Урок 20 Бесплатно Дробные выражения

В этом уроке мы познакомимся с понятием дробных выражений и с тем, как их считать. Узнаем интересные способы работы с дробями, в числителе или знаменателе которых стоят дроби.

Дробные выражения

Для начала определимся с определением дробного выражения.

Дробным выражением называется частное двух выражений или чисел, знак деления в котором обозначается чертой.

 

Пример:

$$\mathbf{\frac{1}{2}}$$

Мы привыкли называть такое выражение обыкновенной дробью. Она ничем не противоречит определению дробного выражения. Поэтому если вас спросят: "Является ли обыкновенная дробь дробным выражением?", то можно смело ответить: "Да, является!"

$$\mathbf{\frac{1+2}{3+4}}$$

 

$$\mathbf{\frac{5\cdot(1+2)}{(3+5)\div2}}$$

Мы не накладываем никаких ограничений на то, что из себя представляют выражения; нужно только то, чтобы это было деление, записанное как дробь.

Также никто не запрещает записать в одну или даже в обе части выражения, содержащие дроби.

 

Примеры:

$$\mathbf{\frac{1}{1+\frac{1}{8}}}$$

$$\mathbf{\frac{3+12\frac{1}{2}}{7\frac{1}{3}-2\frac{3}{4}}}$$

$$\mathbf{\frac{(\frac{1}{2}+\frac{1}{4})\cdot\frac{2}{3}}{\frac{2}{7}\cdot(\frac{3}{8}-\frac{1}{4})}}$$

Можем пойти дальше и записать так называемую многоэтажную дробь. Это дробь, в числителе или в знаменателе (а иногда и в числителе и в знаменателе) которой стоят дробные выражения.

 

Примеры:

$$\mathbf{\frac{\frac{1}{2}}{3}}$$

$$\mathbf{\frac{1}{\frac{12}{19}}}$$

$$\mathbf{\frac{\frac{12}{89}}{\frac{74}{99}}}$$

Помимо определения дробного выражения необходимо знать определения числителя и знаменателя дробного выражения.

Если мы считаем дробное выражение делением, то числителем будет являться делимое, а знаменателем делитель.

Например, существует следующее дробное выражение:

$$\mathbf{\frac{3+10\cdot2}{2+\frac{1}{2}}}$$

В данном случае \(\mathbf{3+10\cdot2}\) будет являться числителем, а \(\mathbf{2+\frac{1}{2}}\)- знаменателем.

Также можно преобразовывать обычные выражения в дробные.

Это можно делать при условии, что выражение представляет из себя частное двух выражений или чисел, но пока что записанное через обычный знак деления.

Примеры преобразования обычного выражения в дробное:

\(\mathbf{(3+4)\div(200+123)=\frac{3+4}{200+123}}\)

\(\mathbf{(1247+523\cdot(54+78))\div((345+67)\cdot56\cdot87\cdot(63+85))=}\)

\(\mathbf{=\frac{1247+523\cdot(54+78)}{(345+67)\cdot56\cdot87\cdot(63+85)}}\)

\(\mathbf{(4+\frac{1}{2})\div(\frac{3}{5}\cdot8+2)=\frac{4+\frac{1}{2}}{\frac{3}{5}\cdot8+2}}\)

\(\mathbf{(452+789\cdot(\frac{7}{9}+\frac{1}{2}))\div(\frac{4}{741}+582\cdot741)=}\)

\(\mathbf{=\frac{452+789\cdot(\frac{7}{9}+\frac{1}{2})}{\frac{4}{741}+582\cdot741}}\)

 

Сформулируем правило: для того, чтобы преобразовать выражение, представляющее из себя частное двух выражений или чисел, необходимо делимое поместить в числитель дробного выражения, а делитель- в знаменатель.

Теперь вы видите, насколько большой класс формул покрывается понятием дробного выражения.

Давайте пройдем небольшой тест и перейдем к изучению того, как вычислять значения дробных выражений.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Вычисление дробных выражений

Начнем с самого простого способа вычисления значений дробных выражений.

Он заключается в том, чтобы отдельно посчитать значения числителя и знаменателя и получить дробное выражение, в знаменателе и числителе которого стоят числа.

