Урок 27 Получить доступ за 75 баллов Координаты на прямой

В этом уроке мы познакомимся с положительными и отрицательными числами, поймем, к чему относится нуль.

Не забудем рассказать также про неположительные и неотрицательные числа, а после этого узнаем, что такое координатная прямая и из чего она состоит.

Начнем с сухих, но емких определений.

Определение: положительное число - это число со знаком «+» перед ним.

Обычно + не пишется, а просто подразумевается.

Числа 2, \(\mathbf{\frac{1}{2}}\), \(\mathbf{123\frac{456}{789}}\), 9871254 - перед ними не стоит никакой знак, соответственно, эти числа положительные.

Мы могли бы их записать и со знаком «+»:

+2, \(\mathbf{+\frac{1}{2}}\), \(\mathbf{+123\frac{456}{789}}\), +9871254

В таком случае нужно читать запись буквально: «плюс два», «плюс одна вторая» и так далее.

Такая запись добавляет громоздкости записи, и обычно все- таки «+» опускают.

Определение: отрицательное число - это число со знаком «-» перед ним.

Приведем примеры отрицательных чисел:

-3, \(\mathbf{-\frac{1}{6}}\), \(\mathbf{-32\frac{4}{5}}\), -784285332

Читать в данном случае также нужно дословно: «минус три», «минус одна шестая» и так далее.

Минус уже опустить нельзя, так как тогда получится, что число положительное.

Важные факты:

1. Все положительные числа строго больше нуля
2. Все отрицательные число строго меньше нуля
3. 0 не относится ни к положительным, ни к отрицательным числам

Если нам надо сравнить два числа, одно из которых положительное, а другое отрицательное, то можно смело утверждать, что число, которое положительно, больше числа, которое отрицательно.

Если надо сравнить число с нулем, то достаточно понять, положительное оно или отрицательное. Если положительное, значит, больше нуля, если же отрицательное, то меньше нуля.

Более подробно про сравнение чисел мы поговорим в следующих уроках, а пока потренируемся отличать положительные и отрицательные числа.

Иногда необходимо обозначить множество чисел, больших или равных нулю, или же наоборот, меньших или равных нулю.

Удобно, что для этого есть специальные определения.

Определение: Неотрицательные числа - это все положительные числа и 0.

Соответственно, если мы хотим привести примеры неотрицательных чисел, то можем привести положительные числа или 0.

Примеры: 0, 1, 956, \(\mathbf{\frac{4}{9}}\), \(\mathbf{342\frac{1}{9}}\).

Определение: Неположительные числа - это все отрицательные числа и 0.

В данном случае примерами будут соответственно отрицательные числа или 0.

Примеры: 0, \(\mathbf{-1}\), \(\mathbf{-922}\), \(\mathbf{-\frac{7}{8}}\), \(\mathbf{-4\frac{1}{4}}\).

Если необходимо определить, является ли число неотрицательным или неположительным, то ответить надо следующим образом:

1. Отрицательное число является неположительным
2. Положительные число является неотрицательным
3. 0 является одновременно и неположительным, и неотрицательным числом

Также отметим важные факты про сравнение неположительных и неотрицательных чисел с нулем:

• Неположительные числа меньше или равны нулю.
• Если а - неположительное, то \(\mathbf{a\leq0}\)
• Аналогично, неотрицательные числа больше или равны нулю.
• Если a - неотрицательное, то \(\mathbf{a\geq0}\)

Начнем с определения, а потом посмотрим на вариации и примеры координатных прямых в жизни.

Определение: координатная прямая - это прямая с указанной на ней точкой начала отсчета, направлением и единичным отрезком.

Если хотя бы одной из этих трех составляющих нет, то прямая уже не может быть координатной.

Выше мы показали самую простую вариацию координатной прямой.

Но обычно для удобства наносят штрихи по всей длине, чтобы не отмерять единичные отрезки.

Также мы можем подписывать числа не только под точкой начала отсчета и точкой, дающей понимание о длине единичного отрезка, но и под остальными точками тоже.

Если мы не хотим загромождать картинку, то можно отмечать точки с какой-то периодичностью.

