Урок 46 Получить доступ за 75 баллов Координатная плоскость

До этого занятия мы обсуждали с вами только прямую и все, что с ней связано.

Сегодня урок посвятим изучению плоскости.

Узнаем, что называют координатной плоскостью и как получить её из обычной плоскости.

Познакомимся с прямоугольной системой координат на плоскости и разберем ее основные характеристики и особенности.

Выясним области применения и использования систем координат в практических целях и в жизни человека.

Научимся пользоваться прямоугольной системой координат на плоскости: определять координаты заданных точек и по заданным координатам точки находить ее положение на координатной плоскости.

Представим движение автомобиля по прямолинейному участку дороги.

Любой прямолинейный участок дороги легко представить с помощью координатной прямой.

Координатная прямая позволяет нам связать точки на этой прямой с числом.

Вам уже известно, как из любой прямой получить координатную прямую.

Необходимо на прямой выбрать начало отсчета, задать направление и единичный отрезок (масштаб).

В результате с помощью координатной прямой вы однозначно определите, что конкретной точке на прямой соответствует ее единственное верное значение с соответствующим знаком.

И наоборот, если известна координата точки, то можно определить положение этой точки на координатной прямой.

Таким образом, для указания местоположения точки (в нашем случае автомобиля) на прямой нужна только одна координата на координатной оси.

В жизни часто приходится устанавливать положение точки по нескольким параметрам. В таком случае для однозначного определения положения точки требуется больше информации.

Предположим, купили мы билет на концерт.

Чтобы определить расположение конкретного кресла в зале, в билете указывают адрес места: номер ряда и номер кресла в ряду.

Так как каждому месту ставится в соответствие два числа, то для однозначного определения положения точки нам не будет хватать одной координатной прямой.

Для обозначения числами точного положения точки на плоскости используют математическую модель, которую называют координатной плоскостью.

Чтобы из обычной плоскости получить координатную, необходимо на этой плоскости задать определенную систему координат.

Существует различные системы координат.

Мы рассмотрим прямоугольную систему координат на плоскости.

Прямоугольной системой координат на плоскости называют систему из двух взаимно перпендикулярных прямых с общим началом отсчета и общей масштабной единицей.

Рассмотрим основные составляющие прямоугольной системы координат.

Две перпендикулярные прямые - это координатные оси:

Горизонтальная прямая - ось абсцисс (Ох).

Вертикальная прямая - ось ординат (Оу).

Точка пересечения координатных прямых - это начало координат (начало отсчета), её обозначают точкой О(0).

Единичный отрезок выбирается чаще всего одинаковый для каждой координатной оси.

Направление осей указывается стрелкой, каждая ось подписывается буквой.

Для координатных осей обычно выбирают положительное направление, т.е. «по умолчанию» принято использовать правостороннюю систему координат, в которой за положительное направление осей принимают ось ординат, направленную вверх, и ось абсцисс, направленную вправо.

Если приходится по каким-либо причинам использовать левостороннюю прямоугольную систему координат, то данный факт оговаривают в задаче.

Положение точки на плоскости определяется двумя упорядоченными числами: координатами х и y.

Координату точки по оси Ох называют абсцисса - х.

Координату точки по оси Оу называют ордината - y.

Координату точки на плоскости записывают так:

(х; y), причем обязательно на первом месте в скобках стоит абсцисса точки (х), а на втором - ордината этой точки (y)

Например, координата точки A:

A(2;-1), где

х = 2 (координата точки по оси Ох - абсцисса точки А)

y = -1 (координата точки по оси Оу - ордината точки А)

Координаты могут иметь различные числовые значения, в том числе быть равными нулю.

Если ордината точки равна нулю, то точка лежит на оси Ох.

Если абсцисса точки равна нулю, то точка лежит на оси Оу.

Оси координат разбивают плоскость на четыре части - координатные четверти (по-другому их называют координатные углы или квадранты).

Нумерация координатных плоскостей ведется против часовой стрелки римскими цифрами I, II, III, IV.

Если точка имеет положительную координату х (х > 0) и положительную координату у (у > 0), то она лежит в I координатной четверти.

Если точка имеет отрицательную координату х (х < 0) и положительную координату у (у > 0), то она лежит во II координатной четверти.

Если точка имеет отрицательную координату х (х < 0) и отрицательную координату у (у < 0), то она лежит в III координатной четверти.

Если точка имеет положительную координату х (х > 0) и отрицательную координату у (у < 0), то она лежит в IV координатной четверти.

Например, у точки N( 1;-5) координата х положительна, а координата у отрицательная, следовательно, точка N находится в IV (четвертой) координатной четверти.