Далее надо смотреть, что получилось:

  • может получиться правильная дробь, тогда это будет готовым ответом
  • может получиться дробь неправильная, тогда необходимо выделить целую часть
  • в числителе и знаменателе дробного выражения могут получиться дробные числа; в таком случае нужно поделить числитель на знаменатель, это и будет ответом

Пример 1

Вычислим значение выражения \(\mathbf{\frac{1+2\cdot4}{5-2}}\)

Решение:

Для начала вычислим значения числителя и знаменателя:

\(\mathbf{\frac{1+2\cdot4}{5-2}=\frac{1+8}{3}=\frac{9}{3}}\)

В данном примере числитель делится на знаменатель, поэтому из дроби получится натуральное число.

\(\mathbf{\frac{9}{3}=3}\)

 

Пример 2

Вычислим значение выражения \(\mathbf{\frac{7+2\cdot3\cdot2}{2\cdot9}}\)

Решение:

Сначала вычислим числитель и знаменатель:

\(\mathbf{\frac{7+2\cdot3\cdot2}{2\cdot9}=\frac{7+12}{18}=\frac{19}{18}}\)

В данном случае получилась неправильная дробь, выделим целую ее часть, чтобы получить в ответе смешанное число:

\(\mathbf{\frac{19}{18}=\frac{19}{18}=1\frac{1}{18}}\)

 

Пока что были рассмотрены случаи, в которых выражения в числителе и знаменателе представляли из себя арифметические действия над натуральными числами. Но вас нисколько не должны смущать случаи, в которых выражения содержат в себе дроби как обыкновенные, так и десятичные.

 

Пример: 

\(\mathbf{\frac{3+\frac{3}{4}}{1.2+0.3}}\)

Решение:

Наверное, вы уже догадываетесь, что мы сделаем дальше. Правильно! Вычислим числитель и знаменатель:

\(\mathbf{\frac{3+\frac{3}{4}}{1.2+0.3}=\frac{\frac{3\cdot4+3}{4}}{1.5}=}\)

\(\mathbf{=\frac{\frac{12+3}{4}}{1.5}=\frac{\frac{15}{4}}{1.5}}\)

В данном случае мы получили неправильную дробь в числителе и десятичную дробь в знаменателе.

Чтобы получить окончательный результат разделим одно на другое:

\(\mathbf{\frac{\frac{15}{4}}{1.5}=\frac{15}{4}\div1.5=\frac{15}{4}\div\frac{15}{10}=}\)

\(\mathbf{=\frac{15}{4}\cdot\frac{10}{15}=\frac{15\cdot10}{4\cdot15}=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}=2\frac{1}{2}}\)

 

Прежде чем перейти к дополнительным приемам работы с дробными выражениями, решим небольшой тест для закрепления навыка вычисления дробных выражений.

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Приемы для работы с дробными выражениями

Пока что во всех предыдущих случаях мы находили значения дробных выражений «в лоб», по достаточно простому алгоритму.

Но, как это часто бывает в математике, в некоторых случаях можно упростить себе подсчеты, вовремя заметив определенные вещи.

Вы уже наверняка хорошо освоили сокращение дробей.

Напомним, в чем его суть: если числитель представляет из себя произведение, и знаменатель также является произведением, и в этих произведениях есть одинаковый множитель, то мы можем сократить дробь на этот множитель.

Как же это относится к дробным выражениям?

Дело в том, что в некоторых случаях числитель и знаменатель могут быть произведениями или же могут стать произведениями в процессе подсчетов.

Тогда почему бы не сокращать их по возможности?!

Пример:

\(\mathbf{\frac{7\cdot(123+4)}{3\cdot(120+7)}}\)

Начнем считать выражение и посмотрим, что получается.

\(\mathbf{\frac{7\cdot(123+4)}{3\cdot(120+7)}=\frac{7\cdot127}{3\cdot127}}\)

Числитель и знаменатель дробного выражения после первых преобразований превратились в произведения.

Также можно заметить, что в этих произведениях есть общий множитель: 127

Тогда мы можем поделить числитель и знаменатель дробного выражения на это число, тем самым значительно упростив выражение.

\(\mathbf{\frac{7\cdot127}{3\cdot127}=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}}\)

Это и будет значением этого выражения.

