Урок 31 Бесплатно Изменение величин

Сегодня мы постараемся разобраться, что представляет собой изменение величин, научимся применять положительные и отрицательные числа для выражения изменения величины, приведем примеры изменения величин и рассмотрим, как выглядит изменение величины на координатной прямой и как это изменение на координатной прямой определить.

Изменение величины

Одним из основных математических инструментов для описания окружающего нас мира являются величины.

Величина- это особое свойство предмета, объекта или явления, которое поддается измерению (т.е. это все то, что можно измерить и выразить числом).

Например, длина, масса, скорость, объем, время и т.п.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

С давних времен, особенно с развитием торговли и активным строительством, возникла потребность в измерении расстояний и длин, времени и массы предметов, измерении площадей земельных угодий и т.д.

Сначала все меры и методы измерения были весьма относительны, так как измерение происходило в сравнении с чем-либо (например, с размерами частей тела) или с кем-то (с некоторыми объектами действительности и их характеристиками), но такие способы измерения и меры были недостаточно точными. Поэтому со временем возникла необходимость создания единой (эталонной) системы измерения величин.

Выделяют четыре основных свойства величины:

  • сравнимость- количественная характеристика величины, возможна только на основе сравнения (реально или с неким образом)
  • относительность- характеристика величины, которая относительна и зависима от выбранных для сравнения критериев (например, кошка меньше коровы, но больше мышки)
  • измеримость- числовая характеристика величины
  • изменчивость- изменение величины

Подробней рассмотрим, что представляет из себя изменение величины.

Изменение- это процесс движения и взаимодействия предметов, явлений, объектов; переход из одного состояния в другое; возникновение новых свойств, функций, качеств, новой структуры и др.

С давних пор понятие «изменение» является предметом философских дискуссий и размышлений.

В античной и средневековой философии многие мыслители пытались понять, какой смысл несет в себе изменение и какова сущность этого процесса, вводили различные толкования данного понятия.

Аристотель одним из первых философов рассматривал эту проблему как научную.

Он выделил четыре различных вида изменений:

  • изменение места (или пространственное перемещение)
  • изменение состояния (качества)
  • изменение количества (рост и убывание)
  • изменение субстанции

Аристотель считал, что каждый вид изменений есть переход в свою противоположность.

В действительности, с изменением величины приходится сталкиваться очень часто.

Изменение какой-либо величины можно характеризовать разностью конечного и начального значения величины.

Результат изменения величины может быть

  • положительным
  • отрицательным
  • равным нулю

Вам уже известно о существовании положительных и отрицательных чисел.

Разберемся, каким образом они используются для описания изменения различных величин.

Увеличение или уменьшение величины можно обозначить положительными и отрицательными числами.

Увеличение величины выражается с помощью положительных чисел.

Уменьшение величины выражается с помощью отрицательных чисел.

Например, увеличение какой-либо величины на 6 единиц измерения можно записать как +6.

Уменьшение величины на 3 единицы измерения можно обозначить как -3.

Часто знак «+» и «-» заменяют словами увеличилось/уменьшилось или повысилось/понизилось.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Примеры изменения величин

Рассмотрим несколько примеров изменения величин.

 

Пример 1

Изменение температуры воздуха.

В окружающем мире происходят различные процессы и явления, связанные с нагреванием и охлаждением.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Степень нагретости тела и его тепловое состояние мы характеризуем словами: «горячо», «холодно», «тепло».

Для количественной оценки этого состояния служит величина, которая называется температурой.

Для определения температуры, как нам уже известно, используют термометр.

термометр

Действие термометра основного на тепловом расширении вещества.

При нагревании рабочее вещество в столбике термометра (ртуть или спирт) увеличивается в объеме и поднимается вверх, при охлаждении - уменьшается и опускается вниз.

Чаще всего в термометрах температуру выражают в градусах по шкале Цельсия (\(\mathbf{^\circ C}\)).

В ней за нулевую точку отсчета принимается температура тающего льда (0\(\mathbf{^\circ C}\)).

