реальных размеров.

Численный масштаб - это дробь, поэтому числитель и знаменатель выражены в одинаковых единицах измерения.

При обозначении численного масштаба не указывают единицы измерения, указывают только числа (1:2 000, 1:200 000, 1:100 и т.п.).

Пример 1

Численный масштаб карты 1:15 000 000, что он показывает?

Данный масштаб показывает, что 1 см на карте соответствует 15 000 000 см в действительности.

Нужно помнить, что чем меньше значение знаменателя в масштабе, тем крупнее масштаб.

Пример 2

Масштаб 1:1 000 крупнее, чем 1:15 000, так как знаменатель первого масштаба равен 1 000, а знаменатель второго масштаба 15 000.

1 000 меньше 15 000, следовательно, масштаб 1:1 000 крупнее.

Чем крупнее масштаб, тем больше можно изобразить объектов действительности, карта (план) получается подробней и содержательней.

При большем масштабе хорошо изображать небольшие по площади территории.

Применяется в топографических картах и планах.

На чертежах могут изображаться как уменьшенные изображения реальных объектов, так и увеличенные, если размеры изображаемого объекта слишком малы.

Именованный масштаб-  это, по сути, словесное обозначение численного масштаба.

Такой масштаб показывает, сколько одному сантиметру на карте (плане) соответствует метров (километров) на местности.

Расстояние на местности, соответствующее 1 сантиметру на карте (плане), называют величиной масштаба.

Пример 3

Дан именованный масштаб: в 1 см - 250 м (в 1 сантиметре 250 метров).

Такой масштаб означает, что 250 м на местности соответствуют 1 см на карте (плане).

Величина этого масштаба равна 250 м.

Графический масштаб подразделяют на линейный и поперечный.

Линейный масштаб дает возможность определить расстояние и размеры без расчетов и переводов длин из масштабных в реальные, позволяя тем самым ускорить работу с картой.

Линейный масштаб представляет собой отрезок прямой, разделенный на деления (подобно линейке со шкалой).

Эти деления равной длины, но с разным номинальным значением, называют основанием линейного масштаба.

Каждое деление подписано значениями, указывающими размеры соответствующих им отрезков в действительности.

Основание откладывается по всей длине масштабного отрезка (чаще всего с шагом 2 см).

Крайнее левое от нуля основание делят на более мелкие деления - это наименьшее деление линейного масштаба.

Расстояние в действительности, соответствующее номинальному делению масштаба, называют точностью масштаба (т.е. это отрезок на местности, который соответствует одному минимальному значению масштаба).

Поперечный масштаб

Поперечный масштаб это улучшенный вариант линейного масштаба, позволяющий делать максимально точные измерения расстояний и размеров.

Выглядит поперечный масштаб, как сетка, состоящая из горизонтальных линий, пересеченных вертикалями и наклонными линиями (трансверсали).

Используют поперечный масштаб подобно линейному, но измерения откладываются по трем основаниям (горизонталям, вертикалям и трансверсалям).

Для фиксирования длины отрезка на карте также используют циркуль.

Чаще всего поперечный масштаб применяют на специализированных картах.

Этот вид масштаба удобен для определения длинны рек, дорог, горных хребтов и других кривых на карте.

Нередко для удобства на картах приводятся все три вида масштабов: численный, именованный, графический (линейный).

Задачи, связанные с масштабом, бывают трех типов:

1. Задачи на определение расстояния (размеров) на карте
2. Задачи на определение расстояния на местности (размеров реального объекта)
3. Задачи на определение масштаба

Алгоритм решения задач первого и второго типа можно представить так:

1. Привести единицы измерения величин к общему виду
2. Обозначить неизвестную величину (чаще всего обозначают буквой х)
3. Составить пропорцию с неизвестным членом
4. Составить уравнение
5. Решить уравнение (найти неизвестный член пропорции)
6. Записать ответ

Задача 1

Длина отрезка на местности - 4 км.

Найдите длину этого отрезка на карте, если масштаб карты 1:200 000.

Решение:

В 1 см на карте- 200 000 см

1 км = 100 000 см

4 км = 400 000 см

Пусть х (см)- длина отрезка на карте.

Составим краткую запись задачи в виде таблицы

Составим пропорцию:

\(\mathbf{\frac{x}{400000} = \frac{1}{200000}}\)

Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:

\(\mathbf{{x}\cdot{200000} = {1}\cdot{400000}}\)

\(\mathbf{{x}= \frac{400000}{200000}}\)

\(\mathbf{x = 2}\)(см)

Ответ: \(\mathbf{x = 2}\) (см) длина отрезка на карте.

Задача 2

Длина отрезка на карте 6 см.

Найдите длину соответствующего отрезка на местности, если масштаб карты 1:1000000.

Решение:

В 1 см на карте- 1 000 000 см

1 км = 100 000 см

Пусть х (см)- длина отрезка на местности.

Составим краткую запись задачи в виде таблицы

Составим пропорцию:

\(\mathbf{\frac{6}{x} = \frac{1}{100000}}\)

Составим уравнение, используя основное свойство пропорции:

\(\mathbf{{x}\cdot{1} = {6}\cdot{1000000}}\)

\(\mathbf{x = 6000000}\)(см)

\(\mathbf{x = 60}\)(км)

Ответ: \(\mathbf{x = 60}\) (км) длина отрезка на местности.

Задача 3

Расстояние между населенными пунктами А и В составляет 400 км.

Расстояние между населенными пунктами А и В на карте равно 10 см.

Определите масштаб карты.

Решение:

Так как масштаб - это отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности

\(\mathbf{M = \frac{L_{карта}}{L_{местность}}}\)

где М- масштаб карты

L_карта- расстояние между населенными пунктами на карте

L_{местность}- расстояние между населенными пунктами на местности

Запишем, как относятся расстояние на карте и на местности для нашей задачи.

Приведем величины к единой единице измерения:

400 км = 400 000 м= 40 000 000 см

\(\mathbf{M = \frac{10}{40000000}}\)

 \(\mathbf{M = \frac{1}{4000000}}\)

Ответ: Масштаб карты 1:4 000 000

Задача 4 (практика)

Выясним как пользоваться масштабом на карте

По карте нужно узнать реальное расстояние от пункта А до пункта В. Задан масштаб карты 1:500 000 (или в 1 см- 5 км).

Решение:

Необходимо взять линейку и измерить расстояние от пункта А до пункта В на карте. Полученную величину (допустим, измеренный отрезок получился равным 6 см) умножим на величину масштаба (для нашей задачи величина масштаба равна 5 км = 500 000 см)

\(\mathbf{6 см \cdot 500 000 см = 3 000 000см = 30км}\)

Ответ: Расстояние между пунктами А и В равно 30 километров

Масштаб используют не только в картографии и геодезии, но и в других областях деятельности человека:

• на производстве при создании чертежей крупногабаритных или мелких деталей
• в проектировании и архитектуре при создании чертежей зданий, сооружений, коммуникаций
• в фото и видео технике есть возможность масштабирования картинки (увеличивая или уменьшая ее)
• в конструировании и моделировании (при создании макетов, моделей, выкроек)