 

Также мы можем быть еще более хитрыми и внимательными.

Найдем значение выражения \(\mathbf{\frac{2\cdot(478569-145236)}{(478569-145236)\cdot3}}\)

Конечно же, можно начать вычислять сначала числитель, потом знаменатель. Для этого мы будем вычислять разность шестизначных чисел.

Но можно сделать проще: заметим, что числитель и знаменатель являются произведениями.

Числитель является произведением 2-х и выражения (478569-145236)

Знаменатель же является произведением выражения (478569-145236) и 3-х.

Выражение (478569-145236) является множителем и можно утверждать, что это один и тот же множитель в числителе и в знаменателе.

Значит, мы можем уверенно сокращать дробное выражение на это выражение.

\(\mathbf{\frac{2\cdot(478569-145236)}{(478569-145236)\cdot3}=\frac{2}{3}}\)

В данном случае мы сразу получили правильную дробь, это и будет являться значением выражения.

 

Отдельно стоит упомянуть работу с многоэтажными дробями.

Мы всегда можем идти по алгоритму с последовательным вычислением числителя и знаменателя - это гарантированно дает результат.

Но также можно запомнить два правила, которые существенно экономят время.

Первое правило говорит о том, что, если в числителе дробного выражения находится дробь (или же дробное выражение), мы можем домножить дробное выражение на знаменатель дроби (или дробного выражения), стоящей в числителе, тем самым уменьшив «этажность» дробного выражения.

Парочка примеров:

\(\mathbf{\frac{\frac{2}{3}}{4}=\frac{\frac{2}{3}\cdot3}{4\cdot3}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}}\)

\(\mathbf{\frac{\frac{3}{7+13}}{5}=\frac{\frac{3}{7+13}\cdot(7+13)}{5\cdot(7+13)}=}\)

\(\mathbf{=\frac{3}{5\cdot20}=\frac{3}{100}=0.03}\)

 

Второе правило рассматривает случай, когда дробь (или дробное выражение) находится в знаменателе дробного выражения.

В таком случае уменьшить «этажность» дробного выражения поможет домножение всего дробного выражения на знаменатель дроби (или дробного выражения), стоящей в знаменателе.

И парочка примеров на этот случай:

\(\mathbf{\frac{3}{\frac{2}{7}}=\frac{3\cdot7}{\frac{2}{7}\cdot7}=\frac{21}{2}=10\frac{1}{2}}\)

\(\mathbf{\frac{11}{\frac{3}{1+7}}=\frac{11\cdot(1+7)}{\frac{3}{1+7}\cdot(1+7)}=}\)

\(\mathbf{=\frac{11\cdot(1+7)}{3}=\frac{11\cdot8}{3}=\frac{88}{3}=29\frac{1}{3}}\)

 

И в завершение еще дам такой пример:

\(\mathbf{\frac{\frac{3}{4+1}}{\frac{7-2}{4}}=\frac{\frac{3}{5}}{\frac{5}{4}}=}\)

\(\mathbf{=\frac{\frac{3}{5}\cdot5}{\frac{5}{4}\cdot5}=\frac{3}{\frac{25}{4}}=\frac{3\cdot4}{\frac{25}{4}\cdot4}=\frac{12}{25}}\)

Пройти тест
Закрыть тест

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Интересная информация

Десять интересных математических фактов:

1. Известные всем знаки сложения и вычитания впервые были использованы только около 500 лет назад

2. 2 и 5- единственные простые числа, которые оканчиваются на 2 или 5

3. Несмотря на то, что сохранилось много трудов древнегреческого ученого Евклида, о его биографии почти ничего не известно

4. В римской системе счисления не существует нуля

5. Знак равенства «=» появился только в XVI веке

6. Слово «миг» обозначает не только короткое мгновение, но и вполне конкретный временной промежуток: 0,01 секунды

7. У древних египтян отсутствовала таблицы умножения и прочие математические правила

8. В свое время заниматься математикой в высоких кругах было настолько популярно, что даже Наполеон Бонапарт оставил после себя научные труды

9. Самые древние математические записи были найдены написанными на костях

10. Ученый Муавр с помощью математики смог рассчитать дату своей смерти

Заключительный тест

Пройти тест