Но кроме шкалы Цельсия существуют другие различные шкалы для определения температуры.

Например, шкала Фаренгейта (наиболее распространенная в англоязычных странах).

Шкала Кельвина, она имеет такую же величину шага измерения температуры, что и шкала Цельсия (1 Кельвин = 1\(\mathbf{^\circ C}\)), но точкой начала отсчета по шкале Кельвина считается точка 273,16 К - точка абсолютного нуля

Для нашего примера мы будем использовать температурную шкалу Цельсия, где единицей измерения температуры выбран\(\mathbf{^\circ C}\).

Мы знаем, что температура воздуха может как повышаться, так и понижаться.

Допустим, утром температура воздуха была 10\(\mathbf{^\circ C}\).

В полдень повысилась до 15\(\mathbf{^\circ C}\), а вечером понизилась до 5\(\mathbf{^\circ C}\).

За первую половину дня температура воздуха увеличилась на 5\(\mathbf{^\circ C}\), говорят: "изменение температуры составляет +5\(\mathbf{^\circ C}\)."

За вторую половину дня температура воздуха уменьшилась на 10\(\mathbf{^\circ C}\), говорят: "изменение температуры равно -10\(\mathbf{^\circ C}\)."

Время

Изменение температуры,

Температура, 

Утро

 

10

Полдень

+5

15

Вечер

-10

5

 

Пример 2

Изменение количества денежных средств на счете телефона.

Удобно знать изменение величины при движении денежных средств на счете. Например, списание и зачисление денежных средств на телефон.

Зачисленные средства будем обозначать положительными числами.

Потраченные средства будем обозначать отрицательными числами.

Допустим, на счету телефона было 50 рублей.

К вечеру на звонки и сообщения было потрачено 20 рублей, т.е. количество денежных средств уменьшилось на 20 рублей. Изменение денежных средств составило -20 рублей.

На второй день было потрачено 15 рублей. Изменение количества денежных средств составило -15 рублей.

На третий день счет был пополнен на 45 рублей, т.е. количество денежных средств увеличилось. Изменение количества денежных средств составило +45 рублей.

День

Изменение, руб.

Денежных средств на счете, руб.

На счете 50 рублей

Первый

-20

30

Второй

-15

15

Третий

+45

60

 

Пример 3

Изменение скорости движения.

При путешествии на автомобиле водителю приходится изменять скорость движения транспортного средства, т.е. уменьшать или увеличивать скорость.

Для определения такой величины, как скорость движения, используют измерительный прибор, который называется спидометр.

На приборе нанесена шкала скоростей, показания выводятся в км/ч.

Стрелка спидометра указывает скорость движения транспортного средства.

Рассмотрим пример изменения скорости движения легкового автомобиля.

Допустим, автомобиль двигался по автомагистрали с разрешенной скоростью, спидометр автомобиля показывал 110 км/ч.

В населенном пункте он снизил скорость на 50 км/ч. Это значит, что изменение скорости движения автомобиля составило -50 км/ч.

Проехав населенный пункт, автомобиль стал двигаться со скоростью 90 км/ч, т.е. скорость увеличилась на 40 км/ч, а это значит, что изменение скорости составило +40 км/ч.

Место

Изменение скорости, км/ч

Скорость движения, км/ч

Автомагистраль

 

110

Населенный пункт

-50

60

Вне населенного пункта

+40

90

 

Пример 4

Изменение длины пружины (сжатие и растяжение).

Пружина - механическое устройство, обладающее упругими свойствами. Пружина способна под действием нагрузки менять свои первоначальные размеры (изменять свою длину): сжиматься и растягиваться.

Растяжение пружины (увеличение ее длины) будем выражать положительными числами.

Сжатие пружины (уменьшение ее длины) будем выражать отрицательными числами.

Рассмотрим пример изменения длины пружины:

Пружину длиной 15 см прикрепили к плоской поверхности одним концом и стали тянуть за второй конец этой пружины, в результате длина ее стала равной 20 см. Она увеличилась в длине на 5 см, а это значит, что изменение величины пружины составило +5 см.