Прямоугольную систему координат называют так же декартовой системой координат.

Метод координат- это способ определения местоположения точки или тела с помощью чисел и других символов и некоторой системы координат.

Координаты и метод координат применяются и используются в различных сферах нашей жизни.

Например, координаты на картах и планах задаются числами. Для любой точки на поверхности Земли можно определить пару чисел (широту и долготу).

Координаты врача в больнице задаются номером этажа и номером кабинета.

Место в зрительном зале определяется парой чисел: номером ряда и номером кресла в ряду.

Место в поезде, указанное в билете, определяют два числа: номер вагона и номер полки.

Некоторый образ прямоугольной координатной системы прослеживается в знаменитых играх, таких как шахматы и «Морской бой».

На шахматной доске каждый квадрат имеет свои координаты: буквы латинского алфавита и цифры.

С помощью названия столбца и названия ряда (подобно координатным осям) можно определить положение шахматной фигур на игровом поле - их координаты.

Похожая ситуация складывается в игре «Морской бой».

На игровом поле (поле состоит из квадрата 10х10, разлинованного в клетку) изображаются условные корабли в виде прямоугольников и квадратов.

Задача игроков определить место положения кораблей, тем самым вычеркнуть - «уничтожить» их с поля соперника.

Такое же поле (10х10) чертится пустым, чтобы отмечать на нем координаты сбитых кораблей соперника.

Строки и столбцы задают нам подобие координатных осей, а каждый квадратик поля имеет свою координату: букву и число.

Применяется метод координат в создании различного рода таблиц.

Таблицы часто содержат большое количество упорядоченной информации.

Опять же, строки и столбцы задают нам подобие координатных осей, а координаты каждой ячейки таблицы задаются парой символов или чисел (в зависимости от специфики таблицы).

Например, таблица расписания уроков.

Конкретному времени и классу соответствует определенный урок.

Существуют специальные компьютерные программы, с помощью которых можно создавать таблицы, производить вычисления и анализировать данные.

Любой ячейке в такой таблице соответствует два символа, которые однозначно определяют ее, - это пара «число-буква».

Применение набора чисел для описания положения любой точки очень удобный инструмент.

Системы координат широко используются в современных науках и в технике.

В геодезии и картографии широта и долгота однозначно определяется положением на поверхности Земного шара.

Прямоугольная система координат применяется в военной типографии: земная поверхность на военных картах условно разбита на прямоугольники определенных размеров.

Местоположение точки на такой карте отмечается, как в Декартовой системе координат.

Кроме географических объектов военная карта несет информацию о составе войск, их дислокации и расположении, о количестве и расположении боевой техники, о составе войск, боевых действиях, происходящих и планируемых, и многое другое.

В космонавтике и астрономии с помощью особых координатных систем определяют положение звезд и иных небесных тел, вспомогательных точек на небесной сфере, а также положение и траектории летательных аппаратов.

В авиации наиболее часто используют одновременно три различные системы координат: земная, связанная и скоростная.

Земная жестко связана с Землей, применяется для определения летательного аппарата (как точки) относительно земных объектов.

Для расчета взлета, посадки и полетов на близкие расстояния используется прямоугольная система координат, в иных случаях используется более сложный расчет и система координат.

Связанная система координат служит для определения положения объектов внутри летательного аппарата.

Скоростная используется для определения положения летательного аппарата относительно воздушного потока и расчета аэродинамических параметров судна.

В морской навигации (мореплавании, судоходстве) географические координаты замеряют с помощью координатной сетки, которая состоит из взаимно параллельных линий.

Горизонтальные прямые - это линии параллелей.

Вертикальные прямые - это линии меридианов.

На левом крайнем и правом крайнем меридиане нанесена шкала географической широты точки.

На верхней и нижней параллели нанесены шкалы для измерения долготы точки.

Современные навигационные устройства, конечно, во многом превосходят бумажные из прошлого, так как они способны найти не только координаты точки, но и проложить безопасный маршрут до нее.

Даже и в этом случае нужна карта и система координат только электронная.

Программирование станков с программным управлением также тесно связана с применением системы координат.

Перемещение рабочих частей станка в пространстве при изготовлении детали задается с помощью прямоугольной системы координат.

Как вы смогли убедиться, координаты и метод координат широко используются во многих сферах нашей жизни.

Применение метода координат позволяет определить положение объекта как на плоскости, так и в пространстве.

Чтобы определить положение тела на плоскости, объект представляют точкой и находят координату этой точки на двух осях пространства.

Рассмотрим алгоритмы решения математических задач с помощью прямоугольной декартовой системы координат на плоскости.

Определение координат заданных точек на координатной плоскости.