Неизменным на всех этих картинках остается наличие трех пунктов из определения:

1. Точка начала отсчета
2. Направление
3. Единичный отрезок

В жизни координатные прямые, полностью удовлетворяющие нашему определению, могут встречаться довольно редко.

Например, на ртутном термометре подразумевается, что направление совпадает с направлением увеличения чисел на шкале.

На нем же мы видим, что числа стоят не у каждого штриха, а у каждого 5-го или каждого 10-го, так картинка становится более читаемой.

Еще один пример: обычная линейка или рулетка. Тут тоже направление подразумевается, поэтому нельзя однозначно сказать, что это координатная прямая.

На линейке, в отличие от градусника, не часто увидишь отрицательные числа. Действительно, -5 градусов интересуют нас больше, чем -5 сантиметров.

Введем еще одно определение: координата точки - это число, показывающее положение точки на координатной прямой.

На этом рисунке видно, что у точки начала координат (точка O) координата равна нулю, а у точки (А), дающей информацию о единичном отрезке,

координата- 1.

Чтобы найти координату точки мы должны отсчитать количество единичных отрезков между точкой и точкой начало отсчета. А дальше, если эта точка стоит после точки начала отсчета, то взять количество единичных отрезков. В противном случае, если точка находится перед точкой начала отсчета, то взять количество единичных отрезков со знаком «минус».

Например, чтобы найти координату точки C мы отсчитываем количество отрезков от начала координат; получаем, что их 2, запоминаем это.

Точка С находится справа от точки начала отсчета, или дальше по направлению, чем точка начала отсчета. Значит, берем непосредственно число 2 в качестве координаты.

Между точкой B и точкой начала отсчета 3 единичных отрезка, но если смотреть относительно точки начала отсчета, то она находится левее или раньше по направлению, значит, мы берем количество единичных отрезков со знаком «минус» и координатой точки B будет \(\mathbf{-3}\).

Естественно, единичных отрезков между точкой и точкой начала отрезков может получиться нецелое число.

Этот случай иллюстрирует точка D - она находится на расстоянии полутора единичных отрезков от точки начала отсчета.

Точка D идет перед точкой начала отсчета, если смотреть по направлению, а значит, координата должна быть отрицательный.

Таким образом, координата точки D будет равна \(\mathbf{-1.5}\).

Мы не случайно отходим от простых понятий «справа»/«слева», когда говорим о взаимном расположении точек.

Представьте, что направление идет в другую сторону.

В таком случае точки справа от точки начала отсчета будут иметь отрицательные координаты, а точки слева точки начал отсчета - положительные.

Ну и конечно же, прямая может быть вообще расположена вертикально, тогда говорить о направлениях «право»/«лево» вообще не приходится.

Сегодня Вы узнали про отрицательные числа. Интересно, а когда про отрицательные числа узнали впервые в истории?

Изначально люди оперировали в основном натуральными числами. Они удобны, когда надо посчитать количество голов скота, количество дней в каком- то процессе и так далее.

Мы уже обсуждали, что в какой- то момент пришлось работать с дробями, так как и они появляются в реальной жизни, когда мы говорим про половину килограмма крупы, треть часа на выполнение задания и так далее.

А отрицательных чисел в каком-то естественном эквиваленте не встретить, это все равно будет некоторая абстракция, поэтому древние люди относились к ним с недоверием.

Несмотря на это, китайские математики II века до нашей эры уже знали про них и умели применять к ним сложение и вычитание, но еще не научились их делить и умножать.

Различали же древние китайцы положительные и отрицательные числа не как мы, с помощью знаков, а с помощью цвета - положительным числам соответствовал красный цвет, а отрицательным- черный.

Так продолжалась до XII века, пока отрицательные числа не начали просто перечеркивать чертой слева направо.

Уже с VII века зафиксировано понимание того, что отрицательные числа нужны для оперирования долгами.

Условно, если у меня есть \(\mathbf{-5}\) тысяч рублей, то это значит, что я кому- то 5 тысяч рублей должен.

Координатную прямую впервые ввел французский ученый Рене Декарт в 1637 году, что сильно поспособствовало популяризации отрицательных чисел.

Окончательно отрицательные числа закрепились только к началу XIX века.