Затем пружину сжали, уменьшив ее длину на 8 см.

Изменение длины пружины составило -8 см.

Длина пружины стала равной 12 см.

Состояние

Изменение длины, см

Длина, см

Первоначальное состояние пружины

 

15

Растяжение пружины

+5

20

Сжатие растянутой пружины

-8

12

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Изменение величины на координатной прямой

Выясним, как на координатной прямой выглядит изменение величины.

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Закрыть

Как вам уже известно, точка на координатной прямой может находится как слева от начала координат (точки 0), так и справа от начала координат. По этой прямой точка может перемещаться влево и вправо.

Перемещение точки по направлению координатной прямой обозначают положительными числами.

Перемещение точки против направления координатной прямой обозначают отрицательными числами.

Перемещение определяют, как разность между координатами конечной и начальной точки.

Если координата при перемещении стала больше, то перемещение описывается положительным числом (изменение величины происходит со знаком «+»).

Если координата при перемещении стала меньше, то перемещение описывается отрицательным числом (изменение величины происходит со знаком «-»).

Важно помнить, что:

1. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше

Приведем простой пример.

Пусть есть два числа -2 и -6.

Найдем модули этих чисел:

|-2| = 2 (модуль -2 равен 2)

|-6| = 6 (модуль -6 равен 6)

6 > 2, а это значит, -6 < -2

 

2. Нуль всегда больше любого отрицательного числа, но меньше любого положительного

Отрицательное число < 0 < Положительное число

Изобразим координатную прямую, направленную вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком, в котором 1 деление = 1 единица.

Допустим, на координатной прямой отметили точку А (+4).

Затем переместились из точки А в точку В (+6).

Из точки В переместились в точку С (-2).

Определим перемещение точки по координатной прямой.

Разберем подробно каждое перемещение и увидим, какие изменения происходили при движении точки по координатной прямой.

Передвинув точку А (+4) вправо на 2 единичных отрезка, оказались в точке В (+6) , перемещение точки составило +2 . Перемещение со знаком «+», так как перемещение из точки А в точку В происходило по направлению координатной прямой и координата в результате перемещения стала больше.

Из точки В (+6) переместились влево на 8 единичных отрезков и оказались в точке С (-2) , а это значит, что перемещение точки составило -8 . Изменение величины со знаком «-», так как перемещение из точки В в точку С происходило против направления координатной прямой и координата стала меньше.

Рассмотрим решение задач с помощью координатной прямой на примере изменения длины пружины.

 

Задача:

Пружину длиной 15 см прикрепили к плоской поверхности одним концом и стали тянуть за второй конец, в результате длина пружины увеличилась на 5 см. Затем пружину сжали, уменьшив ее длину на 8 см.

Определите, чему стала равна в итоге длина пружины?

Решение:

Построим координатную прямую, направленную вправо, с началом отсчета в точке О (0) и единичным отрезком, в котором 1 деление = 1 см.

Расстояние от точки О (0) до токи А (15) содержит 15 единичных отрезков - это длина пружины в первоначальном состоянии.

Пружину растянули, увеличив ее длину на 5 см.

От точки А (15) откладываем вправо 5 единичных отрезков и оказываемся в точке В с координатой +20

Изменение длины пружины составило +5 см. Изменение со знаком «+», так как перемещение из точки А в точку В происходило по направлению координатной прямой и координата в результате перемещения стала больше.

Сжав пружину, тем самым уменьшили ее длину на 8 см.

От точки В (20) откладываем 8 единичных отрезков влево и оказываемся в точке С с координатой +12

Изменение длины пружины составило -8 см. Изменение со знаком «-», так как перемещение из точки В в точку С происходило против направления координатной прямой и координата в результате перемещения стала меньше.

Ответ: длина пружины, в результате всех изменений, стала равной 12 см.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Заключительный тест

Пройти тест