Если на координатной плоскости задана некоторая точка А и требуется найти ее координаты, то это делается следующим образом.

Через точку А проводят две прямые: одна параллельная оси Оу, вторая - оси Ох.

Прямая, параллельная оси Оу, пересечет ось Ох в точке, которая является абсциссой точки А.

Прямая параллельная оси Ох, пересечет ось Оу в точке, которая является ординатой точки А.

Координата точки А записывается так:

А(х_А;у_А)

х_А- абсцисса точки А (координата по оси Ох).

у_А- ордината точки А (координата по оси Оу).

Построение точки на координатной плоскости по заданным координатам.

Чтобы построить точки на плоскости по заданным координатам, действуют в обратном порядке.

Отложить на оси Ох абсциссу точки А и провести перпендикулярную прямую оси Ох через отложенную координату х_А.

На оси Оу отложить ординату точки А и провести перпендикулярную прямую оси Оу через отложенную координату у_А.

На пересечении полученных перпендикулярных прямых получится точка А(х_А; у_А).

Рассмотрим простейшие примеры решения математических задач с помощью прямоугольной декартовой системы координат на плоскости.

Задача 1.

Построить точку М(-4;2) на координатной плоскости.

Решение.

Изобразим прямоугольную систему координат с единичным отрезком, в котором 1 деление = 1 единица.

Для построения точки М необходимо:

Отложить на оси Ох (влево от нуля) число (-4) и провести перпендикулярную прямую к оси Ох через эту точку.

Отложить на оси Оу число (2) и провести перпендикулярную прямую к оси Оу через эту точку.

На пересечении проведенных перпендикулярных прямых получим точку М (-4;2).

Задача 2.

Определите координату точки А в прямоугольной системе координат с единичным отрезком, в котором 1 деление = 1 единица.

Решение.

Через точку А проводим прямую параллельную оси Оу.

Прямая пересечет ось Ох в точке с координатой (-3) - это абсцисса точки А.

Через точку А проводим прямую параллельную оси Ох.

Прямая пересечет ось Оу в точке с координатой (2) - это ордината точки А.

Запишем полученную координату точки А: А(-3;2).

Задача 3.

По знакам координат точки легко определить, в какой координатной четверти находится точка.

Определите, в какой координатной четверти прямоугольной системы координат находится точка В (-21;25).

Решение.

Заметим, что абсцисса и ордината точки В имеют большие значения, поэтому определение местоположения этой точки по заданным координатам нецелесообразно.

Воспользуемся иным способом.

Нам известно, что все четверти координатной плоскости определяются знаками каждой из координат.

Координата х точки В (абсцисса точки В) отрицательное число (-21 < 0).

Значит, точка В находится слева от оси Оу, т.е. либо во II, либо в III четверти.

Координата у точки В (ордината точки В) положительное число (25 > 0).

Значит, точка В находится выше оси Ох.

Если точка находится слева от оси Оу и сверху оси Ох (х < 0,у > 0), то она находится в левом верхнем углу, а это II координатная четверть прямоугольной системы координат.

Задача 4.

Коля отметил на координатной плоскости координаты углов комнаты A(0;0), B(5;0), C(0;3), D(5;3), в которой он хочет сделать ремонт.

Сколько квадратных метров линолеума понадобится Коле для его комнаты?

Решение:

Отметим точки на координатной плоскости по заданным координатам.

Соединим эти точки, получим прямоугольник со сторонами 5 м и 3 м, - это длина и ширина Колиной комнаты.

Найдем площадь этого прямоугольника, узнаем площадь комнаты, а значит, и площадь линолеума, который потребуется Коле.

Площадь прямоугольника найдем по формуле \(\mathbf{S = a \cdot b}\)

\(\mathbf{S = 5 \cdot 3 = 15}\) (м²) линолеума нужно Коле для ремонта комнаты.

Ответ: S = 15 м²

Легенды об изобретении декартовой системы координат.

Легенда первая.

Рене Декарт, посещая театры Парижа, каждый раз был удивлен неразберихе, путанице, перебранкам, а порой и вызовам на дуэль, которые возникали в связи с отсутствием четкого распределения зрителей по местам в зале.

Предложенная Декартом система нумерации, в которой каждое место получало номер ряда и порядковый номер от края ряда, решила все споры и разногласия.

Так была придумана декартова система координат.

Легенда вторая.

Однажды Рене Декарт весь день провел в кровати, размышляя о чем-то важном.

Над ним надоедливо летала и жужжала муха и не давала ему сосредоточиться.

Он стал размышлять, как бы описать математически положение мухи в любой момент времени и, предугадав ее движение, иметь возможность ее прихлопнуть…

Так была придумана декартова система координат.